Trigonometri Oleh

Trigonometri
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
1
Trigonometri
TRIGONOMETRI
A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut.
Untuk mempelajari rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut,
kita ulang kembali tentang hubungan antara koordinat cartesius titik P(x, y) dengan
koordinat kutub titik P(r.cos, r.sin) sebagai berikut :
Y
P(x , y) = P(r.cos, r.sin)
r
y

O
X
x
Gambar 1
1. Rumus-rumus untuk cos (a + b) dan cos (a – b)
cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b
cos (a - b) = cos a. cos b + sin a. sin b
------- (1)
------- (2)
Bukti :
Perhatikan gambar 2 di bawah ini :
Y
C(cos (a+b), sin(a+b))
B(cos a, sin a)
O
b
a
-b
A(1, 0)
X
D(cos b, -sin b)
Gambar 2
Pada gambar 2 di atas jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik A
adalah (1,0). Apabila AOB = a, BOC = b, AOD = -b, maka AOC = (a + b)
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
2
Trigonometri
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik P(x1, y1) dan titik Q(x2, y2) adalah
PQ2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 dan rumus cos2 + sin2 = 1, maka
AC 2  BD2
cos(a  b)  12  sin(a  b)  02  cos a  cosb2  sin a  sin b2
cos2 (a  b)  2. cos(a  b)  1  sin 2 (a  b)  cos2 a  2.cos a.cos b  cos2 b  sin 2 a  2.sin a.sin b  sin 2 b
cos (a  b)  sin (a  b)  2.cos(a  b)  1  cos a  sin b) cos b  sin b  2.cos a.cosb  2.sin a.sin b
2
2
2
2
2
2
1  2. cos(a  b)  1  1  1  2.cos a.cos b  2.sin a.sin b
2  2 cos(a  b)  2  2(cos a.cos sin a.sin b)
2. cos(a  b)  2(cos a.cos b  sin a.sin b
cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
----- rumus (1) terbukti
Karena cos(a – b) = cos [a + (-b)], maka
cos (a – b) = cos [a + (-b)]
cos (a – b) = cos a.cos (-b) – sin a. sin (-b)
cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b
cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
---- rumus (2) terbukti
Contoh 1:
Tentukan nilai dari cos 75o !
Penyelesaian :
cos 75o = cos (45o + 30o)
= cos 45o.cos 30o – sin 45o.sin 30o
1
1
1
1

2. 3 
2.
2
2
2
2
1
1

6
2
4
4
1
 ( 6  2)
4
Contoh 2:
Diketahui cos A =
nilai dari :
a. cos (A + B)
4
7
dan cos B =
. Jika sudut A dan B sudut lancip, tentukanlah
5
25
b. cos (A – B)
Penyelesaian :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
3
Trigonometri
cos 2 A  sin 2 A  1
cos 2 B  sin 2 B  1
sin 2 A  1  cos 2 A
sin 2 B  1  cos 2 B
4
sin A  1   
5
16
sin 2 A  1 
25
9
sin 2 A 
25
3
sin 2 A  
5
2
 7 
sin B  1   
 25 
49
sin 2 B  1 
625
576
sin 2 B 
625
24
sin B  
25
2
Karena
maka
A
sudut
sin A 
2
2
lancip,
3
5
Karena
maka
B
sudut
sin B 
lancip
24
25
a. cos (A + B) = cos A.cos B – sin A.sin B
4 7 3 24
 
 
5 25 5 25
28 72


125 125
44

125
b. cos(A – B) = cos A.cos B + sin A.sin B
4 7 3 24
 
 
5 25 5 25
28 72


125 125
100

125
4

5
2. Rumus-rumus untuk sin (a + b) dan sin (a – b)
sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b
------- (3)
sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b
------- (4)
Bukti :
Kita ingat bahwa : sin  = cos(
1
1
 - ) dan cos  = sin(  - ), sehingga :
2
2
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
4
Trigonometri
1
sin (a + b) = cos[  - (a+b)]
2
1
= cos (  - a – b)
2
1
= cos [(  - a) – b]
2
1
1
= cos (  - a).cos b + sin(  - a).sin b
2
2
= sin a.cos b + cos a.sin b
sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b
----- rumus (3) terbukti
Karena sin (a – b) = sin [a + (-b)], maka
sin (a – b) = sin [a + (-b)]
= sin a.cos (-b) + cos a.sin(-b)
= sin a.cos b – cos a.sin b
sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b
------ rumus (4) terbukti
Contoh 3:
Tentukanlah nilai dari sin 15o !
Penyelesaian :
sin 15o = sin (45o – 30o)
= sin 45o.cos 30o – cos 45o.sin 30o
1
1
1
1

2. 3 
2.
2
2
2
2
1
1

6
2
4
4
1

6 2
4


Contoh 4:
3
12
dan sin B =
. Jika sudut A di kuadran I dan sudut B di
5
13
kuadran II, tentukanlah nilai dari :
a. sin (A + B)
b. Sin (A – B)
Diketahui sin A =
Penyelesaian :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
5
Trigonometri
cos 2 A  sin 2 A  1
cos2 B  sin2 B  1
cos 2 A  1  sin 2 A
cos2 B  1  sin2 B
 3
cos A  1   
5
9
cos 2 A  1 
25
16
cos 2 A 
25
4
cos A  
5
2
 12 
cos2 B  1   
 13 
144
cos2 B  1 
169
25
cos2 B 
169
5
cos B  
13
2
Karena
maka
A
sudut
cos A 
dikuadran I ,
4
5
Karena B
2
sudut
maka cos B  
dikuadran II
5
13
a. sin (A + B) = sin A.cos B + cos A.sin B
3  5  4 12
    
5  13  5 13
15 48
 
65 65
33

65
b. sin(A – B) = sin A.cos B - cos A.sin B
3  5  4 12
    
5  13  5 13
15 48
 
65 65
63

65
3. Rumus-rumus untuk tan (a + b) dan tan (a - b).
tan(a  b) 
tan a  tan b
--------- (5)
1  tan a. tan b
tan(a  b) 
tan a  tan b
---------- (6)
1  tan a. tan b
Bukti :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
6
Trigonometri
sin( a  b)
cos(a  b)
sin a. cos b  cos a. sin b
tan(a  b) 
cos a. cos b  sin a. sin b
sin a. cos b cos a. sin b

tan(a  b)  cos a. cos b cos a. cos b
cos a. cos b sin a.sin b

cos a. cos b cos a. cos b
sin a sin b

tan(a  b)  cos a cos b
sin a sin b
1
.
cos a cos b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a. tan b
tan(a  b) 
Jadi tan(a  b) 
Karena
tan a  tan b
----- rumus (5) terbukti.
1  tan a. tan b
tan(a  b)  tan[a  (b)], maka :
tan a  tan(b)
1  tan a. tan(b)
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.( tan b)
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a. tan b
tan(a  b) 
Jadi tan(a  b) 
tan a  tan b
------ rumus(6) terbukti
1  tan a. tan b
Contoh 5:
Buktikan bahwa tan 15o = 2 -
3 !
Bukti :
tan 15o = tan(45o – 30o)
tan 45o  tan 30o

1  tan 45o. tan 30o
1
1
3
3

1
1  1. 3
3
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
7
Trigonometri
1
1
3 1
3
3
3


1
1
1
3 1
3
3
3
2
1
1
3
3
3

1
1
3
4 2
3

3
 3 3
2
2
3
3
2
2 3
(terbukti)
1
Contoh 6:
Diketahui tan A =
a. tan (A + B)
Penyelesaian:
a. tan (A + B) =
1
1
dan tan B = , tentukanlah nilai dari :
2
3
b. tan (A - B)
tan A  tan B
1  tan A. tan B
tan A  tan B
1  tan A. tan B
1 1

2
3

1 1
1 
2 3
1
 6
1
1
6
1
 6
7
6
1

7
b. tan (A – B) =
1 1

2
3

1 1
1 
2 3
5
 6
1
1
6
5
6
5
6
1
B. Rumus-rumus untuk Sudut Rangkap.
1. sin 2a = sin (a + a) = sin a.cos a + cos a. sin a = 2.sin a.cos a
Jadi sin 2a = 2.sin a.cos a
--------- (7)
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
8
Trigonometri
2. cos 2a = cos (a + a) = cos a.cos a – sin a.sin a = cos2a – sin2a
Jadi cos 2a = cos2 a – sin2 a
-------- (8)
Dengan memperhatikan cos2 a = 1 – sin2 a, maka rumus (8) menjadi :
cos 2a = cos2 a – sin2 a = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2.sin2 a
Jadi cos 2a = 1 – 2.sin2 a
-------- (9)
Demikian juga memperhatikan sin2 a = 1 – cos2 a, maka rumus (8) menjadi :
cos 2a = cos2 a – sin2 a = cos2 a – (1 – cos2 a) = cos2 a – 1 + cos2 a
= 2.cos2 a - 1
Jadi cos 2a = 2.cos2 a – 1
3. tan 2a = tan (a + a) =
tan 2 a 
2 tan
1  tan 2 a
--------- (10)
tan a  tan a
2 tan a

1  tan a. tan a 1  tan 2 a
------------- (11)
Contoh 7:
3
dengan sudut A di kuadran II.
5
Tentukanlah nilai dari sin 2A, cos 2A dan tan 2A !
Diketahui sin A =
Penyelesaian :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
9
Trigonometri
cos2 A  sin2 A  1
sin 2 A  2.sin A. cos A
cos2 A  1  sin2 A
3  4
24
sin 2 A  2       
5  5
25
2
 3
cos A  1   
5
9 16
cos2 A  1  
25 25
4
cos A  
5
2
Karena
A
sudut
cos 2 A  cos 2 A  sin 2 A
2
dikuadran II ,
4
5
3
3
sin A
 5 
tan A 
4
4
cos A 
5
maka
2
7
 4   3  16 9


cos 2 A        
25 25 25
 5 5
cos A  
 3
3
2  

2 tan A
4
2
tan 2 A 
 

2
2
9
1  tan A
 3
1     1  16
 4
24
tan 2 A  
7
Contoh 8:
Buktikan bahwa sin 3A = 3.sin A – 4.sin3 A !
Bukti :
sin 3A = sin ( 2A + A)
= sin 2A.cos A + cos 2A.sin A
= (2sin A.cos A)cos A + (1- 2.sin2 A).sin A
= 2.sin A.cos2 A + sin A – 2.sin3 A
= 2.sin A(1 – sin2 A) + sin A – 2.sin3 A
= 2.sin A – 2.sin3 A + sin A – 2.sin3 A
= 3.sin A – 4.sin3 A ----- (terbukti)
C. Rumus-rumus Perkain Sinus dan Cosinus.
1. 2cosa.cosb  cos(a  b)  cos(a  b) atau cosa.cosb 
1
cos(a  b)  cos(a  b) --(12)
2
1
2. 2sina.sinb  [cos(a  b)  cos(a  b)] atau sina.sinb   cos(a  b)  cos(a  b) --(13)
2
3. 2sin a.cosb  sin(a  b)  sin(a  b)
atau sin a.cosb 
1
sin(a  b)  sin(a  b) --(14)
2
4. 2 cosa.sinb  sin(a  b)  sin(a  b)
atau cosa.sinb 
1
sin(a  b)  sin(a  b) --(15)
2
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
10
Trigonometri
Bukti
1. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b
cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b
_____________________________ +
cos (a+b) + cos (a–b) = 2.cos a.cos b
1
 cos a.cos b = [cos (a+b) + cos (a-b)] -------- rumus (12) terbukti
2
2. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b
cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b
_____________________________ cos (a+b) - cos (a–b) = -2.sin a.sin b
1
 sin a.sin b = - [cos (a+b) - cos (a-b)] -------- rumus (13) terbukti
2
3. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b
sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b
_____________________________ +
sin (a+b) + sin (a–b) = 2.sin a.cos b
1
 sin a.cos b = [sin (a+b) + sin (a-b)] -------- rumus (14) terbukti
2
4. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b
sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b
_____________________________ sin (a+b) - sin (a–b) = 2.cos a.sin b
1
 cos a.sin b = [sin (a+b) - sin (a-b)] -------- rumus (15) terbukti
2
Contoh 9 :
Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih cosinus dan sederhanakan
jika mungkin .
a. 2.cos 55o.cos 5o
b. 2.sin 40o.sin 10o
Penyelesaian :
a. Gunakan rumus (12) yaitu : 2.cos a.cos b = cos(a+b) + cos(a-b)
2.cos 55o.cos 5o = cos(55o+5o) + cos(55o-5o)
= cos 60o + cos 50o
1
= + cos 50o
2
b. Gunakan rumus (13) yaitu : 2.sin a.sin b = -[cos (a+b) – cos(a-b)]
2.sin 40o.sin 10o = -[cos (40o+10o) - cos (40o-10o)]
= -[cos 50o - cos 30o]
1
= -[cos 50o 3]
2
1
= -cos 50o +
3
2
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
11
Trigonometri
Contoh 10:
Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih sinus dan sederhanakanlah
jika mungkin :
a. 2.sin 80o.cos 10o
b. sin 15o.cos 35o
Penyelesaian :
a. Gunakan rumus (14) yaitu : 2.sin a.cos b = sin (a+b) + sin (a-b)
2.sin 80o.cos 10o = sin (80o+10o) + sin (80o-10o)
= sin 90o + sin 70o
= 1 + sin 70o
1
b. Gunakan rumus (14) yaitu : sin a .cos b = [sin (a+b) + sin (a-b)]
2
1
Sin 15o.cos 35o = [sin (15o+35o) + sin (15o-35o)]
2
1
= [sin 50o + sin -20]
2
1
= [sin 50o - sin 20o]
2
1
1
= sin 50o - sin 20o
2
2
Contoh 11 :
Buktikanlah bahwa 2.sin (x+45o).cos(x-45o) = 1 + sin 2x !
Penyelesaian :
2.sin (x+45o).cos(x-45o) = sin[(x+45o)+(x-45o)] + sin[(x+45o)-(x-45o)]
= sin 2x + sin 90o
= sin 2x + 1
= 1 + sin 2 x (terbukti)
Contoh 12 :
Buktikanlah bahwa 2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o = 0 !
Penyelesaian :
2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o
= [cos (35o+15o) + cos (35o-15o)] – [sin (55o+15o) + sin (55o-15o)]
= [cos 50o + cos 20o] – [ sin 70o + sin 40o]
= sin 400 + sin 70o – sin 70o – sin 40o
= 0 (terbukti)
D. Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus.
Perhatikanlah rumus-rumus berikut ini :
cos (a+b) + cos (a-b) = 2.cos a.cos b
-[cos (a+b) – cos (a-b)] = 2.sin a.sin b
sin (a+b) + sin (a-b) = 2.sin a.cos b
sin (a+b) – sin (a-b) = 2.cos a.sin b
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
12
Trigonometri
Jika a+b = p dan a-b = q, maka :
1
(p+q)
2
1
p – q = (a+b) – (a-b) = 2b atau b = (p-q)
2
Sehingga rumus-rumus di atas menjadi :
1
1
cos p  cos q  2. cos ( p  q ). cos ( p  q ) -------- (16)
2
2
p + q = (a+b) + (a-b) = 2a
atau
a=
1
1
cos p  cos q  2.sin ( p  q ).sin ( p  q )
2
2
-------- (17)
1
1
sin p  sin q  2. sin ( p  q ). cos ( p  q )
2
2
------- (18)
1
1
sin p  sin q  2. cos ( p  q ).sin ( p  q )
2
2
-------- (19)
Contoh 13 :
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam perkalian dan kemudian sederhanakan jika
mungkin :
a. cos 22o + cos 8o
c. sin 64o + sin 26o
b. cos 50o – cos 10o
d. sin 3xo – sin xo
Penyelesaian :
1
1
(22o+8o).cos (22o-8o)
2
2
= 2.cos 15o.cos 7o
1
1
b. cos 50o – cos 10o = - sin (50o+10o).sin (50o-10o)
2
2
o
o
= -2.sin 30 .sin 20
1
= -2. .sin 20o
2
= - sin 20o
1
1
c. sin 64o + sin 26o = 2.sin (64o+26o).cos (64o-26o)
2
2
o
o
= 2.sin 45 .cos 19
1
= 2.
2 .sin 19o
2
= 2 sin 19o
1
1
d. sin 3xo – sin xo = 2.cos (3xo+xo).sin (3xo-xo)
2
2
= 2.cos 2xo.sin xo
a. cos 22o + cos 80o = 2.cos
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
13
Trigonometri
E. Grafik Fungsi Trigonometri.
1. Grafik fungsi y = sin xo
Untuk menggambar grafik fungsi y = sin xo dapat dilakukan dengan membuat
daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
x
sin x
0
0,00
30
0,50
45
0,71
60
0,87
90
1,00
120
0,87
135
0,71
150
0,50
180
0,00
210
-0,50
225
-0,71
240
-0,87
270
-1,00
300
-0,86
315
-0,71
330
-0,50
360
0,00
Grafik fungsi y = sin x
1,50
1,00
y = sin x
0,50
0,00
sin x
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0,50
-1,00
-1,50
x
2. Grafik fungsi y = cos xo
Untuk menggambar grafik fungsi y = cos xo dapat dilakukan dengan membuat
daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
14
Trigonometri
x
cos x
0
1,00
30
0,87
45
0,71
60
0,50
90 120 135 150
0,00 -0,50 -0,71 -0,87
180
-1,00
210
-0,87
225
-0,71
240
-0,50
270
0,00
300
0,50
315
0,71
330
0,87
360
1,00
Grafik fungsi y = cos x
1,50
1,00
y = cos x
0,50
0,00
cos x
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0,50
-1,00
-1,50
x
3. Grafik fungsi y = tan xo
Untuk menggambar grafik fungsi y = tan xo dapat dilakukan dengan membuat
daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
15
Trigonometri
x
tan x
0
0,00
30
0,58
45
1,00
60
1,73
90
120 135 150
-1,73 -1,00 -0,58
180
0,00
210
0,58
225
1,00
240
1,74
270
300
-1,72
315
-1,00
330
-0,57
360
0,00
Grafik fungsi y = tanx
2,00
1,50
1,00
y = tan x
0,50
0,00
-0,50
tan x
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1,00
-1,50
-2,00
x
F. Persamaan Trigonometri Sederhana.
 Persamaan sinus:
*) Dalam derajat
- sin  = sin (180o – )
- sin  = sin (k.360o + )
atau
*) Dalam radian
- sin A = sin ( - A)
- sin A = sin (2k + A)
dengan k bilangan bulat
Penyelesaian Persamaan sinus
*) Dalam derajat
- sin x = sin 
x =  + k.360o atau
x = (180o – ) + k.360o
atau
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
16
Trigonometri
*) Dalam radian
- sin  = sin A
x = A + 2k
atau
x = ( - A) + 2k
dengan k bilangan bulat.
Contoh 14 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
Sin 2x = sin 50o untuk 0o  x  360o !
Penyelesaian :
Sin 2x = sin 50o
2x = 50o + k.360o atau 2x = (180 – 50)o + k.360o
x = 25o + k.180o
x = 65o + k.180o
o
K = 0  x = 25
x = 65o
K = 1  x = 205o
x = 245o
o
K = 3  x = 385 (tm)
x = 425o (tm)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 25o, 65o, 205o, 245o}
Ket : tm = tidak memenuhi
•
Persamaan kosinus:
*) Dalam derajat
- cos  = cos (– )
- cos  = cos (k.360o + )
atau
*) Dalam radian
- cos A = cos ( - A)
- cos A = cos (2k + A)
dengan k bilangan bulat
Penyelesaian Persamaan kosinus
*) Dalam derajat
- cos x = cos 
x =  + k.360o atau
x = –  + k.360o
atau
*) Dalam radian
- cos x = cos A
x = A + 2k
atau
x = - A + 2k
dengan k bilangan bulat.
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
17
Trigonometri
Contoh 15:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
cos 2x = cos 40o untuk 0o  x  360o !
Penyelesaian :
cos 2x = cos 40o
2x = 40o + k.360o atau 2x = – 40o + k.360o
x = 20o + k.180o
x = -20o + k.180o
K = 0  x = 20o
x = -20o ( tm )
o
K = 1  x = 200
x = 160o
K = 2  x = 380o (tm)
x = 340o
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 20o, 160o, 200o, 340o}
Ket : tm = tidak memenuhi
•
Persamaan tangen:
*) Dalam derajat
- tan  = tan (k.180o + )
atau
*) Dalam radian
- tan A = tan (k + A)
dengan k bilangan bulat
Penyelesaian Persamaan tangen
*) Dalam derajat
- tan x = tan 
x =  + k.180o
atau
*) Dalam radian
- tan x = tan A
x = A + k
dengan k bilangan bulat.
Contoh 16 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
Tan 3x = 1 untuk 0o  x  180o !
Penyeleaian :
tan 3x = 1
Tan 3x = tan 45o
3x = 45o + k.180o
x = 15o + k.60o
k = 0  x = 15o
k = 2  x = 135o
o
k = 1  x = 75
k = 3  x = 195o ( tm)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 15o, 75o, 135o}
Ket : tm = tidak memenuhi
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
18
Trigonometri
DAFTAR PUSTAKA
1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 1981
2. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 1980
3. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc,
Erlangga, 1991
4. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 1993
5. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 1988
6. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta,
1952
7. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon
Group Bandung, 1991.
8. Trigonometri, CJ. Alders,
9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982
Oleh : Padiya,S.Pd.
E-mail : [email protected]
19