CALCULUS VEKTOR B [Compatibility Mode]

Talk less......
do more.............!!!!!
CALCULUS VEKTOR
Diferensiasi fungsi VEKTOR
Integrasi fungsi Vektor
Diferensiasi fungsi VEKTOR
Diferensiasi Biasa dari fungsi vektor
Jika
Dan
r
r = xi + yj + zk
x = x(u ) ; y = y (u ) ; dan z = z (u )
Dimana u adalah suatu skalar, maka diferensiasi r terhadap u :
r
dr
dx
di dy
dj dz
dk
=
i+x +
j+ y
+
k+z
du du
du du
du du
du
Sistem
koordinat
Kartesian (x,y)
y
j
j
i
i
j
j
x
i
i
Vektor satuan arah sumbu x dan arah sumbu y selalu
tetap kapan pun dimana pun, tidak bergantung posisi
dan waktu
Tapi karena i, j, dan k dalam sistem koordinat kartesian adalah
konstan tidak bergantung posisi dan waktu, maka diferensiasi dari r
terhadap u (biasanya variabel ruang) menjadi :
0
0
r
dr
dx
di dy
dj dz
dk
=
i+x +
j+ y
+
k+z
du du
du du
du du
du
r
dr
dx dy
dz
k
=
i+
j+
du du du
du
0
Sistem
koordinat
Polar (r,θ)
y
uθ
ur
uθ
ur
θ
uθ
ur
ur
uθ
Vektor satuan arah r dan arah θ tidak tetap bergantung
posisi
x
Rumus-rumus diferensiasi fungsi vektor yang lain :
Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar u yang
diferensiabel, maka :
(
d r r
1.
A+ B
du
(
d r r
3.
A× B
du
)
)
r
r
dA dB
=
+
du du
r
r
r dB dA r
= A×
+
×B
du du
(
)
(
)
d r r r
5.
A• B×C =
du
d r r r
6.
A× B × C =
du
r
r
r
r
r
d
dB dA
2.
A• B = A•
+
•B
du
du du
(
)
r
d r
dA dφ r
4.
φA = φ
+
A
du
du du
( )
r
r
r
v  r dC  r  dB r  dA r r
 + A•
A •  B ×
× C  +
• B×C


du 
 du
 du

r
r
r
r dB r dA r r
v r dC
A × (B ×
) + A× ( × C) +
× B×C
du
du
du
(
)
(
)
Diferensial Parsial dari fungsi vektor
Jika A adalah sebuah vektor yang bergantung pada lebih dari satu variabel
skalar, misalkan x, y, z, maka kita tuliskan A = A(x,y,z).
Maka A dapat diturunkan secara parsial terhadap x, terhadap y, atau
terhadap z, dengan menganggap veriabel bebas lainnya konstan.
∂A ∂A
=
∂x ∂x y , z = kons tan
∂A ∂A
=
∂y ∂y x , z = kons tan
∂A ∂A
=
∂z
∂z x , y = kons tan
Diferensiasi-diferensiasi yang lebih tinggi dapat didefinisikan seperti dalam
kalkulus, sbb :
r
r
∂ A
∂  ∂A 
 
=
2
∂x
∂x  ∂x 
r
r
2
∂ A
∂  ∂A 
 
=
∂x∂y ∂x  ∂y 
2
r
r
∂ A
∂  ∂A 
 
=
2
∂y
∂y  ∂y 
r
r
2
∂ A
∂  ∂A 
 
=
∂y∂x ∂y  ∂x 
2
r
r
r
2
∂ A
∂  ∂ A  ∂  ∂  ∂A 




=
=


2
2 



∂x∂z
∂x  ∂z  ∂x  ∂z  ∂z 
3
Apakah
r
r
∂2 A
∂2 A
???
=
∂x∂y ∂y∂x
r
r
∂ A
∂  ∂A 
=  
2
∂z
∂z  ∂z 
2
Jika A memiliki sekurang-kurangnya diferensiasi-diferensiasi parsial
orde kedua yang kontinyu (fungsi vektor berkelakuan baik), maka
r
r
∂2 A
∂2 A
=
∂x∂y ∂y∂x
Aturan-aturan untuk diferensiasi parsial dari fungsi-fungsi vektor mirip
dengan yang dipergunakan dalam kalkulus dasar dari fungsi-fungsi
skalar. Jadi jika A dan B adalah fungsi-fungsi dari x, y, z, maka :
r
r
r ∂B ∂A r
∂ r r
•B
1.
A• B = A•
+
∂x
∂x ∂x
(
)
r
r
r ∂B ∂A r
∂ r r
2.
A× B = A×
+
×B
∂x
∂x ∂x
(
)
r
r
r r
∂
∂  ∂ r r  ∂  r ∂B ∂A r 
3.
A• B =
A• B =
+
• B

A•
∂x∂y
∂x  ∂y
∂y ∂y
 ∂x 

2
(
)
(
)
Diferensial dari vektor-vektor
Mengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari kalkulus dasar,
seperti :
r
r
1. Jika A = A1i + A2 j + A3 k , maka dA = dA1i + dA2 j + dA3 k
r r r r
r r
2. d A • B = A • dB + dA • B
r r r
r r
r
3. d A × B = A × dB + dA × B
r r
4. Jika A = A( x, y, z ),
(
(
)
)
r
r
r
r ∂A
∂A
∂A
maka dA =
dx + dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Contoh soal
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva :
x = 2t 2 , y =t 2 − 4t, z =3t −5
dimana t adalah variabel waktu. Tentukan komponen kecepatan dan
percepatan pada saat t=1 dalam arah vektor A = i – 3j + 2k
Jawab
Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu,
ditulis :
r
r dr
v =
dt
(
)
r
2
2
Dari soal diketahui : r = 2t i + t − 4t j + (3t − 5)k
Maka :
r
r dr d
v=
= {2t 2i + t 2 − 4t j + (3t − 5)k}
dt dt
(
)
Contoh soal
r
v = 4t i + (2t − 4 ) j + 3k
Pada t = 1,
r
v = 4 i − 2 j + 3k
Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadap
u dimana u adalah vektor satuan arah A
r
Komponen = v • uˆ
r
A i − 3 j + 2k i − 3 j + 2k
ˆu = r =
=
1+ 9 + 4
14
A
Contoh soal
Komponen kecepatan dalam arah vekor A adalah
r
16
 i − 3 j + 2k 
v • u = (4i − 2 j + 3k ) • 
=
14 
14

Percepatan didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan terhadap waktu,
ditulis :
r
r dv
a=
dt
Sebelumnya didapat
maka
r
v = 4t i + (2t − 4 ) j + 3k
r
r dv d
a=
= {4t i + (2t − 4 ) j + 3k}
dt dt
Contoh soal
r
a = 4i + 2 j
Pada t = 1,
r
a = 4i + 2 j
Komponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari a
terhadap u dimana u adalah vektor satuan arah A
r
Komponen = a • uˆ
Komponen percepatan dalam arah vekor A adalah
r
 i − 3 j + 2k  − 2
a • uˆ = (4i + 2 j ) • 
=
14 
14

Soal Latihan
Jika
(
) (
) (
)
r
A = 2 x 2 y − x 4 i + e xy − y sin x j + x 2 cos y k ,
Tentukan :
r r
r
r
2
2
∂A ∂A ∂ A ∂ A
,
,
,
∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x
Apakah A berkelakuan baik ?
Tugas PR
Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh:
r
r = cos ωt i + sin ωt j
dimana ω konstan. Buktikan bahwa :
a. Kecepatan v dari partikel tegak lurus r
b. Percepatan a arahnya menuju titik asal dan besarnya
sebanding dengan jarak ke titik asal
c. r x v = vektor konstan
Operator Diferensial Vektor
Lambang : ∇
Baca : “del” atau Nabla
Definisi :
∂
∂
∂
∇≡i
+ j
+k
∂x
∂y
∂z
Operator vektor ini memiliki sifat-sifat yang analog dengan vektor-vektor
biasa, bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yang
sering muncul dalam pemakaian praktis termasuk dalam Fisika yang
dikenal sebagai Gradien, Divergensi, dan Curl.
Gradien
Misalkan φ (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan
diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam
ruang, maka :
Gradien φ atau Grad φ atau ditulis ∇φ didefinisikan sebagai :
 ∂
∂
∂
∂φ
∂φ
∂φ
∇φ =  i + j + k  φ = i
+j
+k
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
Perhatikan bahwa ∇φ merupakan suatu fungsi vektor
Komponen dari ∇φ dalam arah sebuah vektor satuan a, diberikan
oleh :
∇φ • â
“ Directional derivative” atau
“Turunan Berarah” dari φ dalam arah a. Secara fisis
Disebut
memiliki pengertian laju perubahan kuantitas fisika φ pada (x,y,z)
dalam arah a, dan ditulis :
dφ
= ∇φ • aˆ
ds
Turunan Berarah
Contoh kuantitas fisis yang tergolong medan skalar (φ)
potensial listrik (V)
(V),, temperatur (T) dan
adalah
potensial gravitasi (Ep)
dT
= ∇T • aˆ
ds
Medan Listrik dan Potensial listrik
E
V
b
E
V
a
+
d
V
E
q
c
V
E
kq
E = 2 rˆ
r
kq
V =
r
Karena r yang sama, maka
Va = Vb = Vc = Vd
tapi
Ea ≠ Eb ≠ Ec ≠ Ed
E a = Eb = Ec = E d
Medan Listrik dan Potensial listrik
V2
V1
b
V2
V1 a
q
+
d
V1
V2
c V1
V2
Medan Listrik dan Potensial listrik
d
Ketika bergerak dari c ke d
atau ke e, atau ke f, atau ke
g, atau ke h, menempuh
selisih potensial listriknya
yang sama, yaitu V1-V2 = ∆V
e
Bidang-bidang
equipotensial
f
c
g
V1
h
V2
Yang berbeda adalah
panjang lintasan yang
ditempuh. Hal ini
menunjukkan laju perubahan
potensial berbeda, semakin
panjang lintasan berarti laju
perubahannya kecil dan
sebaliknya
Hal ini menunjukkan laju perubahan potensial
bergantung arah = turunan berarah
Medan Listrik dan Potensial listrik
dV
= ∇V • aˆ
ds
d
e
Bidang-bidang
equipotensial
dV
= ∇V â cos θ
ds
f
c
g
V1
h
V2
Pada perpindahan dari c ke g, vektor
a(arah perpindahan) searah dengan
∇V, sehingga θ adalah 0 (nol)
∇V
θ Adalah sudut antara ∇V
dan a
∇V adalah vektor tegak
lurus V di suatu titik.
dV
= ∇V cos 0 = ∇V = maksimum
ds
φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
φ
∇φ
Bukti
P(xo,yo,zo)
a
φ=C
C
B
dφ
= ∇φ â cos θ
ds
dφ
=0
ds
Titik P, C, B, A terletak pada
satu bidang φ, sehingga ketika
bergerak dari P ke C atau ke
B atau ke A tidak terjadi
perubahan nilai φ, sehingga
∆φ = 0. dengan demikian :
∆φ
=0
∆s
A
Berarti antara ∇φ dan a di titik p
membentuk sudut 90o. Dengan
demikian ∇φ tegak lurus a.
Dari kalkulus
lim
∆s →0
∆φ dφ
=
=0
∆s
ds
∇φ
Bukti
90o
P(xo,yo,zo)
a
φ=C
C
B
A
Contoh Soal
Diberikan fungsi potensial listrik dalam ruang :
V = xy 2 + yz + z sin x
Tentukan :
a. ∇V di titik (0,1,2)
r
b. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah A = 2i + 2 j − k
Jawab :
a. ∇V = i ∂V + j ∂V + k ∂V
(
∂x
∂y
)
∂z
∇V = i y 2 + z cos x + j (2 xy + z ) + k ( y + sin x )
Di titik (0,1,2)
∇V = 3i + 2 j + k
Contoh Soal
b.
dV
= ∇V • uˆ
ds
Di titik (0,1,2)
u adalah satuan vektor dalam arah A, sehingga :
r
A 2i + 2 j − k 2i + 2 j − k
uˆ = r =
=
3
4 + 4 +1
A
sehingga
dV
 2i + 2 j − k 
= (3i + 2 j + k ) • 

ds
3


dV
= 3 volt / m
ds
Soal latihan
Diberikan fungsi temperatur dalam ruang dan titik P(3,4,1) :
T = x 2 − yz
Tentukan :
a. ∇T di titik P
b. Suatu vektor satuan normal permukaan T=5 di P
c. Suatu vektor dalam arah peningkatan dari T paling cepat di P
d. Besar vektor pada soal c
e. Turunan dari T di P dalam arah sejajar garis :
r
r = i − j + 2k + (6i − j − 4k )t
Divergensi
Misalkan
r
V ( x, y, z ) = V1i + V2 j + V3 k
Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam
suatu daerah tertentu dari ruang maka :
Divergensi V atau Div V atau ditulis ∇.V, didefinisikan sebagai :
 ∂
∂
∂
∇ • V =  i + j + k  • (V1i + V2 j + V3 k )
∂y
∂z 
 ∂x
∂V1 ∂V2 ∂V3
∇ •V =
+
+
∂z
∂x ∂y
Curl
r
A( x, y, z ) = A1i + A2 j + A3 k
Misalkan
Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam
suatu daerah tertentu dari ruang maka :
Curl A atau Rot A atau ditulis ∇xA, didefinisikan sebagai :
r  ∂
∂
∂
∇ × A =  i + j + k  × ( A1i + A2 j + A3 k )
∂y
∂z 
 ∂x
r
∇× A= ∂
i
∂x
A1
j
∂
∂y
A2
k
∂
∂z
A2
Contoh soal
Hitung divergensi dan Curl dari medan vektor berikut :
r
A = zi + yj + xk
Jawab :
Divergensi V atau Div V atau ditulis ∇.V, didefinisikan sebagai :
r ∂A1 ∂A2 ∂A3
∇ • A=
+
+
∂x ∂y
∂z
r ∂z ∂y ∂x
∇ • A= + +
∂x ∂y ∂z
r
∇ • A = 0 +1 + 0 = 1
Curl A atau ditulis ∇xA, didefinisikan sebagai :
r
∇× A= ∂
i
∂x
A1
r
∇× A= ∂
r
∇× A= 0
j
∂
∂y
A2
i
∂x
z
k
∂
∂z
A3
j
∂
∂y
y
k
∂
∂z
x
Variasi Formula Mengandung ∇
Laplac
Lapla
cian
Misalkan U (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan
diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam
ruang, maka :
Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
 ∂
∂U 
∂
∂   ∂U
∂U

+j
+k
∇ • ∇U =  i + j + k  •  i
∂y
∂z   ∂x
∂y
∂z 
 ∂x
2
2
2
∂
U
∂
U
∂
U
2
∇U =
+ 2 + 2
2
∂x
∂y
∂z
Contoh soal
Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
U = x 3 − 3xy 2 + y 3
Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
∇U =
+ 2 + 2
2
∂x
∂y
∂z
2
∇ 2U = 6 x + (− 6 x + 6 y ) + 0
∇ 2U = 6 y
Soal latihan
1. Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
(
U = ln x 2 + y 2
2. Hitunglah :
jika

∇ • 

r
r
r
r
)




r
r = xi + y j + z k
INTEGRASI FUNGSI
VEKTOR
Integral Biasa
r
R(u ) = R1 (u )iˆ + R2 (u ) ˆj + R3 (u )kˆ
merupakan sebuah vektor yang bergantung pada
variabel skalar tunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u)
kontinu dalam suatu selang yang ditentukan
ditentukan..
Maka::
Maka
r
ˆ R1 (u ) du + ˆj R2 (u ) du + kˆ R3 (u ) du
R
(
u
)
du
=
i
∫
∫
∫
∫
Disebut integral tak tentu dari R(u)
Jika terdapat suatu vektor
r
S (u )
sehingga
{ }
r
d r
R(u ) =
S (u )
du
Maka:
{ }
r
d r
∫ R(u ) du = ∫ du S (u ) du
r
r
r
∫ R(u ) du = ∫ d S (u ) = S (u ) + C
C adalah vektor konstanta
Integral tentu antara limit
limit--limit u = a dan u = b, ditulis sbb :
{ }
u =b
u =b
r
d r
∫u =aR(u)du = u∫=a du S (u ) du
u =b
u =b r
r
∫ R(u)du = ∫ dS (u )du
u =a
u =a
u =b
r u =b r
r
r
∫ R(u)du = S (u ) = S (b) − S (a)
u =a
u =a
Contoh Soal
Percepatan suatu partikel pada setiap saat t > 0
diberikan oleh
oleh::
r
a = (12 cos 2t )iˆ − (8 sin 2t ) ˆj + (16t )kˆ
Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol,
nol, Tentukan
kecepatan dan posisi partikel setiap saat!
r
r
v = ∫ a dt
r
r
r = ∫ v dt
r
t = 0 → v (t = 0) = v0 = 0
r
r (t = 0) = r0 = 0
Solusi
r ˆ
v = i ∫ 12 cos 2t.dt − ˆj ∫ 8 sin 2t.dt + kˆ ∫ 16t.dt
r ˆ
1

v = i 12 ⋅ ⋅ sin 2t  −
2


( )
ˆj  (−8) ⋅ 1 ⋅ cos 2t  + kˆ 8t 2 + C1
2


r
v = 6 sin 2t iˆ + 4 cos 2t ˆj + 8t 2 kˆ + C1
dengan mengambil v = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
0 = 6 sin 0 iˆ + 4 cos 0 ˆj + 8(0) 2 kˆ + C1 ;
C1 = − 4 j
Sehingga :
r
v = 6 sin 2t iˆ + 4 cos 2t ˆj + 8t 2 kˆ − 4 j atau
r
v = 6 sin 2t iˆ + (4 cos 2t − 4) ˆj + 8t 2 kˆ
Solusi
r
r
r = ∫ v dt =
∫ (6 sin 2t i + 4 cos 2t j − 4 j + 8t k )dt
2
r
8
r = − 3 cos 2t i + (2 sin 2t − 4t ) j + t 3 k + C2
3
dengan mengambil r = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
0 = − 3 cos 0 i + (2 sin 0 − 0 ) j +
8 3
(0) k + C2 ;
3
C2 = 3 i
sehingga
r
8 3
r = − 3 cos 2t i + (2 sin 2t − 4t ) j + t k + 3 i
3
r
8 3
r = (3 − 3 cos 2t ) i + (2 sin 2t − 4t ) j + t k
3
atau
Soal latihan
Percepatan suatu partikel pada setiap saat t > 0
diberikan oleh
oleh::
r −t ˆ
a = e i − 6(t + 1) ˆj + 3 sin t kˆ
Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol,
nol, Tentukan
kecepatan dan posisi partikel setiap saat!
Integral Garis
r
A = A1i + A2 j + A3k
Misalkan
dan r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan kurva C yang
menghubungkan titik-titik P dan Q, dimana u = u1 dan u = u2 untuk
masing-masingnya
C dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk
masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu. Misalkan :
r
r(u) = x(u)i +y(u) j +z(u) k
Sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu
sepanjang C, maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C
dari P ke Q ditulis sebagai :
Q
r r
r r
∫ A • dr = ∫ A • dr = ∫ A1dx + A2 dy + A3dz
P
C
C
Integral Garis
A
z
θ
C
dr
P
Q
r2
r1
r3
0
x
y
Q
r r
r r
∫ A • dr = ∫ A • dr = ∫ A1dx + A2 dy + A3dz
P
C
C
Adalah contoh integral garis. Jika A adalah sebuah gaya F yang bekerja
pada suatu partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis in i
menyatakan usaha (W) yang dilakukan gaya F.
Integral Garis
Jika C adalah kurva tertutup sederhana (kurva yang tidak memotong
dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering dituliskan :
∫
C
r r
A • dr =
∫
C
A1dx + A2 dy + A3dz
Teorema
Jika A = -∇φ pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yang
didefinisikan oleh a1 ≤ x ≤ a2, b1≤ y ≤ b2, c1 ≤ z ≤ c2, dimana φ(x,y,z)
berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R,
maka
1. ∫
Q
P
2. ∫
C
r r
A • dr
r r
A • dr = 0
Tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang
menghubungkan P dan Q
Mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R
Kurva tertutup sederhana
z
Q
Tertutup sederhana
P
C
Berlawanan dengan arah
Putar jarum jam
y
x
Integral Garis
Dalam hal demikian, A disebut sebuah medan vektor konservatif dan φ
adalah potensial skalarnya.
Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika :
r
∇× A = 0
Atau ekivalen juga dengan A = -∇φ. Dalam hal demikian :
r r
A • dr = A1dx + A2 dy + A3 dz = − ∇φ
Contoh Soal
Jika
(
)
r
F = 2 x + y 2 i + (3 y − 4 x ) j
Hitunglah usaha untuk memindahkan partikel dari titik (0,0) ke (2,1)
melalaui lintasan seperti gambar di bawah ini :
y
(2,1)
(0,0)
(2,0)
x
Apakah F merupakan medan vektor konservatif ?
Soal Latihan
Diberikan
r
F1 = 2 xz i + y j + x 2 k
dan
r
F2 = y i − x j
a. Yang manakah dari kedua gaya tersebut yang konservatif ?
b. Untuk gaya yang konservatif, cari fungsi skalar φ sehingga F = - ∇φ !
c. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untuk
memindahkan partikel sepanjang garis lurus dari titik (0,1)
ke (1,0)
Tugas PR
a. Buktikan bahwa medan gaya berikut bersifat konservatif
(
)
(
)
r
F = y 2 cos x + z 3 i + (2 y sin x − 4) j + 3xz 2 + 2 k
b. Carilah potensial skalar (φ) untuk F
c. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuah
partikel dari (0,1,-1) ke (π/2, -1,2)
Teorema Green dalam Bidang
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh
sebuah kurva tertutup sederhana C dan jika P dan Q adalah fungsi-fungsi
kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka :
∫
C
 ∂Q ∂P 
dx dy
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ∫∫ 
−
∂x
∂y 
R 
dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putar jarum jam)
Bukti
y
d
A
C
c
a
b
x
Teorema Green dalam Bidang
Lakukan integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
∂Q( x, y )
∫∫A ∂x dx dy =
∂Q(x, y )
∫c ∫a ∂x dx dy = ∫c [Q(b, y ) − Q(a, y )]dy
d b
d
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang
berlawanan arah putar jarum jam
b
d
a
c
a
c
b
d
A
∫ Q(x, y ) dy = ∫ Q(x, c )dy + ∫ Q(b, y )dy + ∫ Q(x, d )dy + ∫ Q(a, y )dy
C
d
c
d
c
d
c
∫ Q(x, y ) dy = ∫ Q(b, y )dy + ∫ Q(a, y )dy = ∫ [Q(b, y ) − Q(a, y )]dy
C
∂Q
∫∫A ∂x dx dy =
∫ Q(x, y )dy
C
Teorema Green dalam Bidang
Lakukan pula integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
∂P(x, y )
∫∫A ∂y dx dy =
∂P( x, y )
∫a ∫c ∂y dy dx = ∫a [P(x, d ) − P(x, c )]dx
b d
b
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang
berlawanan arah putar jarum jam
b
d
a
c
a
c
b
d
A
∫ P(x, y ) dx = ∫ P(x, c )dx + ∫ P(b, y )dx + ∫ P(x, d )dx + ∫ P(a, y )dx
C
b
a
b
a
b
a
∫ P(x, y ) dx = ∫ P(x, c )dx + ∫ P(x, d )dx = ∫ [P(x, c ) − P(x, d )]dx
C
∂P
− ∫∫
dy dx =
∂
x
A
∫ P(x, y )dx
C
Teorema Green dalam Bidang
 ∂Q ∂P 
∫C P dx + Q dy = ∫∫A  ∂x − ∂y  dx dy
Contoh Soal
Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫ 2 x dy − 3 y dx
C
Dimana C adalah kurva segiempat seperti gambar di bawah :
y
(0,2)
(-2,0)
(2,0)
(0,-2)
x
Soal Latihan
Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫
C
xy dx + x 2 dy
Dimana C adalah kurva tertutup seperti gambar di bawah :
y
4
2
1
4
x
Tugas PR
a. Untuk kurva tertutup sederhana C dalam bidang, Tunjukkan
dengan teorema Green bahwa luas area yang dilingkupinya
adalah :
1
A = ∫ ( x dy − y dx )
2 C
b. Dengan menggunakan formula pada soal a), tunjukkan bahwa
area yang dibatasi elips x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
memiliki luas :
A = πab
Teorema Divergensi (Teorema Gauss)
Menyatakan bahwa jika V adalah volum yang dibatasi oleh suatu
permukaan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari
kedudukan dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :
r
∫∫∫ ∇ • A dV =
V
r
∫∫ A • nˆ dS
S
dimana n adalah normal positif dari permukaan S
Contoh Soal
Gunakan teorema Divergensi untuk menghitung integral berikut :
r
∫∫ F • nˆ dS
dimana
S
r
F = 4 xz i − y 2 j + yz k
dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh : x = 0, x = 1,
y = 0, y = 1, z = 0, z = 1
Soal Latihan
Periksa kebenaran teorema Divergensi untuk :
r
A = 4x i − 2 y2 j + z 2 k
Yang diintegrasi melalui ruang yang dibatasi oleh x2 + y2 = 3,
z = 0 dan z = 3
Hukum Gauss
Dalam bidang kelistrikan, salah satu materi yang dibahas adalah
menentukan medan listrik disekitar benda bermuatan listrik. Salah satu
teknik yang digunakan adalah hukum Gauss. Hukum ini sebetulnya
adalah teorema Divergensi yang diterapkan dalam materi bahasan
kelistrikan.
r
∫∫∫ ∇ • A dV =
r
∫∫ A • nˆ dS
V
r
ε o ∫∫ E • nˆ dS =
S
S
∫∫∫ ρ (V ) dV
V
dimana E adalah medan listrik, n adalah vektor normal bidang, S adalah
permukaan Gauss, ρ adalah rapat muatan pada benda dan V adalah
volume benda.
Hukum Gauss
Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
E
n
+Q
n
E
S = permukaan Gauss
= kulit bola
Permukaan Gauss S harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah E dengan n
sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik pada permukaan Gauss. Jadi
pemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkan bentuk geometri
benda bermuatan. Dalam kasus kita benda bermuatan +Q bergeometri bola,
sehingga permukaan Gauss yang paling tepat adalah permukaan bola (kulit
bola)
Hukum Gauss
Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
E
n
n
+Q
E
r
S = permukaan Gauss
ε 0 E ∫∫ dS = + Q
= kulit bola
S
ε 0 E (4πr 2 )= + Q
+Q
+Q
E=
=k 2
2
4πε 0 r
r
Teorema Stokes
Menyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi dua
yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C maka jika A
memiliki turunan-turunan yang kontinu :
∫∫ (
)
r
r r
∇ × A • nˆ dS = ∫ A • dr
C
S
dimana C dilintasi dengan arah positif. Arah dari C disebut positif jika
seorang pengamat berjalan pada daerah batas dari S dalam arah ini
dengan kepalanya menunjuk pada arah normal positif terhadap S, maka
ia mendapatkan permukaan ini di sebelah kirinya
Contoh Soal
Periksa kebenaran teorema Stokes untuk :
r
A = (2 x − y )i − yz 2 j − y 2 z k
Dimana S adalah separuh dari permukaan bola bagian atas
x2 + y2 + z2 = 1 dan C batasnya.
Soal Latihan
Periksa kebenaran teorema Stokes untuk :
r
A = ( y − z + 2 )i − ( yz + 4 ) j − xz k
Dimana S adalah permukaan kubus x=0, y=0, z=0, x=2, y=2,
z=2 di atas bidang xy.
Hukum Ampere
Dalam bidang kemagnetan, salah satu materi yang dibahas adalah
menentukan medan magnet disekitar penghantar berarus listrik (i). Salah
satu teknik yang digunakan adalah hukum Ampere. Hukum ini sebetulnya
adalah teorema Stokes yang diterapkan dalam materi bahasan
kemagnetan.
∫∫ (
)
r
r r
∇ × A • nˆ dS = ∫ A • dr
S
r r
∫ H • dr =
C
C
∫∫ (
)
r
∇ × H • nˆ dS
S
dimana H adalah medan magnet, C adalah kurva tertutup yang
melingkupi penghantar berarus listrik, n adalah vektor normal geometri
benda berarus listrik.
Hukum Ampere
Kasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik i
i
r
C = kurva tertutup
= lingkaran
Kurva tertutup C harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah B dengan arah
vektor yang menyinggung kurva sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik
pada kurva C. Jadi pemilihan kurva C harus mempertimbangkan bentuk
geometri penghantar. Dalam kasus kita penghantar berarus listrik i
bergeometri silinder, sehingga kurva C yang paling tepat adalah kurva
lingkaran.
Hukum Ampere
Kasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik i
i
A
r r
∫ H • dr =
∫∫ (
C
A
1 r r
∫ B • dr =
µ0
∫∫ ( )
C
r
J • nˆ dA
S
B ∫ dr = µ 0 ∫∫
C
)
r
∇ × H • nˆ dA
S
()
r
J • nˆ dA = µ 0 i
B (2πr ) = µ 0 i
r
C = kurva tertutup
= lingkaran
J adalah rapat arus, A adalah luas
permukaan silinder
µ 0i
B=
2πr