BAB III TURUNAN FUNGSI Standar Kompetensi Mahasiswa

BAB III
TURUNAN FUNGSI
Standar Kompetensi
Mahasiswa memahami konsep turunan fungsi dan teknik-teknik yang dapat
digunakan untuk menentukan turunan, baik fungsi eksplisit y  f (x ) maupun fungsi
implisit f ( x, y )  0 .
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari pokok bahasan turunan fungsi, diharapkan mahasiswa:
1. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan fungsi.
2. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan teorema turunan.
3. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan dalil rantai
4. Dapat menentukan turunan fungsi
f ( x, y )  0 dengan menggunakan kaidah
diferensial.
5. Dapat menentukan turunan fungsi parametrik.
6. Dapat menentukan turunan fungsi trigonometri.
7. Dapat menentukan turunan fungsi siklometri.
8. Menentukan turunan ke-n fungsi y  f (x ) .
9. Menentukan turunan ke-n fungsi f ( x, y )  0 .
Bab III buku ini memuat hal-hal pokok yang berkaitan dengan turunan fungsi,
antara lain (1) pengertian dan sifat turunan, (2) aturan rantai, (3) turunan fungsi implisit
dan parametrik, (4) turunan fungsi trigonometri dan siklometri, (5) turunan tingkat
tinggi.
3.1 Pengertian dan Sifat Turunan
Pembahasan tentang turunan dalam tulisan ini dibedakan menjadi dua kelompok
besar yaitu, turunan fungsi berbentuk y  f (x ) dan fungsi berbentuk f ( x, y )  0 . Pada
pengembangan selanjutnya terdapat beberapa turunan fungsi, diantaranya adalah fungsi
parametrik, fungsi sikolometri dan fungsi trigonometri.
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
87
Untuk lebih memudahkan pemahaman bagi pembaca, masalah pertama yang
dibahas adalah turunan fungsi berbentuk y  f (x ) .
Perhatikan gambar berikut.
Y
L1
Q ( x  f ( x), f ( x  x ))
y  f (x )
P( x, f ( x ))
L
x
x  x
X
Gambar 3.1
Pada gambar 3.1 di atas, garis L menyinggung kurva y  f (x ) di titik
P( x, f ( x )),`sedangkan garis L1 melalui titik ( x, f ( x )) dan titik ( x  x, f ( x  x )). Jika
x mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1
akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai
berikut:
f ( x  x )  f ( x )
x
mL  lim mL1  lim
x  0
Misal
x  0
( x  x )  t  x  t  x
Jika x  0 maka
tx
Sehingga bentuk lim
x  0
lim
t x
.................... (1) .
f (t )  f ( x )
tx
f ( x  x )  f ( x )
dapat ditulis dengan cara lain berbentuk
x
.......... .........( 2 )
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
88
Bentuk (1) dan (2) tersebut di atas didefinisikan sebagai turunan pertama fungsi dari
fungsi eksplisit y  f (x ) dan dinotasikan dengan
Khusus pada notasi
dy
df ( x )
, y' ,
, atau f ' ( x ) .
dx
dx
dy d
 y   Dy , D disebut operator diferensial.

dx dx
Secara geometris, turunan fungsi y  f (x ) merupakan kemiringan (gradien) yang
dinotasikan dengan m dari garis singgung kurva fungsi tersebut di sebarang titik, misal
x  x o . Dengan demikian gradien kurva y  f (x ) di titik x  x o dapat dinyatakan
dengan:
f ( xo  x)  f ( xo )
x
m  lim
x 0
Karena turunan didefinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi
bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik
tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f ( x)  x , yang grafiknya
diberikan dalam gambar di bawah ini.
Y
y  x
yx
X
Gambar 3.2
Jika kita memperhatikan gambar 3.2 di atas dengan cermat, maka kita akan
dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah
kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa
garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
89
sehingga patut dicurigai bahwa fungsi
f ( x)  x
tidak mempunyai turunan di
perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0).
Pembuktian bahwa fungsi
f ( x)  x tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.
Karena
lim
 0
f ( 0  x )  f ( 0 )
| x |  | 0 |
x
 lim
 lim
 lim 1  1
x  0
x  0 x
x  0
x
x
dan
lim
x 0
f (0  )  f (0)
| x |  | 0 |
 x
 lim
 lim
 lim (1)  1 ,
x 0 x
x0
x
x0 
x
maka
lim
x  0
f ( 0  x )  f (0 )
f (0  x )  f ( 0 )
 lim
,
x 0
x
x
sehingga f ' (0)  lim
x 0
f (0  x )  f (0 )
tidak ada.
x
Contoh:
1) Tentukan garis singgung kurva y  x 2 di titik (2,4)
Jawab
Gradien garis singgung kurva y  x 2 di titik (2,4) adalah
m = f ' (2)  lim
x 0
f (2  x )  f (2)
( 2  x ) 2  2 2
 lim
 lim (4  x)  4 .
x  0
x 0
x
x
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
y  y 0  m( x  x0 )  y  4  4( x  2)  y  4 x  4
2) Tentukan apakah di x  0 fungsi y  x 2 mempunyai turunan ?
Jawab
Karena f ' (0)  lim
x  0
f (0  x)  f (0)
( x ) 2  0 2
 lim
 lim x  0 , maka
x 0
x  0
x
x
y  x 2 mempunyai turunan di x = 0.
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
90
Jika dalam menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi
turunan, maka akan terdapat kesulitan-kesulitan dan memerlukan waktu yang relatif
lebih lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi
secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.
Misal f (x ) dan g (x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dan k sebarang bilangan real
maka:
1. Aturan turunan fungsi konstanta
Jika y  k maka
dy
0
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
 lim
x 0
kk
x
0
x 0 x
 lim
=0
2. Aturan turunan fungsi identintas
Jika y  x maka
dy
1
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x )  f ( x )
 lim
dx x 0
x
 lim
x 0
( x  x)  x
x
x
x 0 x
 lim
=1
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
91
3. Aturan pangkat
Jika y  x n maka
dy
 nx n 1
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x )  f ( x )
 lim
dx x 0
x
( x  x ) n  x n
x 0
x
 lim
x n  nx n 1 x 
n ( n 1)
2
x n 2 (x) 2  ...  ( x) n  x n
 lim
x 0
x
n( n  1) n 2
n( n  1)( n  2) n3 2


x nx n 1 
x x 
x x  ...  ( x ) n 1 
2
6

 lim 
 0
x
n(n  1) n 2


 lim  nx n 1 
x x  ...  (x) n1 
x 0
2


 nx n1
4. Aturan turunan perkalian fungsi dengan konstanta
Jika y  kf (x ) maka
dy
 kf ' ( x)
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x 0
x
kf ( x  x)  kf ( x)
x 0
x
 lim
k  f ( x  x)  f ( x) 
x 0
x
 lim
 lim k lim
x 0
x 0
 f ( x  x)  f ( x)
x
 kf ' ( x)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
92
5. Aturan jumlah
Jika y  f ( x )  g ( x ) maka
dy
 f ' ( x )  g ' ( x)
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x 0
x
 lim
 f ( x  x)  g ( x  x    f ( x)  g ( x)
x
x 0
 lim
 f ( x  x)  f ( x)   g ( x  x)  g ( x)
x
x 0
 lim
x 0
 f ( x  x)  f ( x)  lim g ( x  x)  g ( x)
x
x 0
x
 f ' ( x)  g ' ( x)`
6. Aturan selisih
Jika y  f ( x )  g ( x ) maka
dy
 f ' ( x )  g ' ( x)
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x 0
x
 lim
 f ( x  x)  g ( x  x    f ( x)  g ( x)
x
x 0
 lim
 f ( x  x)  f ( x)   g ( x  x)  g ( x) 
x
x 0
 lim
x 0
 f ( x  x)  f ( x)  lim g ( x  x)  g ( x)
x
x 0
x
 f ' ( x)  g ' ( x)`
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
93
7. Aturan hasil kali.
Jika y  f ( x ) g ( x ) maka
dy
 f ' ( x) g ( x)  g ' ( x) f ( x)  f ( x) g ' ( x)  f ' ( x) g ' ( x )
dx
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x 0
x
 f ( x  x) g ( x  x)   f ( x) g ( x)
 lim
x
x 0
 f ( x  x) g ( x  x    f ( x) g ( x)    f ( x  x) g ( x)    f ( x  x) g ( x)
 lim
x
x  0
 lim
f ( x  x)g ( x  x)  g ( x)   g ( x) f ( x  x)  f ( x) 
x
 lim
f ( x  x)g ( x  x)  g ( x) 
g ( x) f ( x  x)  f ( x) 
 lim
x 0
x
x
x 0
x 0
 lim f ( x  x ). lim
x  0
x  0
g ( x  x)  g ( x)  lim g ( x). lim  f ( x  x)  f ( x) 
x
x  0
x  0
x
 f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)
8. Aturan hasil bagi.
Jika y 
f ( x)
dy f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x)
, g ( x )  0 maka

g ( x)
dx
g 2 ( x)
Bukti
Menurut definisi turunan
dy
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x 0
x
f ( x  x ) f ( x )

g ( x  x ) g ( x )
 lim
x 0
x
 lim
x0
f ( x  x) g ( x)  f ( x) g ( x  x)
x g ( x  x) g ( x)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
94
 lim
f ( x  x ) g ( x )  f ( x ) g ( x  x )  g ( x ) f ( x )  g ( x ) f ( x )
x g ( x  x) g ( x ) 
 lim
g ( x ) f ( x   x )  f ( x )   f ( x )  g ( x   x )  g ( x ) 
x  g ( x  x ) g ( x ) 
 x 0
x 0
 lim g ( x). lim
x 0

x 0
 f ( x  x)  g ( x)   lim
x
x  0
f ( x). lim
x  0
g ( x  x)  g ( x) . lim
x
1
x 0 g ( x  x ) g ( x )
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
, g ( x)  0
g 2 ( x)
9. Fungsi Majemuk
n
Jika y   f ( x)  maka
dy
n1
 n f ( x )   f ' ( x) 
dx
Contoh
1. Tentukan turunan fungsi di bawah ini.
a)
y  x 8  12 x 5  4 x 4  10 x 3  6 x  5
Jawab
dy d 8
d 5
d 4
d 3
d
d

x  12
x 4
x  10
x  6  x   5
dx dx
dx
dx
dx
dx
dx
 
 
 
 
 8 x 7  60 x 4  16 x 3  30 x 2  6
b)
x2  x  2
y
x3  6
Jawab
x 2  x  2 aturan pembagian
u
   
 y '  , u  x 2  x  2, v  x 3  6
3
v
x 6
3
u ' v  uv ' (2 x  1)( x  6)  ( x 2  x  2).3 x 2
y' 

v2
( x 3  6) 2
y
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
95
y' 
c)
 x 4  2 x 3  6 x 2  12 x  6
x3  62
y  ln x
Jawab
Berdasarkan definisi turunan
dy
f ( x  x )  f ( x )
ln( x  x )  ln x
 lim
 lim
x 0
dx x 0
x
x
x  x
x
 lim
x 0
x
 x 
ln 1 

1
x 

 lim
 lim ln(1  xx ) h
x 0
x 0
x
ln
1
x x


k

x


 
 ln  lim 1 

x  
 x0


1
1
 ln e x 
x
d) y  1  2 x
Jawab
Menurut definisi turunan y  f (x )
dy
f ( x  x)  f ( x )
 lim
dx x0
x
 lim
x 0
1  2( x  x )  1  2 x
x
1  2( x  x )  1  2 x 1  2( x  x )  1  2 x
.
.
x  0
x
1  2( x  x )  1  2 x
1  2( x  x)  (1  2 x)
 lim
x  o x 1  2( x  x )  1  2 x
 lim

X

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
96
 lim
x 0

2
1  2( x  x )  1  2 x
2
2 1  2x

1
1  2x

 1  2 x 
1
2
x  3x 2
e) y 
5 x
Jawab
Misal u  x  3x 2 maka u '  1  6 x
v  5  x maka v'  1
Menurut sifat 7 jika y 
Diperoleh y ' 

u
u ' v  uv '
maka y ' 
v
v2
(1  6 x )(5  x )  ( x  3 x 2 )(1)
(5  x) 2
5  31x  6 x 2  x  3x 2
25  10 x  x 2
3 x 2  30 x  5
 2
x  10 x  25
f) Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3).
Jawab
h( x)  xg ( x) aturan
 perkalian
 h' ( x)  1.g ( x)  xg ' ( x)
h ' (3)  g (3)  3 g ' (3)  11
3.2
Aturan Rantai (Chain Rule)
Aturan rantai umumnya digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang
n
bentuk umumnya y   f ( x)  atau y  f  g (x)  .
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
97
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang digunakan untuk menentukan turunan
fungsi.
Jika f (x ) dan g (x) keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi
komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’
yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai
turunan, maka
dy dy du

.
dx du dx
Bukti:
h( x  t )  h(t )
f ( g ( x  t ))  f ( g ( x ))
 lim
t
t
t 0
t 0
 f ( g ( x  t ))  f ( g ( x)) g ( x  t )  g ( x ) 
 lim 
.

g ( x  t )  g ( x)
t
t  0

h' ( x )  lim
f ( g ( x  t ))  f ( g ( x))
g ( x  t )  g ( x)
. lim
g ( x  t )  g ( x)
t
t 0
t 0
f ( g ( x )  p)  f ( g ( x ))
g ( x  t )  g ( x)
 lim
. lim
p
t
p 0
t 0
 f ' ( g ( x )) g ' ( x)
 lim
Contoh
1. Jika y  e x ` maka
dy
 ex
dx
Bukti
aturan rantai
y  e x  x  ln y 

1 
2. Jika y  a x ` , a  1 1 maka
1
. y'  y'  y  e x
y
dy
 a x ln a
dx
Bukti
y  a x `  x  a log y
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
98
=
Sehingga dx 
ln y
ln a
1 1
dx
1
. dy 

ln a y
dy y ln a
Dengan aturan rantai
dy
1

 y ln a  a x ln a
dx
dx
dy
3. Jika y  a log a, x  0, a  1, maka
dy
1

dx x ln a
Bukti nomor 3 ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.
3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk
f ( x, y )  0
Contoh:
1. x 2  y 2  25  0
2. x 2 y  xy 2  2  0
3. x 2  y 2  2 x  y  1  0
4. cos xy  y  0
Rumus-rumus turunan yang telah dijabarkan pada pasal sebelumnya berlaku jika
fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit atau y  f (x ) , sedangkan untuk fungsi yang
dinyatakan dalam bentuk implisit yaitu fungsi yang bentuk umum penulisannya
f ( x, y )  0 , turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial,
yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
99
1. Tentukan
dy
dari x 2  y 2  4  0
dx
Jawab
Dengan aturan diferensial masing-masing variabel diperoleh
 d ( x 2 )  d ( y 2 )  d ( 4)  d ( 0)
 2 xdx  2 ydy  0  0
 xdx  ydy  0

dy
x

dx
y
2. Tentukan
dy
dari x 2 y  xy 2  2  0
dx
 d ( x 2 y )  d ( xy 2 )  d (2)  d (0)

 

 2 xdx. y  x dy   dx. y  x 2 ydy   0
 2 xy  y dx  x  2 xy dy  0
 d ( x 2 ) y  x 2 d ( y )  d ( x) y 2  xd ( y 2 )  0  0
2
2
2
2
 (2 xy  y 2 )dx  ( x 2  2 xy )dy
dy
2 xy  y 2

 2
dx
x  2 xy
3.
Tentukan
dy
dari y 
dx
x x x
Jawab
Untuk menentukan
dy
dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih
dx
dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
y
x x x
 y8  x7  0
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh
d ( y 8 )  d ( x 7 )  d ( 0)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-100
 8 y 7 dy  7 x 6 dx  0
 8 y 7 dy  7 x 6 dx
dy 7 x 6

dx 8 y 7
Sehingga
Latihan soal
Tentukan
1. y 
dy
fungsi-fungsi berikut ini.
dx
4x
1 x2
2. 2 xy  3 y 2  2 xy  3  0
3. y  1 
2
sin x
4. y  cos 2 (2 x  1)  0
5. y  1 
2
1 x2
6. y  sec(1  x)
3
2
7. cos( xy )  2 x  3 y 2  0
8. yx  x 2  3 y  1  0
9.
y cos( xy )  2 x  3 y 2  0
10. y  sin 4 1  x
11. cos xy  y  0
Turunan Fungsi Parametrik
Fungsi parametrik adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk
y  f (x ) dengan x  x(t ) dan y  y (t )
atau
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-101
 x  x(t )

 y  y(t )
Contoh
 x  2t  1
1. 
2
y  t  t
 x  sin t  cos t
2. 
y  1 t
Turunannya dapat ditentukan dengan menurunkan masing-masing bagian, selanjutnya
gunakan aturan rantai.
Contoh:
Tentukan
dy
dari fungsi parametrik dibawah ini.
dx
 x  2t  1
1. 
2
y  t  t
Jawab
Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
dx
dy
 2 dan
 2t  1 .
dt
dt
Karena yang dicari adalah
dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
dx
dy
dy dy dt
2t  1
 .  dt 
dx dt dx dx
2
dt
 x  sin (2t  1)
2. 
 y  1  3t
Jawab
Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-102
dy
3
dx

 2 cos(2t  1) dan
.
dt
dt
2 1  3t
Karena yang dicari adalah
dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
dx
3
dy
dy dy dt dt
3
1  3t
 . 
 2 1  3t  
.
dx dt dx dx 2 cos(2t  1)
2 cos(2t  1)
dt
 x  ln(3t  4)
3. 
 y  1  2t
Jawab
Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
dy
1
dx
3


dan
.
dt 3t  4
dt
1  2t
Karena yang dicari adalah
dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
dx
dy  1
dy dy dt dt
1  2t   (3t  4) .
 . 

3
dx dt dx dx
3 1  2t
dt
3t  4
Soal-soal
Tentukan
dy
fungsi parametrik berikut ini.
dx
1

x 
2 4t  3
1) 
y  t2  t  2

 x  3 sin 2 t  2 cos 3 t
2) 
y  2 1 t
23

t
 x  2t 
3) 
3
 y  t 2  2t  3

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-103
 x  sin t  cos t
4) 
y  1 t
 x  ln sin t  cos t 
5) 
y  3 1 t
 x  2 sin 2t

6) 
33 2
t t 2
y 

2
3.4
Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus,
sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat
ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai.
Tentukan
dy
untuk
dx
1. y  sin x
Jawab
Menurut definisi turunan
y  sin x  y '  lim
x 0
y  sin x
f ( x  x)  f ( x)
sin( x  x)  sin x
 lim
x 0
x
x
2 cos
 lim
x  0
 2 lim cos
x  0
2 x  x
x
sin
2
2
x
2 x  x
lim
h0
2
x
2 . 1  2 cos x.1. 1
x 2
2
2
sin
 cos x
2. y  cos x
Jawab
. y  cos x  y '  lim
x  0
f ( x  x )  f ( x )
cos( x  x )  cos x
 lim
h0
x
x
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-104
 2 sin
 lim
x  0
 2 lim sin
x  0
2 x  x
x
sin
2
2
x
2 x  x
lim
h0
2
x
2 . 1  2 sin x.1. 1
x 2
2
2
sin
  sin x
3. Turunan fungsi trigonometri yang lain.
a) y  tan x
b) y  cot x
c) y  sec x
d) y  csc x
e) y  arcsin x
y  arctan x
f)
g) y  arc sec x
h) y  sin 4 (e x  ln x )
y  e x sin 2 ( x 2  1)
i)
Jawab
sin x aturan pembagian
cos x cos x  sin x.( sin x)
     y ' 
 sec 2 x
2
cos x
cos x
a.
y  tan x 
b.
y  cot x 
c.
y  sec x 
1
0.(cos x )  1.( sin x )
aturan pembagian
     y ' 
 sec x tan x
cos x
cos 2 x
d.
y  csc x 
1
0.(sin x )  1.(cos x)
aturan pembagian
     y ' 
  csc x cot x
sin x
sin 2 x
e.
y  arcsin x  x  sin y    1  y ' cos y  y ' 
cos x aturan pembagian
 sin x (sin x)  cos x.(cos x )
   y ' 
  csc 2 x
2
sin x
sin x
aturan rantai
1
1

cos y
1 x2
1
x`
1 x2
y
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-105
Gambar 3.3
f.
1
aturan rantai
y  arctan x  x  tan y    1  y ' sec 2 y  y '  cos 2 y 
1 x2
x2 1
x
1
y
Gambar 3.4
g.
aturan rantai
y  arc sec x  x  sec y    1  y ' sec y tan y
y '  cos y cot y 
1
x x2 1
x
x2 1
y
1
Gambar 3.5
h.
y  sin 4 (e x  ln x) aturan
 rantai

 y  u 4 , u  sin( e x  ln x ), u  sin v, v  e x  ln x
dv
1 du d
dv
1
 ex  ,

(sin v)
 v ' cos v  (e x  ) cos( e x  ln x )
dx
x
dx dv
dx
x
4
du du
1
1
y' 
.
 4u 3 (e x  ) cos( e x  ln x )  4(e x  ) cos(e x  ln x ) sin 3 (e x  ln x )
du dx
x
x
i. Bukti
de x
d sin 2 ( x 2  1)
sin 2 ( x 2  1)  e x
dx
dx
x
2
2
x
2
2
 e sin ( x  1)  e .2 sin( x  1). cos( x  1).2 x
rantai dan perkalian
y  e x sin 2 ( x 2  1) aturan

    y ' 
 e x sin 2 ( x 2  1)  2 xe x .2 sin( x 2  1) cos( x 2  1)
 e x sin 2 ( x 2  1)  2 xe x sin 2( x 2  1)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-106
3.5
Turunan Tingkat Tinggi
Jika y  f (x ) fungsi yang dapat diturunkan, maka y '  f ' ( x) juga berupa
fungsi. Jika y '  f ' ( x) mempunyai turunan, maka y ' '  f ' ' ( x ) adalah turunan kedua
dari y  f (x ) dan seterusnya.
Turunan ke-n suatu fungsi dinyatakan dengan
dny
dx n
Untuk n = 2 dinotasikan dengan
d 2 y d  dy 
    D 2 y  y ' '  f ' ' ( x)
2
dx  dx 
dx
Untuk n = 3 dinotasikan dengan
d3y d  d2y 
  D 3 y  y ' ' '  f ' ' ' ( x)
 
dx 3 dx  dx 2 
Untuk n = 4 dinotasikan dengan
d4y d d3y
  3   D 4 y  y ( 4)  f ( 4 ) ( x)
4
dx  dx 
dx
Dan seterusnya. Bentuk-bentuk di atas dinamakan turunan tingkat tinggi atau turunan
ke-n.
Contoh:
1. Carilah
d2y
dx 2
dari :
a.
x 2  y 2  25
b.
y  ln t , x  e t
c.
y  et
2
t
, x  ln e t  1
2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
y  e kx
b.
y  ln x
Penyelesaian :
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-107
1. Dari contoh-contoh sebelumnya telah diperoleh
dy
dari x2 + y2 = 25, adalah
dx
dy
x
 .
dx
y
d2y
Karena
dx
2

d  dy  d  x 
    
dx  dx  dx  y 
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai,
diperoleh
d  x
   
dx  y 
Jadi
d2y
dx 2

y.
x
dx
dy
y.1  x. 
 x.
y
y.2  x 2
dx
dx  


y2
y2
y3
y.2  x 2
y3
d2y
2. Tentukan
dx 2
x  et
a. 
 y  ln t
dy 1
1
dy dy dt
1
 .  dt  tt  tt  t
dx dt dx dx e
e
te
dt
 dy 
d 
 dy 
 dx 
d 
2
d y d  dy 
dx dt
      .  dt =
2
dx
dx  dx 
dt
dx
dx
dt
Oleh
karena

2
d y
dx 2

d  dy  d  1 
e t  te t
1 t
    t    2 2t   2 t
dt  dx  dt  te 
t e
t e
dan
dx
 et
dt
maka
1 t
t 2 et   1  t .
et
t 2 e 2t
2
b. y = e t  t , x = ln (et +1)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-108
dy
2
(2t  1)e t t
dy dt
t
t2
=
=
(
2
t

1
)(
e

1
)
e

dx dx
et
dt
(e t  1)
 dy 
d 
2
d y
dx
  
2
dx
dx
 dy 
d 
 dx 
dt
dx
dt
2
2
2(e t  1)e t  (2t  1)e t  t  2t (2t  1)(e t  1)e t
=
et
(e t  1)
= 2(e t  1) 2 e t
2
t
2
2
 (2t  1)(e t  1)e t  2t (2t  1)(e t  1) 2 e t
2
t
3. a. y  e kx  y '  ke kx  y ' '  k 2 e kx  y ' ' '  k 3 e kx  ...  y ( n)  k n e kx
b. y  ln x  y ' 
1
1
( 1) 2 (1) 2
(1) n 1
( n)
 y ' '  ( 1) 2  y ' ' ' 


...

y

x
x
1.2 x 3
2! x 3
(n  1)! x n
Soal-soal
1) Tentukan kemiringan pada kurva fungsi berikut di titik yang diberikan.
a.
y
1
di titik (0,1)
x 1
b.
y
1
di titik dengan x  1
x 1
c.
y  1  2 x  3x 2 di titik x = 1, -
d. y 
1
x2
1
1
dan
2
4
, di titik (1,1)
2) Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan.
a. y  x  1 di x = 1
b.
y  x 2  4 di x = 2
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-109
c.
 x 2  1, x  1

f ( x)  
di x = 1
3  x 2 , x  1

d.

x 2  1, x  2

f ( x)  
di x = 2
8 x  x 2  9, x  2

3) Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi
y  f (x ) . Tentukan bentuk fungsi dan turunan fungsi.
a)
b)
c)
d)
1  x  1
x
lim
x  0
( x  x) 9  x
x  0
x
lim
lim
x  0
cos 2( x  x )  cos 2 x
x
sin( x  x)  sin x
x  0
x
 lim
4) Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

f ( y)  y

a. G ( s )  s 2  s  1 s 2  2
b.
c. h( x) 
2


 1 2 y  7 
ax  b
cx  d
d. y  a 
b c

x x2
5) Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.
2x
, di titik (1, 1)
x 1
a.
y
b.
y  x  x , di titik (1, 2)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-110
c.
y
x
, di titik (4 ; 0,4)
x 1
d. y  x x , di titik (1, 1)
6) Carilah titik pada kurva y  x 3  x 2  x  1 yang garis singgungnya mendatar.
a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa jika
f , g dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku
( fgh)  f ' gh  fg ' h  fgh'
b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi


y  x x 4  x  1 2 x  3
x1000  1
x 1 x  1
7) Tentukan nilai lim
8) Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah dalam u =
g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah
a.
y  ( x 2  4 x  6) 2
b.
y  1  x3
c.
y  x2  7x
dy
dx
3
9) Carilah turunan fungsi-fungsi berikut
a.
y  3x  2 (5 x 2  x  1)12
b.
y  (s 2  1) 4 s 3  1
10
10) Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini :
a.
xy  ln y  1
b. ln x  xy  e y  3
c. cos( x  y )  e yx  x
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-111
d. ln xy  ln ( x  y )  e x
e. e yx  x ln y  sin 2 x
11) Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan
a.
xy  ln y  x di (0,1)
b. x  xy  2 y  1  0 di (1,0)
c.
x 3 y  y 3 x  30 di (1,3)
d. x 2 y 2  4 xy  12 y di (2,1)
e.
x  xy  2 y  4  0 di (1,1)
13)Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan
a.
y  ln t 2  1, x  e t
b.
y  et
c.
y  e t  2, x  e t  5
2
1
, x  ln( e t  1)
d. y  e t  ln t , x  e t  4
e.
y  te 2t  t , x  e t  t
f.
y  t 3  2t , x  3t 2  5
14)Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini
a. 3 x 3  3x 2 y  8 xy 2  2 y 3  0
b. xy  y 3  2
c.
x3  4 y 2  3
d. y  x 3 3 x
e.
y  x 3 ln( x 2  1)
d2y
15) Carilah nilai
dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan
dx 2
a. x 3  y 3  3 xy di (0,0)
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-112
b. x 2 y  4 y 3  4 di (2,1)
c. x 2  y 2  25 di (3,4)
d. x 2  y 2  25 di (3,4) x
16) Carilah turunan ke n, untuk n=3 dan 4 dari fungsi di bawah ini:
a.
y  sin x
b.
y  cos x
c.
y  sin( ax  b)
d. y  cos( px  q )
17) Carilah turunan dari fungsi di bawah ini:
a.
2
y  e arctan( x  5)
b.
y  arccos(e x  5 x)
c.
y  e x arcsin(ax 2  b)
d. y  arc sec(a px  q  e sin x )
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-113
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-114