Document

HANDOUT PERKULIAHAN
Mata Kuliah
: Statistika Matematika
Pokok Bahasan
: Analisis Kombinatorial
URAIAN POKOK PERKULIAHAN
A. Aturan perkalian
Definisi: Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi
kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi
ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan
dengan
n1 x n2 x n3 x … .x nk cara.
Contoh:
Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan
minum.
Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng.
Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus.
Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo.
Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh.
Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan?
Cara lain juga dapat ditempuh dengan membuat diagram pohon, dimana masing-masing percobaan
dapat terjadi dalam banyak cara yang berhingga
B. NOTASI FAKTORIAL
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka perkalian bilangan bulat dari 1 sampai dengan n
dinamakan “n faktorial” dan dinotasikan dengan n!. Dapat ditulis:
n! = 1x2x3x…x(n-3) x (n-2) x (n-1) x n
atau
n! =n . (n-1) . (n-2).(n-3). … . 3.2.1
,n ≥ 1
0! = 1
Contoh soal :
Hitunglah :
a. 6!
𝟕!
b. 𝟓!
C. Permutasi
Definisi:
Permutasi adalah susunan yang mungkin dari objek-objek yang berbeda dengan
memperhatikan urutannya.
Macam-macam Permutasi
1. Permutasi dari n objek yang berbeda adalah n!
𝐧!
2. Permutasi dari n objek yang berbeda yang diambil r objek adalah : 𝑃𝑟𝑛 = (𝐧−𝐫)!
3. Banyaknya permutasi dari n objek, dengan n1 adalah banyaknya objek pertama yang sama, n2
adalah banyaknya objek kedua yang sama, … , nk adalah banyaknya objek ke- k yang sama
adalah :
𝐧!
𝐧𝟏 ! ∙ 𝐧𝟐 ! ∙ … .∙ 𝐧𝐤 !
4. Banyaknya permutasi cyclis (melingkar) dari n objek adalah (n-1)!
5. Permutasi dari sampel yang diurutkan
a. Dengan pengembalian : nr
𝐧!
b. Tanpa pengembalian : 𝐧(𝐧 − 𝟏)(𝐧 − 𝟐) … [𝐧 − (𝐫 − 𝟏)] = (𝐧−𝐫)!
D. Kombinasi
Definisi:
Kombinasi adalah susunan yang mungkin dari objek-objek yang berbeda dengan tidak
memperhatikan urutannya.
Kombinasi dari n objek yang diambil r objek adalah :
𝒏!
𝑪𝒏𝒓 = 𝒓!∙(𝒏−𝒓)!
E. Ekspansi Binomial
Rumus binomial Newton :
𝐧
𝐧
(𝐚 + 𝐛) = ∑ 𝐂𝐫𝐧 𝐚𝐧−𝐫 𝐛𝐫
𝐫=𝟎
Soal-soal :
1. Riri memiliki sepatu warna pink, putih, biru, dan hitam. Sepatu itu akan dipasangkan dengan dua
stel rok berwarna putih dan hitam. Tak lupa ia juga memiliki baju berwarna pink, hitam dan biru.
Berapa banyak kombinasi pakaian yang dapat dipakai Riri?
2. Terdapat angka 2, 3, 4, 5,6 yang hendak disusun menjadi suatu bilangan dengan tiga digit.
Berapa banyak bilangan yang dapat disusun bila angka boleh berulang?
3. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 akan dibentuk menjadi suatu bilangan yang terdiri dari empat
angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:
3a. Angka boleh berulang?
3b. Angka tidak boleh berulang?
4. Dalam rapat mahasiswa yang dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa
posisi duduk yang dapat terjadi ?
5. Dengan berapa cara kita mengambil 3 kartu bridge dari 52 kartu bridge :
a. Dengan pengembalian
b. Tanpa pengembalian
6. Dari 7 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi pengurus kelas, yaitu ketua, wakil ketua,
sekretaris dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus apabila setiap calon pengurus
mempunyai kemungkinan yang sama untuk dipilih dan tidak ada pengurus yang rangkap ?
7. Berapa banyak susunan huruf dapat disusun dari huruf-huruf berikut :
a. CURRICULUM
b. STATISTIKA
c. MATEMATIKA
8. Berapa banyak susunan tim bola volley dari 11 pemain yang tersedia ?
9. Bila ada 4 ahli kimia dan 3 ahli fisika, carilah banyaknya panitia yang terdiri dari 3 orang yang
beranggotakan 2 ahli kimia dan 1 ahli fisika !
10. Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah
pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk :
a. Ganda putra
b. Ganda putri
c. Ganda campuran
11. Dengan menggunakan ekspansi binomial, hitunglah (3x-2y2)3!
Pokok Bahasan
: Perhitungan Peluang: ruang sampel, konsep peluang, peluang
berdasarkan teknik membilang
Uraian Pokok Bahasan
A. Eksperimen Acak
Eksperimen acak adalah eksperimen yang apabila diulang, maka masing-masing eksperimen
memberikan hasil yang tidak sama, sekalipun kondisi daripada eksperimen yang satu dengan yang
lainnya sangat mendekati identik.
B.
Ruang Sampel
Definisi 1: Ruang Sampel
Apabila kita melakukan sebuah eksperimen, maka semua hasil yang mungkin diperoleh darinya
dinamakan ruang sampel.
Adapun masing-masing hasil yang mungkin dari eksperimen atau setiap anggota dari ruang
sampel dinamakan titik-titik sampel.
Definisi 2: Ruang Sampel Diskrit
Ruang Sampel Diskrit, adalah ruang sampel yang mempunyai banyak anggotanya berhingga
atau tidak berhingga, tetapi dapat dihitung.
Definisi 3: Ruang Sampel Kontinu
Ruang Sampel Kontinu, adalah ruang sampel yang anggotanya merupakan interval pada garis
bilangan real.
Definisi 4: Peristiwa atau Kejadian
Sebuah peristiwa adalah sebuah himpunan bagian dari ruang sampel S. Setiap himpunan bagian
dari ruang sampel S merupakan sebuah peristiwa.
Karena sebuah peristiwa itu merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S, maka ada tiga
kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu :

S itu sendiri merupakan sebuah peristiwa

 juga merupakan sebuah peristiwa

Beberapa hasil yang mungkin dari S merupakan sebuah peristiwa.
C. Konsep Peluang
Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu eksperimen acak yang memuat n titik sampel .
Jika kejadian A adalah himpunan bagian dari S sedemikian sehingga n(A) adalah banyaknya unsur
dalam A, maka peluang kejadian A adalah :
𝐏(𝐀) =
𝐧(𝐀)
𝐧(𝐒)
Dalil-dalil Dasar Peluang
Jika S adalah ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A adalah kejadian di S, maka :
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) = 1
3. P(Ac) = 1 – P(A)
4. P() = 0
5. Kalau ada B peristiwa lain di S, A dan B dua buah peristiwa yang saling lepas (mutually ekslusif)
maka P(AB) = P(A) + P(B)
Secara lebih umum Jika A1, A2,…An adalah n buah peristiwa yang saling lepas (artinya Ai  Aj =
 untuk i ≠ j ; i,j= 1,2,3,…,n ), maka :
𝑚
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 ) = 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑚 )
𝑖=1
= P (A1 ) + P (A2 ) +… + P (Am )
𝑚
𝑚
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
6. Kalau ada B peristiwa lain di S dan AB, maka P(A) ≤ P(B)
jika A dan B tidak saling lepas, maka P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
D. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada
percobaan A dilakukan n kali, maka :
Fh = n x P(A)
Soal-soal
1. Misalkan dilakukan pengundian sebuah dadu yang seimbang, lalu dilanjutkan pengundian sebuah
mata uang koin Rp. 100 yang seimbang.
a. Tentukan ruang sampelnya!
b. Jika A adalah peristiwa terjadinya muncul mata dadu yang berangka genap dan sisi Gambar
pada uang koin, maka tentukan ruang peristiwa dari A!
c. Jika B adalah peristiwa terjadinya mata dadu yang berangka bilangan prima, maka tentukan
ruang peristiwa dari B!
d. Jika C adalah peristiwa terjadinya muncul mata dadu yang berangka bilangan ganjil dan sisi
Angka pada uang koin, maka tentukan ruang peristiwa dari C!
e. Tentukan ruang peristiwa dari peristiwa-peristiwa berikut ini
i. Terjadinya A atau B
ii. Terjadinya B dan C
2. Misalkan kita melakukan pengundian dengan dua buah mata uang logam Rp.100 sekaligus.
Berapa peluang :
a. Akan diperoleh paling sedikit satu “ANGKA 100”?
b. Tidak akan diperoleh “ANGKA 100”?
3. Misalkan kita melakukan pengundian dua buah dadu yaitu dadu berwarna putih dan dadu
berwarna kuning. Berapa peluangnya akan diperoleh mata dadu yang jumlahnya :
a. Lebih dari 5
b. Paling sedikit 7
4. Berapa peluang manusia tidak akan meninggal ?
5. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar undi satu kali. Tentukan peluang memperoleh :
a. Mata dadu ganjil dan sisi gambar pada uang logam.
b. Mata dadu prima ganjil dan sisi angka pada uang logam.
c. Mata dadu 2 dan sisi angka pada uang logam.
6. Misalkan sebuah kelas terdiri dari 10 orang laki-laki dan 20 orang perempuan. Setengah dari
jumlah laki-laki dan setengah dari jumlah siswa perempuan mempunyai rambut lurus. Apabila
seorang guru memanggil seorang siswa secara acak, maka berapa peluangnya bahwa siswa yang
terpanggil itu ternyata siswa laki-laki atau siswa yang mempunyai rambut lurus?
7. Dua puluh kartu diberi angka 1 sampai dengan 20. Kartu ini dikocok kemudian diambil satu kartu
secara acak. Pengambilan kartu dilakukan 100 kali (setiap pengambilan kartu dikembalikan).
Berapa frekuensi harapan muncul kartu berangka:
a. Prima
b. Ganjil habis dibagi 3
c. Habis dibagi 2 dan 3
d. Kurang dari atau sama dengan 7