Transformasi Laplace

Transformasi
Laplace
Matematika Teknik II
• Persamaan Differensial yang diperoleh dari
pemodelan matematik suatu sistem mewakili
proses dinamik dari sistem tersebut dimana
responsenya akan bergantung pada masukannya
• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari
solusi steady state (didapat jika semua kondisi
awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh
dari kondisi awal).
• Transformasi Laplace merupakan salah satu
metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan differensial.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
Overview
2
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
• Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial
(dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.
• Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan
aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.
• Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan
operasi inverse transformasi Laplace
3
Definisi

0
f t   L1F s 
Transformasi Laplace F(s)
dari fungsi f(t)
Inverse Transformasi Laplace
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval
waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace
tidak dapat digunakan.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
F s   L f t    f t e  st dt
4
Teorema Transformasi Laplace
• Linieritas
Laf t   aF s 
L f1 t   f 2 t   F1 s   F2 s 
• Integrasi

L
F s   f 0
f t dt 

dt
s
s

• Nilai awal
• Differensiasi
 df t  
L
  sF s   f 0 
 dt 
 d 2 f t   2
df 0 




L

s
F
s

f
0


2
dt
dt


lim f t   lim sF s 
t 0
s 
• Nilai akhir
lim f t   lim sF s 
t 
s 0
• Pergeseran waktu
L f t     e  s F s 
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
5
Contoh:
Solusi Persamaan Differensial
Diberikan persamaan differensial sbb:
d 2 yt 
dyt 

3
 2 y t   5 f t 
dt 2
dt
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2.
Transformasi Laplace menghasilkan:
1
Fungsi unit step dari
s Y s   sy 0  y´(0)  3sY s   3 y (0)  2Y ( s )  5
s
tabel transformasi
Laplace
5
2
2
s Y s   s  2  3sY s   3  2Y ( s ) 
s
s ( s 2  3s  2)Y ( s )   s 2  s  5
Menggunakan teorema
differensiasi
transformasi Laplace
Y ( s) 
s s5
s ( s 2  3s  2)
2
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
Solusi dalam domain t
diperoleh dengan
invers transformasi
Laplace
6
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut
(denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
 s2  s  5
 s2  s  5
Y ( s) 

2
s( s  3s  2) s( s  1)( s  2)
Ekpansi dalam pecahan parsial,
A
B
C
 s2  s  5
Y ( s)  


s (s  1) ( s  2) s(s  1)( s  2)
Dimana A, B dan C adalah koefisien
A  [ sY ( s )]s 0
 s2  s  5 5


( s  1)( s  2) 2
 s2  s  5
B  [( s  1)Y ( s )]s  1 
 5
s ( s  2)
C  [( s  2)Y ( s )]s  2
 s2  s  5 3


s ( s  1)
2
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
7
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain
waktu y(t) menjadi
5
3  2t
t
y (t )   5e  e
2
2
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
5
5
3
Y ( s) 


2s ( s  1) 2( s  2)
Dengan t≥0
8
domain s dengan transformasi Laplace
menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah
ditransformasikan untuk mendapatkan variabel
outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap
persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan
tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan
solusi dalam domain t.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
1.
Prosedur Solusi pers. Differensial
dengan:
Transformasi
Laplace
Transformasi persamaan differensial ke dalam
9
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya
diberikan dalam bentuk:
N(s) adalah numerator (pembilang)
dalam s, D(s) denumerator
(penyebut) dalam s
N ( s)
F ( s) 
D( s )
• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar
persamaan karakteristiknya (denumerator).
– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama
F ( s) 
N ( s)
( s  s1 )( s  s2 )...( s  s N )
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
F ( s) 
KN
K1
K2

 ... 
( s  s1 ) ( s  s2 )
(s  sN )
Ki (i=1,…,N) adalah konstanta
yang harus dicari
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
10
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
K i  [( s  si ) F ( s)]s  si
N ( si )

( si  s1 )(  si  s2 )...(  si  si 1 )(  si  si 1 )...(  si  s N )
• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat
dituliskan sbb:
F (s) 
N (s)
( s 2  2 n s  n2 )1 ( s 2  2 n s  n2 ) 2 ...( s 2  2 n s  n2 ) M
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk :
F (s) 
A1s  B1
A2 s  B2
AM s  BM


...

( s 2  2 n s  n2 )1 ( s 2  2 n s  n2 ) 2
( s 2  2 n s  n2 ) M
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
11
Ekspansi Pecahan Parsial:
Review
• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan
kompleks
F (s) 
N (s)
( s  s1 )( s  s2 )...( s  s N )( s 2  2 n s  n2 )1 ( s 2  2 n s  n2 ) 2 ...( s 2  2 n s  n2 ) M
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
F (s) 
KN
K1
K2

 ... 

( s  s1 ) ( s  s2 )
(s  sN )
A1s  B1
A2 s  B2
AM s  BM


...

( s 2  2 n s  n2 )1 ( s 2  2 n s  n2 ) 2
( s 2  2 n s  n2 ) M
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
12
Laplace Transform Theory
•Teori Umum
•Contoh
•Konvergensi
Laplace Transforms
•Beberapa Tranformasi Laplace
•Beberapa macam fungsi dapat ditransformasikan
•Inverse Transform
•Kebanyakan fungsi yang ada pada tabel
disamping dapat mempermudah dalam
melakukan proses Inverse.
Laplace Transform dengan differential
•Perhitungan dengan kondisi khusus
•Transformsi Laplace bersifat Linear
•Dimasukan persamaan linear
•Dijabarkan
•Lalu ambil inversenya
F ( s) 
Penjabaran Persamaan Inverse
s3
Laplace Transformation
( s  1)( s  2)
A
B
F ( s) 

s 1 s  2
t
2 t
t
2 t

 1(t )
f
(
t
)

2
e

(

1
)
e
f (t )   Ae  Be  1(t )

s3
A
B 

A:
( s  1)
 ( s  1) 

( s  1)( s  2)
 s  1 s  2 
 s3 
A
s3
 B 

A2
 A  ( s  1) 
(
s

2)

 s 1
( s  2)
 s  2 
s3
B 
 A
B:
( s  2)
 ( s  2) 

( s  1)( s  2)
 s  1 s  2 
s3
 A 
 ( s  2) 
B

( s  1)
 s  1
 s3 
B

(
s

1)

 s 2
B  1
F ( s) 
Penjabaran Persamaan Inverse
Laplace Transformation
2s  12
,
s 2  2s  5  ( s  1  j 2)( s  1  j 2)
s 2  2s  5
2s  12
A
A
F ( s) 


( s  1  j 2)( s  1  j 2)
( s  1  j 2) ( s  1  j 2)
f (t )   Ae  (1 j 2)t  Ae  (1 j 2) t  1(t )
f (t )  2.6926et  e j (2t 1.1903)  e j (2t 1.1903)  1(t )
f (t )  5.3852e  t cos(2t  1.1903)  1(t )
 2s  12 
2(1  j 2)  12
1.1903 j

1

2.5
j

2.6926
e
A


s

1

j
2

 s 1 j 2 1  j 2  1  j 2
A  2.6926e1.1903 j
Penjabaran Persamaan Inverse
Laplace Transformation
A
B
C
A
B
C
s 2  2s  3






F ( s) 
2
3
2
3
3
s

1
(
s

1)
(
s

1)
s

1
(
s

1)
(
s

1)
( s  1)
C 2 t 
 t
t
f (t )   2e  t  t 2e  t  1(t )
f (t )   Ae  Bte  t e  1(t )
2


2
s
 2s  3
B
C 
3
3 A
( s  1)
 ( s  1) 


3
2
3
( s  1)
s

1
(
s

1)
(
s

1)


s 2  2s  3  ( s  1)2 A  ( s  1) B  C
 s 2  2s  3
 (s  1)2 A  (s  1) B  C 
C  2
s 1
s 1
d 2
  2s  2



s1  0
B    s  2s  3 
 ds
 s 1
d
 2
 d2 2

2



2
s

2
A   2  s  2s  3 

 ds 
 s 1
ds

 s 1
Latihan
• Selesaikan penjabaran inverse transformasi laplace di 3 slide
sebelumnya sampai dalam fungsi waktu (t)! (Biar lebih mudah
liat tabel transformasi laplace)