penyelesaian persamaan diferensial linear

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
1. Persamaan diferensial orde pertama
Persamaan diferensial linear
Dengan f(t) fungsi waktu, dan x(0) diketahui
Kalikan dengan y(t) pada kedua sisi persamaan :
Integralkan kedua sisi persamaan:
Untuk t = 0 , diperoleh y(0) = e0 = 1
Kita dapat mengintegralkan persamaan antara batas terendah (0) dan batas tertinggi (t)
Subtitusi y(t) pada persamaan di atas, diperoleh:
Soal:
Sebuah rangkaian RC seperti pada
gambar, hitung tegangan di kapasitor,
bila E = 100 Volt, dan v(0) =5 Volt
Penyelesaian :
Menggunakan hukum kirchoff tegangan :
Bagi kedua sisi persamaan dengan 0,2 diperoleh:
Penyelesaian persamaan diferensial linear:
Jadi nilai tegangan di kapasitor diperoleh:
1. Persamaan diferensial orde tinggi
Persamaan diferensial linear dengan koefisien kontan dan orde
ke-n dapat dituliskan dengan notasi operator :
Persamaan linear homogen dengan koefisoen akar –akar r :
Akar-akar polynomial sebanyak n, maka penyelesaiannya :
• untuk setiap akar riil yang berbeda, tetapkan fungsi ert .
• untuk setiap akar riil rangkap sebanyak p-rangkap, tetapkan fungsi-fungsi
ert ,tert , tp-1ert.
• untuk setiap pasangan akar kompleks yang berbeda a  jb, tetapkan
fungsi-fungsi eatcos bt, dan eatsin bt.
• untuk setiap pasangan akar kompleks rangkap a  jb, sebanyak prangkap, tetapkan fungsi-fungsi eatcos bt, eatsin bt, teatsin bt,…, tp--1eatcos
bt, tp--1eatsin bt
Soal:
1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut:
Penyelesaian:
Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh :
Nilai akar-akar persamaan diperoleh :
r1 = -2 dan r2 = -3 + j4, r3 = -3 –j4
Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :
1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut:
Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh :
r1 = -2 dan r2 = -2, r3 = -3
Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :
Integral Tertentu
Persamaan diferensial menggunakan notasi operator :
yp(t) = integral tertentu untuk fungsi u(t):
Jika input berupa forcing function :
Turunan dari fungsi ini diperoleh dengan hanya mengalikan dengan s
Maka integral tertentu untuk persamaan diferensial linear dinyatakan:
Sehingga :
Untuk masukan u(t) gelombang sinusoida, ketika nilai s berupa bilangan kompleks :
Re adalah bagian riil /nyata
Kita dapat mengganti fungsi sinus dengan eksponensial
Asst dengan s =j
Soal :
Tentukan y(t)
Penyelesaian :
Menggunakan operator p, diperoleh :
Pada persamaan sistem diketahui s = -3, maka ganti p dengan -3, diperoleh:
Sehingga diperoleh hasil keluaran :
Complete Solution
• Penyelesaian secara lengkap persamaan difer
ensial linear merupakan jumlah penyelesaian
fungsi komplementer (yc(t)) dan particular
integral (yp(t)) dengan memperhatikan kondisi
awal sistem.
Soal:
Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut:
Kondisi awal sistem
Tentukan penyelesaian lengkap dari persamaan di atas !
Penyelesaian:
Nilai akar-akar persamaan diperoleh :
r1 = -2 dan r2 = -3 + j4, r3 = -3 –j4
Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :
Sebelumnya telah diperoleh penyelesaian particular integral :
Sehingga penyelesaian y (t) :
Dengan memperhatikan kondisi-kondisi awal, diperoleh :
(Persamaan 1)
(Persamaan 2)
(Persamaan 3)
Subtitusi ketiga persamaan (1,2, dan 3), diperoleh :
Jadi penyelesaian akhir persamaan linear diferensial diperoleh :
Solusi persamaan diferensial linear
sistem waktu diskret
Persamaan sistem diskret dapat dinyatakan:
Secara sederhana dapat dituliskan menjadi:
Complementary solution :
• untuk setiap akar riil sederhana, tetapkan fungsi yki = rik .
• untuk setiap akar riil rangkap sebanyak m-rangkap, tetapkan barisan
bersuku m, = rik , irik. . ., i m-1rik
• untuk setiap pasangan akar kompleks a  jb, tetapkan barisan (a + jb)i dan
(a - jb)i barisan ini biasanya ditulis dalam bentuk polar i cosi dan i
sini, dengan  = (a2 + b2 )½ dan tan  = tan-1 (b/a)
• untuk setiap pasangan akar kompleks rangkap a  jb, sebanyak mrangkap, tetapkan barisan i cosi , i sini; ii cosi , ii sini ; . . . ; im1i cosi , im-1i sini
Examples:
Particular solution / Penyelesaian khusus