Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial
Febrizal, MT
Febrizal, MT
Pendahuluan
• Persamaan diferensial
dif
i l merupakan
k persamaan
yang berkaitan dengan turunan dari suatu
fungsi atau memuat suku‐suku dari fungsi
tersebut dan atau turunannya.
• Bila fungsi tersebut tergantung pada satu p
peubah bebas riil maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsi
terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka
disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Contoh
• Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x dan peubah tak bebas y. Contoh
• Persamaan berikut merupakan PDP
Orde Persamaan Diferensial
• Orde persamaan diferensial adalah besar
gg yyang terjadi
g j p
pada PD turunan tertinggi
tersebut. Dari contoh di atas persamaan
Bernoulli mempunyai orde 1 sedangkan
Bernoulli mempunyai
1 sedangkan
persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol
berorde 2.
2
Sifat Kelinieran
• Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier dan
PD tidak linier.
PD tidak
linier
• Bentuk umum PD linier orde n diberikan :
• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen il f( )
k di b
i i
sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier tak
Homogen. • Bila tidak dapat
p dinyatakan
y
seperti
p
bentuk di
atas dikatakan PD tidak Linier. • Dari contoh
Dari contoh terdahulu, persamaan
terdahulu persamaan Airy dan
Airy dan
Bessel merupakan PD Linier ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan
Bernoulli dan Van Der
Van Der
Pol merupakan PD tidak linier.
Latihan
• Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidak
linier, homogen atau tidak homogen
Penyelesaian PD Orde
PD Orde I
• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, g yyang memenuhi
g
kita harus mencari fungsi
persamaan tsb, artinya yang membuat
persamaan tsb menjadi benar. benar
• Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah
persamaan tsb
b sedemikian
k rupa sehingga
h
semua koefisien diferensialnya hilang dan
tinggallah hubungan antara y dan x.
1 Integral Langsung
1. Integral Langsung
• Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk
dy
= f (x) , maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan
dx
i t
integral sederhana.
l d h
• SSetiap
i kali kita
k li ki mengintegralkan
i
lk suatu fungsi, konstanta
f
i k
integrasi C harus selalu disertakan.
• Seperti
S
ti yang kita
kit ketahui, bahwa
k t h i b h nilai
il i C tidak
C tid k dapat
d t
ditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahan
tentang fungsi tsb.
tsb
• Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C tersebut disebut sebagai solusi umum PD.
• Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, maka
g
y
PD yang y g
konstanta C bisa dihitung. Penyelesaian
diketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD
y = −4e − x + 7
2 Pemisahan Variabel
2. Pemisahan
• Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat
dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx
dan peubah y dapat
y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang yang
berbeda. PD dapat secara langsung dengan
• Sehingga solusi umum PD dapat
mengintegralkan kedua ruas.
• Bentuk umum PD yang bisa
y g
dipisahkan
p
variabel nya
y adalah:
• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:
Latihan
3 Dengan Substitusi y = vx
3. Dengan
y = vx
• Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan
peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan
f
fungsi
i homogen
h
d
dengan
order sama
d
d
dapat
di i
dicari
solusinya menggunakan metode substitusi sehingga
did tk bentuk
didapatkan
b t k PD peubah
PD
b h terpisah.
t i h
• Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n є
R sehingga
h
b l k F(k x,k
berlaku
(k k y) = k
) knF(x, y). n disebut
( ) d b order d
dari fungsi homogen F(x,y).
• Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan
dy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkan
bentuk PD dengan peubah terpisah.
contoh
• Perhatikan persamaan berikut:
• Sekilas p
persamaan tersebut tanpak
p sederhana, ttp
p
ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara
faktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisa
menyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral langsung.
• Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaan
tsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx
• Sehingga persamaan menjadi:
• Dalam bentuk yg terahir, kita
terahir kita bisa menyele‐
saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan
variabel
i b l
Latihan
4 Menggunakan Faktor Integral
4. Menggunakan
• PD yang bisa
bi diselesaikan
di l ik dengan
d
f k integral faktor
i
l
adalah PD linier orde pertama yang berbentuk: d /d + Py
dy/dx
P = Q .
Q
• Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau
konstanta. • Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikan
kedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang berbentuk e∫P dx. • sehingga didapat solusi PD tsb adalah:
y
y.FI = ∫ Q. FI dx
∫Q
contoh
• Sehingga solusi PD nya adalah:
Latihan
Penyelesaian PD Bernoulli
Penyelesaian PD Bernoulli
• PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta.
• Langkah2 penyelesaian:
Langkah2 penyelesaian:
– Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh
– Misalkan z = y1‐n
– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh
Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh
• Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya akan menjadi dz/dx. j
/
• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi:
• dz/dx + (1‐n)P
/
( ) 1z = (1‐n)Q
( )Q1
• Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.
contoh
• Selesaikanlah PD S l ik l h PD
• Jawab:
2, sehingga diperoleh:
• Bagi kedua ruas dengan y
k d
d
h
d
l h
• Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1
• Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi dz/dx
• Persamaan tsb menjadi Persamaan tsb menjadi
• Persamaan
Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan
faktor integrasi.
Contoh 2
Contoh 2
• Selesaikan
• Jawaban
• Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk
• Apa yang harus dilakukan?
• Sehingga diperoleh:
• Bagilah
Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada
diruas kanan, sehingga diperoleh....
• Selanjutnya gunakan substitusi z = y
j y g
y1‐n yyang dalam contoh ini g
adalah z = y1‐4 = y‐3
• z = y‐3, berarti dz/dx = .....
• Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi dz/dx, maka kita dapatkan..
Contoh 3
Contoh 3
• selesaikannlah
Contoh 4
Contoh 4
• selesaikanlah
Latihan
ddy
* + y = xy 3
dx
dy
* + y = ex y4
dx
dy
* 2 + y = y 3 ( x − 1)
dx
dy
* − 2 y tan x = y 2 tan 2 x
d
dx