Teori Bilangan 1

BAB I
NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut.
(1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan
masing-masing notasi.
(2) Dapat memberikan tiga contoh konjektur dalam teori bilangan.
(3) Dapat menjelaskan prinsip induksi matematika.
(4) Dapat membuktikan pernyataan dalam teori bilangan dengan induksi matematika.
1.1 Notasi
Notasi merupakan kesepakatan (persetujuan, perjanjian) untuk suatu lambang tertentu
sehingga mempunyai makna.
Contoh :
(1) (a,b) berarti faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b atau Greatest Common
Divisor (GCD)
(2) [a,b] berarti kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b atau Least Common Multipl
(LCM)
a
a
(3) Simbol Legendre   berarti bilangan bulat lebih kecil atau sama dengan
b
b
a
a
(4) Simbol Jacobi   berarti bilangan bulat lebih besar atau sama dengan
b
b 
(5) ……: membagi, misalnya 2 6 dibaca “dua membagi enam”, artinya 2 dapat
membagi 6 dengan sisa nol atau tanpa sisa atau membagi habis.
(6) x  : berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.
 2
2 3  = 2
 
 2
 2 3  = 3


(7) Notasi yang berkaitan dengan operasi, misalnya sebagai berikut.
,, X , :, , .
 : penjumlahan berulang
 : perkalian berulang.
(8) Notasi yang berkaitan dengan relasi atau hubungan, misalnya sebagai berikut.
, , , ,,, , , , , .
(9) Notasi yang berkaitan dengan himpunan, misalnya sebagai berikut.
N : Himpunan bilangan asli (Natural numbers, counting numbers)
Z : Himpunan bilangan bulat (Integers; Zahlen)
Z  : Himpunan bilangan bulat positip
R : Himpunan bilangan nyata (Real Numbers).
Q : Himpunan bilangan rasional (Rational Numbers)
C : Himpunan bilangan kompleks (Complex Numbers)
Q x :Bilangan rasional tidak nol
R x : Bilangan real tidak nol (Nonzero Real Numbers).
1.2 Konjektur
Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum
terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture = dugaan, perkiraan)
yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan.
Konjektur yang terkenal, misalnya Konjektur Fermat, konjektur Lagrange, dan konjektur
Goldbach.
(1) Konjektur Fermat adalah sebagai berikut.
a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x2  x  41 adalah bilangan prima, kecuali
x  41
2 2  1 adalah bilangan prima.
n
b.
c. Berikut adalah konjektur Fermat yang terkenal.
Untuk n  3, tidak ada bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi xn  yn  zn.
Konjektur ini disebut Fermat’s Last Theorem (teorema terakhir Fermat). Sampai
Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n yang memenuhi xn  yn  zn.
(2) Konjektur Lagrange
Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat.
Contoh 999  30 2  9 2  32  32
(3) Konjektur Goldbach
Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari
dua bilangan prima.
4  22
6  33
20  7  13
50  3  47
100  29  71
(4) Konjektur tentang bilangan perfek
a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga
b. Semua bilangan perfek adalah genap
c. Jika 2n 1 adalah bilangan prima, maka (2
n-1
)(2n 1) adalah bilangan perfek.
Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positip yang jumlah semua pembagi
sejatinya yang positip sama dengan bilangan itu sendiri. Contoh: 6, 28, 496, 8128, dan
33.550.336.
Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3, di pihak lain 1  2  3  6 .
Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; di pihak lain 1  2  4  7  14  28
Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,…, dan 248, di pihak lain 1  2  ...  248  496
(5) Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima)
Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah takhingga.
Pasangan prima yaitu dua bilangan prima yang berselisih 2.
Contoh: 3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41 dan 43.
(6) Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan
Terdapat takhingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan (Amicable).
Dua bilagan bulat positip a dan b dikatakan amicable (bersekawan) jika jumlah
pembagi sejati positip bilangan a  bilangan b, dan jumlah pembagi sejati positip
bilangan b  bilangan a.
Contoh: 220 dan 284; 1184 dan 1210; 17296 dan 18416.
Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah 284, di pihak lain jumlah pembagi
sejati positip bilangan 284 adalah 220.
Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah
1  2  4  5  10  11  20  22  44  55  110  284
Jumlah pembagi sejati positip bilangan 284 adalah
1  2  4  71  142  220
1.3 Prinsip
Prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau
sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan
bukti sesuatu.
1.3.1 Pinsip urutan
Prinsip urutan (WOP = Well Ordering Prinsiple) pada bilangan bulat menyatakan, jika a
dan b adalah dua bilangan bulat berbeda maka dapat ditentukan hubungan a dan b, yaitu
a  b atau a  b.
Z  = {x  Z x  1} atau Z  = {x  Z x  0}
Q  = {x  Q x  0}
R  = {x  R x  0}
Perhatikan bahwa deskripsi Q  dan R  tidak dapat menggunakan relasi  .
Z  mempunyai sifat bahwa setiap A  Z  dan A   maka selalu ada bilangan bulat
k  A sehingga k  x untuk semua x  A. Dikatakan bahwa k adalah elemen terkecil
dari himpunan A. Di pihak lain, Q  dan R  tidak mempunyai elemen terkecil.
Suatu himpunan S dikatakan terurut jika setiap A  S dan A   maka A mempunyai
elemen terkecil.
Himpunan bilangan asli adalah terurut, himpunan bilangan cacah (Whole Number) adalah
terurut, himpunan bilangan rasional positip tidak terurut himpunan {2,7,9,10} terurut.
1.3.2 Prinsip Logika Matematika
(1) Pernyataan Berkuantor
Pernyataan “Setiap x memenuhi y” tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contohcontoh x yang memenuhi y. Tidak berlakunya pernyataan “Setiap x memenuhi y” dapat
ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Pernyataan
“Tidak setiap x memenuhi sifat y” dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x
yang tidak memenuhi sifat y.
(2) Bukti Langsung
Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p
diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q.
Pernyataan “Jika p maka q” dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p
yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, …, Pn.dan
akhirnya diperoleh q.
p  P1  P2  P3  … Pn q
Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian
langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.
p  q
p

Jadi q.
Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.
pq
qr

Jadi p  r
Pernyataan “Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil” dapat dibuktikan secara
langsung.
(3) Bukti Tak langsung
Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun
kontradiksi.
(a) Pembuktian dengan prinsip kontraposisi
Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut.
pq
q

Jadi p
Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan
pq, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal
ini berarti jika p benar maka q benar.
Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a  0 . Jika untuk setiap   0 berlaku
0  a   maka a  0 ” dapat dibuktikan secara tak langsung.
Bukti:
Andaikan 0  a   dan a  0. Dari a  0 dan a  0 diperoleh a  0 . Karena  sebarang
bilangan positip, ambil  
a
 0 , maka   a atau a  . Hal ini bertentangan dengan
2
pengandaian. Jadi yang benar, 0  a   dan a  0 . (Q.E.D).
(b) Pembuktian Dengan Kontradiksi
Untuk membuktikan bahwa ” p  q” benar, ditunjukkan bahwa ”p dan ~q”
mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak
langsung adalah sebagai berikut.
[~ p  (q  ~q)]  p
Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian
anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah
tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu
yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar
(salah).
Pernyataan ”Jka a bilangan real dan a  0 maka
1
 0 ” dapat dibuktikan dengan
a
kontradiksi.
Bukti :
Diketahui a bilangan real dan a  0 . Andaikan
1
 0. Selanjutnya digunakan prinsip
a
bahwa hasil kali bilangan positip dan bilangan negatip adalah negatip, sebagai berikut.
Untuk
1
1
1
1
 0 berarti a   0  1  0 dan untuk  0 berarti a  0  1 0
a
a
a
a
sehingga untuk
1
 0 berakibat 1  0 . Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1
a
bahwa 1  0 .
Jadi yang benar, a  0 maka
1
 0 . (Q.E.D)
a
1.3.3 Prinsip Induksi Matematika
Prinsip induksi matematika (Principle of Mathematical induction) adalah sebagai berikut.
Sebelum pembahasan tentang induksi matematika, perlu diketahui sifat terurut bilangan
asli N, yaitu : “Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil”.
Jika S adalah suatu subset dari N dan S  { } maka terdapat suatu elemen m  S
sedemikian hingga m  k untuk setiap k  S, dan m disebut elemen terkecil dari S.
Jadi bilangan asli N bersifat terurut karena mempunyai mempunyai elemen terkecil, yaitu
1 (satu).
Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.
Misalkan S adalah himpunan bagian (Subset) dari bilangan asli N yang mempunyai sifat:
(a) 1  S
(b) Jika k  S berakibat (k  1)  S
maka
S memuat semua bilangan asli, atau S  N
Prinsip induksi matematika dapat pula dinyatakan dalam bentuk berikut.
S(n) adalah pernyataan matematis dalam himpunan bilangan asli N.
Jika : (a) S(1) benar
(b) S(k) benar berakibat S(k  1) benar
maka S(n) benar untuk semua n  N.
Bukti: Andaikan S tidak memuat semua bilangan asli N, atau S  N.
Maka N  S   . Misalkan F  N  S maka F  N dan F  S.. Karena N terurut,
maka F mempunyai elemen terkecil, misalkan t. Karena t  F maka t  N, dan t  S
sehingga t  1.
Karena 1 unsur terkecil di N dan t  N maka t  1 sehingga t  1  N.
Dari t  1  t dan t elemen terkecil di F diperoleh t  1  F atau t  1  S.
t  1  S. berakibat (t  1)  1  S atau t  S Hal ini kontradiksi dengan t  S
di atas. Jadi yang benar, S  N, atau S memuat semua bilangan asli.
Latihan
1. Buktikanlah berikut ini dengan induksi matematika.
a. 6 + 12 + ... + 6n = 3n  3n 2
b. 5 + 7 + ... + (2n+3) = 4n  n 2
1
c. 1 + 4 + ... + (3n-2) = n(3n - 1)
2
d. 1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n = 2 n – 1.
2. Buktikanlah berikut ini dengan induksi matematika.
a. n 2 n untuk semua n  Z 
b. 2n  1  n