atom hidrogenik - fisika kuantum
advertisement
ATOM HIDROGENIK Bagian 1 Dr. PEKIK NURWANTORO FMIPA UGM GambaranFisis • AtomHidrogentersusunatas2par5kelyaitu1 protondan1elektronyangsalingterikat • Kestabilansistemterbentukolehadanya interaksitarikanCoulombantaraproton,yang berperansebagaiin5atom,denganelektron • Protonyangberperansebagaiin5atomdapat digan5kanolehsejumlahZpar5kelbermuatan posi5p,yangdikenalsebagaisistem Hidrogenikataubak-Hidrogen(Hydrogen-like) ProsedurPenyelesaian • BentukeksplisitpersamaanSchrodingerdiperoleh sesuaidenganbentukeksplisitpotensialCoulomb • Bentukpersamaandiferensialparsialkemudian diselesaikanmenggunakansistemkoordinatyang sesuaisehinggadapatdimanfaatkanmetode pemisahanvariabel • Dengandemikianpersamaandiferensialdapatdiubah menjadiseperangkatpersamaandiferensialbiasa • Masing-masingpersamaandiferensialbiasatersebut kemudiandiselesaikan,analogpenyelesaiansistem1-D Penyelesaiandalam3-D • Berbedadenganmasalah1-D,penyelesaian atomHidrogenikmelibatkan3variabelruang padafungsigelombang,operatortenaga potensialVdanoperatortenagakine5kK ψ (r ) = ψ ( x, y, z ) () ( V r = V x, y, z ) !2 2 ! 2 ⎡ ∂2 ∂2 ∂2 ⎤ K̂ = − ∇ = − ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ 2m 2m ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ HamiltoniandanPersamaan SchrodingerAtomHidrogenik • BentukeksplisittenagapotensialCoulomb Ze 2 V (r) = − 4πε0 r • BentukeksplisitHamiltoniandanpersamaan SchrodingerAtomHidrogenik ! 2 2 Ze 2 Ĥ = − ∇ − Ĥ ( r )ψ ( r ) = Eψ (r ) ; 2me 4πε0 r SistemKoordinatBola (r, θ , φ ) • Dalamsistemkoordinatbola,3 variableruangtersebutdapatdikaitkanke3 variabelruangdalamsistemkoordinat kartesianmelaluikaitan: ( x, y, z ) r= x +y +z ; 2 2 2 ⎛ z θ = arccos ⎜⎜ 2 2 2 ⎝ x +y +z ⎛ y⎞ φ = arctan ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ PemilihanSistemKoordinat • Karenabentukoperatortenagapotensialpada atomHidrogenikhanyabergantungpadavariabel r,ataubiasadisebutmedansentralmengingat arahmedanyangsearahdenganarahradial, makapenyelesaiansistemakansesuaidengan menggunakansistemkoordinat • Secaramatema5ka,karenavariabel ( x, y, z ) salingtergandengmakametodepemisahan variabelpadakoordinatkartesianakangagal untukdimanfaatkan BentukeksplisitOperatordalam KoordinatBola • OperatorLaplasianberbentuk: 2 1 ∂ ∂ L ⎛ ⎞ ∇2 = 2 ⎜ r 2 ⎟ − 2 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ h r • DenganoperatorMomentumSudutadalah: ⎡ 1 ∂⎛ ∂⎞ 1 ∂2 ⎤ 2 2 L̂ = −! ⎢ ⎥ ⎜ sin θ ⎟ + 2 2 ∂θ ⎠ sin θ ∂φ ⎦ ⎣ sin θ ∂θ ⎝ PersamaanSchrodingerdalam KoordinatBola • MakapersamaanSchrodingeruntukAtom Hidrogenikmenjadi: Ĥ (r )ψ (r ) = Eψ (r ) ! 2 ∂ ⎛ 2 ∂ψ (r) ⎞ L̂2ψ (r) Ze 2 − 2mr 2 ∂r ⎜⎝ r ∂r ⎟⎠ + 2mr 2 − 4πε0 r ψ (r) = Eψ (r) KekekalanBesaranFisis • BerdasarbentukHamiltoniantersebut,makauntuk atomHidrogenikberlakukaitankomutatorberikut: [ Ĥ , L̂ ] = 0 [ Ĥ , L̂ ] = 0 • Denganungkapantersebutdapatdisimpulkanbahwa tenagatotal,momentumsuduttotaldankomponen momentumsudutkearahsumbuzmerupakan3 besaranfisisyangkekaldalamatomHidrogenik • Jugadapatdisimpulkanbahwafungsigelombang serentakyangmemenuhifungsieigenbagike5ga operatortersebutakandapatdiperoleh 2 z BentukFungsiGelombang • Denganpehamamantersebut,fungsi gelombangdapatdinyatakansecaraterpisah antarabagianradial&bagiansudutyaitu: ψ (r) = ψ (r,θ , φ ) = R(r )Ylm (θ , φ ) • Dalamhalini,bagiansudutmerupakanfungsi eigendarioperatorL2danLzyaitu: L̂zYlm (θ , φ ) = m!Ylm (θ , φ ) L̂2Ylm θ , φ = l l +1 ! 2Ylm θ , φ ( ) ( ) ( )
