plagiat merupakan tindakan tidak terpuji plagiat
advertisement
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
APLIKASI METODE KUHN-TUCKER
UNTUK MENENTUKAN PORTOFOLIO OPTIMAL
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Nia Christie Novena. Lie
101414021
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014
i
tl0z sn$ntv sz: IGEEI?I
ffil-5Esffi
ffiD
ll
v
:
rlelo rnfnleslc
l--
'E*qqq*"4
rtr?leJ
trIT'YNflAON flIISTUHJ YIN
TYIAIIIdO OITO.{OTUOd NYXIIJNflNflru XTIINN
VW JTN-NTIE X UOOTfl W
ISYXIAdV
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
tn
en ?ue^oNepspqSqN
-@
sllnued
tIgZ requteseq gI !rr1ef3o1
'rlelrry etfuq
usrynqesry qelaEuei(
a{qefq
eueuquEaqsa qa1snd.mgmp uup rrsdprDl rrrBIBp
[snca{ trJel Eueroe,fta1uurtq nnp er{,w1luntrlsur {sprt
Iul s$rckes 6uef rsdpls e,llqBq s,(qnffftmscs ueguop uuqqer(uetu a(es
VAUIDT XVTTSWT
NYVIYTArufl{
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
AI
elT'uue^oN el$!n{J ?lN
@
'uerlepr(ueu Euea
tIgZ
requrese61
8I ?re{efEo,t
'efueueq-nueqes ueEuep pnq a(es rm uesla(ued uullpuep uuEuag
'snnuad lauqes a,(Bs eunuu€ryryu"cueur dalel
BurBIes u,t?s
sp?dq nledor uu:llreqruew tmdneu efes psp ur4 stwureu npad eduul
spuepe)p uuEuquedel {n}un u1q etpatu nste pruelur rp efuuopsurylqndueru uep
sq?qJel ?.tuces e{uuueysnqusrpueu 'u1up uulq8uud {nruaq ur?lep a(uelole8ueu
'qq epeu {nlueq ul?pp uulqSu8ueu treduu(ueu {nlm {grl ?uu?qc
sl€u?S ss{sJe
lun
uaelqsndre4
"pdq
uu:llroqtueu e{us uepiluep ueEueg
TrtrtrJ.do olaof,o.f,uod N\'xflJ.Nuxtu,tr
v tx )N-N Hnx
,
fl ooJ.fl
: ppnpeq Euu.r(
Ii[
xilNn
IsY)uldv
qep41e&q euusqg
ueq4sndred sp€de{ w{uequau efes 'uunqepEued
nql
lz0vlvlOl
el'I '?ue oN epslnlS qN
: srru?qq s1uuss
u1BrrBS
ss1rsrelrun
ue8uuqueryed rrueg
:
?^\srssqel\I roruoN
€ru?N
:
ss1$e 1un ua\slsaqutu el(Bs 'rur gelrreqrp ueEuq epuqleq Euea
SII{Ifl (IlrTY NVCNIINfldDT
xnJ.Nn
Hwritlr valtY)t Nvffmflsufld ttvvrY^Nutd uvgr^Ifl'I
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
surJsqo q8u"s sBllsrealu1l
Esrllplpued nuIJ rrcp tr8run6e>I s8|InrIBd
1
tS A{'ouq.rlng
uloEEuy
g
IS'ru'su,$Au!tr8/rarntrAl,{uug'q3
upEEuy
p
1S'IAI'su&Eulrro&rntrAl,tuug'q3
uuEuua
spusl
ulo88uy
slrqeqes
uBlEq"f
durlEual BrtrBN
Bnlex
pd'S 'oilqpng ,{puy snu!11acr"tr4tr .r(I
ffi
1eJg.& rynuetueru uel4u,turp ueq
?I0Z reqoqo g leEEuel eped
I[n6ued
ql
uedep rp us{ueqeuodgp qe1el
IZO'I'IOI
elT'BtreaoN epsFqS BlN
:
qelo
TYntrIdO OITO.IOIUOd NVXnINgNgW XOINfI
I
AuNJN-NHNX flOOIflI [ ISYXITdV
ISdtDTS
NVHVSACNIId NY'\IV'IYH
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Karya ini kupersembahkan untuk :
Tuhan Yesus Kristus
Papa dan Mama
Segenap keluarga
Sahabat-sahabat terkasih
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
So I say to you, ask and it will be given to you;
search, and you will find; knock, and the door
will be opened for you.
Jesus Christ
Everything is theoretically impossible,
until it is done.
Robert A. Heinlein
Let us always meet each other with smile, for
the smile is the beginning of love.
Mother Teresa
Start where you are. Use what you
have. Do what you can.
Arthur Ashe
…jika kamu punya pemimpi besar biarkan
orang lain melihat mimpimu.
Nia Christie
vii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha
Esa karena atas berkat dan rahmat kasih-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan judul “Aplikasi Metode Kuhn-Tucker Untuk Menentukan Portofolio
Optimal”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Pendidikan di Program Studi S1 Pendidikan Matematika, Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Dalam menyelesaikan skripsi ini banyak hambatan-hambatan yang Penulis
temukan, namun hambatan-hambatan tersebut dapat penulis hadapi dengan adanya
bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terimaksih kepada:
1. Rohandi, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma.
2. Dr. Marcellinus Andy Rudhito S.Pd selaku Ketua Jurusan Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma.
3. Sutrisno, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah membimbing dan
mengarahkan penulis dalam penyusunan skripsi ini.
4. Segenap Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Sanata
Dharma yang telah membagikan ilmunya selama penulis menjadi
mahasiswa di Universitas Sanata Dharma.
5. Kedua orang tuaku tersayang Firdaus Lie dan Elisabet Nuliana serta
segenap keluarga tercinta yang memberikan motivasi yang luar biasa
kepada penulis.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6. Untuk Boby Culius Ertanto yang telah memberikan semangat selama
penulis menjalani perkuliahan.
7. Sahabat-sahabatku Robertus Indra Satria Permana, Susi Kurniasih,
Natanael Jalung Liah, Just five of Us, danExtravaganza-cilex yang selalu
memberi semangat dan motivasi yang luar biasa.
8. Rekan-rekan mahasiswa Pendidikan Matematika angkatan 2010 yang
memberikan dukungan dan motivasi selama belajar di Universitas
Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan-kekurangan dalam
penyusunan skrisi ini. Oleh karena itu, Penulis mohon maaf atas kekurangan
tersebut. Semoga skripsi ini dapat berguna bagi kita semua, terutama bagi para
mahasiswa prodi Pendidikan matematika. Kritik dan saran dari pembaca akan
penulis terima dengan baik sebagai bahan evaluasi.
Yogyakarta, 3 Oktober 2014
Penulis
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ....................................... ii
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................... iii
LEMBAR PERSETUJUAN KARYA ILMIAH .................................................... iv
HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................................v
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi
KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii
DAFTAR ISI ............................................................................................................x
DAFTAR LAMBANG DAN SINGKATAN ....................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv
ABSTRAK ............................................................................................................xv
ABSTRACT ......................................................................................................... xvi
BAB I. PENDAHULUAN ......................................................................................1
1.1 Latar Belakang Masalah ....................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah ..............................................................................................3
1.3 Tujuan Penelitian ..............................................................................................3
1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................................4
1.5 Batasan Masalah.................................................................................................4
1.6 Batasan Istilah ...................................................................................................5
BAB II. DASAR TEORI .........................................................................................6
2.1 Himpunan Konvek ............................................................................................6
2.2 Bentuk Kuadratik ..............................................................................................7
2.3 Fungsi Konvek ..................................................................................................9
2.4 Titik Ekstrim ...................................................................................................11
2.5 Nilai Harapan ..................................................................................................13
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2.6 Statistik Multivariat .........................................................................................16
2.7 Pasar Modal ......................................................................................................19
2.8 Saham ..............................................................................................................20
2.8.1. Pengertian Saham ..................................................................................20
2.8.2. Jenis-Jenis Saham ..................................................................................21
2.9 Investasi ...........................................................................................................24
2.9.1. Pengertian Investasi .............................................................................24
2.9.2. Resiko Investasi ..................................................................................24
2.10
Teori Portofolio ..........................................................................................25
2.10.1. Pengertian Portofolio ...........................................................................25
2.10.2. Return dan resiko Portofolio ................................................................26
BAB III OPTIMASI KUADRATIK ......................................................................35
3.1 Pemrograman Kuadratik .................................................................................35
3.2 Pengali Lagrange .............................................................................................35
3.3 Metode Kuhn-Tucker ......................................................................................36
BAB IV PEMBAHASAN ......................................................................................41
4.1.Pengumpulan Data ...........................................................................................41
4.2.Perhitungan Return dan Resiko Individual ......................................................46
4.3.Perhitungan Return dan Resiko Portofolio ......................................................49
4.4.Bentuk Umum Optimasi Kuadratik Untuk Optimisasi Portofolio ...................52
4.5.Penyelesaian Optimasi Kuadratik Untuk Menentukan Portofolio Optimal .....53
4.6.Portofolio Optimal ...........................................................................................56
BAB V PENUTUP .................................................................................................60
4.7.Kesimpulan .....................................................................................................60
4.8. Saran ...............................................................................................................60
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................61
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR LAMBANG DAN SINGKATAN
: Himpunan semua bilangan real
n
: Ruang Vektor real berdimensi n
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Fungsi Konvek dan Bukan Fungsi Konvek .........................................7
Gambar 2.2Grafik Konvek
f ( x) x 2 ...................................................................10
Gambar 2.3 Perintah Pada Matlab .........................................................................40
Gambar 2.4 Output Matlab ....................................................................................40
Gambar 4.1 Halaman Awal Yahoo Finance ..........................................................42
Gambar 4.2 Pencarian Data Saham PT Mandiri TBK ...........................................42
Gambar 4.3 Data Saham PT Mandiri TBK ............................................................43
Gambar 4.4 Historical Prices PT Mandiri TBK ....................................................43
Gambar 4.5 Periode Harga Saham .........................................................................44
Gambar 4.6 Harga Saham PT Mandiri TBK ..........................................................44
Gambar 4.7 Data Saham PT Mandiri TBK Pada Lembar Kerja Excel ..................44
Gambar 4.8 Data Saham PT Mandiri TBK ............................................................45
Gambar 4.9 Data Saham PT UnileverTBK ............................................................45
Gambar 4.10 Data Saham PT Astra Internasional TBK ........................................45
Gambar 4.11 Data Saham PT Sampoerna TBK .....................................................45
Gambar 4.12 Data Saham PT Indofood TBK ........................................................46
Gambar 4.13 Program Optimasi Portofolio ...........................................................55
Gambar 4.14 Output Program Optimasi Portofolio ..............................................55
Gambar 4.15 Diagram Batang Proporsi Dana Portofolio .....................................59
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Return Individual Lima Perusahaan .......................................................47
Tabel 4.2 Nilai Return Ekspektasi .........................................................................48
Tabel 4.3 Nilai Variansi .........................................................................................49
Tabel 4.4 Return Masing-Masing Sekuritas ..........................................................51
Tabel 4.5 Solusi Optimasi Portofolio .....................................................................56
Tabel 4.6 Proporsi Dana Portofolio .......................................................................58
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Christie Novena. Lie, Nia. 2014. Aplikasi Metode Kuhn-Tucker untuk
Menentukan Portofolio Optimal. Skripsi. Yogyakarta : Program Studi
Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Sanata Dharma.
Portofolio saham merupakan gabungan dari beberapa saham dari berbagai
sekuritas. Masalah utama dalam pembentukan portofolio adalah bagaimana
menentukan proporsi alokasi dana untuk masing-masing sekuritas pada portofolio
tersebut sedemikian sehingga portofolio yang disusun menjadi sebuah portofolio
yang optimal, dalam kasus ini, yaitu portofolio yang memberikan resiko paling
kecil. Untuk mendapatkan portofolio yang optimal, digunakan metode optimasi
kuadratik untuk meminimumkan resiko portofolio yang solusinya dicari dengan
metode Kuhn-Tucker dan dapat diselesaikan menggunakan fungsi “quadprog”
pada software MATLAB. Berdasarkan hasil optimisasi yang diperoleh, didapatkan
proporsi dana untuk masing-masing sekuritas dari lima sekuritas yang diteliti yaitu
PT Mandiri TBK (BMRI) sebesar 21,92%, PT Unilever (UNVR) sebesar 15,56%,
PT Astra Internasional (ASII) sebesar 14,46%, PT Hanjaya Mandala Sampoerna
(HMSP) sebesar 27,88% dan PT Indofood CBP Sukses Makmur (ICBP) sebesar
20,18%. Proporsi alokasi dana tersebut akan memberikan portofolio yang optimal
yaitu memberikan resiko paling kecil.
Kata kunci : Kuhn-Tucker, Portofolio Optimal
xv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
Christie Novena. Lie, Nia. 2014. Kuhn-Tucker Methods Application to
Determine Optimal Portofolio. Thesis. Yogyakarta : Mathematics
Education Study Program, Department of Mathematics Education and
Natural Science, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata
Dharma University.
Stock portfolio is a combination of several stocks of various securities .
The main problem in the formation of a portfolio is how to determine the proportion
of funds allocated to each of the securities in the portfolio so that the portfolio
compiled into an optimal portfolio , in this case , the portfolio which gives the
smallest risk . To obtain the optimal portfolio , quadratic optimization method is
used to minimize the risk of a portfolio whose solution sought by the Kuhn - Tucker
method and can be solved using the " quadprog " in MATLAB software . Based on
the optimization results obtained , the proportion of funds obtained for each of the
five securities securities under study , namely PT Mandiri TBK ( BMRI ) amounted
to 21.92 % , PT Unilever ( UNVR ) amounted to 15.56 % , PT Astra International
( ASII ) of 14.46 % , PT Hanjaya Mandala Sampoerna ( HMSP ) amounted to 27.88
% and PT Indofood CBP Sukses Makmur ( ICBP ) of 20.18 % . The proportion of
the allocation of these funds will provide an optimal portfolio that gives the smallest
risk
Keywords : Lagrangian Multiplier, Kuhn-Tucker.
xvi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Metematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang tidak dapat
dilepaskan dari kehidupan sehari-hari. Dari kegiatan sehari-hari sangat mudah
ditemukan matematika dalam kehidupan manusia, misalnya ketika akan
berberlanja dipasar atau disupermarket. Selain itu, matematika juga sangat
berkaitan erat dengan ilmu pengetahuan lainnya. Misalnya ekonomi, fisika, dan
lain-lain.
Penerapan matematika yang sangat dekat dengan manusia adalah
masalah optimasi. Contoh masalah optimasi dalam kehidupan manusia adalah
bagaimana seseorang mampu menggunakan pendapatannnya untuk memenuhi
kebutuhan hidupnya, dengan memperhatikan pendapatan yang terbatas dan
memperhitungkan banyaknya kebutuhan yang harus dipenuhi. Atau dengan
kata lain, manusia harus mampu meminimumkan pengeluaran sehingga
pendapatan yang terbatas mampu memenuhi kebutuhannya.
Selain masalah dalam kehidupan sehari-hari, masalah yang sering
diselesaikan dengan metode dalam matematika adalah masalah dalam bidang
ekonomi. Didalam kehidupan sehari-hari disadari atau tidak banyak hal
ekonomi yang dilakukan manusia. Ketika manusia hidup, ia dihadapkan pada
suatu keadaan dimana harus melakukan konsumsi saat ini atau konsumsi yang
akan datang. Penundaan konsumsi sekarang untuk konsumsi mendatang dapat
dikatakan sebagai suatu investasi. Investasi merupakan sebuah usaha yang
dilakukan untuk meningkatkan nilai dari sebuah aset dimasa yang akan datang.
Semua jenis investasi tentu memiliki resiko atau unsur ketidakpastian. Setiap
investor pada dasarnya adalah pihak yang tidak menyukai resiko atau
ketidakpastian tetapi lebih mengharapkan pengembalian modal yang maksimal.
Seorang investor atau calon investor yang bijak, seharusnya sebelum
menggambil keputusan untuk membeli saham tertentu hendaknya menganalisis
1
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
terlebih dahulu saham-saham tersebut. Hal ini dimaksudkan agar dapat
menentukan kualitas, prospek, dan tingkat resiko yang ada pada saham-saham
tersebut.
Analisis dengan portofolio merupakan salah satu alternatif yang dapat
dipilih dalam menganalisis saham-saham sebelum pada akhirnya memutuskan
membeli saham tersebut. Didalam investasi, jika seorang investor hanya
tergantung pada satu investasi saja, maka akan semakin banyak resiko yang
harus ditanggung oleh investor tersebut. Dalam keputusan investasi harus selalu
dingat bahwa, investasi yang dilakukan adalah untuk mendapatkan keuntungan
dimasa datang.
Setelah melihat masalah diatas, maka penulis tertarik menganalisis
permasalahan portofolio saham. Portofolio saham adalah kumpulan dari
ebberapa saham. Dengan melihat portofolio sebagai alternatif untuk mengambil
keputusan investasi bagi para calon investor terlebih dalam meminimalkan
resiko. Hal ini sangat diperlukan bagi para calon investor sebagai pertimbangan
dalam berinvestasi. Sehingga hal ini akan menjadi bahan untuk melakukan
analisis saham.
Portofolio yang diharapakan bagi seorang investor adalah portofolio
yang optimal. Portofolio yang optimal adalah portofolio yang mampu
memberikan tingkat pengembalian yang terbesar dengantingkat resiko yang
sudah pasti. Analisis portofolio optimal tersebut dapat dilakukan dengan
berbagai cara, dalam penelitian kali ini penulis memilih untuk menyelesaikan
masalah pembentukan portofolio saham tersebut dengan metode optimasi
kuadratik yang solusinya akan dicari dengan metode Kuhn-Tucker. Dengan
optimasi kuadratik akan diperoleh solusi yang dapat menentukan portofolio
optimal dengan meminimumkan resiko. Dengan meminimumkan resiko
diharapkan agar analisis yang dilakukan adalah analisi yang sederhana.
Dalam menganalisis portofolio saham pada penelitian ini, penulis
menggambil lima perusahaan yang termasuk perusahaan besar di Indonesia.
Dipilih hanya lima perusahaan sebagai perusahaan pembentuk portofolio
dengan pertimbangan agar perhitungan dengan cara manual lebih mudah.
2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
Lima perusahaan yang akan coba dianalisis adalah PT Mandiri TBK, PT
Unilever TBK, PT Astra Internasional, PT Hanjaya Mandala Sampoerna, dan
PT Indofood CBP Sukses Makmur. Untuk menganalisis portofolio saham ini,
penulis akan mengunduh Historical Prices masing-masing perusahaan pada
periode Desember 2013 sampai dengan April 2014. Data Historical Prices akan
diunduh pada situs Yahoo Finance : http://finance.yahoo.com.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan penjabaran latar belakang diatas, yang akan menjadi pokok
permasalahan didalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut:
a) Bagaimana menyelesaikan masalah optimasi kuadratik dengan
metode Kuhn-Tucker?
b) Bagaimana membentuk model matematika dari suatu portofolio
agar mendapatkan nilai resiko yang minimum?
c) Bagaimana menentukan portofolio yang optimal menggunakan
metode optimisasi kuadratik?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah diatas, maka tujuan penelitian ini
adalah :
a) Mendapatkan solusi untuk menyelesaikan masalah optimasi
kuadratik dengan metode Kuhn-Tucker.
b) Mendapatkan model matematika dari suatu portofolio agar
mendapatkan nilai resiko yang minimum.
c) Mendapatkan portofolio yang optimal dengan mengaplikasikan
metode optimisasi kuadratik.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat utama dari penelitian ini adalah didapatkannnya model
matematika dari suatu portofolio dan portofolio yang optimal dengan
menggunakan metode optimisasi kuadratik. Selain itu, penelitian ini diharapkan
dapat memberi manfaat antara lain untuk :
a) Bagi peneliti :
Penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan
pengetahuan peneliti mengenai pasar modal terutama tentang
optimisasi nilai resiko portofolio saham.
b) Bagi investor :
1) Dapat memberikan tambahan referensi masukan tentang
manfaat portofolio dalam menentukan keputusan investasi dan
memberikan pandangan untuk tidak hanya berinvestasi hanya
pada satu jenis saham saja.
2) Membantu investor menentukan model yang tepat agar
portofolio yang disusun sudah menghasilkan nilai resiko yang
optimal.
c) Bagi pihak lain:
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi tambahan ilmu
pengetahuan yang dapat dijadikan referensi untuk penelitian lebih
lanjut.
1.5 Batasan Masalah
Agar dapat memfokuskan penelitian maka perlu diberi batasan, yaitu :
a. Studi penelitian dilakukan pada saham bursa efek Indonesia. Nilainilai saham pada bursa efek diambil dari Yahoo Finance
(http://finance.yahoo.com/) pada periode Desember 2013 sampai
dengan April 2014. Untuk itu diasumsikan bahwa perekonomian
yang terjadi di Indonesia dalam keadaan normal dan semua data
Historical Prices diasumsikan dapat langsung digunakan untuk
menentukan portofolio optimal.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
b. Untuk mempermudah perhitungan manual hanya akan diambil 5
sektor saham, yakni PT Mandiri TBK (BMRI), PT Unilever
(UNVR), PT Astra Internasional (ASII), PT Hanjaya Mandala
Sampoerna (HMSP), dan PT Indofood CBP Sukses Makmur
(ICBP).
c. Portofolio Optimal sederhana dengan menggunakan Historical
Prices.
1.6 Batasan Istilah
Beberapa batasan istilah yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu :
a. Portofolio saham
Portofolio saham adalah kumpulan dari beberapa saham.
b. Portofolio optimal
Portofolio optimal adalah portofolio yang mampu memberikan
resiko terkecil.
c. Return
Return adalah tingkat pengembalian (hasil yang diperoleh dari
investasi)
d. Return individu
Return individu adalah return masing-masing sekuritas.
e. Return ekspektasi
Return ekspektasi adalah return yang diharapkan akan diperoleh
pada masa yang akan datang.
f. Return realisasi
Return realisasi adalah return yang sudah terjadi.
g. Resiko
Resiko adalah penyimpangan nilai yang sudah terjadi dengan nilai
ekspektasinya.
h. Rata-rata tertimbang
Rata-rata tertimbang adalah rata-rata yang dihitung dengan
mempertimbangkan bobot setiap datanya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
Untuk menyelesaikan masalah optimasi untuk menentukan portofolio
yang optimal, dibutuhkan teori-teori optimasi yang mendukung. Beberapa teori
yang digunakan untuk menyelesaikan optimisasi tersebut meliputi himpunan
konvek, bentuk kuadratik, fungsi konvek, titik ekstrim, pengali lagrange, dan
pemrograman kuadratik.
2.1 Himpunan Konvek
Definisi berikut ini menjelaskan konsep tentang himpunan konvek.
Definisi 2.1. (Mital, K.V 1983). Sebuah himpunan K
n
disebut konvek jika
kombinasi linier konvek dari dua titik di K termasuk di dalam K. Atau dengan
kata lain, K adalah himpunan konvek jika
x1 , x2 K x K dimana
x (1 ) x1 x2 ,0 1.
Sebagai ilustrasi, suatu himpunan konvek k
n
. Dapat ditentukan
sembarang titik p yang berada pada segmen garis yang menghubungkan
sembarang dua titik yakni
p1 dan p 2 , maka titik p yang berada diantara titik
p1 dan p 2 juga berada dalam himpunan tersebut. Jika dapat ditemukan satu
pasang titik didalam himpunan tersebut yang tidak sesuai dengan kondisi ini,
maka himpunan itu bukan himpunan konvek.
6
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
Gambar 2.1 fungsi konvek dan bukan fungsi konvek
Pada gambar 2.1 dapat dilihat bahwa jika diambil sembarang 2 titik
pada sebuah segmen garis maka kedua titik tersebut masih berada pada satu
garis yang sama.
2.2 Bentuk Kuadratik
Uraian berikut ini akan menjelaskan definisi dari bentuk kuadratik.
Suatu
f:
fungsi
n
yang
berbentuk
f(x)= c11 x12 +c22 x2 2 +...+cnn xn 2 +c12 x1 x2 +c13 x1 x3 +c23 x2 x3 +...,cij R,i, j = 1,2,...n
disebut
bentuk
kuadratik
disubsitusikan kedalam
didalam
variabel
x1 ,x2 ,x2 ,...xn . Jika a11
cii dan a ji +aij ke cij , maka akan didapat :
n
n
f(x)= a11 x12 + a22 x2 2 + ...+ ann xn 2 + a12 x1 x2 + a21 x2 x1 + ...= aij xi x j = x'Ax .
i=1 j=1
dengan
x1
x
x= 2 ,
xn
a11
A=
a
n1
… a1n
dan
ann
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
x' Ax = x1
x2
a11
xn
a
n1
… a1n
ann
8
x1
x
2.
xn
Selanjutnya, akan diberikan definisi yang menjelaskan sifat bentuk
kuadratik apakah definit positif, semidefinit positif, definit negatif atau
semidefinit negatif. Definisi ini akan digunakan untuk menentukan kekonvekan
sebuah fungsi yang berbentuk kuadratik.
Definisi 2.2. (Mital, K.V 1983). Sebuah bentuk kuadratik x ' Ax disebut definit
positif jika x ' Ax 0 untuk semua x 0 . Disebut definit semidefinit positif jika
x ' Ax 0 untuk semua x 0 dan setidaknya ada satu vektor tidak nol yang
membuat x ' Ax 0 . Definit negatif dan semidefinit negatif didefinisikan dengan
membalik tanda ketidaksamaan pada definisi diatas.
Teorema 2.1. (Mital, K.V 1983). Misalkan nilai eigen dari matrik simetrik A
berordo
n n,
adalah 1 , 2 , 3 ,...k , k n. Maka bentuk kuadratik x ' Ax
adalah:
(i)
Definit positif j 0 untuk semua j;
(ii)
Definit negatif j 0 untuk semua j;
(iii)
Semidefinit positif j 0 ;
(iv)
Semidefinit positif j 0 ;
Contoh 2.1. Bentuk kuadratik f ( x) 7 x1 10 x2 7 x3 4 x1 x2 2x1x3 4x2 x3
2
2
2
jika diubah kedalam bentuk umum bentuk kuadratik akan menjadi
f ( x) x1 x2
7 2 1 x1
x3 2 10 2 x2 .
1 2 7 x3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
9
Setelah diubah kedalam bentuk umum bentuk kuadratik, maka dapat diketahui
matrik A dari bentuk tersebut. Matrik A untuk bentuk kuadrat diatas adalah
7 2 1
A = 2 10 2 .
1 2 7
Dari matrik A ini akan ditentukan nilai eigen dari bentuk kuadrat
f ( x) 7 x12 10x22 7 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .
7 2
1
2 10 2 0
1
2
7
Untuk mencari nilai eigen matriks diatas, terlebih dahulu akan dihitung
determianan dari I A dengan metode Sarrus, sehingga diperoleh:
Det I A = 7
10
2
2
7
- (-2)
2
2
1
7
-1
2 10
1
2
Det I A = 3 24 2 180 432 0 atau ( 6) ( 12) 0
2
Dari faktor diatas, didapat nilai eigen untuk bentuk kuadratik diatas adalah 6, 6,
dan 12. Semua nilai eigen yang didapat bernilai positif, maka bentuk kuadratik
f ( x) 7 x12 10x22 7 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 adalah bentuk kuadratik yang
definit positif.
2.3 Fungsi konvek
Beberapa definisi dibawah ini akan menjelaskan tentang fungsi konvek
beserta hubungannnya dengan himpunan konvek yang telah dijelaskan diatas.
Definisi 2.3. (Mital, K.V 1983). Andaikan x K
n
dimana K adalah
himpunan konveks. Fungsi f(x) dikatakan konveks jika untuk setiap dua titik x1
dan x2 dalam K berlaku :
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
f((1- )x1 + x2 ) (1- )f(x1 )+ f(x2 ),0 1
Gambar 2.2 Grafik Fungsi Konvek f ( x) x
2
Sebagai contoh, fungsi f ( x) x adalah sebuah fungsi konvek. Hal ini
2
dapat
dilihat dari kombinasi
(1- )f(x1 )+ f(x2 ) yang
liner konvek
digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan f(x1 ) A dan
f(x2 ) B , serta f(x1 )+ (1 ) f(x2 ) C adalah titik yang menghubungkan
f(x1 ) dan f(x2 ) . Terlihat pada gambar bahwa kombinasi liner konvek
(1- )f(x1 )+ f(x2 ) selalu
mengakibatkan nilai dari
berada
diatas
f ((1- )x1 + x2 ) ,
hal
ini
f ((1 ) x1 + x2 ) (1- )f(x1 )+ f(x2 ) . Maka
fungsi f ( x) x adalah fungsi konvek.
2
Pada pembahasan diatas telah dijelaskan bagaimana sebuah sifat bentuk
kuadratik yang memenuhi definit positif, semidefinit positif, definit negatif dan
semidefinit
negatif. Selanjutnya, teorema-teorema dibawah ini
akan
menjelaskan jika sebuah fungsi yang semidefinit positif adalah sebuah fungsi
konvek.
Teorema 2.2. (Mital, K.V 1983). Diberikan x
n
dan f(x)= x ' Ax adalah
sebuah bentuk kuadratik. Jika f(x) adalah semidefinit positif , maka f(x) adalah
fungsi konvek.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Bukti :
Misal x1 dan x2 adalah dua titik pada
n
dan x (1 ) x1 x2 , 0 λ 1 .
Karena f ( x) x ' Ax adalah semidefinit positif, maka nilai x ' Ax 0 untuk
semua x
n
.
(1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)
(1 ) x1 ' Ax1 x2 Ax2 ((1 ) x1 x2 ) ' A((1 ) x1 x2 )
(1 ) x1 ' Ax1 x2 Ax2 ( x1 ' Ax1 x1 ' A x2 ' A)( x1 x1 x2 )
(1 ) x1 ' Ax1 x2 Ax2 (1 ) x1 ' Ax1 x2 ' Ax2 2 (1 ) x1 ' Ax2
2
2
(1 )( x1 ' Ax2 x2 ' Ax2 2 x1 ' Ax2 )
(1 )( x1 x2 ) 'A( x1 x2 ) 0.
Karena 0 1dan x1 x2 adalah vektor pada
n
maka :
f ( x) (1- ) f ( x1 ) + f ( x2 ) .
Karena nilai f ( x) (1- ) f ( x1 ) + f ( x2 ) , maka fungsif(x) adalah fungsi konvek.
2.4 Titik Ekstrim
Titik ektrim suatu fungsi dapat berupa titik maksimal/ minimal global
atau maksimal/minimal lokal yang dijelaskan pada definisi berikut :
Definisi 2.4. (Mital, K. V 1983). Fungsi f(x) mempunyai titik minimal global
pada 𝑥0 dalam
n
jika untuk semua x dalam
n
, f(x) ≥ f(𝑥0 ). Untuk titik
maksimal global pertidaksamaannya bertanda sebaliknya.
Definisi berikut ini akan memberikan uraian tentang peminimum lokal
dari suatu fungsi.
Definisi 2.5. (Mital, K.V, 1983). Fungsi f(x) mempunyai titik minimal lokal atau
relatif pada 𝑥0 dalam
n
jika terdapat 𝛿 dipersekitaran dari 𝑥0 , sedemikian
sehingga f(x) ≥ f(𝑥0 ) untuk semua x anggota persekitaran itu. Untuk titik
maksimal lokal atau relatif pertidaksamaannnya bertanda sebaliknya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
Dari definisi diatas, jelas terlihat bahwa nilai maksimum global akan
lebih besar atau sama dengan nilai maksimum lokal. Sedangkan nilai minimum
global akan lebih kecil atau sama dengan nilai minimum lokal.
Teorema dibawah ini akan menunjukan bahwa nilai minimum lokal dari
sebuah fungsi konvek juga merupakan nilai minimum global fungsi tersebut.
Teorema 2.3. (Mital, K.V 1983). Andaikan K
n
adalah himpunan konvek,
jika x K dan f(x) adalah fungsi konvek. Jika f(x) memiliki nilai minimum lokal,
maka nilai itu juga merupakan nilai minimum global. Jika f(x) memiliki nilai
minimum lokal dibeberapa titik, maka nilai minimum global dicapai oleh
kombinasi linier dari titik-titik tersebut.
Bukti :
Misalkan f(x) memiliki nilai minimum relatif di x0 , dengan x1 K . Untuk
semua
>0
maka dapat
dipilih
,
0 1, sehingga terdapat:
x = x0 +(1- )x1 yang berada di sekitar di x 0 . Dengan menggunakan
definisi relative minimum, didapat
f(x0 ) f(x0 )
f(x0 ) f( x0 +(1- )x1 )
f(x0 )+(1- )f(x1 ) {karena f(x) konvek}
(1- )f(x0 ) (1- ) f(x1 )
f(x0 ) f(x1 ) , karena 1 positif
f(x0 ) adalah minimum global.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
Jika terdapat titik y 0 dimana minimum itu dicapai, maka: f(x0 )= f(y0 ) . Karena
K adalah salah satu titik didalam K, maka jika berlaku di x1 juga belaku pada
y1 . Sehingga diperoleh
f ( x0 ) f ( x 0 (1 ) y0 )
f (x 0 (1 ) f (y0 ) f (y0 )
f ( x0 ) f ( x 0 (1 ) y0 ) .
Dari penjabaran diatas dapat dilihat bahwa, nilai minimum juga berlaku pada
kombinasi linier konvek dari x 0 dan y0 . Sehingga himpunan titik dimana f(x)
minimum adalah himpunan minimum konvek dan merupakan kombinasi linier
dari titik tersebut.
Selain beberapa teori yang telah dijabarkan diatas, dibutuhkan teori lain
sebagai pendukung untuk menentukan portofolio optimal. Teori tersebut adalah
teori tentang nilai harapan. Pada pembahasan mengenai resiko portofolio akan
dicari nilai harapan dari masing-masing sekuritas dan nilai harapan portofolio,
untuk itu akan dibahas terlebih dahulu tentang nilai harapan.
2.5 Nilai Harapan
Definisi 2.6. (Abdus Salam, 1989). Misalkan bahwa suatu variabel random X
mempunyai distribusi diskrit dengan fungsi peluang dari X adalah f. Nilai
harapan dari X ditulis dengan lambang E(X). Nilai harapan dari x atau E(X)
adalah suatu jumlahan yang didefinisikan sebagai berikut :
E ( X ) x xf ( x)
(1.1)
( x) f ( x)
(1.2)
x
Definisi 2.7 (Abdus Salam, 1989) . Jika sebuah variabel random X mempunyai
suatu distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang dari X adalah f. Nilai
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
Ekspektasi dari X ditulis dengan lambing E(X). Nilai Ekspektasi x atau E(X)
didefinisikan sebagai berikut:
E ( x)
xf ( x)dx
(1.3)
Teorema 2.4. (Abdus Salam, 1989): Jika Y aX b , dimana a dan b adalah
konstanta maka E (Y ) aE (X) b .
Bukti :
E (Y ) E(aX b)
(aX b) f ( x)dx
a xf ( x)dx b f ( x)dx
aE (X) b
Definisi 2.8 (Abdus Salam, 1989). Misalkan X adalah sebuah variabel random
dengan Mean (lambang ) E ( X ) . Varian dari X ditulis Var ( X )
,didefinisikan sebagai berikut :
Var ( X ) E ( X )
2
Beberapa sifat varian :
1. E ( X ) E ( X )
2
2
2
Bukti :
Dari definisi (1.1) diatas diketahui bahwa E ( X ) .
Maka :
E ( X ) 2 E ( X 2 2 X 2 )
E ( X 2 ) 2 E ( X ) 2
E ( X 2 ) 2 2
(1.4)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15
E ( X ) 2 2 2
E( X 2 ) 2
2. Jika
X1
dan
X2
adalah
variabel
random
bebas,
maka
Var ( X1 X 2 ) Var ( X1 ) Var ( X 2 ) .
Bukti:
Berdasarkan definisi (1.1) diatas bahwa E ( X ) , maka E ( X1 ) 1 dan
E ( X 2 ) 2 sehingga E ( X1 X 2 ) 1 2 .
Maka :
Var ( X 1 X 2 ) E ( X 1 X 2 1 2 )
2
E (( X 1 1 ) ( X 2 2 )) 2
E ( X 1 1 ) 2 ( X 2 2 ) 2 2( X 1 1 )( X 2 2 )
Var ( X1 ) Var ( X 2 ) 2E ( X1 1 )( X 2 2 )
Karena X 1 dan X 2 bebas, maka :
E( X1 1 )( X 2 2 ) E( X1 1 ) E( X 2 2 )
(E X1 1 )(E X 2 2 )
(1 1 )(2 2 )
0
Karena
E ( X1 1 )( X 2 2 ) 0 , maka
Var ( X1 X 2 ) Var ( X1 ) Var ( X 2 ) 0 . Sehingga,
Var ( X1 X 2 ) Var ( X1 ) Var ( X 2 )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
3.Varian dari X adalah konstan. E ( X ) , 2 adalah konstan.
2
2
Definisi 2.9. (Abdus Salam, 1989). Kovarian didefinisikan sebagai berikut:
N
xy X i E ( X )Yi E (Y ) p( x, y)
(1.5)
i 1
dengan
xy adalah nilai kovarian antara dua peubah acak, X i adalah nilai
variabel acak X ke-i, Yi adalah nilai variabel acak Y ke-i, p( x, y ) adalah
probabilitas terjadinya X i dan Yi , dan
n
adalah banyaknya kondisi masa
depan i (1, 2, 3...N ).
Kovarian antara dua peubah acak adalah suatu hubungan antara dua
peubah acak tersebut. Misalnya Sekuritas A dan Sekuritas B. Nilai kovarian
yang positif akan menunjukan nilai kedua sekuritas tersebut bergerak kea
rah yang sama (jika sekuritas A meningkat maka sekuritas B akan
meningkat, sebaliknya jika sekuritas A menurun maka sekuritas B akan
menurun). Sedangkan nilai kovarian yang negatif akan menunjukan
pergerakan kedua sekuritas yang bergerak berlawanan (jika nilai sekuritas
A meningkat maka nilai sekuritas B menurun, sebaliknya jika niali sekuritas
A menurun maka nilai sekuritas B akan meningkat).
2.6 Statistika Multivariat
Pembahasan selanjutnya akan dibahas tentang statistika multivariat.
Materi dalam teori ini akan membantu untuk membentuk matrik variankovarian yang digunakan untuk membentuk solusi dari optimasi kuadratik
dalam pembentukan portofolio saham.
Data multivariat merupakan data hasil pengukuran/ pengamatan/
perhitungan terhadap p variabel x1 , x2 , x3 ,...x p pada
n sample yang dinyatakan
dalam bentuk matriks. Bentuk matriks data multivariate yang dikur sebanyak
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
p variabel yakni x ( x1 , x2 , x3 ,...x p ) dari sebanyak n individu ditulis sebagai
berikut :
x11
x
21
X
xn1
x1 p
x2 p
xnp
x12
x22
xn 2
Pada matrik data mltivariat, rata-rata masing variabel mean disajikan
dalam bentuk vektor mean. Sebelum membahas hal ini akan dibahas beberapa
pengertian khusus.
1. Matrik kolom atau vektor kolom adalah matrik yang terdiri dari
satu kolom atau matrik berordo n1 . Matrik kolom dinyatakan
dalam bentuk sebagai berikut :
x1
x
X 2 .
xn
2. Matrik baris atau vektor baris adalah matrik yang terdiri dari satu
baris atau matrik yang berordo 1 n . Matrik baris dinyatakan
dalam bentuk sebagi berikut :
X x1
x2
x p .
3. Vektor nol adalah vektor yang setiap elemennya adalah nol
(bilangan nol). Contoh vektor nol adalah sebagai berikut :
0
0
0
0
0 atau .
0
4. Vektor satuan atau vektor unit adalah vektor yang setiap
elemennya adalah 1 (bilangan satu). Contoh vektor satuan adalah
sebagai berikut :
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1
1
18
1
1
1 atau .
1
Setelah membahas beberapa pengertian khusus selanjutnya akan
dibahas vektor mean yang merupakan matrik yang menyajikan rata-rata dari
masing-masing variabel. Bentuk vektor mean adalah sebagai berikut :
Misalkan suatu matrik X x1
tersebut adalah 1
2
x2
x p maka vektor mean dari matrik X
x1
x
p atau matrik X 1
x1
maka vektor mean dari matrik tersebut adalah ij
x1
x1
x1
x1
x1
,
x1
1 n
1
1
xij 1' X X '1 .
n i 1
n
n
Pada data multivariate terdapat matrik varian kovarian. Matrik variankovarian adalah matrik gabungan dari variansi dari tiap variabel dan
kovariansi pada dua variabel yang berbeda. Matrik Varian-kovarian
dilambangkan dengan .
E ( X ) '( X )
X 1 1
X 2 2
X 1
E
1
X p p
X 2 2
X p p
( X 1 1 )( X 1 1 ) ( X 1 1 )( X 2 2 ) .... ( X 1 1 )( X p p )
( X )( X ) ( X )( X ) .... ( X )( X )
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
p
p
E
( X p p )( X 1 1 ) ( X p p )( X 2 2 ) .... ( X p p )( X p p )
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
12 12 ... 1 p
21 12 2 ... 2 p
2
n1 n 2 ... p
12 12
22
1
n1 n 2
1 p
2p
2
p
.
Dari matrik diatas terlihat bahwa elemen utama dari matrik tersebut
berisi nilai varian dari setiap variabel sedangkan elemen lain adalah nilai
kovarian dari dua variable.
Sebagai pendukung teori matematika untuk menyelesaikan masalah
pembentukan portofolio saham yang optimal diperlukan teori-teori dalam
bidang ekonomi yang berhubungan dengan pembentikan portofolio. Beberapa
teori dalam bidang ekonomi yang akan dijabarkan adalah pasar modal, saham,
investasi, dan teori portofolio.
2.7 Pasar Modal
Berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 8 Tahun 1995
tentang Pasar Modal, “Pasar Modal adalah tempat kegiatan yang berhubungan
dengan penawaran umum dan perdagangan efek, perusahan yang berkaitan
dengan efek yang diterbitkannnya, serta lembaga dan profesi yang berkaitan
dengan efek”. Widoatmojo (2005 : 15) mengungkapkan, “Pasar Modal adalah
pasar yang abstrak, dimana yang diperjualbelikan adalah dana-dana jangka
panjang yakni dana yang berkaitan dengan investasi yang lebih dari satu tahun”.
Berdasarkan pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa Pasar Modal adalah
tempat untuk memperjualbelikan surat berharga yang dijual dalam jangka
waktu yang lama, misalnya saham dan obligasi (surat hutang).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
Pasar modal (bursa efek) terbesar di Indonesia adalah Bursa Efek
Jakarta (BEJ). Sekuritas yang diperjual belikan di BEJ adalah saham preferen
(preferren stock), saham biasa (common stock), hak (rights), dan obligasi
konvertibel (convertible bonds). Selain BEJ bursa efek yang terbesar di
Indonesia adalah Bursa Efek Surabaya (BES). BEJ menggunakan sebuah
jaringan komputer untuk menangani transaksi yang terjadi di BEJ setiap harinya
yang mencapai 3.800 transaksi, yakni dengan sistem otomatisasi bernama
Jakarta Automated Trading System (JATS). Sistem ini dioperasikan pertama
kali pada tanggal 22 Mei 1995. Sistem JATS ini mampu menangani 50.000
transaksi setiap harinya. Sama halnya dengan sistem otomatisasi JATS yang
digunakan di BEJ, di BES menerapkan Surabaya Market Information and
Automated Remote Trading (S-MART). Sistem ini mulai dioperasikan pada
tanggal 19 September 1996.
Untuk melindungi semua investor dipasar saham, pada tahun 1976
melalui Keputusan Presiden, departemen keuangan Indonesia mendirikan
Badan Pelaksana Pasar Modal (BAPEPAM) yang bertujuan untuk
melaksanakan kegiataan pasar modal. Dan pada tahun 1990 BAPEPAM diubah
sebagai Badan Pengawas Pasar Modal yang hanya berfungsi sebagai pembuat
regulasi (regulator), pengkoordinasi semua bursa-bursa pasar modal yang ada
di Indonesia serta mengawasi jalannnya pasar modal.
2.8 Saham
Berikut ini akan dijelaskan beberapa hal yang terkait dengan saham,
yakni pengertian saham dan jenis-jenis saham.
2.8.1. Pengertian Saham
Investasi surat berharga didalam Undang-Undang Nomor 8
Tahun 1995 tentang Pasar Modal merupakan selembar kertas yang
menunjukan hak pemegang surat tersebut untuk memperoleh bagian
dari kekayaan sebuah lembaga yang menerbitkan sekuritas tersebut
(Suat Husnan, 2001:3). Saham menurut L. Thian Hin (2001 : 13)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
adalah surat berharga yang merupakan tanda kepemilikan seseorang
terhadap suatu perusahan. Sedangkan, Bambang Riyanto (1995 :
250) menjelaskan Saham adalah tanda bukti peserta dalam suatu
Perseroan Terbatas (PT). Bagi peserta PT tersebut, hasil yang
diterima dari penjualan saham “akan tetap tertanam” didalam
perusahan tersebut selama perusahan itu ada, meskipun pemegang
saham itu bukanlah pemegang saham yang permanen, karena bisa
saja saham tersebut dijual.
Dengan membeli saham pada suatu perusahan, berarti
investor telah menginvestasikan dana dengan harapan akan
mendapatkan keuntungan dari hasil penjualan kembali saham
tersebut. Bentuk saham adalah secarik kertas yang menerangkan
bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik perusahan yang
menerbitkan surat berharga tersebut dan porsi kepemilikan
ditentukan oleh berapa besar dana yang ditanamkan dalam
perusahan tersebut (Darmadji, 2001 : 5).
Dari definisi para ahli diatas, maka dapat disimpulkan bahwa
Saham adalah surat berharga yang menunjukan bukti kepemilikan
seseorang atau lembaga atas sebuah perusahaan yang sah secara
hukum.
2.8.2. Jenis-Jenis Saham
Menurut Ahmad (2004) ada dua jenis saham, yakni :
a. Berdasarkan Cara Peralihannya
Saham berdasarkan cara peralihannya dibedakan
menjadi dua yakni Saham Atas Unjuk (Bearer Stocks) dan
Saham Atas Nama (Registered stocks). Saham Atas Unjuk
(Bearer Stocks) adalah saham yang tidak dituliskan identitas
pemiliknya, sehingga pemiliknya mudah untuk menjual atau
memindahkannya kepada orang lain. Siapa saja pemegang
atau pemilik Saham Atas Unjuk yang sah secara hukum, ia
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22
berhak hadir dan mengeluarkan pendapat saat rapat
pemegang saham. Sedangkan Saham Atas Nama (Registered
stocks) adalah saham yang ditulis secara jelas siapa
pemiliknya. Sehingga untuk mengalihkan saham tersebut
harus melalui prosedur tertentu, yakni melalui dokumen
peralihan kemudian nama pemilik baru akan dicatat dalam
buku perusahan yang memuat nama pemegang saham.
Karena didalam saham ini sudah ada nama pemiliknya, maka
jika sertifikat saham ini hilang maka pemilik dapat meminta
pergantian nama karena namanya sudah tercatat dalam buku
perusahaan.
b. Berdasarkan Hak Tagihannnya
Saham jika dilihat berdasarkan Hak Tagihannnya
dibedakan menjadi :
1. Saham Biasa (Common Stocks).
Saham biasa adalah surat biasa yang paling banyak
dan
paling
luas
diperdagangkan.
Selain
berhak
mengeluarkan suara saat Rapat Umum Pemegang Saham
(RUPS), pemilik saham biasa juga berhak mendapatkan laba
(deviden) yang dihasilkan perusahaan serta mendapatkan
keuntungan dari kenaikan modal (nilai) dari saham yang
disebut capital gain. Menurut Siamat (2004:385), ciri-ciri
saham biasa adalah sebagai berikut:
a) Dividen
dibayarkan
sepanjang
perusahaan
memperoleh laba.
b) Memiliki hak suara (one share one vote).
c) Hak memperoleh pembagian kekayaan perusahaan
paling akhir apabila bangkrut setelah semua
kewajiban perusahaan dilunasi.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
2. Saham Preferen (Preferren Stocks)
Saham Preferen (Preferren Stocks) adalah saham
yang disertai dengan preferensi tertentu diatas saham biasa
untuk hal pembagian deviden dan pembagian kekayaan saat
perusahaan dibubarkan. Saham Preferen biasanya akan
memberikan deviden yang tetap setiap tahunnya. Selain itu,
Saham Preferen tidak memiliki hari jatuh (perpetuity) dan
pemiliknya tidak mempunyai hakatas RUPS. Para pemegang
Saham Preferen akan dijamin untuk mendapatkan deviden
dalam jumlah yang tetap sebelum ada jumlah tertentu yang
dibayarkan kepada pemegang saham biasa. Karena itu,
pemegang Saham Preferen akan kehilangan haknya atas
suara managemen perusahan dan atas pembagian laba diluar
yang telah ditetapkan. Ciri-ciri Saham Preferen menurut
Siamat (2004:385) adalah sebagai berikut:
a. Memiliki hak paling dahulu memperoleh deviden.
b. Tidak memiliki hak suara.
c. Dapat
mempengaruhi
manajemen
perusahaan
terutama dalam pencalonan pengurus.
d. Memiliki hak pembayaran sebesar nilai nominal
saham lebih dahulu setelah kreditur apabila
perusahaan dilikuidasi.
c. Berdasarkan Kinerja Perdagangan
Jika dilihat dari kenerja perdagangannnya, saham
dibagi menjadi:
1. Saham Unggulan (Blue Chips) adalah saham yang
diterbitkan perusahan besar yang telah terbukti mampu
memperoleh keuntungan. Saham ini adalah saham biasa
yang memiliki reputasi tinggi dengan pendapatan yang
stabil dan konsisten dalam membayar dividen.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
2. Income Stock adalah saham yang membayar deviden
melebihi jumlah rata-rata pendapatan.
3. Growth Stocks adalah saham yang dikeluarkan oleh
perusahan yang laba dan pasarnya berkembang.
4. Speculative Stocks . Semua saham yang diperdagangkan
merupakan saham spekulatif, karena saat membeli tidak
ada kepastian keuntungan yang akan didapat tetapi
memiliki kemungkinan penghasilan yang tinggi di masa
yang akan datang meskipun belum pasti.
5. Counter Cylical Stocks adalah saham perusahaan yang
keuntungan dipengaruhi oleh siklus usaha.
2.9 Investasi
Berikut ini akan dijelaskan hal-hal yang berkaitan dengan investasi.
2.9.1. Pengertian Investasi
Menurut Mulyadi (1991 : 85), investasi adalah pengikat sumbersumber jangka panjang untuk menghasilkan laba jangka panjang. Orang
yang akan menginvestasikan dananya berharap untuk mendapatkan kembali
dana yang telah diinvestasikannnya. Selain itu, Investasi juga disebut
sebagai uang yang dipakai untuk menghasilkan uang (E.A Koetin, 1993 :
58). Melihat dari definisi pada ahli diatas, dapat dikatakan investasi adalah
kegiatan
yang
dilakukan
untuk
memperoleh
laba
dengan
cara
menginvestasikan dana pada satu atau lebih aset selama periode tertentu.
2.9.2. Resiko Investasi
Dalam berbagai aspek ekonomi, termasuk investasi tidak akan lepas
dari ketidakpastian atau resiko. Suad Husnan (2001 : 52) menjelaskan
bahwa Resiko adalah kemungkinan keuntungan akan menyimpang dari
keuntungan yang diharapkan. Semakin besar nilai hasil suatu investasi,
maka akan semakin besar juga resiko demikian pula sebaliknya.
Penyimpangan dari hasil yang diharapkan merupakan resiko dari
kepemilikan sekuritas. Menurut Aminul Amin (1994 : 10), perbedaan dari
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
hasil yang sesungguhnya dengan hasil yang diharapkan menggambarkan
resiko dari investasi tersebut.
Agus Sartono (1995 : 39), mengatakan bahwa resiko berarti
kemungkinan tidak tercapainya keuntungan yang diharapkan atau
kemungkinan return yang dihasilkan menyimpang dari return
yang
diharapkan, maka resiko akan semakin besar. Resiko ini dapat terjadi karena
lesunya ekonomi akibat resesi, adanya persaingan dalam dunia usaha,
terjadi inflasi sehingga daya beli menurun, naik turunnya tingkat bunga dan
mata uang terhadap valuta asing, serta resiko yang terjadi akibat perubahan
kebijakan pemerintah.
Menurut Francis Jack Clark (1976 : 318), terdapat dua macam resiko
yakni resiko tidak sistematik dan sistematik. Resiko tidak sistematik adalah
resiko yang dapat dihilangkan dengan diversifikasi sedangkan resiko yang
sistematik merupakan resiko yang diakibatkan oleh pasar yang akan
mempegaruhi semua perusahaan dan tidak dapat dihilangkan dengan
diversifikasi seperti perang dan inflasi.
2.10
Teori Portofolio
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa hal yang berhubungan dengan
Teori Portofolio meliputi pengertian portofolio serta return dan resiko
portofolio.
2.10.1.
Pengertian Portofolio
Portofolio merupakan strategi yang digunakan investor untuk
menghadapi resiko yang sedang ia hadapi. J. Fred Weston dan Thomas
E. Copeland (1992 : 515), mengungkapkan bahwa Teori Portofolio
merupakan teori yang digunakan untuk mengambil keputusan dalam
situasi yang tidak pasti. Menurut Suat Husnan (2001 : 54), portofolio
adalah “sekumpulan kesempatan investasi”. Pada dasarnya, hakikat
pembuatan portofolio adalah menggurangi resiko dengan cara
diversifikasi.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2.10.2.
26
Return dan Resiko Portofilo
a) Return Portofolio
Berdasarkan Jogiyanto (2007), untuk menghitung return
realisasi dan return ekspektasi dari portofolio digunakan nilai
rata-rata tertimbang return dari return-return seluruh sekuritas.
Tetapi, nilai resiko portofolio tidak harus sama dengan nilai ratarata tertimbang resiko-resiko
seluruh sekuritas.
Resiko
portofolio bisa lebih kecil dari nilai rata-rata tertimbang resiko
masing-masing sekuritas tunggal.
Berdasarkan Jogiyanto (2007:147), return Realisasi
Portofolio (portfolio realized return) merupakan rata-rata
tertimbang dari return-return realisasi masing-masing sekuritas
tunggal dalam suatu portofolio. Secara matematis return realisasi
portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut:
n
Rp (ki .Ri )
(1.6)
i 1
dengan Rp adalah return realisasi portofolio, ki adalah porsi
sekuritas ke-i terhadap seluruh sekuritas dalam portofolio, Ri
adalah return realisasi dari sekuritas ke-i, dan n adalah
banyaknya sekuritas.
Return Ekspektasi Portofolio (portfolio expected return)
dalam Jogiyanto (2007 : 158) merupakan rata-rata tertimbang
dari return-return ekspektasi masing-masing sekuritas tunggal
dalam portofolio. Secara matematis return ekspektasi portofolio
dirumuskan sebagai berikut:
n
E ( R p ) (ki .E ( Ri ))
i 1
(1.7)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27
dengan E ( Rp ) adalah return ekspektasi portofolio, ki adalah
proporsi sekuritas i terhadap seluruh sekuritas dalam portofolio,
E ( Ri ) adalah return ekspektasi dari sekuritas ke-i, dan n adalah
banyaknya sekuritas.
Contoh 2.1. Suatu portofolio terdiri dari 3 macam sekuritas
dengan proporsi yang sama, yakni 1 bagian. Return ekspektasi
3
masa yang akan datang untuk masing-masing sekuritas adalah
15% untuk sekuritas pertama, 18% untuk sekuritas kedua, dan
21% untuk sekuritas ketiga. Maka besarnya return ekspektasi
untuk portofolio tersebut adalah:
3
E ( R p ) (ki .E( Ri ))
i 1
1
1
1
.15% .18% .21% 18% .
3
3
3
Hal ini berarti, besarnya tingkat keuntungan yang diharapkan
dari portofolio yang terdiri dari 3 macam sekuritas tersebut
sebesar 18%.
b) Resiko Portofolio
Dalam Jogiyanto (2007:149), resiko portofolio adalah
varian return sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio.
Konsep resiko portofolio pertama kali di perkenalkan oleh Harry
M. Markowitz pada tahun 1950-an. Karena hal ini, ia
memenangkan Nobel dibidang ekonomi pada tahun 1990.
Dalam konsepnya, Harry M. Markowitz menunjukan bahwa
resiko dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa
sekuritas tunggal kedalam bentuk portofolio. Untuk menunjukan
bahwa
menggurangi
resiko
adalah
dengan
membentuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28
portofolio, Jogiyanto (2007) mengawali dengan membahas
portofolio dengan dua aktiva.
1) Portofolio dengan dua aktiva
Andaikan suatu portofolio memiliki dua aktiva, yaitu
sekuritas A dan B. Proporsi masing-masing sekuritas didalam
portofolio berturut-turut adalah a dan b ( b = 1 – a), return
realisasi A sebesar RA dan return realisasi B sebesar RB, maka
return realisasi dari portofolio tersebut adalah :
Rp a.RA b.RB .
(1.8)
Sedangkan return ekspektasi sebesar :
E ( RP ) E (a.RA ) E (b.RB ).
(1.9)
Nilai resiko salah satunya dapat diukur dengan
menggunakan standar deviasi (standart deviation) atau varian
(variance) yang merupakan kuadrat dari deviasi standart.
Dengan menggunakan standar deviasi atau varian ini, resiko
yang diukur adalah seberapa besar nilai setiap item (sekuritas)
yang menyimpang dari rata-ratanya. Dengan demikian, resiko
portofolio dapat dirumuskan sebagai :
var( Rp ) p 2 E Rp E ( Rp )
2
(1.10)
2
dengan var( Rp ) adalah varian return portofolio, dan p adalah
besarnya kuadrat dari deviasi standart.
Dengan mensubsitusikan persamaan (1.7) kedalam persamaan
(1.9) maka didapat :
var( Rp ) E ( Rp E ( Rp )
2
E (a.RA b.RB ) (a.E ( Ra ) b.E ( RB )
2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29
E a.RA b.RB E (a.RA ) E (b.RB )
2
E a.RA b.RB a.E ( RA ) b.E ( RB )
2
E (a.RA a.E ( RA )) (b.RB b.E ( RB ))
2
E a.( RA E ( RA )) b.( RB E ( RB ))
2
E[(a2 .(RA E(RA ))2 b2 .(RB E(RB ))2
2.a.b( RA E ( RA )).( RB E ( RB ))]
a2 .E[ RA E( RA )]2 b2 .E[ RB E( RB )]2
2.a.b.E[ RA E ( RA )).( RB E ( RB ))]
Sehingga diperoleh
var( Rp ) p 2 a 2 .E[ RA E ( RA )]2 b2 .E[ RB E ( RB )]2 +
2.a.b.E[ RA E ( RA )).( RB E ( RB ))] . (1.11)
Berdasarkan Jogiyanto (2007), kovarian (covariance)
antara return saham A dan B ditulis sebagai Cov (RA, RB) atau
RA ,RB . Kovarian akan menunjukan hubungan pergerakan dari
nilai return sekuritas A dan B. Nilai kovarian yang positif akan
menunjukan nilai kedua sekuritas tersebut bergerak kearah yang
sama (jika nilai sekuritas A meningkat, maka nilai sekuritas B
juga meningkat, demikian sebaliknya jika nilai sekuritas A
menurun maka nilai sekuritas B juga menurun). Sedangkan nilai
kovarian yang negatif menunjukan nilai kedua sekuritas
bergerak kearah yang berlainan
(jika nilai sekuritas A
meningkat, maka nilai sekuritas B menurun atau jika nilai
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
sekuritas A menurun nilai sekuritas B meningkat). Hal ini berarti
kedua sekuritas tersebut saling mengkompensasi satu sama lain.
Jika harga saham sekuritas A turun maka kekurangan dari
sekuritas A tersebut ditutupi dengan kelebihan dari sekuritas B.
Demikian pula sebaliknya, jika harga saham B mengalami
penurunan maka kekurangan dari harga saham sekuritas B
ditutupi dengan kelebihan dari sekuritas A. Nilai kovarian nol
menunjukan bahwa nilai kedua sekuritas independen, yakni
pergerakan nilai sekuritas tidak saling berhubungan (nilai
sekuritas A tidak mempengaruhi nilai sekuritas B, demikian
sebaliknya nilai sekuritas B tidak mempengaruhi nilai sekuritas
A). Nilai kovarian bergantung pada return-return ekspektasi dari
sekuritas A dan B, dihitung dengan rumus berikut :
n
cov( RA .RB ) RA.RB RAi E ( RA ). RBi E ( RB ).Pi
(1.12)
i 1
dengan cov( RA .RB ) adalah kovarian return antara saham A dan
saham B, RAi adalah return masa depan saham A kondisi ke-i,
RBi adalah return masa depan saham A kondisi ke-i, E ( RA )
adalah return ekspektasi saham A, E ( RB ) adalah return
ekspektasi saham B, Pi adalah probabilitas terjadinya masa
depan untuk kondisi ke-i, n adalah banyaknya kondisi masa
depan dari i i (1, 2, 3,...n) .
2) Portofolio dengan banyak aktiva
Berdasarkan Jogiyanto (2007), portofolio dengan banyak
aktiva yakni portofolio yang terdiri dari n 2 buah sekuritas.
Misalkan proporsi masing-masing aktiva ke-i yang membentuk
portofolio adalah wi . Jika suatu portofolio memiliki tiga buah
sekuritas misal sekuritas ke-1, sekuritas ke-2 dan sekuritas ke-3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
maka proporsi masing-masing sekuritas adalah 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ,
sedangkan besarnya varian untuk masing-masing sekuritas
adalah 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 dan besarnya kovarian masing-masing sekuritas
( ke-1 dan ke-2) , (ke-2 dan ke-3), (ke-3 dan ke-1) adalah
𝑤12 , 𝑤23 , 𝑤31 . Maka besarnya varian untuk ketiga sekuritas ini
adalah
p 2 [ w12 . 12 w2 2 . 2 2 w32 . 32 ]
2.w1.w2 .12 2.w1.w3.13 2.w2 .w3. 23
= [proporsi varian] + [proporsi kovarian].
(1.13)
Dengan demikian, resiko portofolio adalah jumlah dari proporsi
varian dan kovarian masing-masing aktiva pada persamaan
(1.13) dapat dituliskan kembali sebagai
p 2 w1 w2
11 12 13 w1
w3 21 22 23 w2 .
31 32 33 w3
11 12 13
Matrik 21 22 23 dapat disebut sebagai matrik varian
31 32 33
kovarian untuk 3 aktiva. Berdasarkan materi pada subbab
sebelumnya yakni pada subab 2.6 tentang matrik varian-kovaria,
diagonal utama matrik ini yakni 𝜎11 , 𝜎22 , 𝜎33 berisi nilai varian
masing-masing aktiva. Sedangkan bagian diluar diagonal ini
merupakan kovarian yakni 𝜎12 , 𝜎13 , 𝜎23 . Matrik ini adalah
matrik yang simetrik, karena bagian atas luar diagonal sama
dengan bagian bawah luar diagonal.
Berdasarkan uraian diatas, maka untuk n-aktiva varian
portofolio dapat dirumuskan sebagai
p 2 [ w12 . 12 w2 2 . 2 2 w32 . 32 ... wn 2 . n 2 ]
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
32
[2.w1.w2 .12 2.w1.w3 .13 ...
2.w2 .wn . 2n ... 2.wn1.wn . ( n1) n ]
(1.14)
atau dapat dituliskan sebagai
n
n
n
p 2 wi 2 . i 2 wi .w j . ij .
i 1
(1.15)
i 1 j 1
Rumus diatas dapat dijabarkan kembali menjadi
n
n
n
p 2 wi .wi . ii i j wi .w j . ij
i 1
i 1 j 1
Bagian pertama dan kedua dari rumus diatas dapat digabung
menjadi :
n
n
p wi .w j . ij
2
(1.16)
i 1 i j
c) Menentukan Portofolio Yang Efisien
Berdasarkan Jogiyanto (2007), portofolio yang efisien
(efficient portfolio) merupakan portofolio yang mampu
memberikan return ekspektasi terbesar dengan resiko yang
sudah tertentu atau memberikan resiko terkecil dengan return
ekspektasi yang sudah tertentu. Portofolio yang efisien dapat
ditentukan dengan memilih tingkat return ekspektasi yang
tertentu dan meminimumkan resikonya atau menentukan
resikonya dan kemudian memaksimumkan ekspektasinya.
Pada penelitian ini akan disusun portofolio optimal
dengan
memilih
meminimumkan
tingkat
resikonya
return
(Model
ekspektasi
kemudian
Markowitz).
Untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33
menggunakan model ini pada Jogiyanto (2007), ada beberapa
asumsi yang digunakan pada model ini , yaitu :
1. Waktu yang digunakan hanya satu periode.
2. Tidak ada biaya transaksi.
3. Preferensi investor hanya didasarkan pada return
ekspektasi dan resiko dari portofolio.
4. Tidak ada pinjaman dan simpanan bebas resiko.
Asumsi yang menyatakan bahwa preferensi investor
hanya didasarkan pada return ekspektasi dan resiko portofolio
sebenarnya menganggap bahwa investor memiliki utility yang
sama (pada dasarnya berbeda). Jika preferensi investor berbeda
karena utility mereka berbeda maka optimal portofolio untuk
tiap-tiap investor akan berbeda. Demikian juga jika tersedia
pinjaman dan simpanan bebas resiko maka optimal portofolio
akan berbeda juga.
Pada model Markowitz, titik optimal ditentukan dengan
menggunakan metode penyelesaian optimasi. Fungsi obyektif
yang digunakan adalah fungsi resiko portofolio berdasarkan
metode Markowitz. Fungsi obyektif ini akan diminimalkan
dengan menetapkan beberapa kendala. Kendala pertama adalah
total proporsi yang diinvestasikan dimasing-masing aktiva.
Untuk seluruh n aktiva adalah totalnya sama dengan 1 (dana
yang diinvestasikan 100%). Misal 𝑤𝑖 adalah proporsi aktiva kei yang diinvestasikan dengan n aktiva, maka kendala pertama
dapat dituliskan sebagai
n
w 1
i 1
i
Kendala kedua adalah proporsi setiap sekuritas tidak boleh
bernilai negatif, yaitu
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
wi 0, i 1, 2,...n
Kendala ketiga adalah jumlah rata-rata dari seluruh return
masing-masing aktiva (𝑅𝑖 ) sama dengan return portofolio (𝑅𝑝 ),
yaitu
n
w .R R
i 1
i
i
p
Sehingga bentuk optimasinya adalah
n
n
n
2
2
2
meminumumkan p wi . i i j wi .w j . ij
i 1
i 1 j 1
= wT . .w
w1
a11
w
2
dengan w dan
am1
wn
dengan kendala:
n
w 1
i 1
i
wi 0, i 1, 2,...n
n
w .R R
i 1
i
i
p
a1n
.
amn
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
OPTIMASI KUADRATIK
3.1 Pemrograman Kuadratik
Berdasarkan Mital (1987), pemrogaman kuadratik merupakan persoalan
optimasi nonlinear berkendala dimana fungsi obyektifnya berbentuk kuadratik
dan fungsi kendala berbentuk linier. Jika fungsi obyektif merupakan fungsi
konveks maka masalah pemrograman kuadratik tersebut disebut pemrograman
kuadratik konveks. Bentuk umum dari pemrograman kuadratis adalah sebagai
berikut :
meminimumkan: f(x)= Px+ x'Ax
n
n
n
= Pj x j + Ajk x j xk
j=1
(1.17)
j=1 k=1
dengan kendala Aeq x beq , x 0
Dengan x, P dan A dari bentuk kuadratik diatas didefinisikan sebagai berikut :
x1
P1
a11
x
P
2
2
x = , P = , A=
a
n1
x
P
n
n
… a1n
.
ann
3.2 Pengali Lagrange
Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum biasanya sering
diiringi dengan beberapa kendala yang harus dipenuhi. Jika kendala tersebut
merupakan fungsi yang rumit dan mempunyai bentuk yang sedemikian rupa
sehingga tidak dapat dinyatakan dalam satu variabel, maka metode subsitusi
dan eliminasi tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.
Sehingga dibutuhkan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan masalah
optimasi tersebut. Dalam Jong Jek Siang, metode yang sering digunakan adalah
metode Lagrange Multiplier. Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk
memperoleh nilai-nilai maksimum atau minimum dari fungsi f(x,y) yang
35
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
dipengaruhi oleh kondisi persyaratan atau kendala g(x,y) = 0 dan terdiri atas
pembentukan fungsi penolong.
Langkah awal metode pengganda lagrange adalah dengan membentuk
fungsi baru yakni F yang merupakan gabungan antara dua fungsi obyektif,
fungsi kendala dan ditambah dengan sejumlah variabel pengganda ( ). Bentuk
fungsi baru tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦)
dengan syarat :
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
= 0 , 𝜕𝑦 = 0,
𝜕𝐹
𝜕𝜆
(1.18)
= 0.
Lambang 𝜆 (lambda) pada fungsi F, mewakili angka yang belum ditentukan
besarnya dan nilainya tidak tergantung pada x dan y, yang disebut pengali (tak
tentu) Lagrange.
3.3 Kondisi Kuhn-Tucker
Berdasarkan Jong Jek Siang setelah membentuk fungus baru yakni
fungsi F, langkah selanjutnya adalah membentuk syarat (kendala). Syarat diatas
merupakan syarat perlu untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu
fungsi. Jika syarat perlu dipenuhi masih belum dapat ditentukan apakah titik
yang didapat merupakan titik minimum, maksimum atau titik sadel. Untuk itu
diperlukan syarat cukup. Syarat perlu dan syarat cukup diberikan oleh KuhnTucker untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik dengan kendala
berbentuk persamaan. Syarat perlu (necessary condition) merupakan syarat
yang mutlak diperlukan agar suatu titik X menjadi calon penyelesaian optimal.
Akan tetapi, syarat ini belum tentu cukup sehingga perlu ditambah dengan
dipenuhinya syarat cukup. Syarat perlu belum tentu cukup tetapi sebaliknya
syarat cukup belum tentu diperlukan. Syarat cukup untuk menyelesaikan
pemrograman kuadratik diberikan sebagai berikut :
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2 f
x12
Syarat cukup : H ( x)
f
xi x j
2
2 f
x2 x1
2 f
xn x1
2 f
x1x2
2 f
x22
2 f
xn x2
...
37
2 f
x1xn
2 f
...
x2 xn
...
2 f
xn2
Ekstrim minimum jika H(x) definit positif
dengan x =
Ekstrim maksimum jika H(x) definit negatif
Titik sadel jika H(x) indefinit.
Solusi untuk pemrograman kuadratik dengan kendala persamaan diatas :
meminimumkan: f(x)= Px+ x'Ax
n
n
n
= Pj xi + A jk x j xk
j=1
j=1 k=1
dengan kendala Aeq x beq , x 0 ,
adalah dengan menentukan syarat perlu dan syarat cukup seperti berikut ini :
(A eq beq )
L f
0
x x
x
L
( Aeq beq ) 0
x0
Contoh 2.2 : Tentukan nilai minimum dari fungsi berikut ini :
f ( x) x1
1 0 x1
x2
0 2 x2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2 1 x
38
4
1
dengan kendala :
x 6 , x 0 .
4
1
2
Solusi dari fungsi diatas akan diselesaikan secara manual dan bantuan Matlab.
Dengan cara manual fungsi f ( x) dapat ditulis menjadi f ( x) x1 2 x2 .
2
2
2𝑥 + 𝑥2 = 4
Sedangkan fungsi kendala dapat ditulis manjadi : { 1
.
4𝑥1 + 𝑥2 = 6
Dari fungsi obyektif dan fungsi kendala diatas dibentuk fungsi Lagrange :
L( x, ) x12 2x22 1 (2 x1 x2 4) 2 (4 x1 x2 6) .
(3.1)
Suku yang dengan variabel untuk membentuk fungsi Lagrange diatas
adalah fungsi kendala bukan fungsi obyektif. Karena terdapat dua buah
kendala, maka diperlukan dua buah :
L
2 x1 21 42 2( x1 1 22 ) 0
x1
(3.2)
L
4 x2 1 2 0
x2
(3.3)
L
(2 x1 x2 4) 0
1
(3.4)
L
(4 x1 x2 6) 0
2
(3.5)
Dari persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh
(2 x1 x2 4) 0
(4 x1 x2 6) 0
2 x1 2 0
x1 1
x2 2
Subsitusi nilai 𝑥1 = 1 dan 𝑥2 = 2 ke persamaan (3.2) ke persamaan (3.4) maka
diperoleh
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2(1) 21 42 0
4(2) 1 2 0
39
21 42 6 1 21 42 6
1 2 8 2 21 22 8
22 2
2 1
15
Dengan bantuan sofware matematika, yakni Matlab diperoleh nilai x1 dan x2
yang sama dengan hasil x1 dan x2 yang dicari dengan cara manual, yakni x1 1
dan x2 2 . Untuk menyelesaikan fungsi diatas dengan matlab, fungsi tersebut
ditulis menjadi :
Meminimumkan : f ( x) x . .x .x
T
T
dengan kendala :
Aeq . x beq
xi 0
dengan :
1 0
0
a
b
2 1
r
4
, 0 , Aeq c d 4 1 , dan beq s 6 .
0 2
Dengan menggunakan Matlab, optimasi bentuk kuadratik diatas diselesaikan
dengan menggunakan perintah berikut ini :
[x,sigma2min] = quadprog(sigma,α,[],[],Aeq,beq,lb,[])
0
dengan lb {kendala xi 0 }.
0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Gambar 2.3 Perintah Pada Matlab
Hasil output dari program diatas adalah sebagai berikut
Gambar 2.4 Output Matlab
40
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB IV
PEMBAHASAN
Portofolio saham merupakan kumpulan atau kombinasi dari beberapa
saham. Portofolio saham yang optimal akan menjadi portofolio yang dipilih seorang
investor. Portofolio saham dikatakan optimal jika mampu memberikan resiko yang
sama dengan tingkat keuntungan yang lebih tinggi atau memberikan keuntungan
yang sama tetapi dengan resiko yang lebih rendah.
4.1.Pengumpulan Data
Pada pembahasan ini akan diambil nilai harga jual saham dari lima sekuritas
besar di Indonesia, yakni PT Mandiri TBK (BMRI), PT Unilever (UNVR), PT
Astra Internasional (ASII), PT Hanjaya Mandala Sampoerna (HMSP), serta PT
Indofood CBP Sukses Makmur (ICBP). Data diambil pada periode Desember 2013
sampai dengan April 2014. Penggambilan data diperoleh dari situs Yahoo
Financial.
Pemilihan perusahaan ini didasarkan pada asumsi bahwa semua data pada
historical prices yang akan di ambil pada situs Yahoo Financial dapat langsung
digunakan untuk menghitung portofolio optimal. Dipilih hanya lima perusahaan
karena untuk mempermudah perhitungan (untuk lebih dari lima bisa disesuaikan
dengan program Matlab).
Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah pengambilan data dari situs
Yahoo Financial. Langkah pertama, masuk ke situs Yahoo Financial :
41
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
42
http://finance.yahoo.com/
Gambar 4.1 Halaman Awal Yahoo Finance
Setelah masuk dihalaman awal Yahoo Fianance, ketik kode emiten saham yang
akan diambil kemudian pada akhir kode emiten diberi kode .JK pada bagian search
finance. JK ( Jakarta Stock Excange yang sekarang menjadi Indonesia Stock
Exchange atau Bursa Efek Jakarta) adalah identitas yang diberikan Yahoo Finance
untuk saham-saham Indonesia dan untuk membedakan saham dari bursa lain jika
terdapat kode yang sama. Sebagai contoh jika akan ditampilkan harga saham dari
PT Mandiri TBK maka pada bagian search finance ketik BMRI.JK.
Gambar 4.2 Pencarian Data Saham PT Mandiri TBK
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
43
Setelah search finance diklik, maka akan muncul seperti berikut ini :
Gambar 4.3 Data Saham PT Mandiri TBK
Kemudian klik historical prices, maka akan diperoleh tampilan harga saham dari
PT
Mandiri
TBK
seperti
berikut
ini
:
Gambar 4.4 Historical Prices PT Mandiri TBK
Setelah muncul tampilan seperti diatas, isi periode harga saham yang ingin
diketahui. Misalnya pada pembahasan kali ini periode pengambilan data dari
bulan Desember 2013 sampai dengan April 2014, maka isi start date dengan Des 1
2013 dan end date Apr 1 2014. Kemudian pilih data bulanan dengan memberi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
44
bulatan pada buttonmonthly dan klik tombol get prices di seperti berikut ini :
Gambar 4.5 Periode Harga Saham
Maka
akan
muncul
seperti
berikut
ini
:
Gambar 4.6 Harga Saham PT Mandiri TBK
Kemudian unduh data harga saham tersebut dengan meng-klik “Download to
Spreadsheet”. Maka data harga saham yang akan di analisis akan terunduh.Setelah
selesai mengunduh, data hasil unduhan tadi berbentuk lembar kerja excel. Maka
data
mentah
tersebut
siap
Gambar 4.7 Data saham PT Mandiri TBK pada lembar kerja Excel.
diolah.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
45
Lakukan hal yang sama untuk mengunduh data harga saham dari 4 sekuritas lain
yang akan di analisis, sehingga diperoleh data seperti berikut ini :
Gambar 4.8 Data saham PT Mandiri TBK
Gambar 4.9 Data saham PT Unilever TBK
Gambar 4.10 Data saham PT Astra Internasional TBK
Gambar 4.11 Data saham PT Sampoerna TBK
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
46
Gambar 4.12 Data saham PT Indofood TBK
Setelah selesai mengunduh data harga saham, maka selanjutnya akan
dilakukan analisis data harga saham tersebut. Sebelum menganalis data saham perlu
diketahui dulu dividen dari setiap sekuritas. Untuk mengetahui nilai dividen tiap
sekuritas dapat di lihat di situs
https://www.e-bursa.com/index.php/corporate_action/corporate_action_hist/.
Setelah diperoleh dividen masing-masing sekuritas, maka data mentah siap diolah.
4.2.Perhitungan Return dan Resiko individual
Setelah menggunduh harga saham dan nilai dividen masing-masing
perusahan yang akan dibahas pada pembahasan ini, selanjutnya akan dihitung
return dan resiko masing-masing sekuritas (return individual).
Return sekuritas ke-i dihitung menggunakan rumus berikut ini :
Rij
D
Pn Pn1
12
(1.19)
Pn1
dengan Rij adalah nilai return setiap saham ke-i pada bulan ke-j, Pn adalah adjusted
closing price bulan ke-n, Pn1 adalah adjusted closing price saat n-1, n adalah bulan
ke-n dan D adalah nilai dividen. (Jogiyanto, 2007).
Untuk menghitung nilai return individual, nilai yang digunakan adalah nilai
adjusted closing pada masing-masing perusahaan. Adjusted Closing merupakan
harga penutupan untuk hari berikutnya yang merupakan rata-rata harga saham pada
bulan tersebut. Karena setiap detiknya harga saham selalu berubah-ubah, maka
untuk melakukan prediksi portofolio yang optimal nilai yang tepat digunakan
adalah nilai rata-rata harga saham. Dari data diatas dapat dilihat bahwa Adjusted
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
47
Closing (Pi) PT Mandiri TBK bulan Desember 2013 adalah Rp.7,686.90 dan pada
bulan Januari 2014 adalah Rp.8,519.24 dengan dividen Rp.199,00, maka return
bulan Januari 2014 adalah :
Rp.199
12 0.11 = 11%
Rp.8, 519.24 Rp .7, 686.90
R11
Rp.7, 686.90
Lakukan langkah perhitungan yang sama untuk keempatperusahaan
lainnya. Untuk mempermudah perhitungan, misalkan nilai R1 menunjukan return
dari perusahaan pertama yakni yakni PT Mandiri TBK (BMRI), R2 untuk
perusahaan kedua yakni PT Unilever (UNVR), R3 untuk perusahaan ketiga yakni
PT Astra Internasional (ASII), R4 untukperusahaan keempat yakniPT Hanjaya
Mandala Sampoerna (HMSP), serta R5 untuk perusahaan kelima yakni PT Indofood
CBP Sukses Makmur (ICBP).
Dari perhitungan menggunakan rumus (1.19) diatas diperoleh nilai return
untuk masing-masing saham sebagai berikut :
periode
perusahaan
R1
Desember
Januari
Februari
Maret
April
2013
2014
2014
2014
2014
0%
11%
5%
6%
5%
R2
0%
10%
0%
2%
3%
R3
0%
-5%
8%
6%
4%
R4
0%
8%
2%
1%
0%
R5
0%
8%
2%
-9%
0%
Tabel 4.1 Return Individual Lima Perusahaan
Setelah selesai menghitung return individual masing-masing perusahaan,
maka selanjutnya akan ditentukan mean( R ) dari return masing-masing perusahaan.
Nilai mean( R ) akan menggambarkan return expected (return ekspektasi) dari
sekuritas-sekuritas tersebut yang merupakan gambaran tingkat keuntungan yang
diharapkan dari setiap perusahaan. Metode yang akan digunakan untuk menghitung
return ekspektasi adalah metode rata-rata dengan mengasumsikan bahwa return
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
48
ekspektasi dapat dianggap sama dengan rata-rata historical prices-nya. Return
ekspektasi perusahaan ke-i ( Ri ) dihitung dengan menggunakan rumus (Jogiyanto,
2007) berikut ini :
n
Ri
R
i 1
ij
(1.20)
n
dengan R i adalah return ekspektasi atau tingkat keuntungan yang diharapkan (%),
Rij adalah return dari saham ke-i pada bulan ke-j, dan n adalah banyaknya return
realisasi saham individual.
Maka berdasarkan rumus (1.20) diatas, nilai R dari PT Mandiri TBK adalah
R1
(0% 11% 5% 6% 5%)
6% .
5
Dengan cara yang analog diperoleh nilai return ekspektasi untuk keempat
perusahaan lainnya, yaitu :
Perusahaan
Ri
PT Mandiri TBK
5.4%
PT Unilever TBK
3%
PT Astra Internasional TBK
2.6%
PT Sampoerna TBK
2.2%
PT Indofood TBK
0.2%
Tabel 4.2 Nilai Return Ekspektasi
Setelah menghitung resiko dari return realisasi, selanjutnya akan dihutung
resiko dari return ekspektasi. Untuk menghitung resiko dari return ekspektasi
digunakan nilai variansi ( 2 )yang merupakan kuadrat dari standar deviasi. Dengan
rumus sebagai berikut :
i2
SD 2
n
2
Ri )
n 1
( R
i 1
ij
(1.21)
dengan 2 adalah nilai variansi, SD 2 adalah standar deviasi, Rij adalah nilai return
setiap saham ke-i pada bulan ke-j (%),
R i adalah return ekspektasi atau tingkat
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
49
keuntungan yang diharapkan (%), dan n adalah banyaknya return realisasi saham
individual.
Maka, berdasarkan tumus (1.21) diatas dapat diketahui bahwa nilai variansi dari PT
Mandiri TBK adalah :
2
2
i (0.078) 0.0394 .
Dengan melakukan perhitungan dengan rumus (1.21) maka diperoleh nilai variansi
keempat perusahaan lainnya, yakni :
Perusahaan
i2
PT Mandiri TBK
0.0394
PT Unilever TBK
0.0404
PT Astra Internasional TBK
0.0544
PT Sampoerna TBK
0.0314
PT Indofood TBK
0.0626
Tabel 4.3 Nilai Variansi
4.3.Perhitungan Return dan Resiko Portofolio
Setelah menghitung return dan resiko saham individu, selanjutnya akan
dihitung return dan resiko dari portofolio sehingga dapat disusun portofolio yang
optimal.
Pertama, akan dihitung return portofolio. Seperti yang telah dijelaskan pada
pembahasan sebelumnya, return portofolio dibagi menjadi dua yakni return
realisasi dan return ekspektasi. Return realisasi adalah rata-rata tertimbang dari
return realisasi masing-masing sekuritas didalam portofolio tersebut. Berdasarkan
penjabaran diatas, return realisasi dapat dihitung dengan :
n
R p ( ki .Ri )
i 1
(1.22)
dengan Rp adalah return realisasi portofolio, ki adalah proporsi sekuritas i terhadap
seluruh sekuritas dalam portofolio, Ri adalah return realisasi dari sekuritas ke-i, dan
n adalah banyak sekuritas. (Jogiyanto, 2007).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
50
Portofolio yang akan disusun adalah portofolio dengan lima perusahaan atau
lima sekuritas. Jika proporsi masing-masing untuk kelima sekuritas tersebut sama
yakni 1 bagian atau sebesar 20%, maka dengan proporsi sebesar 20% besarnya
5
return realisasi portofolio yang dihitung menggunakan rumus (1.22) diatas adalah :
20 5.4 20 3 20 2.6 20 2.2 20 0.2
.
. . . .
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
Rp
= 67 0.0268 2.68%
2500
Sedangkan, return ekspektasi portofolio adalah rata-rata tertimbang dari
return-return ekspektasi tiap-tiap sekuritas tunggal, dengan rumus :
n
E ( R p ) ( ki .E ( Ri ))
i 1
(1.23)
dengan E ( R p ) adalah return ekspektasi portofolio, ki adalah proporsi sekuritas i
terhadap seluruh sekuritas dalam portofolio, E ( Ri ) adalah return ekspektasi dari
sekuritas ke-i, dan n adalah jumlah sekuritas tunggal. (Jogiyanto, 2007).
Maka, berdasarkan rumus (1.23) diatas, return ekspektasi dari portofolio
dengan lima sekuritas ini adalah :
20 5.4 20 3 20 2.6 20 2.2 20 0.2
.
. . . .
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
E(R p )
67
0.0268 2.68%
2500
Setelah menghitung return dari portofolio, maka selanjutnya akan dihitung
resiko dari portofolio tersebut. Resiko portofolio adalah varian return sekuritassekuritas yang membentuk portofolio tersebut. Dari perhitungan sebelumnya telah
diketahui bahwa masing-masing sekuritas memiliki proporsi yang sama yakni, 20%
atau 0.2. Sedangkan varian dari masing-masing sekuritas adalah 0.0061 untuk PT
Mandiri TBK, 0.0024 untuk PT Unilever, 0.0040 untuk PT Astra Internasional,
0.0013 untuk PT Sampoerna, dan 0.0039 untuk PT Indofood. Selain proporsi dan
variansi, untuk menentukan nilai resiko dari sebuah portofolio diperlukan nilai yang
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
51
menggambarkan pergerakan nilai return dari sekuritas yang ada dalam portofolio
tersebut. Nilai tersebut adalah nilai kovarian (covariance) atau ditulis cov(RA, RB).
Nilai cov(RA, RB) ditentukan dengan rumus (1.12) pada pembahasan sebelumnya.
Periode
Des 2013
Jan 2014
Feb 2014
Mar 2014
Aprl 2014
jumlah
Return Sekuritas
PT.
PT.
PT. Astra
PT.
PT.
Mandiri Unilever Internasional Sampoerna Indofood
0
0
0
0
0
0.11
0.1
-0.05
0.08
0.02
0.05
0
0.08
0.02
0.08
0.06
0.02
0.06
0.01
-0.09
0.05
0.03
0.04
0
0
0.27
0.15
0.13
0.11
0.01
Tabel 4.4 Return masing-masing sekuritas
Berdasarkan rumus (1.12 ) pada sub-bab 2.10.2 sebelumnya maka covariance untuk
5 sekuritas pada portofolio ini adalah :
0
cov RS1, RS 2
0.027 . 0 – 0.15
0.11
– 0.027 . 0.1 – 0.15
0.05
– 0.027 . 0 – 0.15 0.06 – 0.027 . 0.02 – 0.15
0.05
– 0.027 . 0.03 – 0.15
/ 5 1
0.0338.
Dengan perhitungan yang sama diperoleh:
cov(RS1, RS2)= 0.0338,
cov(RS2, RS4) = 0.014425,
cov(RS1, RS3) = 0.02735,
cov(RS2, RS5) = 0.001175,
cov(RS1, RS4) = 0.024875,
cov(RS3, RS4) = 0.010275,
cov(RS1, RS5) = 0.002225,
cov(RS3, RS5) = 0.000975, dan
cov(RS2, RS3) = 0.013975,
cov(RS4, RS5) = 0.0014.
Nilai resiko portofolio merupakan penjumlahan dari varian dan kovarian
sesuai dengan proporsi masing-masing aktiva didalamnya, maka resiko dari
portofolio dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matrik antara matrik variankovarian dengan matrik proporsi masing-masing. Berdasarkan sub.bab 2.10.2 nilai
resiko portofolio ( p ) diperoleh :
2
p 2 wT w
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11 12
w1
w
21 22
2
dengan w w3 , 31 32
w
41 42
4
51 52
w5
52
14 15
23 24 25
33 34 35 .
13
43 44 45
53 54 55
Atau dapat ditulis sebagai berikut :
0.0338 0.02735 0.024875 0.002225 w1
0.0394
0.0338
0.0404 0.013975 0.014425 0.001175 w2
2
p w1 w2 w3 w4 w5 0.02735 0.013975 0.0544 0.010275 0.000975 w3 .
0.0314 0.0014 w4
0.024875 0.014425 0.010275
0.002225 0.001175 0.000975
0.0014 0.0626 w
5
4.4.Bentuk Umum Optimisasi Kuadratik Untuk Optimasi Portofolio
Berdasarkan sub-bab 2.10 maka bentuk optimisasi kuadratik untuk
optimisasi portofolio dengan lima sekuritas ini dibentuk menggunakan dengan
metode penyelesaian optimasi. Fungsi obyektif yang digunakan adalah fungsi
resiko portofolio yang telah dibentuk sebelumnya. Fungsi obyektif ini selanjutnya
akan diminimalkan dengan memasang beberapa kendala.
Fungsi obyektif untuk portofolio ini didapat berdasarkan persamaan (1.16)
pada sub-bab 2.10 dari pembahasan sebelumnya, yaitu:
n
n
2
T
Meminimumkan p wi .w j . ij w w
i 1 i j
11 12
w1
w
21 22
2
dengan w w3 , 31 32
w
41 42
4
51 52
w5
Atau dapat ditulis
14 15
23 24 25
33 34 35 .
13
43 44 45
53 54 55
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
53
Meminimumkan
0.0338 0.02735 0.024875 0.002225 w1
0.0394
0.0338
0.0404 0.013975 0.014425 0.001175 w2
2
p w1 w2 w3 w4 w5 0.02735 0.013975 0.0544 0.010275 0.000975 w3 .
0.0314 0.0014 w4
0.024875 0.014425 0.010275
0.002225 0.001175 0.000975
0.0014 0.0626 w
5
dengan kendala :
w1 w2 w3 w4 w5 1
w1 , w2 , w3 , w4 , w5 0
0.05w1 0.03w2 0.00w3 0.02 w4 0.03w5 0.0268 .
4.5.Penyelesaian Optimasi Kuadratik Untuk Menentukan Portofolio Optimal
Berdasarkan dasar teori pada sub-bab 3.3 pada pembahasan sebelumnya,
kondisi Kuhn-Tucker untuk optimiasi pada sub-bab 4.4 dapat dituliskan sebagai
berikut
Bentuk optimisasi untuk meminimumkan resiko portofolio
2
T
T
Meminimumkan : p w . .w .w
dengan kendala :
Aeq . w beq
wi 0, i 1, 2, 3, 4, 5
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
54
dengan :
0.0338 0.02735 0.024875 0.002225
0
0.0394
0
0.0338
0.0404 0.013975 0.014425 0.001175
0.02735 0.013975 0.0544 0.010275 0.000975 , 0 ,
0.0314 0.0014
0
0.024875 0.014425 0.010275
0
0.002225 0.001175 0.000975
0.0014 0.0626
Aeq
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
R R R R R 0.054 0.03 0.026 0.022 0.002 , dan
1 2 3 4 5
1 1
.
RP 0.0268
beq
Untuk menyelesaikan bentuk optimisasi diatas digunakan software
Matematika, yakni Matlab. Dengan menggunakan Matlab, optimasi bentuk
kuadratik diatas diselesaikan dengan menggunakan perintah berikut ini :
[w,sigma2min] = quadprog(sigma,α,[],[],Aeq,beq,lb,[])
0
0
dengan lb 0 {kendala wi 0 }.
0
0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Gambar 4.13 Program Optimalisasi Portofolio
Hasil output dari program 4.13 adalah sebagai berikut :
Gambar 4.14 Output Program Optimalisasi Portofolio
55
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
56
Dari program diatas diperoleh solusi dari pemrograman kuadratik untuk
optimalisasi portofolio diatas adalah :
w1
21.92%
w2
15.56%
w3
14.46%
w4
27.88%
w5
20.18%
Tabel 3.5 Solusi Optimasi Portofolio
4.6.Portofolio Optimal
Dari perhitungan yang telah dilakukan dengan Matlab pada subbab 4.5 ,
telah diperoleh nilai 𝑤𝑖 atau bobot dari masing-masing sekuritas. Masing-masing
saham memiliki bobot atau proporsi yang berbeda dalam pembentukan portofolio
dengan 5 sekuritas. Perhitungan bobot portofolio saham yang diwakili 𝑤1 untuk PT
Mandiri TBK (BMRI), 𝑤2 untuk PT Unilever (UNVR), 𝑤3 untuk PT Astra
Internasional (ASII), 𝑤4 untuk PT Hanjaya Mandala Sampoerna (HMSP) dan 𝑤5
untuk PT Indofood CBP Sukses Makmur (ICBP).
Nilai 𝑤1 dari perhitungan diatas adalah sebesar 21.92%. Nilai ini
menunjukan bahwa proporsi dari PT Mandiri TBK pada portofolio yang dibentuk
adalah sebesar 21.92% dari keseluruhan alokasi dana, dengan demikian besarnya
dana yang akan dialokasikan untuk PT Mandiri adalah sebesar 21.92%. Proporsi
perusahaan kedua yakni PT Unilever TBK (𝑤2 ) adalah sebesar 15.56%. Maka,
besarnya dana yang akan dialokasikan untuk PT Unilever hanya sebesar 15.56%.
Untuk perusahaan ketiga yakni PT Astra Internasional proporsinya (𝑤3 ) adalah
sebesar 14.46%, maka dana yang akan dialokasikan untuk PT Astra Internasional
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
57
adalah sebesar 14.46%. Perusahaan keempat adalah PT Handala Mandala
Sampoerna, berdasarkan perhitungan diatas besarnya proporsi untuk PT Sampoerna
(𝑤4 ) adalah 27.88%. Ini berarti dana yang akan dialokasikan untuk perusahaan ini
hanya sebesar 27.88%. Sedangkan untuk perusahaan kelima yakni PT Indofood
CBP Sukses Makmur proporsinya (𝑤5 ) sebesar 20.18%. Sehingga, alokasi dana
untuk perusahaan ini sebesar 20.18%.
Dari perhitungan expected return atau return ekspektasi dapat dilihat
sekuritas mana yang layak mendapatkan alokasi dana. Dari perhitungan pada
subbab 3.1 diperlihatkan bahwa return ekspektasi yang tertinggi dimiliki oleh PT
Mandiri TBK (BMRI) sebesar 5.4% dan sekuritas dengan return ekspektasi yang
terendah dimiliki oleh PT Indofood TBK yakni sebesar 0.2%. Hasil ini menunjukan
bahwa sekuritas PT Mandiri TBK (BMRI) diperkirakan mampu memberi
keuntungan yang diharapkan terbesar diantara keempat sekuritas lainnya.
Setelah melihat return ekspektasi dari masing-masing sekuritas, selanjutnya
adalah varian dari sekuritas yang ada. Varian adalah besarnya penyimpangan yang
mungkin terjadi antara tingkat pengembalian saham dengan rata-rata saham selama
periode penelitian. Dari perhitungan varian, sekuritas yang memiliki nilai varian
tertinggi adalah PT Indofood TBK (ICBP), yakni sebesar 0.61%. sedangkan
sekuritas dengan nilai varian terendah adalah PT Sampoerna TBK (HMSP) yakni
sebesar 0.13%.
Perhitungan kovarian antara dua buah sekuritas menghasilkan nilai positif
dan negarif. Jika perhitungan kovarian antara dua buah sekuritas tersebut
menghasilkan nilai yang positif berarti penggabungan dua buah sekuritas tersebut
dalam portofolio yang akan dibentuk memiliki kecenderungan bergerak kearah
yang sama. Penggabungan dua buah saham pada portofolio semua menghasilkan
nilai positif. Ini berarti, semua perusahaan bergerak kearah yang sama, jika
sekuritas satu mengalami kenaikan harga maka sekuritas lain juga mengalami
kenaikan. Demikian sebaliknya, jika sekuritas satu mengalami penurunan maka
sekuritas lain juga akan mengalamai penurunan. Sedangkan, jika nilai kovarian
yang dihasilkan negatif menandakan kedua saham tersebut bergerak berlawanan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
58
Dalam penggabungan dua sekuritas dalam portofolio yang dibentuk tidak
menghasilkan kovarian dengan nilai negative. Ini berarti tidak ada sekuritas yang
bergerak berlawanan arah. Jika hal ini terjadi, berarti kedua sekuritas saling
mengkompensasi satu sama lain, apabila satu saham mengalami kenaikan return
maka saham yang lainnya akan menggalami penurunan return. Sehingga kenaikan
return pada saham lain dapat menutupi penurunan return saham lain.
Bobot/proporsi dana portofolio awal pada awal perhitungan menggunakan
asumsi bahwa keseluruhan dana dibagai secara rata untuk masing-masing sekuritas,
sehingga masing-masing sekuritas mendapat alokasi dana sebesar 20%. Portofolio
dengan 5 sekuritas dan dengan proporsi dana masing-masing sekuritas sebesar 20%
memberikan nilai return ekspektasi portofolio sebesar 2.68%.
Portofolio yang optimal dibentuk dengan menggunakan aplikasi
matematika yakni Matlab. Perhitungan dengan menggunakan program ini
memperlihatkan proporsi dana akhir yang layak dialokasikan pada masing-masing
sekuritas. Hasil perhitungan disajikan dalam tabel dibawah ini :
Kode
Nama Sekuritas
Emiten
Proporsi Dana
Portofolio
BMRI
PT Mandiri TBK
21.92%
UNVR
PT Unilever TBK
15.56%
ASII
PT Astra Internasional
14.46%
HMSP
PT Hanjaya Mandala Sampoerna
27.88%
ICBP
PT Indofood CBP Sukses Makmur
20.18%
Tabel 4.6 Proporsi Dana Akhir Portofolio
Berdasarkan nilai tersebut, diperoleh sekuritas yang akan membentuk
portofolio yang optimal. Dengan proporsi tertinggi adalah PT Hanjaya Mandala
Sampoerna sebesar 27.88% sedangkan proporsi terendah adalah PT Astra
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
59
Internasional sebesar 14.46%. Dengan meminimalkan resiko dari portofolio yang
terdiri dari 5 sekuritas ini, PT Astra Internasional memberikan resiko terbesar
diantara kelima sekuritas. Atau dengan kata lain, PT Astra Internasional
memberikan return terkecil. Sebaliknya, dengan memperkecil resiko PT Astra
Internasional memberikan resiko yang kecil.
Proporsi masing-masing perusahaan diatas dapat ditulis dalam diagram
batang berikut ini
Proporsi Dana Portofolio
30.00%
25.00%
20.00%
15.00%
10.00%
5.00%
0.00%
PT Mandiri
TBK
PT Unilever
PT Astra
PT Hanjaya
TBK
Internasional Mandala
Sampoerna
PT Indofood
CBP Sukses
Makmur
Gambar 4.15 Diagram Batang Proporsi Dana Portofolio
Berdasarkan diagram pada gambar 3.15 dapat dilihat bahwa PT Hanjaya
Mandala Sampoerna mendapatkan alokasi dana terbesar yakni sebesar 27.88%
sedangkan PT Astra Internasional mendapatkan alokasi dana terkecil yakni sebesar
14.46%. Ini berarti dengan memimimumkan resiko dari portofolio yang terdiri dari
5 perusahaan yang telah dipilih, PT Hanjaya Mandala Sampoerna memberikan
resiko yang paling kecil diantara kelima perusahaan lain . Dengan kata lain, PT
Hanjaya Mandala Sampoerna memberikan return yang terbesar. Sedangkan , PT
Astra Internasional memberikan resiko yang paling besar diantara kelima
perusahaan lain.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Untuk menyelesaikan masalah optimasi kuadratik banyak cara yang dapat
diguanakan, salah satunya adalah dengan menggunakan metode Kuhn-Tucker.
Tetapi penyelesaian dengan metode ini bukanlah penyelesaian yang tunggal masih
banyak metode lain yang dapat digunakan untuk mnyelesaikan optimasi kuadratik.
Model matematika untuk mendapatkan nilai resiko yang optimal diperoleh
dengan menyusun matrik varian-kovarian yang menggambarkan nilai resiko dari
portofolio yang dibentuk.
Portofolio optimal dapat diperoleh dengan meminimumkan resiko. Untuk
meminimumkan resiko suatu portofolio, dapat digunakan metode Kuhn-Tucker
yang solusinya dapat dicari menggunakan fungsi “quadprog” pada program
MATLAB. Berdasarkan hasil optimisasi yang diperoleh, didapatkan proporsi
alokasi dana untuk masing-masing sekuritas yang akan meminimumkan resiko
yang artinya akan memberikan portofolio yang optimal. Berdasarkan studi kasus
yang telah dilakukan untuk lima perusahaan, telah didapatkan proporsi alokasi dana
untuk membeli saham masing-masing perusahaan tersebut yang akan memberikan
resiko paling kecil.
5.2.Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menambahkan aktiva bebas resiko,
misalnya Sertifikat Bank Indonesia (SBI). Dengan adanya aktiva bebas resiko
seperti SBI, investor mempunyai pilihan untuk memasukan aktiva ini ke
portofolionya. Sehingga, dapat dianalisi lebih lanjut dengan berbagai kemungkinan
lain yang ada. Selain itu, optimisasi tidak hanya dapat dilakukan dengan metode
optimisasi kuadratik tetapi dapat dilakukan dengan cara lain.
60
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
(n.d.). Retrieved from Yahoo Finance: http://finance.yahoo.com
(n.d.). Retrieved from e-bursa: https://www.e-bursa.com/
Abdul, H. (2003). Analisis Investasi. Jakarta: Salemba Empat.
Agus, S. (1995). Managemen Keuangan. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta.
Allen, M. S. (2000). Bussiness Portofolio Management Evaluasi, penilaian Resiko
dan Strategi-Strategi Evaluasi. Jakarta: Erlangga.
Dahlan, S. (2004). Managemen Lembaga Keuangan. Jakarta: Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia.
Darmadji, T. d. (2001). Pasar Modal Indonesia. Jakarta: Salemba Empat.
EA, K. W. (1996). Analisis Pasar Modal. Jakarta: Sinar Harapan.
Francis, J. C. (1991). Investment : Aanalysis and Management. Singapore:
McGraw-Hill inc.
Gujarati, D. (1993). Ekonometrika Dasar. Jakarta: Erlangga.
Gunawan Sumodiningrat, M. (1996). Ekonometrika Dasar. Yogyakarta: BPFEYogyakarta.
Husnan, S. (2003). Dasar-dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas.
Yogyakarta: UPP AMP YKPN.
Jogiyanto. (2007). Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Yogyakarta: BPFEYogyakarta.
Masrukan, E., & A, K. (n.d.). Optimalisasi Nilai Resiko Portofolio Saham
Berdasarkan Mean-Var.
Mital, K. (1983). Optimization Methods. New Delhi: Wiley Eastern Limited.
Mulyadi. (1991). Akuntan Biaya. Yogyakarta: STIE YKPN.
61
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Riyanto, B. (1995). Dasar-Dasar Pembelajaran Perusahaan. yogyakarta: BPFE
Yogyakarta.
Siang, J. J. (2011). Riset Operasi Dalam Pendekatan Algoritmis. Yogyakarta:
ANDI-Yogyakarta.
Thian, H. L. (2001). Bursa Saham. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Weston, J. F. (1992). Managemen Keuangan. Jakarta: Bina Rupa Aksara.
widoatmojo, S. (2005). Cara Sehat Investasi di Pasar Modal. Jakarta: PT Elex
Media .
62
