SALINLAH BACAAN BERIKUT INI KE DALAM KE DALAM BAHASA

SALINLAH BACAAN BERIKUT INI KE DALAM KE DALAM BAHASA
MICROSIFT WORD.
Salah satu pokok bahasan mata kuliah yang ada di program srudi matematika adalah
persamaan diferensial. Apakah diferensial dan bagaiamana penjabarannya. Bacalah dengan
seksama bacaan dibawah ini.
Persamaan Diferensial (PD)
Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada pembahasan
sebelumnya, terlihat bahwa jika y  f (x ) maka dihasilkan turunan fungsi dalam bentuk
dy
 f ' ( x). Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu persamaan yang
dx
memuat turunan (derevative).
Misal y  sin 2 2 x diperoleh
dy
 4 sin 2 x cos 2 x atau ( 4 sin 2 x cos 2 x ) dx  dy  0. Demikian
dx
halnya jika f ( x, y )  0 maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk
diferensial, yaitu dy dan dx. Misal y  cos xy  0 diperoleh d ( y )  d (cos xy )  0 atau
 xdy
ydx 
dy  sin xy 

 0.
 2 xy 2 xy 




Berdasarkan contoh-contoh tersebut, tampak bahwa turunan suatu fungsi membentuk
persamaan yang memuat derevative atau diferensial.
Selanjutnya perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini.
1. 2 x dx  3 dy  0
2.
dy
 3  2x
dx
3.
dy
 2 xy  4 x
dx
4.
d 2 y dy

 2y  0
dx 2 dx
5.
d3y d2y

 4y  0
dx 3 dx 2
6.
 y ' '2  ( y ' ) 3  3 y  x 2
7. y ' '   y '3  y '
8.
z
z
zx
0
x
y
2z 2z
9.
 2  x2  y
2
x
y
10. x
z
z
y
z
x
y
Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, juga memuat tanda turunan (derevative)
dy
atau memuat tanda diferensial dy atau dy. Sehingga persamaan yang memuat turunan
dx
atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.
Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit satu
turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM DIKETAHUI.
Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa,
misalnya
dy
maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial biasa, sebaliknya jika
dx
turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya
z
z
dan
, maka persamaannya
y
x
dinamakan persamaan diferensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan
persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan
persamaan diferensial parsial.
Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial
dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan diferensial
ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat
persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan
diferensial yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.
1. 2 xdx  3dy  0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan
tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan berpangkat satu.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.
2.
dy
 3  2 x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
dx
3.
dy
 2 xy  4 x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
dx
4.
d 2 y dy

 2 y  0 , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
dx 2 dx
5.
d3y
dx 3
d2y
dy
- 4 + 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)
2
dx
dx
6. ( y" ) 2  ( y ' ) 3  3 y  x 2 , persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)
7. y ' '  ( y ' ) 3  y ' , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
8.
z
z
zx
 0 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
x
y
9.
2z 2z
 2  x 2  y , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
2
x
y
10. x
z
z
y
 z , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
x
y
Untuk dapat menyelesaikan beberapa persamaan diferensial, maka harus dipahami beberapa
rumus pokok integral, misalnya:
u 2  a 2 du 
u
a2
u2  a2 
ln u  u 2  a 2  c, a  real
2
2
1)

2)
 sin au cos bu du  
3)
 a
du
2
 u2

n
du 
1
a2
cos( a  b)u cos( a  b)u

 c, jika a 2  b 2
2(a  b)
2(a  b)

u

 ( 2 n  2) a 2  u 2



n 1

2n  3
du

2
2n  2 a  u 2
u
tan 2    3  2 2
sin u
1
 2
4) 
du 
2 ln
c
2
4
1  sin u
2u 
tan    3  2 2
 2


 jika n  1
n 1 

