Pertemuan 5

Pertemuan V
Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random
Variable Concept and Probability Distribution)
 Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan
ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil
(wilayah fungsi).
 Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam
statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian
alam.
 Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu
memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH
dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.
 Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang
seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:
a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:
X = munculnya sisi dadu yang bermata genap
= {0, 1}
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:
Daerah fungsi
S1 .
S2 .
S3 .
S4 .
S5 .
S6.
Wilayah fungsi
X(ei)
.0
.1
 Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang contoh ! Berikan
minimal dua contoh untuk ruang contoh!
 Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian ! Berikan
minimal dua contoh untuk ruang kejadian
 Diskret
 Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)
 Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan
oleh pemain A
 Kontinu
 Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah
(uncountable)
 Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval
 Misalkan X = tinggi badan (cm)
 Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret
 Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan
nilai dan peluang dari peubah acak tersebut
 Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai
peubah acak tersebut sama dengan 1
 Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan
menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang
membentuk sembarang kejadian tersebut
 Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran
peluang kejadiannya.
Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang
setimbang
SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan
sebagai berikut:
p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6
p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Kejadian
Peluang
kejadian
X
S1
Sisi yang muncul
S2
S3
S4
S5
S6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
0
1
0
1
0
1
x
P(X=x)
X
0
1/2
0
1
1/2
1
Dua buah mata uang dilempar bersama-sama.
Jika masing-masing memiliki sisi yang
seimbang, senaraikanlah ruang contohnya.
Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka
pada kedua mata uang, maka definisikan
peubah acak tersebut. Lengkapi dengan
sebaran peluang dari peubah acak tersebut.
 Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai
peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang
sampai tak berhingga kali.
 Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai
berikut:
( X )   x x p ( xi ), jika X p.a diskret
n
i 1
 Jika c konstanta maka E(c ) = c
 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c
maka E(cX) = c E(X)
 Jika X dan Y peubah acak
maka E(XY) = E(X)  E(Y)
 Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(X-E(X))2
= E(X2) – [E(X)]
2
tunjukkan !
 Sifat-sifat dari ragam
 Jika c konstanta maka V(c ) = 0
 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =
c2 V(X)
 Jika X dan Y peubah acak maka,
V(XY) = V(X) + V(Y)  Cov(X,Y)
Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y
saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
 Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X
seperti tabel di bawah
 Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Nilai peubah Acak X
X
0
1
2
3
4
5
P(X=xI)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Xip(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2
= 55/6 - 225/36 = 105/36
 Bernoulli
 Binomial
 Poisson
 Kejadian yang diamati merupakan kejadian
biner yaitu sukses atau gagal
 Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian
sukses dan 0 jika kejadian gagal
 Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi
peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:
P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1
 E(X) = p
var(X)= p(1-p)
Akan melakukan lemparan bebas. Jika
peluang bola tersebut masuk ring
sebesar 80% maka peluang bola tidak
masuk ring adalah 20%
Akan melakukan tendangan pinalti. Jika
peluang bola masuk sebesar 95% maka
peluang bola tidak masuk sebear 5%.
 Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling
bebas
 Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari
kejadian sukses, X=0,1,2,….,n
 Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat
dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!
var(X)=np(1-p)
 E(X) =np
Jika peubah acak X didefinisikan
sebagai banyaknya lemparan
bebas yang sukses dari 3
lemparan
p= peluang sukses untuk sekali
melakukan lemparan bebas
 3
x=3
P( X  3)    p 3 (1  p) 33
 3
S
S
S
S
S
G
x=2
 3
P ( X  2)    p 2 (1  p ) 3 2
 2
G
S
S
G
S
S
S
G
G
G
S
G
G
G
S
x=1
 3
P( X  1)    p1 (1  p) 31
1
G
G
G
x=0
 3
P( X  0)    p 0 (1  p )30
 0
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
Peluang turun hujan per hari diketahui
p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam
satu minggu, hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam
satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan
satu hari dalam satu minggu?
 Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu
 Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan
fungsi kepekatan peluang
 Integral fungsi kepekatan peluang dari semua
kemungkinan nilai sama dengan 1
 Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan
mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang
nilai tersebut
 Normal
 Weibull
 Gamma
 Beta
0.4500
0.4000
0.3500
0.3000
0.2500
0.2000
0.1500
0.1000
0.0500
0.0000
 Bentuk sebaran simetrik
X
 Mean, median dan modus berada dalam satu titik
 Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai
berikut:
f ( x,  ,  2 ) 
1
e
2 
1  x 
 

2  
2
 Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan
normal:
 P ( -  < x <  +  ) = 0.683
p(a  x  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a)
 P ( - 2 < x <  + 2 ) = 0.954
b
a
 Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (2)
menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)
Variable
ragam 1
ragam 3
ragam - 5
ragam -10
60
50
Percent
40
30
20
10
0
-36
-24
-12
0
Data
12
24
36
Semakin besar ragam dari sebaran normal
maka semakin landai bentuk sebarannya
 Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka
panjang
 Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai
berikut:
( X ) 
 x f ( x )dx, jika X p.a kontinu


i
i
 Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang
berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit
 Lakukan transformasi dari X  N( , 2) menjadi peubah
acak normal baku Z  N(0 , 1) dengan menggunakan
fungsi transformasi
 Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z  N(0
, 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal
baku
Z
X 

 Nilai z, disajikan pada
kolom pertama (nilai z
sampai desimal pertama)
dan baris pertama (nilai z
desimal kedua)
 Nilai peluang didalam
tabel normal baku adalah
peluang peubah acak Z
kurang dari nilai k
(P(Z<k)).
Nilai Z
0.00
0.01
0.02
0.03
-2.6
0.005
0.005
0.004
0.004
-2.5
0.006
0.006
0.006
0.006
-2.4
0.008
0.008
0.008
0.008
P(Z<-2.42)=0.008
Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal
dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan
ragam 25 mm2. Hitunglah,
1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15
mm?
2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm
sampai 20 mm?
3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?
4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang
10% curah hujan tertinggi, berapa batas
curah hujan tersebut!
 Dalam suatu bagian terdapat tiga orang karyawan laki-laki dan
dua orang karyawan wanita. Manajer ingin memutasi dua orang
karyawan dari bagian tersebut. Jika didefinisikan peubah acak X
sebagai banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :
 Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X tersebut!
 Tentukan E(X)!
 Tentukan V(X)!
 Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5
juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara
acak:
 Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?
 Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai 3,2 juta?
 Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi, tentukan batas bawah
dari range tersebut!