BAB 3

BAB III
LIMIT DAN KONTINUITAS
A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
Definisi : Fungsi f (x ) dikatakan mempunyai limit L untuk
x  xo bila untuk setiap bilangan positif  yang
diberikan, terdapatlah bilangan positif  sedemikian
hingga untuk semua nilai x dimana 0 < x  xo < 
berlaku
lim f ( x)
x  xo
f ( x)  L < 
 L    0   0 0  x  x 0    f ( x)  L   
Secara grafis diragakan :
y  f (x)

L

xo x
Pernyataan 0 < x  xo <  berarti x berada diantara ( xo -  )
dan ( xo +  ) atau ( xo -  ) < x < ( xo +  ) . Dalam hal  cukup
kecil maka x sangat mendekati xo ( x xo , x  xo ).
Dengan kalimat sederhana, arti geometris definisi tersebut di atas
adalah sebagai berikut :
Limit dan Kontinuitas:29
Fungsi f(x) dikatakan mempunyai nilai mendekati L untuk x
mendekati xo bila dan hanya bila setiap kali di tetapkan nilai 
positif kecil, selalu dapat di temukan nilai  sedemikian hingga
selisih harga antara f(x) dan L selalu lebih kecil dari  bila
jarak antara x dan xo kurang dari  .
Contoh–1: Dengan menggunakan definisi limit, tunjukkan bahwa
lim ( x 2  3 ) = 4
x1
Penyelesaian : Diberikan sembarang bilangan  positif (  > 0 ),
kita harus menemukan bilangan  positif (  > 0 )
sedemikian hingga apabila 0 < | x-1| <  maka
f ( x)  L   | atau |( x 2  3 ) – 4| <  .
Caranya : f(x) = ( x 2  3 ) , L = 4 di mulai dari | f(x) – L | :
|( x 2  3 ) – 4| = | x 2 – 1|
= |( x 2 – 2x +1) +(2x-2)|
= |(x-1) 2 +2(x-1)|
 |x-1| 2 +2|x-1| (sifat harga mutlak)
  2 + 2 ( karena 0 < |x-1| <  )
  + 2 (karena  kecil, maka  2   )
 3
Dengan mengambil  < 13  diperoleh
|( x 2  3 ) – 4| <  .
Artinya: untuk tiap nilai  positif selalu dapat
ditemukan  positif ( yakni < 13  ) sehingga terbukti
bahwa apabila 0 < |x-1| <  maka | f(x) – L | < 
atau |( x 2  3 ) – 4| <  .
Kalkulus-1:30
Contoh –2 : Buktikan
lim
x0
( x 2  3x  1 ) = 1
Penyelesaian : Untuk setiap harga  positif ( > 0), harus dapat
ditemukan  positif (  > 0 ) sedemikian hingga apabila
0 < |x-0| <  maka |f(x)-1| <  atau
( x 2  3x  1)  1  
Caranya : | ( x 2  3x  1 ) - 1| = | x 2  3 x |
 x2  3 x
Dengan mengambil  <
soal terbukti.
1
4
  2  3
   3
 4
 maka diperoleh |f(x)-1| <  ,
B. MENGHITUNG NILAI LIMIT
Dua contoh di atas bukanlah cara menghitung limit, tapi
membuktikan limit fungsi. Sebelum menghitung nilai limit
fungsi, terlebih dahulu perhatikan teorema berikut walaupun tidak
semua dibuktikan.
Teorema-1
1.
2.
lim k
 k ; k konstanta
xa
lim x
 a;
xa
3. Bila f(x) polinomial, maka
4.
lim k . f ( x)
xa
 k.
lim f ( x)
xa
 f (a)
lim f ( x)
xa
Limit dan Kontinuitas:31
Teorema -2
Bila
1.
2.
3.
4.
lim f ( x)
 A dan
 B maka :
xa
xa
lim
lim f ( x) lim g ( x)
 f ( x)  g ( x) 

 A B
xa
xa
xa
lim
lim f ( x) lim g ( x)
 f ( x)  g ( x) 

 A B
xa
xa
xa
lim
lim f ( x) lim g ( x)
 f ( x)  g ( x) 

 AB
xa
xa xa
lim f ( x)
lim f ( x)
xa
A

 ; asalkan B  0
x  a g ( x) lim g ( x) B
xa
lim  f ( x)
n
5.
6.
lim g ( x)
xa
lim n f ( x)
xa
lim f ( x)


 xa 
n
lim f ( x)
xa
n
; asal
lim f ( x)
xa
0
Bukti teorema : 2– 1
Diketahui :
lim f ( x)
xa
 A dan
lim g ( x)
xa
B
Yg harus dibuktikan:
lim
xa
 f ( x)  g ( x) 
Kalkulus-1:32
lim f ( x) lim g ( x)

 A B
xa
xa
Caranya : Misalkan ditetapkan   0, harus dapat ditemukan nilai
 sedemikian hingga  f ( x)  g ( x)  ( A  B)  
bila 0  x  a  
lim f ( x)

xa
 A berarti ada 1 sehingga f ( x)  A 
1
,
2
bila 0  x  a  1
lim g ( x)

xa
 B berarti ada  2 sehingga f ( x)  B 
1
,
2
bila 0  x  a   2

Dalam hal ini  dapat dipilih bilangan terkecil dari antara 1
dan  2 , oleh karena itu :
 f ( x)  g ( x)  ( A  B)
=
 f ( x)  A   g ( x)  B 
f ( x )  A  g ( x)  B
1
1
 + 

2
2
  , bila 0  x  a  

dengan demikian teorema terbukti.
Contoh-contoh :
C-1: lim 2 x  3  lim 2 x  lim 3  2 lim x  lim 3  2.5  3  13
x5
x5
x5
x5
x5
C-2 :
x
x2
C-3:
lim ( x  3)( x  3)
lim
x2  9


( x  3)  6
x  3 x3 x  3
x3
x3
lim
2

 3x  5  4  6  5  3
lim
Limit dan Kontinuitas:33
( x  3)( x 2  3x  9)
C-4 :
=
x3
x3
( x  3)( x  3)
lim x 2  3x  9
27 9

=
=
x3
6
2
x3
lim
C-5:
lim
4  x2
lim
x  2 3  x2  5
=
4  x2
lim
3  x2  5
x  2 3  x2  5 3  x2  5
lim (4  x 2 )(3  x 2  5
=
x2
9  ( x 2  5)
=
(4  x 2 )(3  x 2  5)
x2
(4  x 2 )
lim
9 = 3+3 = 6
= 3+
C-6 : Hitung :
.
3  x  x 1
x(2  x)
lim
x2
Penyelesaian:
lim
x2
3  x  x 1 =
x
x(2  x)
lim
2
3  x  x 1 . 3  x 
x(2  x)
3 x 
x 1
x 1
4  2x
x  2 x(2  x)( 3  x  x  1)
lim
2
=
x  2 x ( 3  x  x  1)
lim
=
=
2
1

2(1  1) 2
C-7 : Diketahui f(x) = x 2  3 x  1 .
Tentukanlah
Kalkulus-1:34
f ( x  h)  f ( x )
h
h0
lim
Jawab:
lim f ( x  h)  f ( x) lim
=
h0
h0
h
{( x  h) 2  3( x  h)  1}  ( x 2  3x  1)
h
x 2  2 xh  h 2  3x  3h  1  x 2  3x  1
h0
h
2
lim 2 xh  h  3h
lim
=
=
(2x+h+3) = 2x+3
h0
h0
h
=
lim
C-8 : Diketahui f(x) =
Tentukanlah
2x  1 ; x 
1
2
;
f ( x  h)  f ( x )
h0
h
lim
Jawab:
2( x  h )  1  2 x  1
h
lim
f ( xh)  f ( x)
=
h0
h0
h
lim
=
=
=
=
lim
h0
2( x  h )  1  2 x  1
.
h
2( x  h)  1  2 x  1
2( x  h)  1  2 x  1
2( x  h)  1  (2 x  1)
h  0 h{ 2( x  h)  1  2 x  1
lim
lim
h0
2
2( x  h)  1  2 x  1
2
=
2x 1  2x 1
1
2x  1
Limit dan Kontinuitas:35
C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
Sampai saat ini pembicaraan kita tentang limit belum
memperhatikan bagaimana cara x mendekati a sehingga f(x)
mempunyai nilai limit di a. Boleh jadi suatu fungsi mempunyai
nilai limit yang berbeda manakala cara pendekatannya berbeda.
Oleh karena itu kita kenal : limit kiri ( x a  ) dan limit kanan
(x a  ).
Limit kiri :
lim f ( x)
x  a
 L    0   0 
. x a    x  a  f ( x)  L  
Limit kanan :
lim f ( x)
 L    0   0 
. x a  x  a     f ( x)  L  
x  a
 x untuk x  2
 x  1 untuk x  2
Contoh : Diketahui f(x) = 
lim f ( x )
Hitung a.
x2

dan
b.
lim f ( x )
x  2
Jawab:
lim f ( x )
lim 2
2
x2
x  2
lim f ( x ) lim x  1
3
b.
=
x  2
x  2
a.

=
Ternyata limit kiri  limit kanan. Di katakan bahwa f(x) tidak
mempunyai limit untuk x2.
Kalkulus-1:36
f ( x)  x  1
3
2
f ( x)  x
2
0
Teorema
Fungsi f (x ) di katakan mempunyai limit L untuk x  a
bila dan hanya bila limit kiri = limit kanan, atau
lim f ( x)
xa
L
Contoh-contoh :
C-1 :
Diketahui f(x) =
lim f ( x)
xa


x  a
L
x3
( x  2)( x  1)
Tentukanlah:
a. lim f(x)
b, lim f(x)

x - 2
x - 2 
Penyelesaian :
a. lim
lim f ( x)
c. lim f(x)
x 1
d. lim f(x)
x 1
x3
= - 
( x  2)( x  1)
x - 2 
b. lim
x3
= +
( x  2)( x  1)
x - 2 
Limit dan Kontinuitas:37
x3
( x  2)( x  1)
c. lim
= +
x 1
d. lim
x3
= - 
( x  2)( x  1)
x 1
1
C-2 :
Hitung limit 5 x bila a. x 0  dan b. x 0 
Jawab :
a. lim 5
1
x
= +  , sebab untuk x 0  maka
1

x
x 0 
b. lim 5
1
x
= 0, sebab untuk x 0  maka
1
 -
x
x 0 
x2
untuk x  1
x 1
lim
x2
Jawab : a. Limit kiri :
= -
x  1 x  1
lim
x2
b.Limit kanan :
= +
x  1 x  1
C-3 : Selidiki (ada atau tidak) lim
x2
Karena limit kiri  limit kanan, maka lim
untuk x 1
x 1
tidak ada
 x 2 untuk
C-4 : Diketahui f(x) = 
 x  2 untuk
Selidiki limit f(x) untuk x  2
Jawab :
Kalkulus-1:38
x2
x2
a. Limit kiri :
lim

x2
lim
b. Limit kanan :
f(x) =
x  2
lim

x2
lim
f(x) =
x 2 = 22 = 4
x  2
(x – 2) = 2-2 = 0
Karena limit kiri  limit kanan, maka lim f(x) untuk x2
tidak ada.
D. LIMIT FUNGSI UNTUK x  + 
Definisi :
dan x  - 
Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati harga
tak terhingga positif, ditulis :
lim f ( x)
x  
 L jika untuk setiap
bilangan  yang di berikan, dapat ditemukan bilangan  sedemikian
hingga untuk x >  berlaku | f(x) – L | < 
lim f ( x)
x
 L    0  0
. x  x     f ( x)  L   
L
f (x)

lim f ( x)
x  
x
 L    0   0 
. x  x     f ( x)  L   
Contoh-contoh :
Limit dan Kontinuitas:39
C-1 : Buktikan :
lim
1
(1  ) = 1
x
x
Bukti : Diberikan sembarang  >0. Yang harus di buktikan
adalah kita harus dapat menemukan  > 0 sedemikian
hingga untuk x cukup besar ( x > ) berlaku :
1
| (1  )  1 | < 
x
1
1
1
Caranya : | (1  )  1 | = | | <
( karena x >  ),
x
x

1
1
dengan memilih harga  =
maka | (1  )  1 | <  ,

x
terbukti.
3
lim 5 x  3
lim
x
C-2 :
=
1
x   2x  1 x  
2
x
2

lim
lim
2x2  3
x
C-3 :
=
x   5 x3  2
x  5
5
C-4 :
lim
3x3  2 x
=
2
x   x  4x
x
lim
=
50 5

20 2
3
x3 = 0  0  0
2
50
x3
2
3 2
x = 3 
1 4
0
 2
x x
3
3 2 2
lim
3x  2 x 2  3
x = 3 2
C-5:
=
x
x
3
2
2x  2
lim
2
Kalkulus-1:40
x
C-6:
lim
x
( x  x 2  3x  7 )
=
=
lim
x
lim
2
( x  x 2  3 x  7 ) . ( x  x  3 x  7)
( x  x 2  3 x  7)
x 2  ( x 2  3 x  7)
x   x  x 2  3x  7
lim
3x  7
=
x   x  x 2  3x  7
7
lim
x
=
x
3 7
1 1  2
x x
3
3
=

1 1 2
3
Limit dan Kontinuitas:41