makalah - Assena | Damas
advertisement
MAKALAH
KALKULUS 1
DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH
Kalkulus
Dosen Pengampu Bapak H. LILIK SULISTYO, Drs., M.Pd.
oleh :
Damas Fahmi Assena
NIM : 161240000500
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NAHDLATUL ULAMA
JEPARA 2017
Daftar isi
BAB I
Sistem Bilangan Real
BAB II
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Aljabar)
BAB III
Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar
BAB IV
Limit Fungsi
BAB V
Fungsi Trasenden
BAB VI
Turunan Fungsi Aljabar
BAB VII Nilai Stasioner
BAB VI
Intergral Tak Tentu dan Intergral Tentu
BAB I
1.1 Bilangan Riil
A. Himpunan Bilangan Riil
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk . Sebarang bilangan rasional
dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai
akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya
-=0, 5
^=1,18181818
2
11 ’
771
Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk — dengan m.n bilangan
bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga dapat dituliskan sebagai suatu
desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ^
0 ^2=1,41421356223 n3,1415926335
Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan
bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R
B. Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi yang didefinisikan pada
himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sistem
aljabar lapangan, yakni berlaku:
1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R
2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R
Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R
3.
4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x
+0
5. xy + yx untuk sebarang x, y di R
6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R
7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R
11
8. Untuk sebarang x di R dengan x ^ 0 terdapat- demikian sehingga x.- =
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan
X
- = X-
1
y
y
C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil
Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan
bilangan positif, yang memenuhi aksioma :
>
jika a €R maka a= 0, atau a positif, atau -a
>
jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif ini memungkinkan kita
mendfinisikan relasi urutan pada bilangan riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang
Damas Fahmi Assena
dari”) sebagai x<y -y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih dari”)didefinisikan
sebagai x>y^y<x
urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
>
Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang berikut berlaku x<y atau
x=y atau x>y
>
Ketransitifan, x<y dan y<z ~^x<z untuk sebarang x,y,z di R
>
x<y <~^x+z untuk sebarang x,y,z di R
>
jika z positif, berlaku x< y <-^xz<yz untuk sebarang x,y di R dan jika z negatif berlaku x < y <^xz > yz untuk sebarang x,y di R, relasK (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan
sebagai x < y <~^y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan lambang < dan> diganti
dengan lambang ≤ atau ≥.
D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil
Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu
x-\- v
bilangan riil lainnya, khususnya z=—p dan karenanya terdapat juga bilangan
riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang
sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua bilangan riil sebarang ( tak
peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain.
E. Garis riil
Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis
tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label
.0
0
Garis tersebut dinamakan garis riil Catatan:
> Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil.
< ----------- 1 ------------- 1 ------------ >
x
y
> Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan riil negatif terletak di
sebelah kiri 0 .
Himpunan Bilangan
Riil Negatif
Himpunan Bilangan
<
> Riil Positif
Damas Fahmi Assena
< -------------------------------------------------------------------------------- 1 ------------------------------------------------------------------------------- ►
0
F. Selang
Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut selang sering muncul dalam
Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan ruas garis pada garis riil. Jika a < b, interval buka dari
a ke b terdiri dari semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam notasi
pembentuk himpunan ditulis {x a < x < b}. Perlu dicatat bahwa titik a
dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah himpunan [a,b]= {x a < x
< b}, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut
Notasi
[a,b\
[a,b)
(P,b\
(0.0°)
Deskripsi Himpunan
k
a < x < b\
k
a≤x<b}
Gambar
---------- { ------------------------ ) ----------
a
b
[
---------- ---------------------
k
a ≤ x < b]
k
a < x < b\
k
a < x < col
a
3 ------------
b
---------- 1 ------------------------ 1 ---------
a
b
----------
a
4 --------------------- j-----------b
----------
4 --------------------------------- *
a
[<7.°o)
ka ≤ x <
(co.b)
(oo,6]
---------- 1 ---------------------------------- ^
oo < x < b\
iY 00 < .T < b]
a
* ----------------------------------- ) ---------b
-
----------------------------------
3 ---------
i\
A
x
8
A
H
b
(co.oo)
< ---------------------------------------------- ►
Simbol ropada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,ro) berartihimpunan semua
bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang ini membentang mulai dari titik a tak berhingga
jauhnya ke kanan dalam arah positif. Analog untuk [a,ro) , (ro,b) , (ro,b] dan (ro,ro) .
G. Macam-macam bilangan riil
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk memebilang. Bilangan asli dimulai
dari 1,2,3,4,...
A = {1,2,3,4,...}
2. Bilangan Genap (G)
Damas Fahmi Assena
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nIA G = {2,4,6,8,...}
3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nIA Gj = {1,3,5,7,...}
4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu
sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan
yang lain
Km = {4,6,8,9,...}
6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...}
7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangnan bulat positif.
B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
-, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a dan b IB serta b ^0
Contoh:
257
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b
, a dan b IB serta b ^0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)
„ ..
1 4 r~ 22
Contoh: — — ,v4,—
37
7
10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk b
, a dan b €B serta b ^0.
Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828...
11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi
kenyataannya tidak ada.
Contoh: V—1, V— 2, V— 3
13. Bilangan Kompleks (K)
Damas Fahmi Assena
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.
Contoh: 2 + V-1,5 - V- 2
H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional
Bilangan Rasional:
1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa
Contoh:
233
2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.
— — 0,333...ditulis0,3
Contoh: J
— = 0,142857142857...rf/YateO,142857 7
Bilangan Irasional:
1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa
2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas. Contoh:
V3= 1,7320...
V2= 1,4142...
3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.
Contoh: V2, V3, V7
I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
1. Sifat Komutatif:
a + b = b + a a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9.3 = 3 . 9 = 27
2. Sifat Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6 = 15 + 30 = 45
4. Terdapat Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi:
a+0=aa.1=a
5.
Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a yang memenuhi:
a + (-a) = 0
Damas Fahmi Assena
Setiap a ^ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu - yang memenuhi:
a.—1
a
J. Operasi Pada Bilangan Bulat:
1. Operasi Penjumlahan
a + b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 14 + 10 = 24
2. Operasi Pengurangan
A - b = c Ua + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 10 - (-2) = 10 + 2
= 12
3. Operasi Perkalian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 (-9) . (4) = 36
4. Operasi Pembagian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20
(-9) . (-4) = 36.
5. Operasi Pembagian
a
1
- = a .- = c+ . a,
b
b
a,b bilangan bulat dan b ^ 0, c bilangan real
Damas Fahmi Assena
Contoh:
K. Operasi Pada Bilangan Pecahan
1. Operasi Penjumlahan
2.
Operasi Pengurangan Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut!
3. Operasi Perkalian
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut:
1
.
2.
4. Operasi Pembagian
Contoh:
Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!
L. Konversi Pecahan
1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal
Damas Fahmi Assena
> Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.
Contoh:
a. — = —
0,4 5 10
= — = — = 3.12
2 2 100
b.3-
> Dengan pembagian berulang Contoh:
4
Ubahlah ke dalam pecahan desimal!
—= 0,33333... = 0,33 12
2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen. Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh:
1 .^=^ = 40%
25
100
4 44
440
2. 4 — = — =------ 440%
10 10 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!
75
3
Jawab: 75% = — = - 100 4
30% = ^_ = A 100 10
4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
Contoh:
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!
a.
b.
if) 1
20%
= — = - = 0.20
40% =
100
40
5
7
—= - = 0.40
100
75
5
3
C . 75% = — = -
= 0.75 100
4
M. Perbandingan, Skala, Dan Persen
1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan
a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:
—■— atau a1 : b1 = a 2 : b 2
bi 22
b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:
Damas Fahmi Assena
— = — atau ai : b 2 = a 2 : bi
b 1 ^2
Contoh:
1. Seorang ibu menghabiskan V liter minyak tanah untukmerebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan
merebus airsebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yangdiperlukan?
2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai
dalam 2 hari,maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab:
1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka:
2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk
selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.
T ^=T2 _
H2 H ,
4 7,
T , 4 80
<=> — =—<=> 7, = 20x— =
2)
—=
,
40oranetukang 2 20 2 2
Skala
Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran
gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau
pengecilan dari ukuran sesungguhnya.
• Skala pembesaran
Contoh:
Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100
km,berapakah skala kota A ke kota B?
Jawab:
Misal jarak pada peta = x
Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km = 10 cm : 10.000.000 cm = 1 :
1.000.000
Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000 • Skala Pengecilan Contoh:
Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1
: 100?
Jawab:
Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV
=■■ =B=
100 A 100 180
=B
1, 8 cm
100
Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm
3. Persen
Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan
yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.
Contoh:
Damas Fahmi Assena
Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah
persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?
Jawab:
Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg
100
K
150
Persentase tembaga = ■— rl00% = 66.7% in
Persentase timah hitam = —xl00% = 133%
150
30
Persentase timah putih = -^100% = 20.0%
'
N. Penerapan Pada Bidang Keahlian
1) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan.
2) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli
3) Laba dan Rugi
Laba = Penjualan - Pembelian Rugi = Pembelian - Penjualan Contoh soal:
> Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00.
Tentukan komisi yang diterima!
Jawab:
Komisi = 20% x Rp2000.000,00
= ^-^».2000.000.00 100 ^
= Rp. 400.00
> Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga
Rp750.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp750.000,00 - Rp500.000,00 = Rp250.000,00 Persentase laba dari harga beli Rp 2 5 0'0 0 0'0
°x 1 0 0 % = 5 0 %:
Persentase laba dari harga
jual: Rp 2 5 0 ■ 0 0 0 ■ 0 0X 1 o o %0 = 3 3,3 °%
&J
Rp 700.000.00
Damas Fahmi Assena
BAB II
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Posted on Agustus 15, 2014 by ahmadthohir1089
A. Nilai Mutlak
Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.
untuk
bilangan real didefinisikan
Contoh:
,
,
B. Persamaan Nilai Mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
, (ketaksamaan segitiga)
atau
Contoh Soal:
1. Tentukan nilai
Jawab:
yang memenuhi
………………… 1)
……………. 2)
Dari persamaan (1) diperoleh
, dan dari persamaan (2) diperoleh
.
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
atau
Damas Fahmi Assena
2. Tunjukkan bahwa
Bukti:
3. Tentukan nilai yang memenuhi
Jawab:
————————————————— ,masing-masing ruas dikuadratkan
4. Gambarkanlah grafik
untuk
bilangan real!
Jawab :
untuk
= tak tentu (indeterminate)
dan seterusnya
Perhatikanlah ilustrasi berikut ini
Damas Fahmi Assena
[sumber]
Soal Latihan
1. Tentukan nilai dari
2. Tentukan nilai dari
3. Tentukanlah nilai yang memenuhi persamaan
4. Carilah harga yang memenuhi
5. Carilah harga yang memenuhi
6. Tunjukkan bahwa
7. Tunjukkan bahwa
8. Gambarlah grafik
9. Gambarkanlah grafik
, untuk
C. Pertidaksaan Nilai Mutlak
Untuk
bilangan real dan
Jika
, maka
, maka
Contoh Soal:
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari
Jawab:
Damas Fahmi Assena
2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari
Jawab :
, atau
Sehingga penyelesaiannya adalah
3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari
Jawab:
, atau
Jadi, penyelesaiannya adalah
Contoh soal :
Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan Persamaan Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik
nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.
Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6
Damas Fahmi Assena
jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3
Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu
bernilai positif.
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda
mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk
aljabar.
Misalnya seperti berikut.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.
Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai
berikut.
Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan
persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
Damas Fahmi Assena
Jawaban:
Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak
berada di ruas kiri.
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2
(**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}
2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian
persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x = 7
x=7+1
Damas Fahmi Assena
x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.
4.
Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian
persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(3x + 4) = x - 8
3x - x = -8 - 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8
-3x - x = -8 + 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)
Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan
nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkahlangkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu
variabel .
Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.
Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai
mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.
Damas Fahmi Assena
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
(*) 2x - 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(**) 2x - 1
2x
2x
x
<= -7
<= -7 + 1
<= -6
<= -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}
Damas Fahmi Assena
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan
mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))
x (6 - x) <=0
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan
cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Damas Fahmi Assena
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian
seperti pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah
penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1)
(3x + 1) - (2x + 4) < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10
x- 3 < 10
x < 13 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1)
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-5x - 5 < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 .......(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ......(1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x < 7
x > -7 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.
Damas Fahmi Assena
Damas Fahmi Assena
BAB III
Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar
Pertidaksamaan menggunakan tanda-tanda >, <, ≥, ≤
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
sama
Jika a < b maka:
a+c<b+c
a–c<b–c
2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang
sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
a.c < b.c
a/b < b/c
3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
a.c > b.c
a/c > b/c
4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
Pertidaksamaan Linear
→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Damas Fahmi Assena
Contoh:
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:
1.
2.
3.
4.
Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan
memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali
atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
6. Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)
→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)
Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:
menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai
negatif
Damas Fahmi Assena
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
Pertidaksamaan Tingkat Tinggi
→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:
menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2
merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}
Pertidaksamaan Pecahan
→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
1.
2.
3.
4.
Ruas kanan dijadikan nol
Samakan penyebut di ruas kiri
Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol
untuk pembilang dan penyebut)
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut
suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval
Damas Fahmi Assena
Contoh 1:
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}
Contoh 2:
Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai
diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar
→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas
2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol
Damas Fahmi Assena
3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0
Contoh 1:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}
Contoh 2:
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x>2
Syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Damas Fahmi Assena
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:
Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0
Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4
Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3
Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:
Damas Fahmi Assena
Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}
Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x+1≥0
x ≥ –1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}
Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:
Artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0<x<4
Damas Fahmi Assena
BAB IV
Limit Fungsi (materi SMA)
Limit Fungsi
Jenis-jenis Llimit Fungsi
Limit fungsi dalam matematika dapat dikenali dari jenis fungsinya, berdasarkan jenis fungsinya limit
fungsi dibedakan menjadi:
Limitfungsi aljabar, jika fungsi berupa fungsi aljabar
Limitfungsi trigonometri, jika fungsi berupa fungsi trigonometri
Limit fungsi eksponensial dan logaritma, jika fungsi berupa eksponen atau berupa logaritma
Limit fungsi bilangan logaritma natural, dll.
Menghitung limit fungsi secara secara intuitif
Menentukan nilai limit fungsi dapat dilakukan secara intuitif melalui pendekatan limit kiri dan limit
kanan. Definisi limit fungsi secara intuitif adalah (Wirodikromo, 1995) :
Proses perhitungan limit fungsi disekitar titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu
Contoh :
Hitunglah limit fungsi berikut ini,
[Penyelesaian]
Gambar grafik fungsi diatas merupakan grafik fungsi pecah dengan asimtot x = 1 dan y = 0
Damas Fahmi Assena
Dari grafik diatas perhitungan limit fungsi dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri dan dari
kanan :
Dari kiri :
Dari kanan :
Damas Fahmi Assena
Contoh menghitung limit fungsi secara intuitif
Diketahui fungsi f(x) = x + 1, tentukan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dengan pendekatan limit kiri dan
limit kanan.
[Penyelesaian]
x
1,8
1,9
1,99
1,999
-->2<--
2,001
2,01
2,1
2,2
f(x)=x+1
2,8
2,9
2,99
2,999
...?...
3,001
3,01
3,1
3,2
Dari tabel datas nampak bahwa jika jika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) = x
+ 1 mendekati 3.
Jadi,
Operasi Limit Fungsi dan Teorema Limit
Teorema Limit
Beberapa teorema limit fungsi yang sering digunakan dalam perhitungan limit fungsi (Wirodikromo,
1995) yaitu:
1.Limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta tersebut
Jika f(x) = c, maka
( c adalah konstanta dan a ϵ bilangan real)
2.Limit fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan variabel atau peubahnya
Jika f(x) = x, maka
( untuk setiap a ϵ bilangan real)
3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi tersebut.
4.Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi tersebut.
5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi
tersebut
6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi tersebut
7.Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi tersebut
Damas Fahmi Assena
8.Limit suatu fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari lmit fungsi tersebut
9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut
dan n genap
Contoh Soal limit fungsi penerapan dan pembahasan
Dibawah ini beberapa contoh soal limit fungsi dengan penerapan teorema limit yang telah dijelaskan
diatas
Hitunglah nilia setiap limit fungsi dibawah ini dengan menerapkan teorema limit!
1.Penerapan teorema limit No 1,2 dan 4
[Penyelesaian]
2.Penerapan teorema limit No 1,dan 6 ,
[Penyelesaian]
3.Penerapan terema limit No 7 dan 9,
[Penyelesaian]
4.Penerapan teorema limit No 6 , 8
Jika diketahui
[Penyelesaian]
. Hitunglah nilai dari
Limit fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan
Limit fungsi dapat dipakai untuk menentukan turunan fungsi, Jadi laju perubahan nilai fungsi f(x)
terhadap x pada x = a dapat di hitung dengan dengan mengambil h mendekati nol dengan syarat limit
f(x) ada. Rumus turunan fungsi f(x) dengan pendekatan limit adalah:
Berikut ini contoh soal mencari turunan fungsi aljabar dengan pendekatan limit.
Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan pendekatan limit fungsi!
[Penyelesaian]
Limit Fungsi Dalil L'hospital
Damas Fahmi Assena
Dalam menghitung nilai limit fungsi kita juga bisa menggunakan Dalil L'hospital, rumus Dalil L'hospital
adalah:
Contoh soal menghitung limit fungsi dengan menggunakan Dalil
L'hospital.Hitunglah
[penyelesaian]
Limit fungsi Nilai Mutlak
Dibawah ini beberapa contoh limit fungsi nilai mutlak, yaitu:
[Penyelesaian]
lim x→ 1 f(x)= lim x→ 1(x^2-2x+1) =1^2-2.1+1 =0, jadi lim x→ 1 f(x) ada
2. Perhatikan kembali soal No 2 berikut ini , hitunglah
[Penyelesaian]
lim x→ 0 |x|-1/x
(i) Jika x > 0, |x| = x, maka
lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 x-1/x= lim x→ 0(1-1/x)= 1-∞ = -∞
(ii) Jika x < 0, |x| = x, maka
lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 -x-1/x= lim x→ 0(-1-1/x)= 1-∞ =-1+∞= ∞
∵ lim x→ 0^+ |x|-1/x≠ lim x→ 0^- |x|-1/x
∴ lim x→ 0 |x|-1/x tidak ada
Limit Fungsi dan Kontinuitas dan Diskontinuitas
Dalam istilah matematika grafik fungsi f(x) disebut kontinu di titik x = a , jika grafik f(x) di x = a
berupa kurva mulus (tidak terputus) atau lim x→ a f(x) ada. Perhatikan gambar dibawah ini:
Damas Fahmi Assena
Grafik fungsi f(x) disebut diskontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a terputus atau lim x→ a f(x)
tidak ada. Perhatikan gambar berikut ini:( limit-fungsi-diskontinu)
Syarat kontinuitas sebuah Fungsi
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi ketiga syarat dibawah ini
Contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu dan diskontinu
1. Tunjukan bahwa fungsi dibawah ini kontinu di x = 1
[Penyelesaian]
Damas Fahmi Assena
Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi
2. Apakah fungsi berikut ini kontinu di x = 2
[Penyelesaian]
Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi
Oleh karena f(2) tidak ada maka f(x) diskontinu di titik x =2 tidak perlu menyelidiki syarat (2) dan (3)
karena satu syarat tidak dipenuhi oleh f(x).
CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI
Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi
1. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Damas Fahmi Assena
2. Limit Fungsi Aljabar Untuk
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk
, jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari
pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))
3. Limit Fungsi Trigonometri
Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan. Tapi tidak
perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan terasa indah dan
menyenangkan.
Diposkan oleh Nunik Endrowati di 00.14
Damas Fahmi Assena
BAB V
FUNGSI TRANSENDEN
7.1 Fungsi Logaritma Asli
7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya
7.3 Fungsi -fungsi Eksponen Asli
7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday
7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya
7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
7.1 Fungsi Logaritma Asli
Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup
menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara
mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui
pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut
Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk
memenuhi tempat kosong yang ada di atas.
Definisi Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh
, didefinisikan sebagai
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah , yaitu turunan
suatu fungsi logaritma asli
Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika
Contoh : Tentukan
dan jika
terdiferensialkan, maka
.
Penyelesaian : Andaikan
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Karena
maka
Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat :
, dengan
sekarang, untuk
kita sudah punya solusinya, yaitu
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
Sifat-sifat Logaritma Asli
Teorema Logaritma Asli
Jika
dan
bilangan-bilangan positif dan
sebarang bilangan rasional, maka
i.
ii.
iii.
iv.
Grafik Logaritma Asli
Daerah asal
adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik
terletak di
setengah bidang kanan.
Karena
, maka
. Ini menunjukkan bahwa fungsi
selalu naik. Dan untuk
ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti
berikut.
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya
Teorema
Jika
monoton murni pada daerah asalnya, maka
memiliki balikan.
Fungsi monoton
Misalkan
terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua
, fungsi
dikatakan:
monoton naik, jika
monoton turun, jika untuk
monoton tak naik, jika untuk
monoton tak turun, jika untuk
monoton datar, jika untuk
maka
maka
maka
maka
maka
Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati,
dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.
Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi
monoton turun. Monoton naik jika
maka
maka
Monoton turun jika
Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi
monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk
untuk setiap
pernyataan jika
maka berlaku
pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan
maka berlaku
untuk setiap
pada daerah asalnya.
Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.
Bukti teorema
Kita ambil
Jika
monoton murni maka
satu-satu dan onto
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.
Bukti untuk
satu-satu.
monoton naik ⟷
Diketahui
Dengan kata lain :
Terbukti
satu-satu.
Bukti untuk onto
Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak
dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.
Onto artinya
Untuk
, yang ekuivalen dengan
dan
sudah sangat jelas.
Sekarang akan dibuktikan untuk
Andaikan
Maka
Untuk
Maka
Menurut teorema apit
maka haruslah
Kontradiksi bahwa
Jadi,
adalah Onto.
Contoh : Perlihatkan bahwa
memiliki balikan. Untuk
.
Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita
dapatkan turunan pertamanya yaitu
Dimana nilai
selalu lebih besar nol untuk setiap .
untuk semua
Jadi
naik pada seluruh garis real. Sehingga
memiliki balikan di sana.
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Cara Menentukan Fungsi Balikan
Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk
terlebih dahulu
, kemudian kita menukarkan
untuk melakukan itu, kita tentukan
dan
dalam rumus yang dihasilkan. Jadi
diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian
1.
Langkah 1 : Selesaikan persamaaan
2.
Langkah 2 : Gunakan
3.
Langkah 3 : Gantilah
untuk
dalam bentuk .
untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam .
dengan .
Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan
menukar peranan
dan
grafik
adalah gambar cermin grafik
dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa
pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis
. Jadi,
terhadap garis
Contoh : Carilah invers dari
Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan
Langkah 2 : menggunakan
Langkah 3 : mengganti
untuk
dalam bentuk .
untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam
dengan .
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan
Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi
dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini
pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.
Teorema
Andaikan
di suatu
terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika
tertentu dalam . Maka
dalam daerah hasil
terdiferensiasikan di titik yang berpadanan
dan
Menurut definisi invers. Yaitu, jika
kita dapatkan
maka
. Dengan melakukan substitusi
.
Kita perhatikan untuk
Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :
Yang ekuivalen dengan
Bukti teorema
Interval
, dan
dan
, fungsi monoton murni dan kontinu pada
invers fungsi
.
yang monoton murni dan kontinu.
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Fungsi
terdiferensial di titik
dan
. Fungsi
terdiferensial di titik
lebih lanjut,
Ambil sembarang
dengan
, selanjutnya didefinisikan fungsi
dengan
Diketahui
monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap
dengan
, maka
halnya jika
. dengan kata lain
dan
, well define. Demikian
maka berdasarkan definisi fungsi
Mudah dipahami bahwa untuk setiap
dengan
, maka
diperoleh
. Selanjutnya
dibuktikan bahwa
Diberikan bilangan
dan jika
sehingga untuk setiap
Diketahui
terdiferensial di
fungsi invers dari
injektif dan
maka
terdapat bilangan
, maka berlaku
bijektif, dengan kata lain
injektif dan surjektif.
–
untuk setiap
Oleh karena itu untuk setiap
Untuk sebarang
–
dengan
, maka diperoleh; jika
maka
berlaku
, artinya untuk setiap bilangan
sehingga untuk setiap
Karena
–
dengan sifat
kontinu di titik
, maka terdapat bilangan
dengan
–
berakibat
Jadi
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Perhatikan bahwa karena
maka
, sehingga diperoleh
Dapat disimpulkan, untuk setiap
dengan
berlaku
Terbukti
Contoh : Carilah
jika diketahui
Penyelesaian : Kita akan mencari nilai
yang berpadanan dengan
Kemudian kita cari
Kita selesaikan dengan menggunakan teorema
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
7.3. Fungsi Eksponen Asli
Definisi
Balikan
disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh
Jadi
Dari definisi dapat diambil bahwa
i.
ii.
untuk semua
Sifat-sifat Fungsi Eksponen
Definisi
Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga
Bilangan
sama halnya seperti bilangan
.
yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi
desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma.
Teorema
Andaikan
dan
sebarang bilangan real, maka
dan
Turunan
Andaikan
, maka dapat dituliskan
Kedua ruas diturunkan terhadap
Karena
Apabila
. Perhatikan untuk
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
, maka
. Dan
terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Integral
Rumus turunan
secara otomatis akan menghasilkan integral
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum
Definisi
Untuk
dan sebarang bilangan real
Coba hitung
dengan menggunakan
maka berlaku
. Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin
akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan
nilai
hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal.
Sifat-sifat
Teorema
Jika
dan
dan
adalah bilangan-bilangan real, maka
i.
ii.
iii.
iv.
v.
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Aturan-aturan Fungsi Eksponensial
Teorema
Contoh : tentukan
Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Fungsi
Definisi
Andaikan
adalah bilangan positif bukan 1. Maka
Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan
logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti
adalah .
Jika
sehingga
, maka
Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertambahan populasi
yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek
sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan
panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi
atau
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
populasi bertambah.
menunjukkan bahwa sekitar
populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah
Menyelesaikan Persamaan Differensial
dengan syarat awal
apabila
. Dengan memisahkan peubah dan
mengintegrasikan, kita peroleh
Syarat
pada saat
akan menghasilkan
Sehingga,
Ketika
jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika
disebut peluruhan eksponensial.
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat
radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk
Teorema
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Bukti
Pertama ingat kembali bahwa jika
Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat
Jadi
. Karena
maka
dan khususnya,
, kita peroleh
adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita
dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut
Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar
bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga?
Penyelesaian :
. Andaikan
Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan
menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang
secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.
Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan
adalah nilai pada saat uang sebesar
rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga
mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari
terhadap waktu adalah , yakni
Persamaan diferensial ini adalah
7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu
Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial
Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki
dan seluruh
ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan
beserta seluruh ungkapan yang melibatkan
pada sisi lainnya.
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Dimana
dan
hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini
dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.
Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu
Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan
factor integrasi
Didapatkan
Sisi kiri adalah turunan hasil kali
, maka persamaannya mengambil bentuk
Integrasi kedua sisi menghasilkan
Contoh : Carilah penyelesaian umum dari
Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah
Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk
atau
Jadi penyelesaian umumnya adalah
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri
Balikan sinus dan Kosinus
Definisi
Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang
dan
Sehingga,
dan
dan
Balikan Tangen dan Balikan Sekan
Definisi
Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang
dan
Sehingga,
dan
dan
Teorema
i.
ii.
iii.
iv.
Turunan Fungsi Trigonometri
[email protected]
Damas Fahmi Assena
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan Trigonometri
Teorema
i.
ii.
iii.
iv.
[email protected]
Damas Fahmi Assena
BAB VI
Turunan Fungsi Aljabar
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK
Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama
kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan
fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat
penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini
rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.
1.Turunan fungsi konstan
f(x) = k ⇒ f’(x) = 0
Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:
a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0
b. Turunan dari f(x) = 6 adalah f’(x) = 0
2.Turunan fungsi identitas
f(x) = x ⇒ f’(x) = 1
3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n
Contoh
:
Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun
pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini
c.
[Penyelesaian]
d.
[penyelesaian]
Damas Fahmi Assena
4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi
Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,
a.
[Penyelesaian]
b.
[Penyelesaian]
Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,
c.
[Penyelesaian]
5.Turunan fungsi aljabar hasil kali
Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,
Carilah turunan dari ,
[Penyelesaian]
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,
Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang
terdiri dari tiga fungsi, yaitu:
Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:
Tentukan turunan dari,
[Penyelesaian]
Damas Fahmi Assena
6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi
Dengan v(x) ≠ 0
Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:
Tentukan turunan dari fungsi berikut ini,
[Penyelesaian]
Turunan fungsi aljabar aturan rantai
Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real
Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,
Carilah turunan dari fungsi dibawah ini,
[Penyelesaian]
Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar
Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam
bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu
yaitu:
Contoh:
Carilah turunan dari fungsi berikut ini ,
[Penyelesaian]
Damas Fahmi Assena
Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus
Rumus khusus :
Contoh:
Tentukan turunan fungsi dibawah ini,
[Penyelesaian]
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit.
Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihapalkan
bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, cos, tan, cot,
cosec, dan sec. Kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang peubahnya merupakan
sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini dibahas
bagaimana cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan
dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri.
Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?
mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri
bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….
Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini
langsung kita ambil hasilnya….
dimana
maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :
maka
maka
maka
maka
contoh:
maka
maka
Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan
fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….
Damas Fahmi Assena
tentukan f ‘(x) !
jawab
tentukan f ‘(x)!
jawab:
Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah
f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.
tentukan turunan kedua dari f(x)!
jawab.
*kita cari turunan pertama dulu ya..
*perhatikan untuk
mempunyai dua suku kita misalkan bahwa sukusuku f ‘(x) adalah a dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x)
= a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…
*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan
*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan
*nah, kembali ke
selesai,deh…..coba yang lain yuk!
tentukan turunan ke-empat dari f(x) !
jawab:
mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari
turunan masing-masing suku dulu ya…
maka
mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d
‘
maka
Damas Fahmi Assena
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan
dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas
maka
sehingga
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan
dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas
maka
sehingga
waaaaah…..selesai !!!!
begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!
ada yang bertanya soal seperti ini:
3. Jika diketahui
buktikan bahwa turunan ke-n yaitu
!
jawab:
*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
…
…
dst
sehingga
…
…
dst
…
…
dst
terbukti
Damas Fahmi Assena
Latihan Soal
1. Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)
2. Diketahui
Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), tentukan f(0) + 2f ' (0)
3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
4. Jika
maka tentukan g ‘(2)
5. Tentukan turunan pertama dari
6. Jika
7. Jika
8. Diketahui
maka tentukan f ‘ (1)
maka tentukan f ‘(x)
maka tentukan
9. Tentukan turunan pertama fungsi
10. Tentukan turunan pertama fungsi
11. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka tentukan f ‘ (x)
12. Jika
, maka tentukan nilai dari f ‘ (0)
13. Tentukan turunan pertama dari
14. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x) , tentukan turunan pertama fungsi f tersebut
15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x)
Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara
umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses
dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
Damas Fahmi Assena
adalah simbol untuk turunan pertama.
adalah simbol untuk turunan kedua.
adalah simbol untuk turunan ketiga.
simbol lainnya selain
dan
adalah
dan
adversitemens
TURUNAN PERTAMA
Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan
sebagai berikut:
Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :
1. Jika diketahui
dimana C dan n konstanta real, maka
Perhatikan contoh berikut :
2. Jika diketahui y=C dan
Perhatikan contoh berikut :
Damas Fahmi Assena
3. Untuk y=f(x)+g(x) maka
Perhatikan contoh berikut :
4. Untuk y=f(x).g(x) maka
atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’
contoh :
Damas Fahmi Assena
6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.
TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut
Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan
contoh berikut :
Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :
a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah
Damas Fahmi Assena
Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !
Penyelesaian :
Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5
b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f
‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !
Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)
Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.
F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.
c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner
fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh
berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !
Jawab :
y’=3x²-6x-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka
3x²-6x-24 = 0
Damas Fahmi Assena
(x²-2x-8)=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4 ; x2=-2
Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :
f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :
f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :
Perhatikan contoh berikut :
Jawab :
Damas Fahmi Assena
Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan
dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai
masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika.
Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikel Peluang Kejadian
Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang.
Rumus Turunan (diferensial) Matematika
rumus hitung 55 Comments
Rumus Turunan (diferensial) Matematika dan Contoh Soal – Dua buah pepatah, kalau tak kenal maka tak
sayang dan kalau tahu caranya tidak ada yang tidak bisa mungkin cocok buat jadi pemacu sobat belajar
matematika. Jika kita tidak kenal dan tidak tahu cara mengerjakan suatu soal matematika bisa dipastikan soal
tersebut tidak bisa kita jawab. Nah kali ini kita akan coba kenalan dengan rumus-rumus di limit matematika
SMA. Ada yang bilang limit matematika itu susah. Benar sih susah jika sobat tidak tahu carannya. Berikut
ini rangkuman rumus limit beserta contoh soal sederhananya. Check this out?
Apa sih Turunan?
Definisi turunan aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal). Sobat bisa misalkan ada y yang
merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx)
atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai
Damas Fahmi Assena
masih bingung? kita simak contoh berikut
sobat punya persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah
Rumus – Rumus Turunan Fungsi Matematika
Buat memudahkan sobat belajar berikut rumushitung.com rangkumkan berbagai rumus turuna. Check this
out..
Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn xn-1
contoh
y = 2x4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3
kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar
y = 2√x = 2x1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1) = x -1/2 = 1/√x
Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0
contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)
Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi =
f'(x) + g'(x)
contoh
y = x3 + 2x2 maka y’ = 3x2 + 4x
y = 2x5 + 6 maka y’ = 10x4 + 0 = 10x4
Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh
y = x2 (x2+2) maka
Damas Fahmi Assena
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4x3 + 4x (jawaban ini juga bisa sobat peroleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan
rumus 3)
Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi
contoh soalnya
Rumus 6 : jika sobat punya y = [f(x)]n maka turunannya adalah n [f(x)]n-1 . f'(x)
contoh
Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya
contoh soal
Damas Fahmi Assena
Rumus 8 : ef(x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)
contoh :
y = e2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1
Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin
Jika sobat punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1) maka
y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)
Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos
Jika sobat punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1) maka turunannya
y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)
Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali).
Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama. Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4x2
turunan pertama = 3x2 + 8x
turunan kedua = 6x + 8
Damas Fahmi Assena
BAB VII
Jumat, 13 Maret 2009
PENGGUNAAN TURUNAN
PENGGUNAAN TURUNAN
Sir Isaac Newton, (4 Januari 1643 - 31 Maret 1727; KJ: 25 Desember 1642 – 20 Maret 1727) adalah seorang
fisikawan, matematikawan, ahli astronomi dan juga ahli kimia yang berasal dari Inggris. Beliau merupakan
pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan
sebagai bapak ilmu fisika modern.
Dengan berbagai hasil karya ilmiah yang dicapainya, Newton menulis sebuah buku Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica, dimana pada buku tersebut dideskripsikan mengenai teori gravitasi secara umum,
berdasarkan hukum gerak yang ditemukannya, dimana benda akan tertarik ke bawah karena gaya gravitasi.
Bekerja sama dengan Gottfried Leibniz, Newton mengembangkan teori kalkulus. Newton merupakan orang
pertama yang menjelaskan tentang teori gerak dan berperan penting dalam merumuskan gerakan melingkar
dari hukum Kepler, dimana Newton memperluas hukum tersebut dengan beranggapan bahwa suatu orbit
gerakan melingkar tidak harus selalu berbentuk lingkaran sempurna (seperti elipse, hiperbola dan parabola).
Newton menemukan spektrum warna ketika melakukan percobaan dengan melewati sinar putih pada sebuah
prisma, dia juga percaya bahwa sinar merupakan kumpulan dari partikel-partikel. Newton juga
mengembangkan hukum tentang pendinginan yang di dapatkan dari teori binomial, dan menemukan sebuah
prinsip momentum dan angular momentum.
Pendapat Kepala Akademi Ilmiah Berlin tentang Newton: "Newton ialah seorang jenius besar yang pernah
ada dan paling beruntung, yang tak bisa kita temukan lebih dari suatu sistem dunia untuk didirikan.
Damas Fahmi Assena
1. Maksimim dan Minimum
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa :
i.
ii.
iii.
f ( c ) adalah nilai maksimum f pada S jika f ( c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di S
f ( c ) adalah nilai minimum f pada S jika f ( c ) ≤ f ( x ) untuk semua x di S
f ( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum
Teorema A
( Teorema Eksistenti Maks dan Min ). Jika f kontinu pada selang tetutup [ a,b ], maka f mencapai
nilai maksimum dan minimum.
f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tetutup.
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimimkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai
daerah asalnya. Tetapi selang ini tidak boleh berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam pasal
1.3. beberapa dari selang ini memuat titik-titk ujung, beberapa tidak. Misalnya, I = [a.b] memuat titik ujung
dua-duanya, 9a,b) hanya memuat titik ujung kiri : (a,b) tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim
dari sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.
Jika c sebuah titik pada mana f I ( c ) = 0, kita sebut c titk stasioner. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi
pada titik-titik stasioner.
Akhirnya jika c adalah titik dalam dari I di mana f I tidak ada, kita sebut c titik singular. Walaupun hal ini
sangat langka.
Teorema B
( Teorema Titik Kritis ). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c ) adalah
titik-titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :
i.
ii.
iii.
titik ujung dari I
tititk stasioner dari f( f I( c ) = 0 )
tititk singular dari f( f I( c ) tidak ada )
Damas Fahmi Assena
2. Kemonotonan dan Kecekungan
Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui
sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai
ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam
menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab
penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil De lhospital untuk menghitung
limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga.
Definisi : Fungsi Monoton
Turunan pertama dan Kemonotonan
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakana bahwa :
i.
f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 <>2 = f (x1 ) <>2 )
ii.
f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 <>2 = f (x1 ) > f (x2 )
iii.
f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.
Teorema A
Damas Fahmi Assena
(teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik
dalam dari I.
i.
ii.
Jika f I ( x ) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
Jika f I ( x ) <>untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Turunan kedua dan Kecekungan
Definis
Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas
di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.
Teorema B
( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).
i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).
ii. Jika f II ( x ) <>untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).
3. Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :
i.
ii.
iii.
f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c )
adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c )
adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.
Teorema A
( Turunan pertama untuk ekstrim local ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat
titik kritis c
i.
ii.
iii.
jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah
nilai maksimum lokal f
jika f’(x) <0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) >0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah
nilai minimun lokal f
jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f
Teorema B
Damas Fahmi Assena
( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka
(a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.
i. jika f”(c) <>adalah nilai maksimum lokal f
ii. jika f”(c) <>adalah nilai maksimum lokal f
4. Lebih Banyak Masalah Maks-Min
kita menyarankan sebuah metode langkah demi langkah untuk dipakai dalam masalah Maks-Min
terapan/ jangan mengikutinya secara membabi buta: kadang-kadang akal sehat menyarankkan alternative
lain atau penghilangan beberapa langkah.
Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yangsesuai untuk
besaran-besaran kunci.
Langkah 2 Tuliskan rumus untuk beberapa Q yang harus dimaksimumkan (diminimmkan) dalam bentuk
variable-variabel tersebut.
Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabelvariabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabal, misalnya x.
Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mngkin, biasanya sebuah selang.
Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik
kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0.
Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum
(minimum).
5. Penerapan Ekonomik
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang
mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan
menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulusbiasa yang dikenakan
baju baru.
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan
biaya
P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)
Umumnya,sebuah perusahaan memaksimumkan total labanya.
6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
Damas Fahmi Assena
( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L
jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang
x- ∞
berpadanan sedemikian sehingga
x > M = [ f(x) – L ] <
7. Penggambaran Grafik Canggih
Polinom derajat 1 atau 2 jelas utuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika
derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan
manfaat besar.
Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan dibanding
polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis di mana pun penyebut nol.
Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak
hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Contoh
Gambarkanlah sketsa grafik f(x) = 9x – x3
Penyelesaian
• Koordinat titik potong dengan sumbu – sumbu koordinat
a) Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0
9x – x3 = 0
x(9 – x2) = 0
x(3 – x)(3 – x) = 0
x1 = 0 x2 = -3 x3 = 3
jadi titik potong sumbu X adalah (-3, 0), (0, 0), (3, 0)
b) Titik potong sumbu Y, maka x = 0
y = 9(0) – (0)3 = 0
Jadi titik potong sumbu Y, adalah (0, 0)
• Mencari fungsi naik dan fungsi turun
f(x) naik jika f’(x) > 0
9 – 3x2 > 0
3x2 <> 0
3x2 <> 31/2
• Mencari titik stasioner f’(x) = 0
9 – 3x2 = 0
Damas Fahmi Assena
x1 = -31/2 dan x2 = 31/2
utuk x = -31/2
f(-31/2)= 9(-31/2) – (-31/2)3 = 6.31/2
untuk x =31/2
f(31/2) = 9(31/2) – (31/2)3 = - 6.31/2
jadi titik maksimumnya(31/2,631/2) dan titik minimumnya (-31/2, - 631/2 )
Langkah 1 buat analisis pendahuluan sebagai berikut.
1. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi unttk melihat apakah ada daerah di bidang yang
dikecualikan.
2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil ?)
3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
4. Gunakkan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk untuk mengetahui tempat-tempat
grafik naik dan turun.
5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.
6. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah
dan untuk melokasikan titik-titik balik.
7. Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik).
Langkah 3 Sketsakan grafik.
8. Teorema Nilai Rata-rata
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial
pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana
f(b) – f(a) : b – a = f’(c)
atau
Damas Fahmi Assena
f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )
Soal dan Penyelesaian :
Contoh 1 :
Carulah nilai maksimum dan minimum dari f ( x ) = -5x3 + 6 x 2 pada [-½,3]
Penyelesaian :
Jadi kita ambil ½,0,1,2,3 sebagai titik kritis. sekarang
f(-½) = -5x3 + 6 x 2 = -⅞
f ( 0 ) = -5x3 + 6 x 2 =0
f ( 1 ) = -5x3 + 6 x 2 = -5 – 6 = 1
f ( 2 ) = -5x3 + 6 x 2 = -40 + 24 = -16
f ( 3 ) = -5x3 + 6 x 2 = -135 + 54 = -81
Jadi nilai Minimum = -81 dan nilai Maksimum = 1
Contoh 1 :
Cari titik-titik kritis dari f ( x ) = 1/3 x 3 - 3/2 x 2 + 2x + 5 pada [ 2,3]
Penyelesaian :
Turunkan fungsi
f ( x ) = 1/3 x3 - 3/2 x 2 + 2x + 5
f’ ( x ) = x 2 - 3x + 2
= (x-2) (x-1)
x = 2, x = 1
titik kritis 1,2
Damas Fahmi Assena
Contoh 2 :
Jika f ( x ) = 2x3 + 7/2x2 - 6x + 3, cari di mana f naik dan di mana turun.
Penyelesaian :
Kita cari turunan mulai dari f’
f ( x ) = 2x3 + 7/2x 2 - 6x + 3
f’ ( x ) = 6x2 + 7x - 6
syarat f(x) naik adalah f’(x) >0, maka
f’ ( x ) = 6x2 - 7x - 6 > 0
= (6x - 3) (x + 2) > 0
= 3(2x - 1) (x + 2) >0
x = 1/2 atau x = -2
syarat f(x) turun adalah f’(x) <0,>maka
f’ ( x ) = 6x2 + 7x - 6 <>
= 3( 2x - 1) (x + 2) <0
-2 <>
Jadi fungsi f ( x ) = 2x3 + 7/2 x 2 - 6x + 3 naik dalam interval x = -2 atau x = 1/2
Dan turun pada interval -2 <>
Contoh 2 :
f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6, tentukan pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung ke atas dan
pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung k bawah.
Penyelesaian :
f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6
f’ ( x ) = x2 - 4 x + 3
f” (x) = 2x - 4
dengan menggunakan turunan kedua dengan kecekungan fungsi, dapat ditentukan
Damas Fahmi Assena
f’’( x ) > 0 berarti 2x - 4 > 02x > 4x > 2
f’’( x ) <>berarti 2x - 4 <>2x <>x <>
Jadi grafik fungsi f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6 cekung ke atas dalam interval x > 2 dan cekung ke
bawah dalam interval x <>
Contoh 3 :
Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = x2-8x + 6 pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f’(x) = x2 - 12x + 6 = 2x - 12
= 2 (x- 6)
f’(x) = 0 dan 6
karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]
karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)
karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.
Contoh 4 :
Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = x3 - 6 x2+ 9x - 9
pada (-∞,∞ ).
Penyelesaian :
f(x) = x3 - 6 x2+ 9x – 9
f’(x) = 3x2 - 12 x+ 9
= x2 - 4 x+ 3
= (x-3) (x-1)
x=3Ux=1
titik kritis 1,3
f(1) = x3 - 6x२ + 9x – 6 = -2
Damas Fahmi Assena
f(3) = x3 - 6 x२ + 9x – 6 = २7 - 54+27-6 = ७५
jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal
Contoh 5 :
Sebuah bola dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi bola h (dalam meter) setelah t detik di
tentukan oleh h(t) = 60t – 3t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.
Penyelesaian :
h(t) = 60t – 3t2
h’(t) = dh/dt = 60 – 3t
h”(t) = d 2h / dt2 = -3
syarat perlu ekstrim dh/dt = 0
60– 3t = 0
t = 20
Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 2h / dt2 = -3 <>h mempunyai nilai maksimum. Nilai
maksimum h adalah 2000 meter dicapai ketika t = 20.
Contoh 5:
Sebuah Proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama
dengan (3x + 1500/x - 90) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.
Penyelesaian :
P(x) = x (3x + 1500/x - 90 )
P(x) = 3x2 - 90x + 1500
P’(x) = 6x - 90
P”(x)= 6
Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0
P’(x) = 6x - 90 = 0
x = 15
Damas Fahmi Assena
Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 6 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :
P(15) = 3 (15)2 -90(15) + 1500 = 675-1350+1500 = 825
Jadi biaya total minimum adalah 825 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 15
Contoh 6 :
Buktikan bahwa lim 2x / 4x + x2 = 0
x- ∞
Penyelesaian :
= lim 2x / 4x + x2 = 0
x- ∞
= lim 2x/x2 : 4x/x2 + x2 /x2= 0
x- ∞
= lim 2/x : 4/x + 1 = 0
x- ∞
= 0 / 0+1 = 0 Terbukti
Contoh 7 :
Sketsakan Grafiknya ?
Penyelesaian :
f(x) = 3x² – 4x
f'(x) = 3x² – 4x
f''(x) = 6x
kita temukan titi stasioner -2 dan 2 karena f'(x)>0 pada (-∞,-2) U (2,∞) sedangkan f'(x)<0>f(-2) = 0 dan
f(2) = 0 sehingga tidak ada nilai maksimal maupun minimum.
Damas Fahmi Assena
BAB VIII
Matematika / Integral
Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Pengertian Integral (Tak Tentu)
Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Invers (operasi kebalikan) dari turunan fungsi
Limit dari jumlah (luas daerah)
Integral sebagai invers dari turunan umumnya disebut integral tak tentu. Integral tak tentu dari
sebuah fungsi dinotasikan sebagai berikut.
∫ f(x) dx
(baca: integral f(x) terhadap x)
Fungsi f(x) pada integral di atas disebut integran.
Secara umum, definisi integral taktentu adalah sebagai berikut.
Jika F'(x)=f(x) atau jika
maka ∫ f(x) dx = F(x) + C
Integral Taktentu Fungsi Aljabar
© alewoh.com | Privacy Policy | FAQ
Damas Fahmi Assena
Integral Tak tentu Fungsi Trigonometri
Sifat Linear Integral Taktentu
Persamaan Diferensial Sederhana
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang diketahui turunan fungsinya tapi belum
diketahui persamaan aslinya. Sebagaimana persamaan lainnya, persamaan diferensial memerlukan
metode khusus untuk menyelesaikannya. Persamaan diferensial yang dibahas di sini adalah
persamaan diferensial orde pertama dengan peubah terpisah.
dapat ditulis menjadi dy=f(x)dx.
Dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan, diperoleh bentuk berikut.
∫ dy=∫ f(x) dx
⇔ y=∫ f(x) dx
Integral Tentu
Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x=a, x=b, dan sumbu-x adalah rumus yang
mendasari integral tentu. Memang salah satu penggunaan integral tentu salah satunya adalah
untuk mencari luas daerah di bawah kurva. Pada awal pembahasan integral tentu di halaman ini
dijelaskan definisi integral tentu. Definisi tersebut perlu dipahami karena menjadi dasar bagi
integral tentu. Untuk selanjutnya, penyelesaian integral tentu bisa menggunakan teorema dasar
kalkulus. Kita tidak perlu repot-repot menyelesaikan suatu integral tentu menggunakan definisi
integral tentu.
Damas Fahmi Assena
Definisi Integral Tentu
Jika
ada maka fungsi f dapat diintegralkan pada selang a≤x≤b dan integral tentu f
dari a ke b adalah sebagai berikut.
f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas.
Teorema Dasar Kalkulus
Jika y=f(x) adalah fungsi yang kontinu pada selang a≤x≤b, dan F(x) adalah sembarang anti turunan
dari f(x) pada interval tersebut, maka berlaku bentuk berikut.
Rumus di atas menunjukkan bahwa untuk menyelesaikan integral tentu adalah dengan
mengintegralkan f(x) terlebih dahulu, kemudian substitusi batas atas integral dan hasilnya kurangi
dengan hasil substitusi batas bawah integral.
Sifat-Sifat Integral Tentu
Berikut ini adalah sifat-sifat dari integral tentu untuk membantu penyelesaian beberapa soal
integral tentu. Sifat-sifat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari integral tentu.
Pembuktiannya saya tinggalkan sebagai latihan.
Damas Fahmi Assena
Contoh soal dan pembahasan
Tentukan fungsi y=F(x) apabila diketahui F'(x)=x2-4 dan F(3)=5.
Jawaban:
Bentuk lain dari kalimat "F(a)=b" adalah "F(x) melalui titik (a,b)"
Damas Fahmi Assena
Damas Fahmi Assena
Memahami Macam-macam integral
Tuesday, August 13th 2013. | Integral
advertisements
Sebelumnya kita telah membahas Integral tentang rumus dasar integral sekarang kita akan membahas macammacam integral. Dan apakah anda telah tahu apa saja macam-macam dari integral, baiklah pasti sebagian dari
anda telah tahu atau mungkin bahkan telah paham. Namun ada juga pasti yang belum mengerti, macam-macam
integral itu adalah integral tertentu, integral tak tentu, integral fungsi trigonometri, integral parsial. Untuk lebih
jelasnya marilah kita simak bersama penjelasannya dibawah ini.
1. Integral Tak Tentu
Integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan sehingga untuk menemukan rumus integral kita dapat
berawal dari turunan. Turuna dari suatu fungsi y= f(x) adalah y’=f'(x) atau dy/dx, dan notasi integral dari suatu
fungsi y=f(x) adalah ∫y dx=∫f(x) dx yang dibaca integral y terhadap x.
Turunan dari suatu fungsi konstan yang biasa dilambangkan dengan c adalah 0 atau dapat kita katakan juga
integral 0 adalah fungsi konstan.
adversitemens
Rumus-rumus integral tak tentu :
Damas Fahmi Assena
Damas Fahmi Assena
contoh soal :
Damas Fahmi Assena
2. Integral Fungsi Trigonometri
Kita semua pasti telah tahu turunan dari fungsi trigonometri yang secara sederhana dapat digambarkan sebagai
berikut.
sinx→cosx→-sinx→-cosx→sinx
tanx→sec²x
cotx→-cosec²x
Dikarenakan integral adalah invers dari turunan maka
Damas Fahmi Assena
3. Integral Parsial
Prinsip dasar dari integral parsial yaitu salah satu dimisalkan u dan yang lainnya dianggap sebagai dv. Sehingga
integral parsial mempunyai bentuk :
∫u dv = uv-∫v du
4. Integral Tentu
Misalkan f(x) didefinisikan dalam selang a≤x≤b dan jika selang ini dibagi menjadi n bagian yang sama panjang
yaitu
Sehingga integral tentu dari fx pada selang x=a dan x=b yaitu
Damas Fahmi Assena
limit ini pasti ada apabila f(x) kontinu sepotong demi sepotong dan jika
Jadi berdasarkan dalil pokok dari kalkulus integral, integral tentu diatas dapat dihitung dengan rumus :
Rumus-rumus Integral Tentu :
k sebagai konstanta sembarang
Damas Fahmi Assena
