Gaya dan Medan Magnet

Gaya dan Medan Magnet
Kutub utara
geografi
Kutub utara
magnetik
Sumbu
rotasi
Sumbu
magnetik
Medan magnet
Sebagaimana halnya dengan konsep medan listrik, konsep
medan magnet juga diperlukan untuk menjelaskan gaya
antara dua benda yang tidak saling bersentuhan.
Gaya Lorentz
Medan magnet mempengaruhi benda bermuatan yang sedang
bergerak.
F
Gaya akibat medan magnet yang
dialami oleh partikel bermuatan yang
bergerak adalah
F = qv × B
B adalah kuat
medan magnet
v
B
CK-FI112-06.1
Jika selain medan magnet ada juga medan listrik, maka gaya
yang dialami partikel bermuatan adalah
Gaya
Lorentz
F = Fcoul + Fmag = qE + qv × B = q (E + v × B )
Beberapa penerapan gaya Lorentz
Prinsip
gaya
lorentz
dapat digunakan untuk
menentukan jenis muatan
suatu partikel (+, − atau
tak bermuatan).
Jika
×
bermuatan + ×
×
×
×
×
Jika tak
bermuatan
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
Gaya magnet arahnya selalu tegak lurus
permukaan yang dibentuk oleh v dan B.
Artinya F selalu tegak lurus dengan v,
dan untuk v yang besarnya konstan dan
arahnya tegak lurus dengan arah B,
maka gerak muatan adalah gerak
melingkar beraturan pada suatu bidang
datar tertentu.
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Jika
×
× bermuatan −
×
×
×B
×
× ×
× ×
× ×
× B×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
2R
Gaya yang membuat benda bergerak melingkar (gaya
sentripetal) adalah gaya magnet, yang besarnya
F = qvB
Jika v dan B
saling tegak
lurus
CK-FI112-06.2
mv
mv 2
→ R =
Sehingga qvB =
Bq
R
Artinya untuk partikel dengan v yang sama, jari-jari
lintasannya ditentukan oleh perbandingan massa dan muatan
→ prinsip penggunaan spektrometer massa
medan magnet
konstan yang
arahnya ke luar
bidang gambar
R
partikel dengan
m/q tertentu
sumber
ion
Jika arah v tidak tegak lurus dengan arah B, misalnya v =
voxi+voyj+vozk sedangkan B = Bo k, maka
F = qv × B = q (vox i + voy j + voz k ) × (Bo k )
= qBo (voy i − vox j)
percepatan yang dialami muatan
a=
F
m
=
qBo
(voy i − vox j)
m
kecepatan muatan tiap saat
CK-FI112-06.3
qBot
(v i − vox j) + (vox i + voy j + voz k )
m oy
 qBovoyt
  qB v t

= 
+ vox i +  − o ox + voy  j + voz k
m

 m
 
v(t ) = ∫ adt + v (0) =
posisi muatan tiap saat adalah
Gerak
muatan
dalam ruang
tiga dimensi
r(t ) = ∫ v (t )dt + ro
 qBovoyt 2
  qBovoxt 2

=
+ voxt i +  −
+ voyt  j + vozt + ro
 2m
 
2m



Lintasan muatan tersebut adalah berbentuk heliks
B
Keberadaan medan listrik dan medan magnet secara simultan
dapat digunakan sebagai pemilih kecepatan (velocity
selector).
E = Eok
z
v = vo j
y
x
B = Boi
CK-FI112-06.4
Gaya coulomb yang dialami benda
Fcoul = qE = (qE o )k
Gaya magnet yang dialami benda
Fmag = qv × B = q (v o j) × (Boi) = −(qv oBo )k
Gaya total
Ftotal = Fcoul + Fmag = q (E o − v oBo )k
Partikel akan bergerak lurus
(tidak mengalami gaya) jika
vo =
Eo
Bo
Gaya magnet pada muatan bergerak (arus)
Arus listrik adalah muatan yang
bergerak, karenanya bila suatu
penghantar yang dialiri arus berada
dalam daerah bermedan magnet, maka
penghantar tersebut akan mengalami
gaya magnet.
dl
Kawat
berarus
B
→
Tinjau elemen yang panjangnya dl yang arahnya searah
dengan arah arus. Jika pada penghantar ada muatan dq yang
kecepatannya v, maka
→
dl
v=
dt
CK-FI112-06.5
I =
sedangkan
dq
→ dq = Idt
dt
→
gaya yang dialami oleh elemen dl adalah
 → 
→

 dl 
dF = dqv × B = (Idt )  × B = I dl× B 
 dt 


 
Gaya total pada potongan kawat adalah
→

F = ∫ dF = I ∫ dl× B 


Jika I
konstan
→
Jika dl = (dx )i + (dy ) j + (dz )k dan B = (Bx )i + (By ) j + (Bz )k ,
maka
→
dl× B = ((dx )i + (dy ) j + (dz )k ) × ((Bx )i + (By ) j + (Bz )k )
= (Bz dy − By dz )i + (Bx dz − Bz dx ) j + (By dx − Bx dy )k
Contoh penggunaannya:
Misalkan suatu potongan penghantar yang dialiri arus I
(dalam arah sumbu x positif) terletak di ruang bermedan
magnet B = Bo(i+j). Potongan kawat terletak di sepanjang
sumbu x dari x = 0 sampai x = L
→
Karena kawat terletak sepanjang sumbu x, maka dl = (dx )i
Sehingga
→
dl× B = (dx )i × Bo (i + j) = (Bodx )k
CK-FI112-06.6
Gaya pada potongan kawat
L
→
∫ (dl× B) = I ∫ (Bodx )k = (BoIL)k
F=I
x =0
seluruh
kawat
y
B
F
0
x
L
Bila suatu kumparan yang dialiri arus listrik berada dalam
ruang bermedan magnet, maka kumparan tersebut dapat
mengalami momen gaya
z
F2
a
B
y
x
b
Gaya F1 dan F2 adalah
F1
F1 = Ia ( −i) × B ( j) = IaB ( −k )
F2 = Ia (i ) × B ( j) = IaB (k )
Pasangan gaya tersebut membentuk suatu momen gaya
b 
b 
τ = τ1 + τ2 = r1 × F1 =  ( j) × IaB ( −k ) +  ( − j) × IaB (k )
2
2
= IabB ( −i)
CK-FI112-06.7
Momen gaya tersebut dapat dinyatakan dengan menggunakan
besaran baru yaitu momen magnet µ
µ = Iab (n) = IA(n)
sehingga
n adalah vektor
normal permukaan
kumparan
τ = µ×B
n
I
Hukum Biot-Savart
Eksperimen yang dilakukan oleh H.C. Oersted menunjukkan
bahwa adanya arus listrik (muatan listrik yang bergerak)
dapat menimbulkan medan magnet.
Untuk menentukan medan magnet yang disebabkan oleh
muatan yang bergerak (arus listrik) ada dua cara yang dapat
digunakan yaitu dengan hukum Biot-Savart dan dengan hukum
Ampere.
Hukum Biot-Savart mempunyai kemiripan dengan hukum
Coulomb (untuk menentukan medan listrik) sedangkan hukum
Ampere mempunyai kemiripan dengan hukum Gauss (untuk
menentukan medan listrik).
CK-FI112-06.8
Medan magnet di titik P akibat
→
→
dl
elemen dl
→
I
∧
I dl× r
dB = k
r2
r
P
∧
dengan r adalah vektor satuan dalam arah r (yaitu vektor
→
posisi titik P dari elemen dl .
k adalah tetapan yang besarnya bergantung pada medium
tempat sistem berada. Jika dalam medium hampa, maka
k =
µo
4π
dengan µo adalah permeabilitas ruang
hampa
→
Arah medan magnet yang ditimbulkan oleh elemen dl
→
∧
ditentukan dari hasil operasi perkalian vektor dl× r .
Untuk menentukan medan magnet yang disebabkan oleh
seluruh bagian kawat, maka
→
B=
∫ dB = k
seluruh
penghantar
∫
seluruh
penghantar
∧
I dl× r
r2
CK-FI112-06.9
Hukum Ampere
Penentuan medan magnet yang disebabkan oleh adanya arus
listrik dapat juga dilakukan dengan menggunakan hukum
Ampere.
Penggunaan hukum Ampere terutama akan memudahkan jika
terdapat kesimetrian sumber medan magnet.
Perumusan hukum Ampere
I
→
∫ B • dl = µo I dalam
→
dl
Beberapa contoh
Tentukan medan magnet yang dihasilkan oleh kawat
yang panjangnya L yang dialiri arus I
dB
P
θ r
−L/2
x
a
L/2
→
Tinjau elemen dl =dx (i) yang berada pada posisi x. Medan
magnet pada titik P akibat elemen tersebut adalah
µ
dB = o
4π
 → ∧
 dx (i) × r∧ 
µ
d
l
×
r



o 
I
I
=
2
2


r  4π 
r




CK-FI112-06.10
dengan
r = r (− sin θ i + cos θ j)
dan
r = (− sin θ i + cos θ j)
∧
r=
a
cos θ
x = a tan θ → dx =
a
cos2 θ
dθ
Sehingga
∧
 cos2 θ 
dx (i) × r  a

((i) × ( − sin θ i + cos θ j)
dθ 
=
2
2
cos
r2
a
θ



=
1
cos θdθ (k )
a
Jadi
dB =
µoI  cos θdθ 

(k )
4π 
a

Medan magnet di titik P akibat seluruh kawat adalah
B=
∫ dB =
seluruh
kawat
µoI  cos θdθ 
µ oI
(
k
)
=
(k ) ∫ cos θdθ


∫ 4π
π
a
4
a


seluruh
seluruh
kawat
kawat
(*)
θ2
=
µ oI
µI
(k ) ∫ cos θdθ = o (k )(sin θ 2 − sin θ 1 )
4πa
4πa
θ1
Batas integralnya adalah
x = x ujung kiri = −
x = x ujung kanan =
L
 L 
→ θ 1 = arctan −
 → sin θ 1 =
2
 2a 
L
 L 
→ θ 2 = arctan  → sin θ 2 =
2
 2a 
−L
2
2 a +
L2
4
L
2
2 a +
L2
4
CK-FI112-06.11
Jadi


µoI 
L
B=
4πa  2 L2
 a +
4








(**)
Jika kawat tersebut sangat panjang, maka
B=
µ oI
2πa
Dapat diperoleh
dari persamaan (*)
ataupun dari (**)
Untuk kawat yang sangat panjang terdapat kesimetrian
yang tinggi sehingga dapat juga digunakan hukum Ampere
I
r
Loop Ampere
yang berupa
lintasan
tertutup
→
dl
Hukum Ampere
→
∫ B • dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B (2πr ) = µoI → B =
Karena B
selalu searah
dengan dl
Karena B
konstan di
sepanjang
lintasan
µ oI
2πr
Arus yang
dilingkupi oleh
loop Ampere
yang dibuat
CK-FI112-06.12