Materi Perkuliahan minggu ke-4

Hukum Gauss
1.
Gunakan hukum Gauss untuk menghitung medan listrik pada bidang luas
sekali yang membawa muatan permukaan seragam, !
A
Solusi
Pertama gambarkan permukaan Gauss yang simetri berbentuk kotak yang
berada pada dua sisi bidang muatan. Medan listrik yang menembus
permukaan Gauss pada sisi atas mengarah ke atas, sedangkan pada sisi bawah
mengarah ke bawah. Medan listrik yang menembus seluruh permukaan Gauss
pada kedua sisi tersebut adalah sama besar, hanya berbeda arah. Luas
permukaan Gauss yang ditembus medan listrik anggap seluas A, maka luas
total permukaan yang ditembus oleh medan adalah 2A, yaitu seluas A pada
sisi atas, dan seluas A pada sisi bawah. Adapun sisi kanan kiri dan depan
belakang dari permukaan Gauss yang kita buat tidak dilewati oleh medan
listrik.
Hukum Gauss menyatakan
∙
=
dan
searah, sehingga vektor satuannya sama
∙
∙
=
=
=
adalah muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss, yaitu rapat
muatan
(A)
dikali luas bidang muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss
2
=
=
=
2
2
dengan
2.
adalah vektor satuan yang arahnya tegak lurus terhadap permukaan
Tentukan medan listrik pada titik P yang berjarak z dari kawat panjang sekali
yang bermuatan seragam, dengan rapat muatan .
Solusi
Pertama kita buat permukaan gauss, yaitu berupa silinder dengan jari-jari z
dan tinggi l. Luas permukaan yang ditembus oleh garis-garis medan listrik
adalah luas dari selimut silinder, 2πzl. Sisi kiri dan kanan tidak dilewati oleh
medan listrik.
P
z
λ
l
∙
=
Oleh karena medan listrik yang menembus permukaan Gauss besarnya sama
di setiap titik dan arahnya tegak lurus terhadap permukaan maka arah medan
listriknya
∙
searah dengan arah dari vektor elemen luas
=
∙
=
=
Integral tertutup da adalah luas seluruh permukaan Gauss yang ditembus oleh
medan listrik
2
=
=
=
3.
2
4
1
2
Bola bermuatan berlubang di bagian tengahnya seperti gambar di bawah. Jika
rapat muatan yang dimiliki bola pada daerah
≤
≤ , adalah
=!
"#
maka tentukan medan listrik pada daerah
≤
a.
≤
b.
≤ , dan
≥
c.
=!
"#
a
b
Solusi
a.
Medan listrik dihitung menggunakan hukum Gauss bentuk integral untuk
muatan kontinue
∙
=
untuk distribusi muatan volume maka
∙
1
=
%
'
≤
Oleh karena di
∙
≤
Pada daerah
∮
*
∙
= + -.
∙
=
4
tidak terdapat muatan maka
=0
=0
b.
&
,
#
=
1
!
%
≤
& , & adalah elemen volume pada koordinat bola
#5
%
5
4
% %!
#5
5
'
% %
4
'
"#
#
sin 2
sin 2 2 3
2 3
4
#
4
#
=
4
#
=
4
#
=
!
=
!
=
%
#5
!
−
!
−
%
5
−
%
#5
2%
4 !
sin 2 2 3
5
% sin 2 2 3
#5
3
−
−
#
Dalam bentuk vektor, medan listriknya menjadi
!
=
dengan
c.
−
#
adalah vektor satuan yang tegak lurus terhadap permukaan dan arahnya keluar
≥
Pada daerah
∮
*
∙
= + -.
∙
=
,
4
#
4
#
=
4
#
=
4
#
=
=
!
=
1
!
!
%
& , & adalah elemen volume pada koordinat bola
#5
%
%
!
4 !
5
7
% % !
#5
#5
5
'
% %
%
−
5
%
"#
7
sin 2
2 3
sin 2 2 3
'
−
#5
#
sin 2 2 3
5
% sin 2 2 3
−
−
#
Dalam bentuk vektor, medan listriknya menjadi:
=
8 7"'
+, 4 9
Curl dari Medan Listrik
Hukum Gauss untuk menghitung medan listrik merupakan bentuk divergensi dari
medan listrik, lalu bagaimana dengan curl dari medan listrik? Mari kita tinjau
suatu muatan titik q, yang berada pada pusat koordinat.
Medan listrik pada suatu titik dalam ruang
z
di sekitar muatan q adalah:
4
=
4
1
;
̂
#
:
b
#
a
dengan ̂ adalah vektor posisi dari titik
*
yang dicari medan listriknya. Integral
garis medan listrik tersebut dari
titik a dengan vektor posisi
%
4 ∙
=
=%
7
'
4
1
;
̂ ∙
#
:
*,
x
%
4
∙
=
%
4 ∙
=
%
4
∙
=
=
=
=
4
4
4
;
;
%
49
: 4A
%
1
49
+ 2?
̂
:
*
̂
+ 2?
adalah
2 + @ sin 2 @
+ 2?
= ̂
2 + @ sin 2 @
2 + @ sin 2 @
#
: 4A
1
̂ ∙
#
#
ke titik b dengan posisi
Dalam koordinat bola,
;
y
q
−
1
#
Terlihat bahwa hasilnya hanya bergantung pada jarak
*
dan
#,
tidak bergantung
pada bentuk lintasannya sehingga jika kita integralkan pada lintasan garis tertutup,
hasilnya:
4
∙
=%
4
∙
=
4
∙
=0
z
4A
4
4A
4
;
:
∙
1
*
−
1
a
*
*
x
y
q
Sementara itu, teorema dasar curl (fundamental theory for curl) atau sering
disebut dengan Teorema Stokes menyatakan bahwa:
% ∇×
∙
%D∇ × E ∙
∇×
=
∙
=0
=0
Dengan demikian, curl dari medan listrik selalu bernilai nol