Integral Garis dalam Ruang

Pertemuan-21
Integral Garis dalam Ruang
LINE ITEGRAL SEPANJANG LENGKUNG DALAM RUANG
Sebelumnya kita bahas dulu line Integral untuk vektor:
A = i A x ( x, y ) + j A y (x, y)
r = ( x, y ) = i x + j y → dr = (dx, dy ) = i dx + j dy
∫
( x1 , y 1 )
( xo , yo )
A • dr = ∫
( x1 , y 1 )
( xo , yo )
=∫
x1
xo
(i A x + j A y ) • ( i dx + j dy)
Ax dx + ∫
y1
y0
Ay ⋅ dy
Terdapat 3 fungsi dalam t untuk membentuk kurva dalam ruang
x = g (t) , y = f (t) , z = h (t)
Contoh:
1.
r
r
r
A = (3x 2 − 6 yz ) i + (2y + 3xz) j + (1 − 4 xyz 2 ) k
C dibatasi oleh x = t, y = t 2 , z = t 3 dari titik (0,0,0) ke (1,1,1)
dx = dt , dy = 2t dt , dz = 3t 2 dt
r = i x + j y + k z = (x, y, z)
r
d r = i dx + j dy + k dz = (dx, dy, dz)
r
r
r
A = (3 x 2 − 6 yz ) i + (2y + 3xz) j + (1 − 4 xyz 2 ) k
(
)
= 3 x 2 − 6 yz, 2y + 3xz, 1 − 4 xyz 2
r r
A • dr = (3 x 2 − 6 yz, 2y + 3xz, 1 − 4 xyz 2 ) • (dx, dy, dz )
= (3 x 2 − 6 yz )dx + (2y + 3xz)dy + (1 − 4 xyz 2 )dz
(
)
(
= (3t 2 − 6t 2t 3 )dt + 2t 2 + 3t ⋅ t 3 (2t dt ) + (1 − 4t ⋅ t 2 ⋅ t 6 ) 3t 2 dt
(
)
(
)
)
= (3t 2 − 6t 5 )dt + 4t 3 + 6t 5 dt + 3t 2 − 12t 11 dt
(
)
= 3t 2 − 6t 5 + 4t 3 + 6t 5 + 3t 2 − 12t 11 dt
r r
A • dr = 6t 2 + 4t 3 − 12t 11 dt
(
∫
(1, 1,1)
∫
(1, 1,1)
( 0 , 0,0)
( 0 , 0,0)
)
r r
(1, 1,1)
A • dr = ∫
(3x 2 − 6 yz ) dx + (2y + 3xz) dy + (1 − 4 xy z 2 ) dx
( 0 , 0,0)
r r
1
A • dr = ∫ 6t 2 + 4t 3 − 12t 11 dt
(
t =0
)
12
= 63 t 3 + 44 t 4 − 12
12 t
(
1
0
) (
) (
= 2 13 − 0 3 + 14 − 0 4 − 112 − 012
)
= 2 + 1-1 = 2
2.
∫∫
r
r r
F ( x, y ) • dr ; F ( x, y ) = e x i − e − y j = (e x ,−e − y ) daerah c adalah kurva yang dibatasi x = 3 ln t, y
c
= ln zt, t = -1 dan t = 0
Jawab:
r
r
F ( x, y ) • dr = e x i − e − y j • (i dx + j dy ) = (e x ,−e − y ) • (dx, dy )
(
)
= e x dx − e − y dy
⎛1 ⎞ 3
→ dx = 3 ⎜ dt ⎟ = dt
⎝t ⎠ t
x = 3 ln t
→ dy =
y = ln 2t
2
dt
dt =
2t
t
r
∫∫ F ( x, y) • dr = ∫ [e dx − e
r
0
x
t = −1
−y
dy
]
c
⎡ ln t 3 3
ln (2t) -1 dt ⎤
e
dt
e
⋅
−
t = −1 ⎢
t
t ⎥⎦
⎣
=∫
0
1 ⎞
1
⎛
= ∫ ⎜ 3 t 2 − 2 ⎟ dt = t 3 + t −1
t = −1
2t ⎠
2
⎝
1
1
= 1+ = 1
2
2
0
3.
r
F ( x, y, z ) dalam
F ( x, y, z ) = (2 x − y ) i + 2z j − (y − z ) k
Tentukan
kerja
oleh
0
−1
memindahkan
C adalah ruas garis dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 3) dengan dibatasi: x =
Jawab:
dx
dt
150
1
−1
= 12 t 2 = 12 t
− 12
−1
→ dx = 12 t 2 t
Kalkulus II
partikel
sepanjang
t , y = t 2 , z = 3t
kurva
c:
dy
dt
= 2t → dy = 2t dt
dz
dt
= 3 → dz = 3dt
r
r
F( x , y , z ) • dr = [(2 x − y ) i + 2zj − ( y − z ) k ] • [i dx + j dy + k dz ]
= (2 x − y ) dx + 2z dy − ( y − z ) dz
(
= 2 t −t2
)( t dt )+ 2(3t )(2t dt ) − (t
1
1 −2
2
2
( )
(
)
= (1 − t + 12t − 3t + 9t )dt
= (1 − t + 9t + 9t )dt
)
− 3t (3dt )
= 1 − t dt + 12t 2 dt − 3t 2 − 9t dt
1
1 12
2
1
1 12
2
2
1
1 12
2
2
2
(
)
r
r 1
11
2
F
∫ ( x, y, t ) • dr = ∫ 1 − 12 t 2 + 9t + 9t dt
t =0
1 2 21 9
9
= t − ⋅ t 2 + t3 + t2
2 5
3
2
1
9
= t − t 2 t + 3t 3 + t 2
5
2
1
0
1
0
9 ⎞ ⎛
1
9
⎛ 1
⎞
= ⎜1 − ⋅12 1 + 3 ⋅13 + ⋅12 ⎟ − ⎜ 0 − ⋅ 0 2 0 + 3 ⋅ 03 + ⋅ 0 2 ⎟
2 ⎠ ⎝
5
2
⎝ 5
⎠
9⎞
2 45 40 43 83
⎛ 1
= ⎜1 − + 3 + ⎟ − 0 = 4 − +
=
+
=
2⎠
10 10 10 10 10
⎝ 5
Vektor Lanjutan :
r
A = i A x + j A y + k A z = (A x , A y , A z )
∇ = Operator Vektor C (dibaca Del atau Nobla)
∇=i
∂ ⎛ ∂ ∂ ∂⎞
∂
∂
=⎜ , , ⎟
+k
+ j
∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠
∂y
∂x
r ⎛ ∂ ∂ ∂⎞
∇ • A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ • (A x , A y , A z )
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂A ∂A y ∂A z
= x+
+
∂x
∂y
∂z
Menentukan arah gradien ϕ
ϕ ( x, y, z ) = skalar
ϕ ( x, y, z ) = c ; c = konstanta
Integral Garis dalam Ruang
151
Menyatakan sistem bidang z lengkung
d (ϕ ( x, y, z )) = 0
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
⋅ dz = 0
⋅ dy +
⋅ dx +
∂z
∂y
∂x
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞
⎟⎟ • (dx, dy, dz ) = 0
⎜⎜
,
,
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
⎛ r ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ ⎞
⎟ • (i dx + j dy + k dz ) = 0
⎜⎜ i
+j
+k
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
r
∇ϕ • dr = 0
r
dr adalah vektor singgung pada bidang lengkung
r
∇ϕ • dr = 0
r
Mempunyai arti bahwa ∇ϕ (Gradien vektor = Grad v) dan vektor singgung dr adalah saling tegak
lurus.
Arah Normal Grad.ϕ:
r
∇ϕ
n=
∇ϕ
∇ϕ = panjang vektor
Arah normal jika digambar :
152
Kalkulus II
r
( n = Normal satuan yang arahnya selalu keluar bidang)
Contoh:
z = x2 + y2
r
Tentukan n di titik (1, 1, 2) !
x2 + y2 − z = 0
∂ϕ
∂ϕ
= 2x ,
= −1 ,
∂x
∂z
∂ϕ
= 2y
∂y
r ∂ϕ
∂ϕ r ∂ϕ
∇ϕ = i
+j
+k
= 2 xi + 2 yj − k = (2 x,2 y,−1)
∂x
∂y
∂z
2
⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞
⎟⎟ + ⎜
∇ϕ = ⎜
⎟
⎟ + ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠
2
∇ϕ =
(2 x )2 + (2 y )2 + (− 1)2
2
= 4x2 + 4 y2 +1
r ∇ϕ
2 xi + 2 yj − k
=
n=
∇ϕ
4x2 + 4 y2 +1
Contoh :
r
2 1
2i + 2 j − k 2
n pada (1, 1, 2) =
= i + j− k
4 + 4 +1
3
3
3
Divergensi (Div) dan Rotasi (Curl)
Integral Garis dalam Ruang
153
r
r
r
Divergensi A = Div A = ∇ • A
r ∂A ∂A y ∂A z
+
∇• A = x +
∂z
∂x
∂y
Divergensi di suatu titik adalah jumlah hasil yang keluar dari suatu titik persatuan waktu
Div
Div
⊕
(-)
→ sumber (source)
→ sumur (sink)
[penting untuk mata kuliah Medan Elektromagnet]
r
r
Rotasi A = curl A = ∇ x A
r ⎛ ∂
∂ ⎞
∂
+ k ⎟⎟ x (i A x + j A y + k A z )
+j
∇ x A = ⎜⎜ i
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
r ⎛ ∂ ∂ ∂⎞
∇ x A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ × (A x , A y , A z )
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
i
r
∂
∇xA=
∂x
Ax
j
∂
∂y
Ay
k
∂
∂z
Az
Rotasi artinya perputaran. Kalau medan vektor arahnya lurus rotasinya = 0. Jika medan vektor belok
sedikit rotasinya kecil, dan kalau beloknya besar rotasinya besar.
Soal:
1.
r
r
r
Jika F = ( x 2 − y 2 ) i + 2xy j . Hituglah
∫
c
r r
F • dr sepanjang kurva c dalam bidang xy yang diberikan
2
oleh y = x − x dari titik (1, 0) ke (2, 2) !
Jawab:
2.
124
15
r
Jika F = (3 x − 2 y ) i + (y + 2z) j − x 2 k , maka hitung
∫
c
r r
F • dr dari (0,0,0) ke (1,1,1) di mana c
adalah
a.
154
x=t ,
y = t2 , z = t3
Kalkulus II
Jawab:
b.
sebuah garis lurus
Jawab:
c.
23
15
5
3
garis-garis lurus dari (0,0,0) ke (0,1,0 ), kemudian ke (0,1,1) dan kemudian ke (1,1,1)
Jawab: 0
d.
x = z2 , z = y 2
Jawab:
3.
13
30
Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya dalam memindahkan partikel sepanjang kurva c:
r
F ( x, y ) = ( x 3 − y 3 ) i + xy 2 j ; c adalah kurva x = t 2 , y = t 3 ; − 1 ≤ t ≤ 0
Jawab: −
4.
7
44
Sama dengan soal no. 3 untuk:
r
F ( x, y ) = ( x + y ) i + (x − y ) j ; c adalah seperempat ellips
x = a cos t , y = b sin t untuk 0 ≤ t ≤
Jawab: −
(
1 2
a + b2
2
π
2
)
-oo0oo-
Integral Garis dalam Ruang
155