persamaan diferensial orde n non homogen

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE N
Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier
Orde n :
an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = q(x)
Bentuk Umum PD Linier Orde Kedua :
a2y” + a1y’ + a0y = q(x)
dimana a2, a1, a0 adalah konstanta.
Jika q(x) = 0 maka dikatakan PD orde kedua
homogen, dan bila q(x) ≠ 0 maka dikatakan PD
linier orde kedua tidak homogen.
Persamaan Diferensial Linier Orde Kedua
Homogen
Bentuk Umum dari PD ini adalah :
a2y” + a1y’ +a0y = 0
dimana a2, a1, a0 adalah konstanta.
Penyelesaian :
Untuk memudahkan penyelesaian PD linier
orde kedua dapat digunakan operator D,
Yaitu : D =
𝑑
𝑑𝑥
sehingga Dy =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Dengan demikian PD berubah menjadi :
(a2D2 + a1D + a0)y = 0
Jika difaktorkan maka diperoleh :
(D – α) (D – β) = 0, dimana α dan β konstanta
Penyelesaian PD adalah :
y = k0eαx + keβx
Tetapi, cara penyelesaian di atas hanya
terbatas untuk Diskriminan > 0 atau akar-akar
real dan berlainan.
Cara lain untuk memperoleh penyelesaian
umum PD homogen orde dua dengan koefisian
konstanta adalah sbb :
Pandang persamaan yg berbentuk :
a0y” + a1y’ + a2y = 0
dengan a0, a1, a2 adalah konstanta sebarang.
Jika andaikan m adalah akar persamaan
karakteristiknya yaitu :
a0m2 + a1m + a2 = 0
maka
akar-akar
karakteristiknya
diselesaikan dengan rumus abc
persamaan kuadrat yaitu:
dapat
pada
m1,2 =
1
(−𝑎1
2𝑎0
± √𝑎12 − 4𝑎0 𝑎2 )
Karena a0, a1, a2 adalah bilangan real sehingga
akar-akar karakteristiknya mempunyai 3 (tiga)
kasus yakni :
1.Dua akar real yg berbeda.
2.Dua akar real yg sama.
3.Dua akar komplek konjugat.
Kasus 1 (Dua akar real yg berbeda) :
Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 > 0
Sehingga akar-akar kuadratnya adalah bil. real
Jadi penyelesaian umum PDnya :
y = c1em1x + c2em2x
dengan c1 dan c2 adalah konstanta yg sesuai.
Kasus 2 (Dua akar yg sama) :
Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 = 0
Sehingga akar-akar kuadratnya adalah
m1 = m 2 = −
1
𝑎
2𝑎0 1
Jadi, penyelesaian umum PDnya adalah :
y = (c1 + c2x) emx
dgn c1 dan c2 adalah konstanta yg sesuai dan m1
= m2 = m.
Kasus 3 (Dua akar komplek konjugat) :
Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 < 0
Sehingga
akar-akar
kuadratnya
kompleks konjugat yaitu :
m1,2 = −
1
𝑎
2𝑎0 1
± 𝑖𝜔
adalah
𝑎2 1 𝑎1 2
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜔 = √ − ( )
𝑎0 4 𝑎0
Dengan demikian diperoleh
umum dari PDnya adalah :
penyelesaian
1
𝑦=𝑒
−2𝑎 𝑎1 𝑥
0
(𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)
Dengan c1 dan c2 adalah konstanta.
Soal- soal Latihan :
Carilah penyelesaian umum dari PD berikut ini :
1.
2.
3.
4.
5.
y” + y’ - 2y = 0
y” – y’ - 6y = 0
y” -14y’ + 49y = 0
y” + 4y’ +4y = 0
y” – 2y’ + 10y = 0
Untuk PD Linier Orde n Homogen dengan
Koefisien-koefisien konstanta :
1. Andaikan m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠ … ≠ mn-1 ≠ mn.
Penyelesaian Umumnya :
y = c1em1x + c2em2x + c3em3x + … + cnemnx
2. Andaikan m1 = m2 = m3 = … = mn-1 = mn.
Penyelesaian Umumnya :
y = (c1 + c2x + c3x2 + c4x3 + … + cnxn-1) emx
3. Andaikan ada yg berbentuk komplek
konjugat, penyelesaian umumnya mirip
dgn PD linier Orde 2 homogen dgn
koefisien konstanta.
Soal-soal Latihan :
Carilah penyelesaian umum dari PD
berikut ini :
1. yIV – 7y” + 6y’ = 0
2.
3.
yIV + 2y”’ -3y” – 4y’ + 4y = 0
y(7) + 18y(5) + 81y’” = 0
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE N NON
HOMOGEN
(⏟a0 Dn + a1 Dn−1 + ⋯ + an−1 D + an ) y = f(x)
F(0)
Non homogen : f(x) ≠ 0
Untuk solusi umum PD dari persamaan non
homogen dari fungsi F(0).y adalah :
y = yh + yk
y adalah solusi persamaan non homogen
(f(x) ≠ 0)
yh adalah solusi persamaan homogen (f(x) = 0)
yk disebut fungsi
khusus/pelengkap/komplementer
Macam-macam bentuk PD non homogen :
(a) jika, f(x) = ekx
(b) f(x) = cos ax atau sin ax atau kombinasi
(c) f(x) = a1xp + a2xp-1 + … + an (polinom)