DINAMIKA PARTIKEL Masih dalam pokok bahasan

RENCANA PEMBELAJARAN 6. POKOK BAHASAN : DINAMIKA PARTIKEL
Masih dalam pokok bahasan DINAMIKA PARTIKEL, pada kuliah kali ini akan dibicarakan
Sub- pokok bahasan usaha, gaya konservatif dan tenaga potensial, kekekalan tenaga.
A. Usaha
Gaya ⃑ yang bekerja dalarn perpindahan benda
⃑ dikatakan melakukan usaha sebesar
dengan demikian, usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda sepanjang lintasan
tertentu, S, didefisinikan sebagai
⃑
Tentu saja, ∫⃑ ⃑ . ⃑ dapat dihitung secara matematik/analitik apabila ⃑ = ⃑ ( ⃑) sudah
diketahui dan bersifat terintegralkan (intergrable). Untuk ⃑ konstan dan lintasan lurus
meberikan
=
. Usaha per-satuan waktu disebut daya ( ), yaitu daya yang
dilakukan oleh gaya pada benda, dirurmuskan sebagai
Persamaan (6.1) dapat ditulis
Sehingga persamaan (6.2) memberikan
Dengan hasil ini berarti bahwa “usaha yang dilakukan oleh resultan gaya pada
benda sama dengan perubahan tenaga kinetik benda tersebut”, dituliskan sebagai
Universitas Gadjah Mada
1
B. Gaya Konservatif, Tenaga Potensial
Dari berbagai jenis gaya yang bekerja pada (dialami oleli) benda, ada yang bersifat
khas, bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut dari satu titik ke titik yang lain
tidak tergantung pada lintasan, melainkan hanya tergantung pada posisi titik awal dan
titik akhir. Gaya yang memiliki sifat khas seperti tersebut di atas dikatakan bersifat
konservatif atau disebut gaya konservatif. Gaya-gaya konservatif umumnya berupa
gaya medan dari suatu sisterm alamiah dan sebagai fungsi posisi, seperti
⃑⃑
Gaya pegas
: ⃑ =
Gaya gravitasi’
: ⃑ =
⃑
(dialami benda karena rnassanya)
Gaya elektrostatis : ⃑ =
⃑⃑
(dialami benda karena muatannya)
Gaya konservatif yang dialami oleh benda selalu dikaitkan dengan tenaga potensial
benda bersangkutan melalui hubungán.
atau secara umum
dengan pemilihan acuan
( ⃑ ) = 0 yang sesuai secara matematik.
Tenaga potensial pada system pegas
di mana
(
= tetapan pegas dan
) sebagai titik acuan
= simpangan benda dari posisi setimbangnya
= 0.
Tenaga potensial gravitasi benda di atas permukaan bumi
di mana g = nilai percepatan gravitasi dan h = ketinggian posisi benda dan permukaan
tanah ( h = 0) sebagai titik acuan
= 0.
Universitas Gadjah Mada
2
C. Hukum Kekekalan Tenaga
Dari uraian di atas, mengenai usaha, dan khususnya terkait dengan gaya konservatif,
dapat disarikan sebagai berikut.
Pada benda yang hanya mengalami gaya konservatif berlaku persamaan (ingat usaha
yang dilakukan oleh gaya persamaan (6.4))
atau
anti fisisnya : tenaga mekanik benda yang hanya mengalami gaya konservatif, yakni
kostan (kekal). Jika tenaga kinetik (K) bertambah, pastilah tenaga potensialnya
berkurang, seperti benda yang jatuh atau benda yang bergetar yang sedang menuju titik
setibang. Kenyataan yang diungkapkan secara matematik oleh persamaan (6.9) atau
(6.10) disebut Hukum Kekekalan Tenaga.
Pada benda yang mengalami gaya non-konservatif, dengan ataupun tanpa gaya
konservatif, usaha yang dilakukan oleh gaya non-konservatif pada benda sama dengan
perubahan tenaga mekanik benda yang bersangkutan, dapat dirumuskan
atau
di mana
= usaha dari gaya non-konservatif,
⃑⃑⃑⃑⃑
= ∫⃑ ⃑ . ⃑
hubungan tersebut di atas dikenal sebagai PRINSIP USAHA — TENAGA.
Universitas Gadjah Mada
3
Contoh 6.1
Massa m dan permukaan tanah diberi kecepatan awal sebesar
dengan sudut elevasi
Dengan hukum kekekalan tenaga, hitunglah tinggi maksirnurn yang dicapai benda!
Jawab:
Saat di titik tertinggi: kelajuan massa
(mendatar) dan ketinggiannya sebutlah
. Karena selama gerakan dan permukaan tanah (awal, tempat 1) hingga tinggi
maksimum (tempat 2) hanya mengalami gaya berat yang bersifat konservatif, maka
berlaku hukurn kekekalan tenaga (gunakan persamaan (6.9))
Tentu saja hasil ini sama dengan yang diturunkan dengan GLBB (arah vertikal pada
gerak peluru).
Contoh 6.2
Massa 4kg mula-mula diam di Iantai, lalu ditarik ke atas dengan seutas tali ringan
(massa tali diabaikan) oleh gaya sebesar 60N. Saat massa rnencapai ketinggian 10 m
tali putus, selanjutnya massa bergerak hanya di bawah pengaruh gaya beratnya. Jika g
= 10 m/s2 .
hitunglah kelajuan massa saat mencapai lantai
Jawab:
Tinjau gerakan massa dan saat rnulai ditarik (berangkat dan lantai) hingga rnencapai
lantai, Dalam tinjauan tersebut, berarti K1 =
= 0 J (mula-mula diam, v1 = 0 m/s),
U1 = U2 = 0 (karena h1 = h2 = 0). Selama gerakan massa mengalami gaya non-
Universitas Gadjah Mada
4
konservatif berupa gaya tarik (tegangan tali) 60 N yang bekerja sepanjang lintasan 10
m. Gunakan persamaan (6.11):
Dapat juga digunakan Hukum II Newton dan kinematika.
Sistem dapat digambar seperti gambar di samping.
Gerakan massa tersebut terdiri atas 3 bagian : I : Selama
ditarik (sepanjang lintasan 10 m). II: Saat tali putus masih
meneruskan gerak naik hingga posisi tertinggi. III: Jatuh
bebas dari posisi tertinggi. Berikut dibahas tiap-tiap
bagian gerak tersebut.
D. Gaya Konservatif dalam ruang D-3
Sifat gaya konservatif dalarn ruang D-3 dapat dinyatakan secara matematik
atau
Universitas Gadjah Mada
5
di mana
biasa disebut operator nabla. Kaitannya dengan tenaga potensial U(x, y, z) berbentuk
Contoh 6.3
Find the value of constant c such that each of the following forces is conservative !
Answer :
Contoh 6.4:
A particle of mass m moving in three dimensions under the potential energy function
U(x. y, z) =
,has speed v0 when it passes through the origin.
(a) What will its speed if and when ft passes through the point (1,1 ,1)?
(b) If the point (1,1,1) is a turning point of the motion (v = 0), what is v0?
(c) What are the component differential equations of motion of the particle?
Universitas Gadjah Mada
6
Answer:
(a) Gerak dalam medan tenaga potensial berarti tenaga mekaniknya kekal
(b) Dengan V(111) = 0, maka v0 = ( (
))
(c)
Universitas Gadjah Mada
7