MATEMATIKA DISKRIT Chapter 1 Himpunan - E

Mohammad Fal Sadikin
`
`
Purcell, Varberg, Rigdon, “Kalkulus”, Erlangga,
2004.
Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis
dan Ekonomi”, Penerbit BPFE Yogyakarta,
1996.
`
`
Himpunan : kumpulan objek yang
didefinisikan dengan jelas
Contoh:
◦
◦
◦
◦
◦
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Mahasiswa Pencinta Alam
Tumbuhan Tropis
Asdos
Bilangan Bulat
Bilangan Prima
`
`
P ∈ A berarti bahwa obyek p adalah
merupakan anggota (atau unsur, atau
elemen) dari himpunan A.
Jika setiap anggota dari himpunan A juga
merupakan anggota dari himpuan lain B,
dengan perkataan lain P ∈ A juga P ∈ B, maka
A disebut himpunan bagian (subset) dari B.
◦ Notasi : A ⊂ B berarti bahwa A merupakan
himpunan bagian dari B
`
`
`
`
`
A = B berarti bahwa himpunan A sama
dengan himpunan B, yakni jika dan hanya
A ⊂ B serta B ⊂ A
Pernyataan ingkaran atau bantahan terhadap
p ∈ A, A ⊂ B dan A = B masing-masing
dituliskan dengan notasi P ∉ A, A ⊄ B dan A
≠ B, dengan demikian,notasi :
P ∉ A artinya obyek P bukan merupakan
anggota dari himpunan A
A ⊄ B artinya A bukan merupakan himpunan
bagian dari B
A ≠ B artinya himpunan A tidak sama dengan
himpunan B.
◦ Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara
kurung kurawal buka dan tutup (tabular form)
x A = {1,2,3,4,5}
◦ Dengan menyatakan sifat anggotanya
x A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6
◦ Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan
x A = {x|x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6}
x A = {x; 0 < x < 6}
x A = {x; 1 ≤ x ≤ 5}
Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi
pembentuk himpunan
1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang
atau sama dengan 15
2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan
-5 tetapi kurang dari 10
3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20
Jawaban :
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}
2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }
3. D = { x | x < 20 , x ∈ L }
Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya
Jawaban:
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}
= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }
2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B }
= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
3. D = { x | x < 20 , x ∈ P }
= { 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19 }
Diagram Venn
Langkah-langkah menggambar diagram venn
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi
anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutanya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah
anggotanya apabila belum lengkap
Contoh:
Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }
Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas
Jawab:
S
7
0
6 adalah anggota yg dimiliki
oleh himpunan A,B,C
A
9
3
12
6
C
13 11
8
1
5
2 4
10
3 dan 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan C
14
B
2,4, 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan B
`
Himpunan kosong
◦ Himpunan yang tidak memiliki anggota,
dilambangkan dengan { } atau Φ
`
`
Himpunan berhingga dan tak berhingga
Kesamaan himpunan
◦ Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh
elemen himpunan A ada dalam himpunan B dan
seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A
2A atau P(A)
2A = {B | B ⊆ A}
himpunan
“power set dari A”
(mengandung semua
bagian dari A)
Contoh:
(1) A = {x, y, z}
2A = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y,
z}}
(2) A = ∅
2A = {∅}
Catatan : |A| = 0, |2A| = 1
Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota
yang berlainan, n∈N, kita menyebut S sebagai
himpunan berhingga dengan kardinalitas n.
Contoh:
A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3
B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6}
|B| = 4
C=Φ
|C| = 0
D = { x ε N | x ≤ 7000 }
|D| = 7001
E = { x ε N | x ≥ 7000 }
E tak berhingga!
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan
tersebut sama.
• Notasi : A ~ B ↔ ⏐A⏐ = ⏐B⏐
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka
A ~ B sebab ⏐A⏐ = ⏐B⏐ = 4
`
`
Gabungan (union) dari himpunan A dan
himpunan B, adalah himpunan yang
beranggotakan obyek-obyek milik A atau
obyek-obyek milik B
A U B = {x, x ∈ A atau x ∈ B}
`
`
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B,
adalah himpunan yang beranggotakan baik
obyek milik A maupun obyek milik B.
A ∩ B = {x, x ∈ A dan x ∈ B}
`
Jika A ∩ B = ∅, maka A ∩ B disebut disjoint
`
`
Selisih dari himpunan A dan himpunan B,
dituliskan dengan notasi A – B, adalah
himpunan yang beranggotakan obyek-obyek
milik A dan bukan obyek milik B
A – B = AB = {x, x ∈ A tetapi x ∉ B}
`
`
Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, dituliskan
dengan notasi A adalah himpunan yang beranggotakan
obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh A; dengan perkataan
lain, A adalah sama dengan selisih antara himpunan universal
U dan himpunan A
A = {x; x ∈ U tetapi x ∉ A} = U – A
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
• Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }
32
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai
UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian
di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q)
33
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A ⊕ B = B ⊕ A
(hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C )
(hukum asosiatif)
34