4. Hukum gauss - Afief Dias Pambudi

18 July 2017
1
Hukum Gauss
Garis
Gaya Listrik
Konsep fluks
Pengertian Hukum Gauss
Penggunaan Hukum Gauss
Medan oleh muatan titik
Medan oleh kawat panjang tak berhingga
Medan listrik oleh plat luas tak berhingga
Medan listrik oleh bola isolator dan konduktor
Medan listrik oleh silinder isolator dan konduktor
Muatan induksi
18 July 2017
2
SASARAN PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu menghitung besar medan
listrik menggunakan hukum Gauss
18 July 2017
3
Garis gaya listrik


Garis gaya listrik digunakan untuk menggambarkan
medan listrik
Arah medan listrik menyinggung garis gaya
EP
P
Q
EQ

Garis gaya rapat  medan listrik kuat
18 July 2017
4
Garis gaya oleh sebuah muatan titik
+
18 July 2017
-
5
Garis gaya akibat dipol

Muatan positip dan negatip yang berjarak
sangat dekat dan merupakan satu kesatuan
+
18 July 2017
-
6
Fluks Listrik


Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatu
permukaan
Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan,
jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah
d  EdA

Total garis gaya yang
menembus permukaan A
dA
   d   EdA
A
A
 E  dA  EA
A
E
A
18 July 2017
7
Fluks untuk sembarang permukaan

Untuk sembarang permukaan dA dengan arah
tidak tegak lurus medan
 
d  E  dA
dA
Fluks total untuk
permukaan S
E
S
   d
S
 
  E  dA
S
18 July 2017
8
Contoh soal


Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .

E  2iˆ  4 ˆj Tentukan fluks yang menembus permukaan


a. S  10kˆ
b. S  10kˆ


c. S  10 ˆj
d. S  10 ˆj


d. S  10iˆ
e. S  10iˆ
Solusi
Karena medan homogen di seluruh permukaan yang
ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk


 
 E  dA  E  S
S
18 July 2017
9
Solusi contoh soal
 
  E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10kˆ  0
a.
 
b.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10kˆ  0
 
c.   E  A  (2iˆ  4 ˆj ) 10 ˆj  40
 
d.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10 ˆj  40
 
e.   E  A  (2iˆ  4 ˆj ) 10iˆ  20
 
f.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10iˆ  20
18 July 2017
10
Fluks,muatan Q,permukaan terbuka S
Fluks yang keluar dari
permukaan S

   E  dSnˆ1
E
n̂1
S
dS
S
18 July 2017
11
Permukaan tertutup, muatan Q diluar
n̂3
+
 n̂2
 n̂1
n̂1 dA
n̂2
 n̂3
18 July 2017
12
Perhitungan fluks Q diluar permukaan


Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik
Fluks total pada kubus mempunyai nilai:
 
   E  dA
S


  E  dAnˆ1   E  dA(nˆ1 ) 
S
S


 E  dAnˆ2   E  dA(nˆ2 ) 
S
S
S
S


 E  dAnˆ3   E  dA(nˆ3 )
 1  1  0  0  0  0
0
18 July 2017
13
Permukaan tertutup, Q di dalam
n̂3
 n̂2
 n̂1
n̂1 dA
n̂2
 n̂3
18 July 2017
14
Perhitungan fluks Q di dalam


Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik
Fluks total pada kubus mempunyai nilai:
 
   E  dA
S


  E  dAnˆ1   E  dA(nˆ1 ) 
S
S


 E  dAnˆ2   E  dA(nˆ2 ) 
S
S
S
S


 E  dAnˆ3   E  dA(nˆ3 )
 1  1   2   2   3   3
0
18 July 2017
15
Hukum Gauss


Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari
suatu permukaan tertutup sebanding muatan yang
dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut
 q

 E  dS 
0
Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss
dengan mudah



Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan
tersebut homogen
Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut
Tentukan arah medan terhadap arah normal
permukaan.
18 July 2017
16
Permukaan Gauss Berbentuk Bola

Untuk muatan titik dan bola
E dA
18 July 2017
Medan dipermukaan
bola homogen.
Untuk muatan positip:
arah medan radial,
searah dengan normal
permukaan bola
Untuk muatan negatip
arah medan berlawana
dengan arah normal
permukaan
17
Permukaan Gauss Berbentuk Silinder


Kawat dan silinder panjang tak berhingga
dA E
dA E
Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder.
Arah medan radial searah dengan normal permukaaan
selimut silinder untuk muatan positip dan berlawanan
untuk muatan negatip
18 July 2017
18
Permukaan Gauss Berbentuk Silinder/Balok

Plat tipis luas tak berhingga
E
Medan homogen
pada tutup balok,
arah sama dengan
normal tutup balok
E
18 July 2017
19
Medan akibat sebuah muatan titik
E
dA
  q
 E  dA 
0
q
 EdA  
E  dA 
E 4r 
2
0
q
0
q
0
q
E
4r 2 0
18 July 2017
20
Konduktor dan Non-Konduktor (Isolator)


Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak
Jika diberi muatan tambahan dari luar  muncul
medan listrik  muatan bergerak menghasilkan
arus internal  terjadi distribusi ulang muatan
tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan
elektrostatis  medan listrik di dalam konduktor
menjadi nol  menurut hukum Gauss berarti
muatan di dalam konduktor nol, muatan
tambahan dari luar tersebar di permukaan
konduktor
18 July 2017
21




Waktu yang diperlukan untuk mencapai
keseimbangan elektrostatis pada koduktor sangat
cepat
Medan listrik di dalam konduktor boleh dianggap
selalu nol dan muatan dari luar selalu ada di
permukaan konduktor
Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak
Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi
merata dalam isolator
18 July 2017
22
Bola konduktor pejal positip

Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari
R dan muatan Q
E
dA
•Muatan hanya tersebar
di permukaan bola saja
•Medan listrik di dalam
bola (r<R) nol
18 July 2017
23
Medan listrik di luar bola konduktor


Untuk r>R, total muatan yang dilingkupi
permukaan Gauss adalah Q
Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor
pejal:
  q
Q
 E  dS   E  dS 
0
E 4r 
2

Q
0
E
0
Q
40 r
2
Dengan r>R
18 July 2017
24
Bola isolator pejal


Isolator: muatan tersebar merata di seluruh
volum isolator
Di dalam bola
  q
 E  dS 
0
r

r3
E  dS 
Q
3
0R
R
E 4r 
r3
2
q
18 July 2017
3
4

r
3
3
4

R
3
Q
r3
R
3
Q
E
0R
r
4 0 R
3
3
Q
Q
25
Bola isolator pejal (2)

Medan di luar
  Q
 E  dS 
0
E  dS 
r
R
Q
0
E 4r 
2
q=Q
18 July 2017
E
Q
0
Q
40 r
2
26
Medan listrik pada bola isolator berongga
r 3  43 R13
q
Q
3
3
4
R2  3 R1
4
3
4
3
 q

 E  dS 
0
R2
R1
r
r 3  43 R13
1
E  dS 
Q
3
3
4
R2  3 R1  0
4
3
4
3
r 3  R13
Q
E 3
R2  R13 40 r 2
18 July 2017
27
Bola bermuatan negatip

Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip
hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola
dA
E
  Q
 E  dS 
0
 EdS cos180 
E 4r 
2
E
18 July 2017
Q
0
Q
0
Q
40 r 2
28
Dua bola, jenis muatan beda

Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di
dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor
berjari-jari b dan bermuatan –3Q.
b
18 July 2017
a
Medan listrik untuk daerah r<a
ditentukan dengan cara
yang sama dengan contoh
mencari medan pada bola
pejal
29
Medan untuk r>a
•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola dengan jarijari r>a
•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:
q=2Q+(-3Q)=-Q
•Medan akibat muatan -Q
  q
Q
 E  dS    EdS cos180 
0
E 4r 
2
18 July 2017
Q
0
E
0
Q
40 r 2
30
Medan listrik akibat kawat lurus



Permukaan Gauss berbentuk silinder
Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar dari
pusat silinder
Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk
menuju pusat silinder
E
dA
18 July 2017
31
Medan akibat kawat tak berhingga
Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder








 E  dS   tutup E  dS   selubung E  dS   tutup E  dS
  tutup EdS cos 90   selubung EdS cos 0   tutup EdS cos 90
 E 2rl
Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang
dilingkupi oleh silinder:
Q
q  l  l
L
18 July 2017
32
Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang

Penentuan medan listrik
  q
 E  dS 
0
Q
E 2rl 
l
0L
E
Q
20 rL


20 r
18 July 2017
33
Contoh soal untuk kawat panjang (1)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan =10 mC/m seperti pada gambar.
A
B

Solusi :

10.103 0,1 0,025
N/C
E



2r 2 (0,2) 4

18 July 2017
34
Contoh soal untuk kawat panjang (2)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan =-10 mC/m seperti pada gambar.
A
B

Solusi :

10.103 0,1 0,025 N/C
E



2r 2 (0,2) 4

18 July 2017
35
Medan listrik karena dua kawat sejajar

Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan
masing-masing dengan rapat muatan  dan -2 . Jarak
kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang
berjarak b dari kawat -2Q.

-2



Etotal  E2  E
E-2
a
18 July 2017
b
E
P
Etotal  E 2   E
2
2


20 (b) 20 (a  b)
36
Medan listrik akibat silinder




Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,
panjangnya L, dan bermuatan Q.
Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan jarijari r dan panjang L seperti kawat panjang tak
berhingga
Untuk muatan positip, medan listrik berarah radial
meninggalkan sumbu pusat silinder
Untuk muatan negatip, medan listrik berarah
radial menuju sumbu pusat silinder
18 July 2017
37
Permukaan Gauss pada silinder

Muatan positip
  q
 E  dA 
0
q
 EdA cos 0  
dA
18 July 2017
E
E  dA 
0
q
0
38
Permukaan Gauss pada silinder

Muatan negatip
  q
 E  dA 
0
q
 EdA cos180  
E
dA
18 July 2017
E  dA 
0
q
0
39
Medan listrik pada silinder konduktor pejal

Di dalam konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena
pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan
konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di
dalam konduktor E=0
18 July 2017
40
Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

Di luar konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
qQ
18 July 2017
41
Medan akibat silinder konduktor

Medan listrik di luar silinder konduktor
  q
 E  dA 
0
E  dA 
E 2rL 
E
18 July 2017
Q
0
Q
0
Q
20 Lr
42
Medan listrik pada silinder isolator pejal

Di dalam isolator

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
r 2 L
r2
q 2 Q 2Q
R L
R
18 July 2017
43
Silinder isolator pejal

Medan listrik di dalam isolator (r<R)
  q
 E  dA 
0
r2
E  dA 
Q
2
0R
r2
E 2rL 
Q
2
0R
r
E
Q
2
20 R L
18 July 2017
44
Silinder isolator pejal (2)

Medan di luar silinder (r>R)
  q
 E  dA 
0
E  dA 
E 2rL 
E
18 July 2017
Q
0
Q
0
Q
20 Lr
45
Silinder Isolator Berongga

Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q,
dan panjang silinder L

Untuk r<a, E=0, karena q=0
18 July 2017
46
Silinder isolator berongga (2)

Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan
Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:
Q
E
20 Lr

Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk
silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L

Muatan yang dilingkupi
2
2
Q
(
r

a
)
2
2
q   silinderVGauss  2
r L  a L  2 2 Q
2
b L  a L
(b  a )
18 July 2017
47
Bola isolator berongga
Medan listrik untuk a<r<b
  q
 E  dA 
0
(r 2  a 2 )Q
E  dA 
 0 (b 2  a 2 )
(r 2  a 2 )Q
E 2rL 
 0 (b 2  a 2 )
(r 2  a 2 )Q
E
20 (b 2  a 2 ) Lr
18 July 2017
48
Dua silinder dengan muatan berbeda


Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan
bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga
yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d, panjangnya c,
dan bermuatan –Q.
Di dalam isolator (r<a)
r 2c
r2
q  2 3Q  2 3Q
a c
a
 (r 2 / a 2 )3Q

3Qr 2
3Qr
 E  dS   0  E 2rc   0 a 2  E  2a 2c 0
18 July 2017
49
Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)
  3Q
3Q
 E  dS   E 2rc   E 
0
0
3Q
2rc 0
Di dalam konduktor (b<r<d): E=0
Di luar kondukto (r>d)
  2Q
2Q
 E  dS   E 2rc   E 
0
18 July 2017
0
2Q
2rc 0
50
Medan listrik Akibat Plat Tipis Positip

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas 
E
A
Q
q  S  S
A
S
E
18 July 2017
51
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)








 E  dS   tutup E  dS   se lubung E  dS   tutup E  dS
 ES  0  ES
 2 ES
  q
 E  dA 
0
S
E 2S 
0

E
2 0
18 July 2017
52
Medan listrik Akibat Plat Tipis Negatip

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -
E
A
Q
q
S  S
A
S
E
18 July 2017
53
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)
 
 
 
 
 E  dS   tutup E  dS   selubung E  dS   tutup E  dS
  ES  0  ES
 2 ES
  q
 E  dA 
0
 S
E ( 2 S ) 
0

E
2 0
18 July 2017
54
Medan listrik akibat dua plat tipis

Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing
mempunyai rapat muatan  dan - . Medan listrik di
sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di
bawah ini

-
E1
E  E 

2 0
E2
E3

E1  E (iˆ)  E (i )  0


ˆ
E2  E (i )  E (i ) 
0

E3  E (iˆ)  E (i )  0
18 July 2017
55
Medan akibat 3 plat tipis

Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan , -, dan
2. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara berikut

x=2
-
2
x=4
x=7




Etotal  E  E  E2
18 July 2017
56
Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)

E ( x  2)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)
 ˆ  ˆ 2 ˆ

i
i
i
2 0
2 0
2 0
 ˆ

i
2 0

E (4  x  7)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)
 ˆ  ˆ 2 ˆ

i
i
i
2 0
2 0
2 0
2 ˆ

i
2 0
18 July 2017

E (2  x  4)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)

 ˆ  ˆ 2 ˆ
i
i
i
2 0
2 0
2 0
4 ˆ

i
2 0

E ( x  7)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)

 ˆ  ˆ 2 ˆ
i
i
i
2 0
2 0
2 0
2 ˆ

i
2 0
57
Muatan induksi

Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik
eksternal
-´
´

+
E
+
E’
+
+
+
-
E
logam netral

Di dalam logam tipis: E+E´=0

'
i
i
0
2 0
0
18 July 2017
 '

2
58
Logam Ditanahkan

Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik eksternal

E
-´
E
´
+
+
E’
+
+
+
logam netral
Medan di dalam logam tetap nol, tapi komposisi muatan
jadi berubah. Diperoleh ’=
18 July 2017
59


Di dalam logam (daerah 3) medan listrik total nol
Karena ditanahkan, daerah 4 medan listriknya juga nol

 ´
E3  E  E  0
 '  
18 July 2017
60