negasi kalimat dan kalimat majemuk

NEGASI KALIMAT
DAN
KALIMAT MAJEMUK
(Minggu ke-3)
1
1
Kata Penghubung Kalimat
1. Konjungsi:
menggunakan kata penghubung: ’dan’
2. Disjungsi:
menggunakan kata penghubung: ’atau’
3. Implikasi:
menggunakan kata penghubung: ’jika’ · · ·, ’maka’ · · ·
4. Biimplikasi:
menggunakan kata penghubung: ’jika · · · dan hanya jika · · ·’.
2
1.1
Negasi
Penyangkalan/ingkaran (negasi) kalimat ”A”, dengan simbol ’Ā’ adalah kalimat ”tidak benar A”, ”tidaklah A” atau ”non A”.
Contoh:
1. Tidak benar Amir mahasiswa tertinggi di angkatannya.
Negasi dari: ”Amir mahasiswa tertinggi di angkatannya”.
2. Dia bukan mahasiswi terpandai.
Negasi dari: ”Dia mahasiswi terpandai”.
3. Tidak ada bilangan nyata yang kuadratnya negatif”.
Negasi dari: ”Ada bilangan nyata yang kuadratnya negatif”.
3
Tabel Nilai kebenaran Ā
A Ā
T
F
T : Benar;
F
T
F : Salah
Contoh:
A : Indonesia negara kepulauan.
Kalimat A benar (T), jadi ingkaran A yaitu Ā:
’Tidak benar Amir mahasiswa tertinggi di angkatannya’, atau
’Amir bukan mahasiswa tertinggi di angkatannya’,
bernilai salah (F)
4
1.2
Konjungsi
Definisi 1.1 Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat tunggal yang dirangkai dengan kata penghubung ’dan’ disebut konjungsi.
Notasi ’dan’ :
’∧’ atau ’&’.
Contoh:
Toni mahasiswa pandai dan kaya.
Kalimat tunggal:
A := Toni mahasiswa pandai; B := Toni orang kaya.
’A ∧ B’ atau ’A&B’.
Dalam logika kalimat dapat ditulis:
5
Tabel Nilai kebenaran ”A ∧ B”
A B A∧B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
Contoh:
1. Presiden pertama Indonesia adalah Ir. Soekarno dan dilantik
tanggal 10 Nopember 1945
2. Indonesia negara kepulauan dan pulau Jawa merupakan pulau
terpadat di Indonesia
√
3. Empat merupakan bilangan prima, sedangkan 7 < 3
4. Sumbu X tegak lurus garis y = −2x + 3 dan sumbu Y sejajar
garis y = 2x − 5
6
F
T
F
F
1.3
Disjungsi
Definisi 1.2 Kalimat yang terdiri dari beberapa kalimat tunggal yang
dirangkai dengan kata penghubung ’atau’ disebut disjungsi (inklusif ).
Notasi ’atau’ : ’∨’.
Contoh:
13 merupakan bilangan prima atau 7 habis dibagi 2.
Kalimat tunggal:
A := 13 merupakan bilangan prima;
Ditulis:
B := 7 habis dibagi 2.
’A ∨ B’.
7
Tabel Nilai kebenaran ”A ∨ B”
A B A∨B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
Contoh:
1. Panglima TNI pertama Indonesia adalah Jendral Soedirman atau
Pattimura berasal dari Sumatera
2. Indonesia negara kepulauan atau pulau Jawa merupakan pulau
terpadat di Indonesia
√
3. Empat merupakan bilangan prima atau 7 < 3
4. Sumbu X tegak lurus garis y = −2x + 3 atau sumbu Y sejajar
garis y = 2x − 5
8
T
T
T
F
Disjungsi(Eksklusif )
”A atau B” : ”A∨B”
Tabel Kebenaran:
A B A∨B
T
T
F
F
⊗
T
F
T
F
F
T
T
F
Contoh:
x lebih besar daripada 1 atau x − 1 ≤ 0,
9
⊗
1.4
Implikasi
Definisi 1.3 Implikasi (kondisional) adalah kalimat yang terdiri dari
anteseden dan konsekuen yang dirangkai dengan,
1. ”Jika · · ·, maka · · ·”.
2. ”Bila · · ·, maka · · ·”.
P ⇒Q
P : Anteseden; Q : Konsekuen
Dibaca : ”Jika P , maka Q”
Contoh:
1. Jika kamu lolos UMPTN, maka kamu akan dibelikan motor.
2. Jika hari hujan, maka suhu udara akan turun.
3. Bila badannya panas, maka vaksin itu sedang bekerja.
10
Perbedaan Implikasi
1. Implikasi Sehari-hari:
Ada hubungan sebab akibat (janji, syarat, tanda)
2. Implikasi Material:
Hubungan sebab akibat tidak diperhatikan
Tabel Kebenaran ”A ⇒ B”
A B A⇒B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
11
Contoh:
SP : Himpunan semua bilangan real
Jika a = b, maka ac = bc.
a = b =⇒ ac = bc
1.1 Substitusi a = −1, b = 2 − 3 dan c = 4
Anteseden: T Konsekuen: T
1.2 Substitusi a = −1, b = 2 dan c = 0:
Anteseden : F Konsekuen: T
1.3 Substitusi a = −1, b = 2 dan c = 4:
Anteseden : F Konsekuen: F
12
Cara Membaca Implikasi ”A ⇒ B”
1. Jika A, maka B, atau Bila A, maka B, atau B bila A,
2. A hanya jika B, atau A hanya bila B,
3. A merupakan syarat cukup untuk B,
4. B merupakan syarat perlu untuk A.
Contoh:
1. Jika −1 < x < 1, maka x2 > 1.
2. Syarat cukup agar dua buah sudut pada segitiga ABC mempunyai besar
yang sama adalah ABC sama sisi.
3. Syarat perlu agar segitiga ABC sama sisi adalah dua buah sudutnya
sama besar.
13
Teorema 1.1 Nilai kebenaran ”A ⇒ B” identik dengan ”Ā ∨ B”
A Ā B A ⇒ B
T
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
Ā ∨ B
T
F
T
T
Contoh:
Jika Dian lulus ujian, maka dia akan diajak piknik ke danau Toba
↕
Dian tidak lulus ujian atau Dian akan diajak piknik ke danau Toba
14
Definisi 1.4 Kalimat yang terdiri dari dua kalimat tunggal ”A” dan ”B”,
yang ditulis dengan ”A ⇔ B” disebut biimplikasi atau bikondisional.
Dibaca:
1. ”A jika dan hanya jika B”
2. ”A menjadi syarat perlu dan cukup terjadinya B”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
A B A⇔B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
15
Teorema 1.2 Nilai kebenaran ”A ⇔ B” sama dengan kalimat
”(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)”.
Bukti:
A B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
16
Contoh:
1. |x| ≤ 1 jika dan hanya jika x2 ≤ 1.
2. Sisi-sisi segitiga ABC sama panjang bila dan hanya bila sudut-sudutnya
sama besar.
3. Dalam bilangan real, |x − 1| < 2 merupakan syarat perlu dan cukup
−1 < x < 3.
Latihan:
Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut ini:
1. |x| > a ⇐⇒ (x < −a ∨ a < x).
2. Garis g ⊥ h jika dan hanya g ̸ ∥ h.
3. x2 − x = y 2 − y ⇐⇒ (x = y ∨ x = 1 − y).
17
2
Ingkaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
1. Ingkaran konjungsi ”A ∧ B” adalah ”A ∧ B”:
Tabel Kebenaran:
A B A∧B A∧B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
Ā ∨ B̄ Ā B̄
F
T
T
T
Kesimpulan:
Nilai kebenaran ”A ∧ B” identik dengan Ā ∨ B̄.
18
F
F
T
T
F
T
F
T
2. Ingkaran disjungsi ”A ∨ B” adalah ”A ∨ B”:
Tabel Kebenaran:
A B A∨B A∨B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
T
Ā ∧ B̄ Ā B̄
F
F
F
T
Kesimpulan:
Nilai kebenaran ”A ∨ B” identik dengan Ā ∧ B̄.
19
F
F
T
T
F
T
F
T
3. Ingkaran implikasi ”A ⇒ B” adalah ”A ⇒ B”:
Tabel Kebenaran:
A B A⇒B A⇒B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
A ∧ B̄ B̄
F
T
F
F
Kesimpulan:
Nilai kebenaran ”A ⇒ B” identik dengan A ∧ B̄.
20
F
T
F
T
4. Ingkaran biimplikasi ”A ⇔ B” adalah ”A ⇔ B”:
Tabel Kebenaran:
A B Ā B̄ A ⇔ B A ⇔ B
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
T
F
(A ∧ B̄) ∨ (Ā ∧ B)
F
T
T
F
Kesimpulan:
Nilai kebenaran ”A ⇔ B” identik dengan ”(A ∧ B̄) ∨ (Ā ∧ B)”.
21
3
Konvers, invers dan kontraposisi
Dari implikasi ”A ⇒ B” dapat dibentuk kalimat:
1. B ⇒ A yang disebut konvers dari ”A ⇒ B”
2. Ā ⇒ B̄ yang disebut invers dari ”A ⇒ B”
3. B̄ ⇒ Ā yang disebut kontraposisi dari ”A ⇒ B”
Teorema 3.1 Nilai kebenaran kontraposisi sama dengan nilai kebenaran
implikasi awalnya.
A B A ⇒ B B̄ ⇒ Ā B̄ Ā
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
22
F
T
F
T
F
F
T
T
Contoh:
1. Implikasi:
Jika hari hujan, maka jalanan basah
Kontraposisi:
1.1 Jika tidak benar jalanan basah, maka tidak benar hari hujan
1.2 Jika jalanan tidak basah, maka hari tidak hujan.
2. Implikasi:
|x| ≤ 1 ⇒ x2 ≤ 1
Kontraposisi: x2 ≤
/ 1 ⇒ |x| ≤
/ 1
dengan SP himpunan semua bilangan real
23
Kesimpulan:
Nilai kebenaran dari konvers dan invers tidak bisa ditentukan dari nilai kebenaran implikasi awalnya.
Contoh
1. Implikasi: Jika besok hari Minggu, maka kemarin hari Jum’at.
1.1 Konvers: Jika kemarin hari Jum’at, maka besok hari Minggu
1.2 Invers: Jika besok bukan hari Minggu, maka kemarin bukan hari
Jum’at.
2. Diberikan semesta pembicaraannya R. Implikasi: x ≥ 1 ⇒ x2 ≥ 1
2.1 Konvers: x2 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1
2.2 Invers: x ≥
̸ 1 ⇒ x2 ̸≥ 1.
24
Latihan
Tentukan konvers, invers, kontraposisi, dan nilai kebenaran masing-masing
hasil dari implikasi berikut ini:
1. |x| > a ⇒ (x < −a ∨ a < x).
2. Jika garis g ⊥ h, maka g ̸ ∥ h.
3. x2 − x = y 2 − y ⇒ (x = y ∨ x = 1 − y).
4. Jika sistem persamaan linear 2x + 3y − z = 5, kx − 2y + z = 10, dan
x + 3y + 2z = n mempunyai solusi tunggal, maka k ̸= n.
25