Pemecahan Masalah Matematika

Unit 1
MATEMATIKA DAN MASALAH-MASALAH UMUM DI DALAMNYA
Wahyudi
Inawati Budiono
Pendahuluan
U
nit ini membahas tentang pengertian matematika dan masalah-masalah umum yang terjadi
dalam pembelajaran matematika pada umumnya. Unit ini terbagi atas dua subunit yaitu kajian
tentang matematika dan masalah-masalah umum yang terjadi saat pembelajaran baik yang terjadi
pada guru dan siswa. Kajian tentang pengertian matematika dan masalah-masalah umum dalam
pembelajaran matematika ini akan dijadikan pijakkan untuk menentukan masalah – masalah
khusus yang terjadi berkaitan dengan konsep dasar matematika. Selain itu, kajian tentang
matematika akan memberikan gambaran jelas tentang apa itu matematika sehingga mahasiswa
mampu membedakan matematika dengan ilmu lain. Kompotensi yang diharapkan dari materi ini
adalah mahasiswa mampu mengidentifikasi masalah-masalah umum dalam matematika sehingga
dapat membedakan matematika dengan ilmu yang lain. Selain materi, unit ini juga dilengkapi
dengan latihan soal untuk menguji pemahaman mahasiswa terhadap materi yang diberikan. Jika
ada kesulitan atau ketidakpahaman mengenai materi ini, diskusikan bersama teman atau
bertanyalah pada dosen atau tutor Anda.
Selamat belajar dan tetap bersemangat, Tuhan memberkati.
Pemecahan Masalah Matematika
1
Subunit 1
Pengertian Matematika
Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein atau manthenien yang artinya
mempelajari. Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata Sangsekerta, medha atau
widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensia (Sri Subariah, 2006:1). Menurut
Ruseffendi (1993), matematika adalah terjemahan dari Mathematics. Namun arti atau definisi
yang tepat tidak dapat diterapkan secara eksak (pasti) dan singkat karena cabang-cabang
matematika makin lama makin bertambah dan makin bercampur satu sama lainnya. Menurut
Rusefendi (1993: 27-28) matematika itu terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak
didefinisikan, definesi-definisi, aksioma-aksioma dan dalil-dalil yang dibuktikan kebenarannya,
sehingga matematika
disebut ilmu deduktif. Ruseffendi juga mengutip beberapa definisi
matematika menurut pendapat beberapa ahli, yaitu:
1) Menurut James & James matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk,
susunan, besaran dan konsep-konsep yang saling berhubungan satu sama lainnya dengan
jumlah yang banyaknya terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.
2) Menurut Johnson & Rising matematika merupakan pola pikir, pola mengorganisasikan
pembuktian logik, pengetahuan struktur yang terorganisasi memuat: sifat-sifat, teori-teori
dibuat secara deduktif berdasarkan unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau
teori yang telah dibuktikan kebenarannya (Reseffendi, 1993: 28).
3) Menurut Reys matematika merupakan telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau
pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat (Reseffendi, 1993: 28)
4) Menurut Kline matematika bukan pengetahuan tersendiri yang dapat sempurna karena
dirinya sendiri, tetapi keberadaanya karena untuk membantu manusia dalam memahami
dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam (Reseffendi, 1993: 28)
Pengertian matematika dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia oleh tim penyusun kamus
Pusat Pembinaan dan Perkembangan Bahasa disebutkan bahwa Matematika adalah ilmu tentang
bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan dan prosedur operasional yang digunakan dalam
penyelesaian masalah bilangan.
Dalam buku Metodek Matematika, yang diterbitkan oleh Bagian Proyek Pengembangan
Mutu Pendidikan Guru disebutkan bahwa matematika merupakan suatu pengetahuan yang di
peroleh melalui belajar baik yang berkenaan dengan jumlah, ukuran-ukuran, perhitungan dan
sebagainya yang dinyatakan dengan angka-angka atau simbol- simbol tertentu.
Pemecahan Masalah Matematika
2
Berdasarkan beberapa pengertian yang telah dikemukakan diatas dapatlah disimpulkan
bahwa Matematika merupakan suatu ilmu yang mempelajari jumlah-jumlah yang diketahui
melalui proses perhitungan dan pengukuran yang dinyatakan dengan angka-angka atau simbolsimbol.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang
mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada di dalamnya. Ini berarti bahwa
belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep, struktur konsep dan mencari
hubungan antar konsep dan strukturnya. Ciri khas matematika yang deduktif aksiomatis ini harus
diketahui oleh guru sehingga mereka dapat mempelajari matematika dengan tepat, mulai dari
konsep-konsep sederhana sampai yang komplek.
Banyak orang yang mempertukarkan antara Matematika dengan Aritmatika atau
berhitung. Padahal, matematika memiliki cakupan yang lebih luas dari pada aritmatika.
Aritmatika merupakan bagian dari Matematika. Dari berbagai bidang studi yang diajarkan
disekolah, matematika merupakan bidang studi yang dianggap paling sulit oleh para siswa, baik
yang tidak berkesulitan belajar dan lebih- lebih yang mempunyai kesulitan dalam belajarnya.
Menurut Johnson dan Myklebust (1967:244), Matematika adalah simbolis yang fungsi
praktisnya untuk mengekspresikan hubungan kuantitatif dan keruangan yaitu menunjukan
kemampuan strategi dalam merumuskan, menafsirkan dan menyelesaikan model matematika
dalam pemecahan masalah, sedangkan fungsi teoritisnya untuk memudahkan berfikir. Dalam hal
ini menunjukan pemahaman konsep matematika yang dipelajari, mengkomunikasikan gagasan
dengan simbol, tabel, grafik, atau diagram untuk menjelaskan keadaan atau masalah.
Menurut Paling, matematika adalah suatu cara untuk menemukan suatu jawaban terhadap
masalah yang dihadapi manusia, suatu cara menggunakan pengetahuan tentang menghitung dan
yang paling penting adalah memikirkan dalam manusia itu sendiri dalam melihat dan
menggunakan hubungan- hubungan.
Berdasarkan pendapat Paling tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk menemukan jawaban atas
tiap masalah yang dihadapinya, manusia menggunakan:
1. Informasi yang berkaitan dengan masalah yang dihadapi
2. Pengetahuan tentang bilangan, bentuk dan ukuran
3. Kemampuan untuk menghitung
4. Kemampuan untuk mengingat dan menggunakan hubungan-hubungan
Pemecahan Masalah Matematika
3
Subunit 2
Masalah-Masalah Umum Dalam Matematika
Sejarah menunjukkan bahwa matematika memang dibutuhkan manusia. Dapatkah kita
membayangkan bagaimana dunia yang dihuni manusia ini seandainya matematika tidak ada?
Dapatkah kita mendengarkan radio, menyaksikan tayangan di televisi, naik kereta api, mobil atau
pesawat terbang, memanfaatkan kecanggihan teknologi komputer, berkomunikasi, ber-sms-an
lewat HP, dan lain sebagainya? Dapatkah kita membayangkan kacaunya dunia ini seandainya
orang tidak bisa berhitung secara sederhana, tidak bisa memahami ruang dimana dia tinggal,
tidak bisa memahami suatu barang di supermarket? Apa yang terjadi seandainya orang Semarang
mengatakan 3 x 4 = 12, sedangkan orang Salatiga mengatakan 3 x 4 = 1000 (harga cetak foto),
atau kejadian-kejadian yang lainnya?
Matematika merupakan salah satu ilmu dasar yang harus dikuasai setiap manusia,
terutama oleh siswa sekolah. Sebab sesuai dengan gambaran di atas, ternyata matematika tidak
dapat dipisahkan dari kehidupan manusia sehari-hari. Matematika selalu mengalami
perkembangan yang berbanding lurus dengan kemajuan sains dan teknologi. Hal yang demikian
kebanyakan tidak disadari oleh sebagian siswa yang juga disebabkan minimnya informasi
mengenai apa dan bagaimana sebenarnya matematika itu. Dampaknya, akan berakibat buruk
terhadap proses belajar siswa, yakni mereka hanya belajar matematika dengan hanya
mendengarkan penjelasan dari seorang guru, menghafalkan rumus yang sudah jadi, lalu
memperbanyak latihan soal-soal dengan menggunakan rumus yang sudah dihafalkan, tetapi tidak
pernah ada usaha untuk memahami dan mencari makna yang sebenarnya tentang hakikat dan
tujuan pembelajaran matematika itu sendiri.
Matematika berkembang seiring dengan peradaban manusia. Sejarah ilmu pengetahuan
menempatkan matematika pada bagian puncak hierrarki ilmu pengetahuan. Matematika seolaholah menjadi ratu bagi ilmu pengetahuan, peletakan yang demikian-menurut anggapan
kebanyakan orang-menimbulkan mitos bahwa matematika adalah penentu tingkat intelektual
seseorang. Jika seseorang tidak mengerti matematika, berarti mereka tidak disebut orang pintar.
Padahal kepintaran seseorang itu bermacam-macam, ada yang sangat jenius dalam bidang sains,
dan yang lain jenius di bidang seni, namun tidak mengerti matematika sama sekali.
Disamping itu, masyarakat juga memiliki persepsi negatif terhadap matematika.
Sebagaimana yang dikemukakan Frans Susilo, bahwa kebanyakan permasalahan terhadap
Pemecahan Masalah Matematika
4
matematika timbul karena kesalahpahaman atau pandangan yang keliru mengenai matematika.
Untuk memahami matematika secara benar, pertama-tama perlu dipahami terlebih dahulu
beberapa permasalahan umum dalam matematika, antara lain:
Pertama, anggapan bahwa untuk mempelajari matematika diperlukan bakat istimewa
yang tidak dimiliki setiap orang. Kebanyakan orang berpandangan bahwa untuk dapat
mempelajari matematika diperlukan kecerdasan yang tinggi, akibatnya bagi mereka yang merasa
kecerdasannya rendah, mereka tidak termotivasi untuk belajar matematika.
Kedua, bahwa matematika adalah ilmu berhitung. Kemampuan berhitung dengan
bilangan-bilangan memang tidak dapat dihindari ketika belajar matematika. Namun, pada
hakikatnya berhitung hanya merupakan sebagian kecil dari keseluruhan isi matematika. Selain
mengerjakan penghitungan-penghitungan, orang juga berusaha memahami mengapa perhitungan
itu dikerjakan dengan menggunakan suatu cara tertentu.
Ketiga, bahwa matematika hanya menggunakan otak. Aktivitas matematika memang
memerlukan logika dan kecerdasan otak. Namun, logika dan kecerdasan otak saja tidak
mencukupi. Untuk dapat berkembang, matematika sangat membutuhkan kreativitas dan intuisi
manusia seperti halnya seni dan sastra. Kreativitas dalam matematika menyangkut akal-budi,
imajinasi, estetika, dan intuisi mengenai hal-hal yang benar. Para matematikawan biasanya
memulai mengerjakan penelitian dengan menggunakan intuisi, dan kemudian berusaha
membuktikan bahwa intuisi itu benar. Kekaguman pada segi keindahandan keteraturan sering
kali juga menjadi sumber motivasi bagi para matematikawan untuk menciptakan terobosanterobosan baru demi pengembangan matematika. Atau dengan kata lain, untuk dapat
mengembangkan matematika tidak hanya dibutuhkan kecerdasan menggunakan otak kiri saja,
melainkan juga harus mampu menggunakan otak kanannya secara seimbang.
Keempat, bahwa yang paling penting dalam matematika adalah jawaban yang benar.
Jawaban yang benar memang penting dan harus diusahakan. Namun, yang lebih penting
sebenarnya adalah bagaimana prosesnya untuk memperoleh jawaban yang benar. Dengan kata
lain, dalam menyelesaikan pelbagai masalah matematika, yang lebih penting adalah proses,
pemahaman, penalaran, dan metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut
sampai akhirnya menghasilkan jawaban yang benar.
Kelima, bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran mutlak. Kebenaran dalam
matematika sebenarnya bersifat nisbi. Kebenaran matematika tergantung pada kesepakatan awal
yang disetujui bersama yang disebut ‘postulat’ atau ‘aksioma’. Bahkan ada anggapan bahwa
tidak ada kebenaran (truth) dalam matematika, yang ada hanyalah keabsahan (validity), yaitu
penalaran yang sesuai dengan aturan logika yang digunakan manusia pada umumnya.
Pemecahan Masalah Matematika
5
Selanjutnya, yang perlu mendapat penjelasan lebih lanjut adalah pertanyaan mengenai
apa pentingnya matematika bagi kehidupan orang-orang yang tidak suka matematika? Coba
amati siswa-siswi yang tidak lulus UN, karena nilai matematikanya tidak memenuhi standar
minimal kelulusan yang ditetapkan pemerintah. Bagi mereka, mungkin akan menjawab
matematika sangat penting. Namun, nilai pentingnya tak lebih karena faktor otoritas Negara
yang menetapkan standar kelulusan UN. Bahkan matematika lebih sering dipandang sebagai
sebuah pelajaran yang menakutkan, abstrak dan sulit. Pembelajar biasa tidak dapat berharap bisa
memahami matematika, mereka berharap sederhana untuk menghafalnya dan menerapkan apa
yang telah mereka pelajari secara mekanis. Matematika yang dipelajari di sekolah hanya
mempunyai sedikit atau tidak ada hubungannya sama sekali dengan dunia nyata.
Akibatnya, seorang siswa akan memandang kebenaran solusi matematika sebagai sebuah
kebenaran yang dicangkokkan ke dalam kepala, bukan hasil dari pembuktian yang dapat
ditelusuri oleh dirinya sendiri. Bisa dibayangkan, apa jadinya ketika seorang siswa harus
menghafal notasi-notasi matematis tanpa mengerti artinya. Semakin tinggi tingkat pendidikan
seseorang, maka notasi-notasi ‘aneh’ yang harus memenuhi kepalanya juga bertambah banyak.
Ironisnya, mereka tidak tahu untuk apa notasi-notasi tersebut, dan apa manfaatnya bagi
kehidupan mereka. Dengan demikian, yang perlu dipertanyakan adalah bagaimana memberikan
matematika yang penting bagi kehidupan setiap individu sehingga matematika kembali pada
fungsinya untuk menyederhanakan kehidupan manusia.
Latihan
1. Sebut dan jelaskan 5 permasalahan umum dalam matematika yang mengakibatkan persepsi
negatif terhadap matematika itu sendiri.
2. Bagaimana pendapat Saudara sebagai seorang guru matematika dalam mengajarkan
matematika sehingga matematika kembali pada fungsinya untuk menyederhanakan kehidupan
manusia. Jelaskan!
Pemecahan Masalah Matematika
6