Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur BAB 2 SISTEM SATU DERAJAT KEBEBASAN DENGAN REDAMAN Pada Bab 1 telah ditunjukkan bahwa suatu sistem yang bergetar tanpa redaman akibat suatu kondisi awal akan terus bergetar dengan amplitudo konstan dengan frekuensi alaminya. Dalam kenyataan, hal tersebut tidak mungkin terjadi karena adanya gaya redaman atau friksi yang akan berusaha untuk meredam energi dan memindahkannya dalam bentuk energi lain, seperti energi panas. Mekanisme transformasi atau disipasi energi redaman ini sangat kompleks dan masih belum dipahami benar hingga saat ini. Untuk memperhitungkan gaya redaman dalam analisa dinamis, perlu diambil beberapa asumsi sehubungan dengan gaya ini berdasarkan pengalaman. 2.1 Redaman Viscous Untuk memperhitungkan gaya redaman dalam analisa dinamis suatu struktur, biasanya diasumsikan bahwa gaya sebanding dengan kecepatan dan berlawanan dengan arah gerakan. Tipe redaman semacam ini disebut redaman viscous, yaitu gaya tahan yang terjadi jika suatu benda bergerak dalam air. 2.2 Persamaan Gerak Tinjau suatu sistem struktur dengan redaman dimodelkan sebagai koefisien redaman viscous, c, seperti pada Gambar 2.1. Penjumlahan gaya dalam arah y menghasilkan persamaan gerak m&y& + cy& + ky = 0 (2.1) y k (a) m c y ky mÿ (b) cý Gambar 2.1 (a) Oskilator Dengan Redaman Viscous. (b) Diagram Free-body Sumargo Halaman 15 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur Mahasiswa diminta untuk menunjukkan bahwa solusi terdahulu untuk sistem tanpa redaman y = A sin ωt atau y = B cos ωt tidak akan memenuhi Pers. (2.1). Tetapi persamaan eksponensial y = Ce pt akan memenuhi persamaan ini. Substitusi fungsi eksponensial ini ke dalam Pers. (2.1) akan menghasilkan mCp 2 e pt + cCpe pt + kCe pt = 0 dan akan didapat persamaan karakteristik yaitu mp 2 + cp + k = 0 (2.2) Akar dari persamaan ini adalah 2 p1 c k ⎛ c ⎞ =− ± ⎜ ⎟ − p2 2m m ⎝ 2m ⎠ (2.3) Jadi solusi umum dari Pers. (2.1) adalah superposisi dari dua solusi yang memungkinkan, yaitu y (t ) = C1e p1t + C 2 e p2t (2.4) dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang didapat dari kondisi awal. Bentuk akhir Pers. (2.4) tergantung pada tanda dibawah nilai akar dari Pers. (2.3). Ada tiga kasus yang mungkin terjadi: nilai dibawah akar pada Pers. (2.3) dapat nol, positif, atau negatif. Kasus dengan besaran dibawah nilai akar sama dengan nol akan dibahas terlebih dahulu dan disebut sebagai redaman kritis. 2.3 Sistem Redaman Kritis Suatu sistem yang bergetar dengan redaman kritis, maka nilai besaran dibawah akar pada Pers. (2.3) akan sama dengan nol, yaitu 2 k ⎛ ccr ⎞ ⎜ ⎟ − =0 m ⎝ 2m ⎠ (2.5) atau ccr = 2 km (2.6) dimana ccr menyatakan redaman kritis. Karena frekuensi alami dari sistem tanpa redaman diberi notasi ω = k m , maka koefisien redaman pada Pers. (2.6) juga dapat dinyatakan dengan notasi lain yaitu Sumargo Halaman 16 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman ccr = 2mω = 2k ω Dinamika Struktur (2.7) Dalam sistem dengan redaman, akan dari persamaan karakteristik akan sama dan dari Pers. (2.3) didapat p1 = p 2 = − ccr 2m (2.8) Karena kedua akar sama, maka persamaan umum yang diberikan oleh Pers. (2.4) hanya akan memberikan satu konstanta integrasi, sehingga hanya ada satu solusi yaitu y1 (t ) = C1e − ( ccr / 2 m ) t (2.9) Solusi yang lain dapat dicari dengan menggunakan fungsi berikut y 2 (t ) = C 2 te − ( ccr / 2 m ) t (2.10) Persamaan ini juga akan memenuhi Persamaan gerak (2.1) [buktikan!]. Solusi umum untuk sistem dengan redaman kritis merupakan penjumlahan dari kedua solusi ini, y 2 (t ) = (C1 + C 2 t )e − ( ccr / 2 m )t (2.11) 2.4 Sistem Redaman Superkritis (Overdamped System) Dalam sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari nilai redaman kritis, c > ccr (2.12) Karena nilai besaran di bawah akar dari Pers. (2.3) adalah positif, maka kedua nilai akar dari persamaan karakteristik adalah nyata dan berbeda, dan solusi persamaannya langsung diberikan oleh Pers. (2.4). Perlu dicatat bahwa, getaran yang dihasilkan oleh sistem dengan redaman kritis dan superkritis tidak akan berupa getaran berulang dengan perioda yang tetap (oskilasi), melainkan akan semakin menghilang dengan waktu. Gambar 2.2 memperlihatkan respon suatu oskilator dengan redaman kritis. Respon sistem superkritis akan mirip dengan gerakan sistem redaman kritis tetapi turunnya respon ke posisi netral akan memerlukan waktu lebih lama dengan bertambahnya redaman. Sumargo Halaman 17 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur y(t) υo yo t Gambar 2.2 Respon Getaran Bebas Dengan Redaman Kritis 2.5 Sistem Redaman Subkritiss (Underdamped System) Jika koefisien redaman lebih kecil dari redaman kritis (c < ccr), yang dapat terjadi jika besaran dibawah tanda akar bernilai negatif. Harga akar dari Persamaan karakteristik (2.3) akan kompleks, yaitu p1 c k ⎛ c ⎞ =− ±i −⎜ ⎟ p2 m ⎝ 2m ⎠ 2m 2 (2.13) dimana i = − 1 adalah bilangan imajiner. Untuk kasus ini akan lebih mudah jika digunakan persamaan Euler yang menghubungkan fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri, yaitu e ix = cos x + i sin x e −ix = cos x = i sin x (2.14) Dengan mensubstitusi akar p1 dan p2 dari Pers. (2.13) ke dalam Pers. (2.14) dan dengan menggunakan Pers. (2.14), akan memberikan solusi umum sistem tanpa redaman: y (t ) = e − ( c / 2 m ) t ( A cos ω D t + B sin ω D t ) (2.15) dimana A dan B adalah konstanta integrasi dan ωD adalah frekuensi sistem dengan redaman yang diberikan oleh ωD = k ⎛ c ⎞ −⎜ ⎟ m ⎝ 2m ⎠ 2 (2.16) atau Sumargo Halaman 18 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman ωD = ω 1−ξ 2 Dinamika Struktur (2.17) Persamaan (2.17) didapat dengan mensubstitusi persamaan di bawah ini ke dalam Pers. (2.16). k m ω= (2.18) dimana rasio redaman didefinisikan sebagai ξ= c ccr (2.19) Setelah kondisi awal berupa perpindahan dan kecepatan awal, yo dan υo, akan didapat konstanta integrasi dan jika dimasukkan kedalam Pers. (2.15) akan menghasilkan ⎞ ⎛ υ + y oξω y (t ) = e −ξωt ⎜⎜ y o cos ω D t + o sin ω D t ⎟⎟ ωD ⎠ ⎝ (2.20) Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu y (t ) = Ce −ξωt cos(ω D t − α ) (2.21) dimana C= (υ o + y oξω )2 y o2 + dan tan α = ω D2 (υ o + y oξω ) ω D yo (2.22) (2.23) Grafik respon sistem subkritis dengan perpindahan awal yo dan kecepatan awal nol (υo=0) diperlihatkan dalam Gambar 2.3. Terlihat dalam gambar ini bahwa gerakan bersifat oskilasi tetapi tidak periodik. Amplitudo getaran juga tidak konstan melainkan berkurang dengan bertambahnya putaran; tetapi oskilasi terjadi pada interval waktu yang sama. Interval waktu ini dikenal sebagai perioda getaran dengan redaman dan bisa didapat dari Pers. (2.17), yaitu TD = Sumargo 2π ωD = 2π ω 1−ξ 2 (2.24) Halaman 19 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur y(t) Ce-ξωt TD yo 2TD 3TD 7TD/2 TD/2 3TD/2 t 5TD/2 Gambar 2.3 Respon Getaran Bebas Untuk Sistem Sub Kritis Nilai koefisien redaman untuk struktur aktual jauh lebih kecil dari koefisien redaman kritis dan biasanya berkisar antara 2 – 20% dari koefisien redaman kritis. Substitusi nilai maksimum ξ = 20% ke dalam Pers. (2.17), ω D = 0,98ω (2.25) Terlihat bahwa frekuensi getaran suatu sistem dengan rasio redaman 20% akan hampir sama dengan frekuensi alami sistem tanpa redaman. Jadi dalam prakteknya, frekuensi alami untuk sistem dengan redaman dapat diambil sama dengan frekuensi alami sistem tanpa redaman. 2.6 Penurunan Logaritmik Metoda praktis untuk menentukan koefisien redaman suatu sistem secara eksperimental adalah dengan memberikan getaran bebas, mendapatkan catatan getaran oskilasi seperti yang terlihat dalam Gambar 2.4, dan mengukur kecepatan penurunan amplitudo getaran. Penurunan aplitudo dapat dinyatakan sebagai penurunan logaritmik δ dan didefinisikan sebagai logaritmik dari dua amplitudo yang berurutan, y1 dan y2 dalam getaran beban, yaitu δ = ln y1 y2 (2.26) Berikut ini dijelaskan cara mengevaluasi redaman dari penurunan logaritmik. Tinjau getaran dengan redaman yang dinyatakan oleh Gambar 2.4 dan secara analitis dari Pers. (2.21) menghasilkan y (t ) = Ce −ξωt cos(ω D t − α ) Sumargo Halaman 20 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman y(t) puncak Dinamika Struktur Titik singgung [cos(ωDt-α)=1] Ce-ξωt puncak y1 y2 y3 y4 TD/2 TD/4 TD 2TD 3TD t Gambar 2.4 Kurva Dengan Beberapa Perpindahan Maksimum Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa, jika faktor cosinus sama dengan satu, perpindahan akan berada pada titik-titik dari kurva eksponensial y (t ) = Ce −ξωt seperti pada Gambar 2.4. Tetapi titik-titik ini hanya mendekati dan tidak sama dengan posisi perpindahan maksimum. Titik-titik pada kurva eksponensial sedikit berada di sebelah kanan dari amplitudo maksimum. Untuk keperluan praktis, perbedaan ini diabaikan dan kurva perpindahan dapat dianggap berimpit pada puncak amplitudo, dengan kurva y (t ) = Ce −ξωt sehingga kita dapat menuliskan, untuk dua puncak yang berurutan, y1 pada t1 dan y2 pada t2 detik berikutnya, y1 = Ce −ξωt1 dan y 2 = Ce −ξω ( t1 +t D ) Bagi kedua amplitudo maksimum ini dan ambil bentuk logaritmiknya, maka didapat δ = ln y1 = ξωTD y2 (2.27) atau dengan mensubstitusi, TD, perioda redaman, dari Pers. (2.24), δ = 2πξ / 1 − ξ 2 (2.28) Terlihat bahwa rasio redaman ξ dapat dihitung dari Pers. (2.28) setelah amplitudo dari dua puncak yang berurutan ditentukan secara eksperimental berdasarkan getaran bebas sistem. Untuk nilai rasio redaman yang kecil, Pers. (2.28) dapat didekati dengan δ ≅ 2πξ Sumargo (2.29) Halaman 21 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur Contoh 2.1. Suatu sistem yang bergetar dengan berat W = 5 kg dan kekakuan pegas k = 4 kg/cm mendapat redaman viscous sehingga dua amplitudo yang berurutan adalah 2,54 cm dan 2,00. Tentukan: (a) frekuensi alami dari sistem tanpa redaman, (b) penurunan logaritmik, (c) rasio redaman, (d) koefisien redaman, dan (e) frekuensi alami dengan redaman. Solusi: (a) Frekuensi alami tanpa redaman dari sistem dalam radian per detik adalah ω = k / m = 4 x 980 / 5 = 28 rad/det. atau dalam putaran per detik f = 28 ω = = 4,456 putaran/det. 2π 2π (b) Penurunan logaritmik diberikan oleh δ = ln y1 2,54 = ln = 0,239 2,0 y2 (c) Rasio redaman didapat dari Pers. (2.29), dan hampir mendekati ξ≅ 0,239 δ = = 0,038 = 3,8% 2π 2π (d) Koefisien redaman didapat dari Pers. (2.6) dan (2.19), yaitu ( ) c = ξccr = ξ 2 km = 0,038 x 2 x 4 x 5 / 980 = 0,010 (e) Frekuensi alami dari sistem dengan redaman diberikan oleh Pers. (2.17), yaitu ωD = ω 1−ξ 2 ω D = 28 1 − 0,038 2 = 27,89 rad/det. Terlihat bahwa nilai ini hampir sama besar dengan ω. Sumargo Halaman 22 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur Contoh 2.2. Suatu lantai dengan berat W = 2000 kg ditumpu oleh empat kolom yang dijepit pada pondasi dan pelat lantainya. Secara eksperimental telah ditentukan bahwa gaya statik sebesar F = 500 kg yang bekerja pada lantai menghasilkan perpindahan sebesar Δ = 0,25 cm. Diperkirakan bahwa redaman struktur sekitar 5% dari redaman kritis. Untuk struktur ini diminta menentukan: (a) frekuensi alami tanpa redaman, (b) koefisien redaman absolut, (c) penurunan logaritmik, (d) jumlah putaran dan waktu yang diperlukan untuk mengurangi amplitudo getaran dari 0,25 cm menjadi 0,025 cm. Solusi: (a) Koefisien kekakuan (gaya per satu satuan perpindahan) dihitung dari k= F 500 = = 2000 kg/cm Δ 0,25 dan frekuensi alami tanpa redaman ω= k = W /g 2000 = 31,3 rad/det. 2000 / 980 (b) Redaman kritis adalah ccr = 2 km = 2 2000 x 2000 = 127,8 kg.det/cm 980 dan redaman absolut c = ξccr = 0,05 x 127,8 = 6,39 kg.det/cm (c) Secara pendekatan, penurunan logaritmik adalah ⎛y ⎞ δ = ln⎜⎜ o ⎟⎟ ≅ 2πξ = 2π x 0,005 = 0,314 ⎝ y1 ⎠ dan rasio dari dua puncak amplitudo yang berurutan adalah yo = 1,37 y1 (d) Rasio antara amplitudo pertama yo dan amplitudo yn setelah putaran ke-n dapat dihitung dari Sumargo Halaman 23 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur y o y o y1 y n −1 = . ... yn y1 y 2 yn Ambil dalam bentuk logaritmik, maka ln yo = δ + δ + .... + δ = nδ yn ln 0,25 = .0,314n 0,025 n= ln 10 = 7,33 atau 8 putaran 0,314 Frekuensi dengan redaman ωD diberikan oleh ω D = ω 1 − ξ 2 = 31,3 1 − 0,05 2 = 31,3 rad/det dan perioda TD adalah TD = 2π ωD = 2π = 0,207 det 31,3 Waktu yang diperlukan untuk mencapai putaran ke-8 adalah t (8 putaran) = 8 x 0,207 = 1,608 det. 2.7 Rangkuman Struktur akan memencarkan energi pada saat mengalami getaran. Metoda yang paling sering dipakai dan praktis untuk memperhitungkan pemencaran energi ini adalah dengan mengasumsikan bahwa hal tersebut disebabkan oleh gaya redaman viscous. Gaya redaman ini diasumsikan sebanding dengan kecepatan dan bekerja melawan arah gerakan. Faktor pembanding ini dinamakan koefisien redaman viscous. Akan lebih mudah jika koefisien ini dinyatakan sebagai persentase dari redaman kritis (rasio redaman, ξ = c / c cr ). Redaman kritis dapat didefinisikan sebagai koefisien redaman terkecil yang tidak menyebabkan sistem bergetar akibat kondisi awal, melainkan sistem hanya kembali ke posisi seimbang semula. Persamaan diferensial gerak dari sistem satu derajat kebebasan dengan redaman adalah m&y& + cy& + ky = 0 Sumargo Halaman 24 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur Solusi dari persamaan ini tergantung pada besar rasio redaman. Tiga kasus yang memungkinkan adalah: (1) sistem redaman kritis (ξ = 1), (2) redaman subkritis (ξ < 1), dan (3) redaman superkritis (ξ > 1). Untuk sistem dengan redaman subkritis (ξ < 1), solusi persamaan diferensial gerak dapat ditulis sebagai ⎛ ⎞ υ + y oξω y (t ) = e −ξωt ⎜⎜ y o cos ω D t + o sin ω D t ⎟⎟ ωD ⎝ ⎠ dengan ω = k / m adalah frekuensi sistem tanpa redaman, ω D = ω 1 − ξ 2 adalah frekuensi sistem dengan redaman, ξ = c / ccr adalah rasio redaman, ccr = 2 km adalah redaman kritis, dan y o dan υ o masing-masing adalah perpindahan dan kecepatan awal. Metoda yang umum dipakai untuk menentukan redaman pada sistem adalah dengan mengevaluasi penurunan logaritmik dan didefinisikan sebagai logaritmik dari rasio dua puncak getaran bebas δ = ln y1 y2 Rasio redaman dalam sistem struktur biasanya kurang dari 20% redaman kritis (ξ < 0,20). Untuk sistem semacam ini, frekuensi sistem dengan redaman hampir sama dengan frekuensi tanpa redaman. Soal-soal 2.1 Ulangi Soal 1.2 dengan asumsi bahwa sistem mempunyai 15% redaman kritis. 2.2 Ulangi Soal 1.6 dengan asumsi bahwa sistem mempunyai 10% redaman kritis. 2.3 Amplitudo getaran sistem pada Gambar S2.3 mengalami penurunan sebesar 5% pada setiap putaran. Tentukan koefisien redaman sistem, c. k = 200 kg/cm dan m = 10 kg. det2/cm. k c m y Gambar S2.3 Sumargo Halaman 25 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur 2.4 Amplitudo getaran bebas suatu struktur yang dimodelkan sebagai sistem satu derajat kebebasan berkurang dari 3 cm menjadi 0,5 cm dalam 10 putaran. Berapa persentase redaman kritisnya? 2.5 Tunjukkan bahwa perpindahan untuk sistem dengan redaman kritis dan redaman berlebih dengan perpindahan awal yo dan kecepatan awal υo adalah y = e −ωt [ y o (1 + ωt ) + υ o t ] untuk ξ = 1 ⎤ ⎡ υ + y ξω y = e −ξωt ⎢ y o cosh ω D' t + o ' o sinh ω D' t ⎥ ωD ⎦ ⎣ untuk ξ > 1 dengan ω D' = ω ξ 2 − 1 2.6 Suatu struktur dimodelkan sebagai oskilator oskilator dengan redaman mempunyai konstanta kekakuan k = 30 ton/cm dan frekuensi alami tanpa redaman ω = 25 rad/det. Dari percobaan didapat bahwa gaya sebesar 1 ton pada elemen dengan redaman menghasilkan kecepatan relatif sebesar 3 cm/det. Tentukan: (a) rasio redaman ξ, (b) perioda sistem dengan redaman TD, (c) penurunan logaritmik δ, dan (d) rasio antara dua amplitudo yang berurutan. 2.7 Dalam Gambar 2.4 terlihat bahwa garis singgung pada kurva perpindahan cos(ω D t − α ) = 1 . Oleh sebab itu perbedaan dalam ω D t antara dua titik singgung yang berurutan adalah 2π. Tunjukkan bahwa perbedaan dalam antara dua puncak yang berurutan juga 2π. 2.8 Tunjukkan bahwa untuk sistem tanpa redaman, penurunan logaritmik dapat ditulis sebagai δ = y 1 ln i k yi+k dengan k adalah jumlah putaran yang memisahkan dua puncak amplitudo yi dan yi+k. 2.9 Suatu sistem satu derajat kebebasan terdiri dari massa dengan berat 1 ton dan kekakuanpegas k = 3 ton/cm. Hasil pengujian pada sistem menunjukkan bahwa gaya sebesar 100 kg menghasilkan kecepatan relatif 25 cm/det. Tentukan: (a) rasio redaman ξ, (b) frekuensi sistem dengan redaman fD, (c) penurunan logaritmik δ, dan (d) rasio aplitudo yang berurutan. 2.10 Sama dengan Soal 2.9 tetapi jika koefisien redaman c = 2 kg. det/cm. Sumargo Halaman 26 Bab 2 Sistem Satu Derajat Kebebasan Dengan Redaman Dinamika Struktur 2.11 Suatu sistem dimodelkan seagai dua massa yang bergetar bebas m1 dan m2 yang keduanya dihubungkan dengan massa dan elemen redaman seperti pada Gambar S2.11. Tentukan sistem persamaan diferensial gerak sistem ini dalam bentuk gerak relatif massa u = y2 – y1. y1 y2 k m1 m2 c Gambar S2.11 2.12 Tentukan gerak relatif u = y2 – y1 untuk sistem dalam Gambar S2.11 dalam bentuk frekuensi alami ω, frekuensi redaman ωD dan redaman relatif. Definisikan massa ekivalen m1 m2 sebagai M = . (m1 + m2 ) Sumargo Halaman 27
