KOVARIAN PERSAMAAN MAXWELL MELALUI

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)
Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158
27
KOVARIAN PERSAMAAN MAXWELL MELALUI TRANSFORMASI
LORENTZ
DwiTeguhRahardjo
PendidikanFisika FKIP UNS
[email protected]
Abstrak
Tujuan dari penelitianini adalah merumuskan persamaan transformasi Lorentz secara umum dan merumuskan
persamaan Maxwell setelah melalui transformasi Lorentz. Sebagai hukum fisika, persamaan Maxwell juga
berlaku di semua kerangka acuan inersial sehinggabentuk persamaan Maxwell harus kovaian terhadap
transformasi Lorentz. Persamaan Maxwell dapat ditulis ulang sebagai persamaan tensor dalam ruang Minkowski.
Metodologi penelitian berupa kajian pustaka yang diambil dari berbagai sumber referensi buku-buku fisika
4
modern. Dari kajian pustaka diperoleh hasil yaitu transformasi Lorentz secara umum berupa  . Bentuk
persamaan Maxwell setelah melalui transformasi Lorentz adalah kovarian dengan persamaan sebagai berikut :
A' 
f


 x

 0 J
f 
atau x


v 1
a  v Av
f f 

0
x x
Kata kunci :Transformasi Lorentz, kovarian persamaan Maxwell, Minkowski
Pendahuluan
Menurut postulat teori relativistic
khusus yang pertama, semua hukum-hukum
Fisika,
baik
elektromagnetik
maupun
mekanika, harus kovarian di dalam semua
kerangka acuan yang bergerak linier dengan
kecepatan v tetap relative terhadap kerangka
acuan yang lain (di dalam semua kerangka
inersial), maka rumusan persamaan kelistrikan
dan kemagnetan yang memperlakukan
koordinat ruang dan waktu mempunyai bentuk
dasar yang sama.
Persamaan
Maxwell
menyajikan
pernyataan matematik dalam listrik magnet
antara lain, persamaan Maxwell pertama
merupakan ringkasan hukum Coloumb
terutama dari gaya antara muatan titikdengan
imbas listrik dari materi, persamaan Maxwell
kedua menggambarkan hukum Faraday tentang
induksi, persamaan Maxwell yang ketiga
adalah akibat dari hukum Ampere dari gaya
antara aliran arus dan juga menyatakan bahwa
muatan magnetic bebas tidak diketahui
keberadaanya dan persamaan Maxwell yang
keempat meliputi hukum Ampere tentang gaya
antara aliran arus listrik dengan imbas
magnetik dari materi ditambah konservasi dari
muatan bebas.
H. A Lorentz telah menurunkan
persamaan transformasi dengan menganggap
bahwa kecepatan cahaya tetap sama di semua
kerangka acuan inersial dan koordinat waktu (t)
juga tidak sama di kerangka acuan inersial
yang berbeda. Sebagai hukum fisika,
persamaan Maxwell juga berlaku di semua
kerangka acuan inersial sehingga bentuk
persamaan Maxwell harus kovarian terhadap
transformasi Lorentz. Persamaan Maxwell
dapat ditulis ulang sebagai persamaan tensor
dalam ruang Minkowski.
PEMBAHASAN
1. Transformasi Lorentz Umum
Persamaan
gelombang
transformasi Lorentz
menurut
S 2  x 2  y 2  z 2  c 2t 2  x'2  y'2  z'2 c 2t '2
…..………………………. (1)
notasi bentuk umum yang berupa ruang
Minkowski
x1  x
x2  y
x3  z x4  ict
……..…………………………...(2)
(Arfken, G.B., 2001, hal. 283)
Persamaan (1) dapat ditulis
Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)
Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158
4
a  a b    a     a 



4
S   x    x' 2 ………..……(3)
2
2
 1
v v
v
 1
Persamaan
transformasi
yang
menghubungkan dua koordinat sebagai empat
persamaan linier umum
4
x '   av xv
(   1, 2, 3, 4)
subtitusikan persamaan (4) ke (3) didapat





 x '2     a x   v av xv   
  a av x xv
v



...………...(5)
 x  ,
2
v
   v ………………(6)
Koefisiendari
x xv
…......…….……(10)

maka x   a

v
menukarkan indeks  dan v mendapatkan
 a  a    
v
Dari persamaan transformasi koordinat Lorentz
utama
harus sama dengan 1 jika
y'  y
z'  z
persamaan
 vx 
t'    t  2 
 c 
transformasi dalam bentuk sama
4
………………..(12)
v
x'   x  vt
ditulis
xv   bv  x '
x ' ..………………...……...(11)
Persamaan (9) dapat ditulis seluruh dalam
bentuk a dari hasil subtitusi dalam a dan
v   dan 0 jika v  
Dapat
a
b
..…………………………(4)
 a a


  bv    a  a v    bv   v  b 
v
 
 v

dimana  
sehingga didapat
jika x ' 
a v xv
v 1
Karena persamaan (5) juga harus sama
maka harus memiliki
(v  1, 2, 3, 4)
Persamaan koordinat umum
 1
..…………………………(7)
x1  x
x2  y
x3  z
x4  ict t 
b
dimana v  adalah sekumpulan koefisien dan
subtitusikan persamaan (7) dalam (4) didapat
v
dimana   v  c




c
x '   av   bv x '    x '   avbv      x '
v

v
 Persamaan
 


koordinat

 
..…………(8)
 a b     
v v
………………...(9)
v
Persamaan (9) dapa tdiselesaikan untuk
mendapatkan b dengan mengalikan kedua
sisinya oleh
(6)
a 
28
dan menggunakan persamaan
umum
kepersamaan Lorentz utama
x4
ic
dimasukkan
x 
x '   x   vt   x1     c   4    x1  i x4
 ic 
y'  x2
z '  x3
t '  t 
vx
 x4 i   x1   x4 i x1




2
c
ic
ic
ic
ic
ict '   x4  i x1
Jadi
Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)
Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158
x1 '  x '   x1  i  x4
x2 '  y '  x2
x3 '  z '  x3
x4 '  ict '   x4  i  x1
x1 '   x1  i  x4
x2 '  x2
x3 '  x3
x4 '   x4  i  x1
Sehingga
x '  x1 '
y '  x2 '
z '  x3 '
a
v
dapat dilihat koefisien
menunjukkan
transformasi dapat ditulis dalam matrix
a v
 a11

a21

 a31

 a41
a12
a14 



a24 
0
 

0
a34

 i 
a44 

a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
0
0
1
0
0
0
1
0
i  

0 
0 

 
....(13)
Sebagai perluasan dari vektor A, vector empat
A
dinyatakan
sebagai
sekumpulan
A , A , A , A 
empat
1
2
3
4
kuantitas
yang mempunyai
cirri sama seperti transformasi koordinat. Jika
transformasi
Lorentz
dinyatakan
oleh
persamaan (11) maka komponen
dihubungkan oleh
 x1 '   
  
 x2 '    0
 x3 '   0
  
 x4 '   i 
0
0
1
0
0
0
1
0
A
dan
A '
i    x1 
 
0   x2 
0   x3 
 
   x4 
A' A
sehingga persamaan
secara umum didapat
A ' 
transformasi
Lorentz
4
 a
v 1
v
Av
2. Kovarian persamaan Maxwell
Rumusan makroskopik elektromagnetik secara
lengkap saat ini adalah
29
 
.D   f
…………………….(14)

 
B
 E  
t
……………………(15)
 
.B  0
……………………(16)

 
D
 H  J f 
t
ict '  x4 ' …………….(17)
(Zahn, M. 1978, hal 488 – 489)
Persamaan dasar deferensial iniharuslah
dilengkapi oleh persamaan definisi yang mana
menghubungkan pasangan vektor medan
bersama dengan karakteristik dari materi dalam
bentuk dari bersesuaian densitas volum dari
momen dipol:

 
D  0 E  P
……………………(18)

 B 
H
M
0
………….………….(19)
Persamaan kontinuitas dapat mengungkapkan
secara dasar konservasi muatan dapat menjadi
kovarian


.J 
0
t
…………………….(20)
Karena Jx, Jy, dan Jz bukannya tidak
bergantung pada rapat muatan ρ, keempat
besaran ini membentuk vector 4 besaran dasar
dan jika didefinisikan rapat arus vector empat
sebagai J, maka menurut komponennya (J1, J2,
J3, dan J4=icρ), dapat dituliskan persamaan
kontinuitas dalam bentuk kovarian
J



x

0

yang penjumlahannya berlangsung dari v=1
hingga v=4, atau dapat dituliskan sebagai
Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)
30
Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158
J  0
sehingga potensial vector A dan potensial
scalar φ memenuhi persamaan gelombang tak
homogen
2
1 2 A
 A  2 2   0 J
c t
dan
2
1  2

.……. (21)
  2 2 
c t
0
 
 A Ay 
 Ax Az   Ay Ax 
  A  xˆ  z 


  yˆ 

  zˆ 
z 
x   x
y 
 z
 y
Ay Ax
A A
A Ay
Bx  z 
; By  x  z ; dan Bz 

y
z
z
x
x
y
 
ˆ x  yB
ˆ y  zB
ˆ z
  A  xB
dari hasil Bx dituliskan menjadi bentuk umum
f v 
(Reitz, J.R., 1979, hal 268)
Karena J dan ρ adalah komponen suatu vector
empat, maka persamaan (21) harus mewakili
keempat komponen suatu persamaan vector
empat dan φ serta A juga harus bergantung
membentuk suatu vector empat. Jika Λ
didefinisikan sebagai potensial empat, maka
Λ1=A1, Λ2=A2, Λ3=A3, Λ4 = iφ/c, sehingga
persamaan (21) dapat ditulis
 2 
  0 J 

2
  x
atau
dapat
ditulis
sebaga i  2   0 J …(22)
dengan
 2  2 
1 2
sebagai
c 2 t 2
persyaratan
operator
Lorentz



0

A  
0
x
t
menjadi 
atau
persamaan (24) dapat dituliskan dalam bentuk
lain yaitu
A

   
zˆ       
xˆ
yˆ
t

 x y z
      Ax Ay Az 
 
xˆ
yˆ
zˆ   



t
t 
 x y z   t

   
E    xˆ
yˆ
 x y z
Ex  
Persamaan medan listrik dan medan magnet
yaitu
A
E   
t
  A A A 
zˆ    1  2  3 
t
t 
  t
 Ax
 Ay
 Az

; Ey  

; dan Ez  

x t
y t
z t
E 1  4
, dan seterusnya


c x4 x1


E
dan
B
didapatkan
terlihat dalam komponen
f v
i
dari
  

x x
………….. (26)
dan dalam bentuk matrik
……………. (23)
……………. (24)
persamaan (23) dapat dituliskan dalam bentuk
lain yaitu
sebagai berikut
f  
  0
B  xA
……. (25)
karena A dari φ/c merupakan bentuk vektor
empat, maka persamaan (24) dapat ditulis
Laplace atau operator d’Alembert, sehingga
persamaan
 Av  A

 x  xv
f v

0
B3
 B2


 B
0
B1
3


 B2
 B1
0

 iE
iE3
iE2
1

c
c
 c
...…..…….……. (27)
iE1
c
iE
 2
c
iE
 3
c

0











Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)
Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158
(Arfken, G.B., 2001, hal. 286)
dengan
mengambil
divergensi
tensor
medan, dan dari persamaan (26) diperoleh


f 
2



 
x
x  x
x2

.………….. (28)

 x
 0 J
Arfken,
atau

f  0 J
.……………………….. (29)
Ini merupakan persamaan vector empat
yang
menyatakan
kovarian
dari
persamaan Maxwell, yaitu E 
xB  0 J 
dua

dan
0
1 E
.
c 2 t
Persamaan (29) dapat ditulis
f 
x

f f 

0
x x
.. (30)
(Arfken, G.B., 2001, hal. 286)
SIMPULAN DAN SARAN
Dari pembahasandapatdisimpulkan
1. Perumusan
persamaan
transformasi
koordinat Lorentz secara umum.
A ' 
4
 a
v 1
v
Av
2. Perumusan kovarian persamaan Maxwell
pada transformasi Lorentz
f


 x
 0 J

f 
x

f f 

0
x x
Transformasi Lorentz tidak hanya dapat
dilakukan pada koordinat, tetapi dapat juga
pada momentum – energy dan medan listrik
dan medan magnet. Untuk itu disarankan untuk
merumuskan transformasi pada momentum –
energy dan medan listrik dan medan magnet
DAFTAR PUSTAKA
Dari persamaan (22) dan (28) diperoleh
f 
31
atau
G.B.,
(2001), Mathematical
Methods for Physicists,
5 th edition, Burlington:
Harcourt
Academic
Press.
Reitz, J.R., (1979), Foundamental of
Electromagnatic
Theory, 3rd edition,
terjemahanolehSuwarno
W, Bandung: Penerbit
ITB Bandung.
Zahn, M., (1979), Electromagnetic Field
Theory : a problem solving
approach, Florida: Johm Wiley &
Sons, Inc.