KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR

KOMBINASI LINEAR
BEBAS LINEAR
BERGANTUNG LINEAR
Prof.Dr. Budi Murtiyasa
Muhammadiyah University of Surakarta
Kombinasi Linear (linear
(linear combination)
combination)
Andaikan ruang vektor V melalui field
F,
dengan vektor-vektor u1, u2, …, un ∈ V.
Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V)
yang dapat dinyatakan dlm bentuk :
v = a1 u1 + a2 u2 + … + an un; dng ai ∈ F
dinamakan kombinasi linear dari vektor
vektorvektor u1, u2, …, un.
Contoh :
A d ik s, u, v, w ∈ V;
Andaikan
V d
dengan
u=
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜−1⎟,
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
v
⎛−1⎞
⎜ ⎟
= ⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
,w
⎛2⎞
⎜ ⎟
=⎜ 1⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
, dan s = ⎜−3⎟ .
⎜6⎟
⎝ ⎠
Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u,
u
s, dan w !
Diperoleh persamaan:
Solusi :
x – y + 2z = -1
v = xu + yys + zw
-xx – 3y + z = 0
2x + 6y – z = 1
−1
⎛
⎞
⎛2⎞
⎛−1⎞
⎛1⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Diperoleh nilai
nilai-nilai
nilai
1
−
3
−
1
0
⎟
⎜
=
x
+
y
+
z
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ −1⎟
x
=
-2,
y
=
1,
dan
z
=
1
⎜6⎟
⎜1⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Jadi v kombinasi linear dri u, s, dan w dengan v = -2u + s + w
Sistem Pembentuk
Himpunan vektor { u1, u2, …, um}
disebut sistem pembentuk dari ruang
vektor V; ditulis V = L{u1, u2, …, um}
jik semua vektor
jika
kt v ∈ V d
dapatt
dinyatakan
d
yata a sebaga
sebagai kombinasi
o b as linear
ea
dari {u1, u2, …, um}.
Contoh :
⎛−2⎞
⎛ 0⎞
1
⎛
⎞
Andaikan V = R2, dengan
g
u1 = ⎜ ⎟ , u2 =⎜⎜ ⎟⎟ , u3 =⎜⎜ ⎟⎟
⎜0⎟
1⎠
⎝3⎠
⎝−1
⎝ ⎠
Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut
adalah sistem pembentuk bagi R2; sebab semua v ∈ V
dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u1, u2 dan
u 3.
⎛4⎞
Misalnya v = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠
v = 2u1 – u2 – 3u3
⎛−5⎞
Misalnya v = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
v = -3u
3u1 + u2 + 2u3 ; dsb.
dsb
Contoh :
⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3
Andaikan V = R , dengan
g
u1 = ⎜ 0 ⎟, u2 = ⎜ −1⎟, u3 = ⎜ −1⎟
⎜ 0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut
adalah sistem pembentuk bagi R3; sebab semua v ∈ V
dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u1, u2 dan
u 3.
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
Misalnya v = ⎜ −1 ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
Misalnya v =
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎜ − 3⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
v = u1 – u2 + 2u3
v = 3u1 + 2u2 + u3 ; dsb.
dsb
Ruang Baris & Ruang Kolom
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A = ⎜ ... ...
⎜
⎜a
⎝ m1 am 2
... a1n ⎞
⎟
... a2 n ⎟
... ... ⎟
⎟
... amn ⎟⎠
Ruang
g Baris = Rn = {
⎛ a11 ⎞
⎜ ⎟
⎜ a12 ⎟
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎜a ⎟
⎝ 1n ⎠
Ruang Kolom = Rm = {
,
⎛ a21 ⎞
⎜
⎟
⎜ a22 ⎟
⎜ ... ⎟
⎟
⎜
⎜a ⎟
⎝ 2n ⎠
⎛ a 11 ⎞
⎜
⎟
⎜ a 21 ⎟ ,
⎜ ... ⎟
⎜
⎟
⎜a ⎟
⎝ m1 ⎠
,
⎛ am1 ⎞
⎜ ⎟
⎜am2 ⎟
…,, ⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎜a ⎟
⎝ mn⎠
}
⎛ a12 ⎞
⎛ a1n ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ a22 ⎟
⎜ a2n ⎟
⎜ ... ⎟ , …, ⎜ ... ⎟ }
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜a ⎟
⎜a ⎟
⎝ m2 ⎠
⎝ mn ⎠
Latihan
Bergantung Linear (linearly dependence)
dan
dan
Bebas
ebas Linear
ea ((Linearly
ea y Independence).
depe de ce)
¾ Andaikan
ruang vektor V melalui field F
F.
Vektor--vektor u1, u2, u3, …, un ∈ V disebut
Vektor
bergantung
b
t
linear
li
atau
t dependen
d
d jika
jik ada
d
skalar a1, a2, a3, …, an ∈ F yang tidak
semuanya nol sedemikian hingga berlaku :
a1 u1 + a2 u2 + … + an un = 0
¾ Dari
hubungan
a1 u1 + a2 u2 + … + an un = 0
jika hanya berlaku untuk semua skalar
), maka vektorvektorai = 0 ((a1 = a2 = … = an = 0),
vektor u1, u2, u3, …, un ∈ V disebut bebas
linear atau independen.
independen.
¾ Vektor
u, v, w ∈ R3, dng :
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
⎜2⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
u=
,v=
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎜ −,2⎟dan
⎜1⎟
⎝ ⎠
w=
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎜ −. 6⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
Selidiki vektorvektor-vektor tsb dependen atau
independen ?.
¾ Solusi
:
xu+yv+zw=0
-x + 3y + 5z = 0
2x – 2y – 6z = 0
x+y–z=0
Diperoleh
Di
l h nilai
il i :
x = -2, y = 1, dan z = -1
J di :
Jadi
- 2u + v – w = 0
Karena ada skalar yang tidak
nol, maka vektor-vektor u, v,
dan w adalah dependen atau
bergantung linear.
¾ Solusi
: (dng menggunakan matriks)
=
⎛ −1 2
⎜
⎜ 3 −2
⎜ 5 −6
⎝
⎛ u ⎞
⎜
⎟
⎜ v + 3u ⎟
⎜ w + 5u ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 2
⎜
⎜ 0 4
⎜ 0 4
⎝
⎛u⎞
⎜ ⎟
⎜v⎟
⎜ w⎟
⎝ ⎠
=
u
⎛
⎞
⎜
⎟
v + 3u
⎜
⎟=
⎜ (w + 5u) − (v + 3u) ⎟
⎝
⎠
1 ⎞
⎟
1 ⎟
− 1 ⎟⎠
1⎞
⎟
4⎟
4 ⎟⎠
⎛−1 2 1⎞
⎜
⎟
⎜ 0 4 4⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
Telah menjadi matriks eselon,
Baris terakhir dapat dibaca :
(w + 5u) – (v + 3u) = 0
atau :
2 –v+w=0
2u
Karena ada skalar yang tidak
nol, maka vektor-vektor u, v,
dan w adalah dependen atau
bergantung linear.
Amati bahwa matriks eselon punya baris nol.
¾ Vektor
u, v, w ∈ R3, dng :
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ −2⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
u=
,v=
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎜ 2, ⎟dan
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
w=
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
⎜ .1 ⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
Selidiki vektorvektor-vektor tsb dependen atau
independen ?.
¾ Solusi
:
xu+yv+zw=0
x + 2y – z = 0
-2x
2x + 2y + z = 0
x–y–z=0
Hanya di
H
diperoleh
l h nilai
il i :
x = 0, y = 0, dan z = 0
J di :
Jadi
0u + 0v + 0w = 0
Karena hanya ada skalar nol,
maka vektor-vektor u, v,
dan w adalah independen atau
bebas linear.
¾ Solusi
⎛u⎞
⎜ ⎟
⎜v⎟
⎜ w⎟
⎝ ⎠
=
⎛ u ⎞
⎜
⎟
⎜ v − 2u ⎟
⎜ w +u ⎟
⎝
⎠
: (dng menggunakan matriks)
⎛ 1 −2
⎜
2
⎜ 2
⎜ −1 1
⎝
1 ⎞
⎟
− 1⎟
− 1 ⎟⎠
−2
1 ⎞
⎟
− 3⎟
0 ⎟⎠
=
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
6
−1
⎛
⎞
u
⎟
⎜
⎜
⎟
v − 2u
=
⎜
⎟
1
⎜ (w + u) + (v − 2u) ⎟
6
⎝
⎠
⎛
⎞
−
1
2
1
⎜
⎟
⎜ 0 6 −3 ⎟
⎜
1⎟
⎜0 0 − ⎟
2⎠
⎝
Telah menjadi matriks eselon,
Tetapi tidak mempunyai baris
nol. Karenanya vektor-vektor
vektor vektor
u, v, dan w adalah
i d
independen
d atau
t b
bebas
b
linear.
Amatiti b
A
bahwa
h
matriks
t ik eselon
l
tidak punya baris nol.
Teorema
¾ Baris
Baris--baris
yg tidak nol dari matriks
eselon adalah bebas linear
(Independen)
Teorema
u1, u2, u3, …, un ∈ V
disebut bergantung linear (dependen)
jika salah satu vektorvektor-vektor tersebut
d
dapat
t dinyatakan
di
t k sbg
b kkombinasi
bi
i
linear
ea da
dari vektorvektor
e to -vektor
e to ya
yang
g lainnya.
a ya
¾ Vektor
Vektor--vektor
Catatan :
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
jika u = 0, maka u pasti dependen.
Jik u ≠ 0,
Jika
0 maka
k u pasti
ti iindependen.
d
d
Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti
d
dependen.
d
Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang
sama atau
t dua
d vektor
kt yang berkelipatan,
b k li t
pasti
ti
dependen.
A d ik U ⊂ V.
Andaikan
V jik
jika U d
dependen,
d
maka
k V jjuga
dependen.
A d ik W ⊂ V.
Andaikan
V Jik
Jika V iindependen,
d
d
maka
k W jjuga
independen.
S
Secara
geometris,
t i dua
d vektor
kt yg dependen
d
d tterletak
l t k
pd garis (bidang) yang sama.