Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Sistem Bilangan Kompleks
(Bagian Ketiga)
Supama
Jurusan Matematika, FMIPA UGM
Yogyakarta 55281, INDONESIA
Email:[email protected], [email protected]
(Pertemuan Minggu III)
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Outline
1
Akar Bilangan Kompleks
2
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Diberikan bilangan kompleks z dan n ∈ N . Bilangan
kompleks w dikatakan merupakan akar pangkat n dari z
jika w n = z. Selanjutnya, akar pangkat n dari z ditulis
1
dengan notasi z n .
Misalkan z = r (cos θ + i sin θ) dan w = R(cos φ + i sin φ).
Karena w n = z, maka berdasarkan rumus de Moivre
R n (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r (cos θ + i sin θ)
sehingga
R n cos(nφ) = r cos θ
dan
R n sin(nφ) = r sin θ
(1)
Karena R ≥ 0 maka dengan menyelesaikan (11) diperoleh
1
R =rn
dan
φ=
θ + 2k π
, k ∈Z
n
(2)
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol
z = r (cos θ + i sin θ) dan n ∈ N , maka akar pangkat n dari
z adalah bilangan-bilangan kompleks
1
zk = r n (cos(
θ + 2k π
θ + 2k π
) + i sin(
)),
n
n
k ∈Z
(3)
Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang
periodik dengan periode 2π maka persamaan (13) menjadi
1
zk = r n (cos(
θ + 2k π
θ + 2k π
) + i sin(
)), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
n
n
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Akar Bilangan Kompleks
Dari rumus di atas, dapat diketahui bahwa di dalam C, akar
pangkat n merupakan fungsi bernilai sebanyak n (tidak
tunggal).
Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai real
yang selalu bernilai tunggal.
Namun demikian, apabila yang diperhatikan salah satu
cabangnya saja, yaitu untuk satu nilai n tertentu, maka
akar pangkat n merupakan fungsi bernilai tunggal.
Apabila pada rumus akar pangkat n, diambil
−π < arg zk ≤ π, maka zk terkait dinamakan cabang
1
utama dari z n .
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Contoh-contoh
Example
1
Tentukan (−8 − 8i) 3 .
Example
√ 1
Tentukan (8 − 8i 3) 4 .
Example
1
Tentukan (−16) 6 .
Example
Tentukan semua nilai z sehingga z 4 + 2z 2 + 2 = 0.
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Persekitaran dan titik
Untuk sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0, himpunan
N(z0 , r ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r }
disebut persekitaran (neighborhood) z0 dengan jari-jari
(radius) r .
Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik dalam (interior point) A jika
terdapat r > 0 sehingga N(z0 , r ) ⊂ A.
Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik luar (exterior point) A jika z0
titik dalam Ac .
Titik z0 disebut titik batas (boundary point) A ⊂ C jika z0
bukan titik dalam dan bukan titik luar A. Dengan kata lain,
z0 disebut titik batas A ⊂ C jika untuk setiap r > 0 berlaku
N(z0 , r ) ∩ A 6= ∅ dan N(z0 , r ) ∩ Ac 6= ∅.
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Himpunan terbuka/tertutup
Himpunan A ⊂ C dikatakan terbuka (open) jika setiap
titiknya merupakan titik dalam.
Theorem
Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka.
Diberikan himpunan A ⊂ C. Titik z0 ∈ C disebut titik limit
(limit point) A jika untuk setiap bilangan real r > 0,
N(z0 , r ) ∩ A − {z0 } =
6 ∅.
Himpunan A ⊂ C dikatakan tertutup (closed) jika A memuat
semua titik limitnya.
Theorem
Himpunan A tertutup jika dan hanya jika AC terbuka
Akar Bilangan Kompleks
Pengertian-pengertian Topologis di dalam C
Himpunan terhubung, himpunan terbatas, domain, dan region
Himpunan A ⊂ C dikatakan terhubung (connected) jika
untuk setiap dua titik berbeda z1 , z2 ∈ A dapat
dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen
(penggal) garis yang kesemuanya berada di dalam A.
Himpunan terbuka yang terhubung disebut domain.
Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan
domain.
Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa
atau semua titik batasnya disebut daerah (region).
Himpunan A ⊂ C dikatakan terbatas (bounded) jika
terdapat bilangan real M > 0 sehingga |z| ≤ M untuk
setiap z ∈ A. Jadi, A terbatas jika ada lingkaran |z| = R
sehingga setiap z ∈ A berada di dalam lingkaran tersebut.