BAB 3 MODEL ELEMEN HINGGA

Bab 3 Model Elemen Hingga
BAB 3
MODEL ELEMEN HINGGA
Pemodelan numerik tumbukan tabung bujursangkar dilakukan dengan
menggunakan LS-Dyna. Perangkat lunak ini biasa digunakan untuk mensimulasikan
peristiwa-peristiwa struktur yang berhubungan dengan masalah dinamik seperti
tumbukan. Tipe LS-Dyna yang dipakai dalam pemodelan ini adalah LS-Dyna single
precision(multiplecpu970_s_676). Referensi yang digunakan pada pembahasan bab
ini adalah [8], [9], [10], [14], [15], [16], [17] dan [18].
3.1
Metode Elemen Hingga
Metode elemen hingga merupakan salah satu metode komputasi yang banyak
digunakan untuk analisis strukur. Pada metode ini, prosedur perhitungan dilakukan
dengan membagi suatu struktur kontinu menjadi elemen-elemen kecil. Elemenelemen ini saling berhubungan pada titik nodal membentuk suatu rangkaian yang
secara keseluruhan merupakan model yang kontinu semula. Kesetimbangan gaya
antara elemen tersebut diwakili dengan kesetimbangan gaya antara nodal yang saling
berhubungan.
Pendekatan klasik dalam menganalisis suatu benda solid adalah mencari
fungsi tegangan dan perpindahan yang memenuhi persamaan differensial
kesetimbangan, hubungan tegangan-regangan, dan kesesuaian kondisi di setiap titik
pada bidang kontinu, termasuk di daerah batas. Penyelesaiannya menghasilkan
seluruh perpindahan titik nodal, yang nantinya dipakai untuk menentukan semua
tegangan dalam. Tujuan utama dari analisis metode elemen hingga adalah
menghitungkan secara akurat tegangan dan perpindahan pada suatu struktur.
Metode elemen hingga pertama kali diterapkan pada masalah tegangan
bidang dengan menggunakan elemen segitiga dan segiempat. Ruang lingkup
penerapannya juga telah diperluas pada masalah lain seperti stabilitas dan vibrasi.
Metode elemen hingga pada analisis stress pada umumnya menggunakan
asumsi elastis linier dengan defleksi yang kecil [17]. Metode tersebut tidak
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
25
Bab 3 Model Elemen Hingga
memberikan hasil yang bagus untuk struktur elastis non linier yang mengalami
deformasi yang besar. Masalah pada analisis nonlinier berbeda dari masalah linier,
seperti :
-
Prinsip superposisi tidak dapat digunakan
-
Beban pada umumnya fungsi dari waktu, oleh karena itu beban tertentu hanya
dapat digunakan pada saat tertentu
-
Sejarah pembebanan merupakan parameter penting
-
Respon dari struktur bisa tidak proporsional dengan beban yang diberikan
-
Tegangan awal dapat berperan penting dalam analisis
3.2
Geometri Pemodelan
Dalam kasus tumbukan aksial ini, ada tiga buah part yang didefinisikan, yaitu
penumbuk (impactor), tabung (tube) dan penyangga (support).
Satuan yang digunakan dalam pemodelan LS-Dyna diperlihatkan pada tabel
3.1.
Tabel 3.1 Satuan yang digunakan pada LS-Dyna
Parameter
Panjang
Massa
Waktu
ρ (Massa Jenis)
F (Gaya)
E (Young’s Modulus)
σ (Tegangan)
Energi
V (Kecepatan)
3.2.1
Satuan
mm
kg
ms
Kg/mm3
kN
GPa
GPa
Joule
mm/ms
Penumbuk (Impactor)
Penumbuk yang dimodelkan berbentuk balok solid. Seperti yang telah
dijelaskan pada BAB 1 penumbuk dimodelkan menjadi model seperempatnya.
Jejaring pada LS-Dyna menggunakan bantuan Mesh On Plate / Solid dengan memilih
8 Line Solid. Total elemen pada penumbuk sebanyak 144 elemen. Elemen yang
digunakan pada penumbuk ini berupa elemen brick 8 nodal. Diasumsikan penumbuk
jauh lebih kaku daripada tabung, oleh karena itu dimodelkan sebagai benda rigid.
Ukuran penumbuk model penuh dibuat dengan lebar 120 mm dan ketebalan
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
26
Bab 3 Model Elemen Hingga
35 mm, sehingga model seperempatnya mempunyai lebar 60 mm (gambar 3.1).
Massa model penuh penumbuk yang digunakan pada kaji parametrik adalah 45 kg.
Gambar 3.1 Pemodelan penumbuk
3.2.2 Tabung (Tube)
Semua struktur tabung bujursangkar dengan tinggi 150 cm dimodelkan
dengan menggunakan elemen shell Belytschko-Tsay empat buah nodal, ukuran satu
elemen adalah 2 x 2 mm. (penentuan ukuran elemen ini ada di bagian 3.8 Uji
Konvergensi).
Gambar 3.2 Pemodelan tabung bujursangkar
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
27
Bab 3 Model Elemen Hingga
Ada dua cara untuk membuat trigger pada tabung bujursangkar ini yaitu
dengan cara memberi deformasi awal atau dengan mengambil sedikit material pada
daerah tertentu [7]. Pada gambar 3.3 diperlihatkan beberapa cara untuk membuat
trigger pada tabung bujursangkar serta perilaku deformasinya. Pada pemodelan ini
trigger yang digunakan adalah trigger dengan cara memberi deformasi awal, berupa
kurva setengah gelombang sinus pada dua sisi yang bersebrangan di bagian atas
tabung, seperti yang diperlihatkan pada gambar 3.4. Metode ini sama dengan metode
yang digunakan oleh Anh [18]. Tinggi maksimum kurva gelombang sinus ini adalah
0.05 mm.
bead initiator
diamond notch
smaller thickness
bead initiator
circular notch
spheres
circular holes
diamond notch
spheres
plastic fold
oval hole
plastic fold
smaller thickness circular notch
circular holes
oval hole
Gambar 3.3 Jenis-jenis trigger pada tabung bujursangkar [7]
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
28
Bab 3 Model Elemen Hingga
b
2H
t
0.05
mm
Gambar 3.4 Trigger setengah gelombang sinus yang digunakan
3.2.3
Penyangga (Support)
Penyangga dimodelkan juga oleh solid yang dibuat dengan 8 kurva. Seperti
yang telah dijelaskan pada BAB 1 support dimodelkan menjadi model
seperempatnya. Total elemen pada penyangga sebanyak 108 elemen. Elemen yang
digunakan pada penyangga ini berupa elemen brick 8 nodal. Diasumsikan support
jauh lebih kaku daripada tabung, oleh karena itu dimodelkan sebagai benda rigid.
Ukuran penumbuk model penuh dibuat dengan lebar 120 mm dan ketebalan 3 mm,
sehingga model seperempatnya mempunyai lebar 60 mm.
Gambar 3.5 Pemodelan Support
3.3
Data Material
Ada dua jenis material yang digunakan dalam pemodelan ini, yaitu material
untuk tabung bujursangkar serta material yang sama untuk penumbuk dan
penyangga.
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
29
Bab 3 Model Elemen Hingga
3.3.1
Material Tabung
Material yang digunakan adalah Mild steel RSt37, dengan properti sebagai
berikut,
Tabel 3.2 Sifat Mekanik Material Mild Steel RSt37
Properti
Harga
E
200 Gpa
ν
0.3
σys
0.251 Gpa
ρ
7.83E-06 Kg/mm3
Pada LS-Dyna, material yang digunakan yaitu material Piecewise Linear
Plasticity, digunakannya material jenis ini karena dapat memodelkan material
elastoplastik, mengikutsertakan strain rate effect, input yang dapat diberikan cukup
lengkap dan tidak terlalu sulit untuk diperoleh, kekurangannya hanyalah mampu
memodelkan material isotropik saja[10,14].
Harga tegangan dan regangan material yang berasal dari uji tarik merupakan
harga nominal stress dan nominal strain[14]. Pada LS-Dyna pendefinisian data
plastisitas harus menggunakan true stress dan true strain. Hal ini dikarenakan LSDyna membutuhkan harga true stress dan true strain ini untuk menginterprestasikan
data input secara tepat. Oleh sebab itu harga nominal stress dan nominal strain yang
didapatkan harus dikonversi menjadi true stress dan true strain.
¾
True strain
Hubungan antara true strain dan nominal strain dapat dinyatakan sebagai
berikut :
ε nom =
l − l0
l l
l
= − 0 = −1
l0
l0 l0 l0
(3-1)
Dengan memberi ln pada kedua sisi persamaan maka kita akan mendapatkan
hubungan antara true strain dan nominal strain yaitu :
ε = ln(1 + ε nom )
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
(3-2)
30
Bab 3 Model Elemen Hingga
¾
True stress
Hubungan antara true stress dan nominal stress dapat dibentuk dengan
mempertimbangkan sifat alamiah incompresible dari deformasi plastis dan
mengasumsikan bahwa deformasi elastis volumetrik diabaikan, sehingga :
l 0 A0 = lA
A=
Ù
l 0 A0
l
(3-3)
Persamaan true stress adalah
σ=
F
A
(3-4)
Dengan mensubstitusi A ke definisi true stress sehingga :
σ=
⎛l
F
F l
=
= σ nom ⎜⎜
A A0 l 0
⎝ l0
⎞
l
⎟⎟ ,dimana = 1 + ε nom
l0
⎠
(3-5)
Sehingga hubungan antara true stress dan true strain menjadi
σ = σ nom (1 + ε nom )
(3-6)
Data true strain yang diperoleh dari hasil uji tarik untuk mendefinisikan sifat
plastis dari material bukan merupakan data regangan plastis murni. Data tersebut
merupakan total regangan yang terjadi pada material. Harga total regangan
merupakan penjumlahan komponen regangan elastis dengan regangan plastis. Harga
regangan plastis didapat dengan mengurangi total regangan dengan harga regangan
elastis. Persamaan yang digunakan adalah
ε
pl
= ε
t
−ε
el
= ε
t
−
εt
: true total strain
ε el
: true elastic strain
σ
: true stress
E
: Modulus Young
σ
E
ε pl : true plastic strain
(3-7)
Data plastisitas dan data strain rate untuk material Mild Steel RSt37 diperlihatkan
pada tabel 3.3 dan 3.4 [18].
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
31
Bab 3 Model Elemen Hingga
Tabel 3.3 Sifat Plastisitas Material Mild Steel RSt37
Effective Plastic Strain
0
0.0196
0.0392
0.058
0.0768
0.0955
0.1135
0.1315
True stress
0.251
0.270
0.309
0.339
0.358
0.375
0.386
0.398
Tabel 3.4 Data Strain Rate Material Mild Steel RSt37
Strain Rate Parameter
D
6844
q
3.91
3.3.2
Material Penumbuk dan Penyangga
Material impaktor dan support dimodelkan dengan Material Rigid, dengan
properti yang digunakan sebagai berikut:
Tabel 3.5 Sifat Mekanik Material Penumbuk dan Penyangga
Properti
Harga
E
200 Gpa
ν
0.3 Gpa
ρ
8.83E-05 Kg/mm3
3.4
Kondisi Pembebanan dan Kondisi Batas
Pembebanan berupa tumbukan dari penumbuk yang diberi kecepatan awal
sebesar 9.5 m/s dalam arah aksial / sumbu Z. Kondisi simetri pada penumbuk
(gambar 3.6), tabung bujursangkar dan support mempunyai kondisi batas sebagai
berikut:
Tabel 3.6 Kondisi batas simetri
Jenis Simetri
Translasi
Rotasi
X Y Z X Y Z
Simetri pada bidang YoZ
1
0
0
0
1
1
Simetri pada bidang XoZ
0
1
0
1
0
1
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
32
Bab 3 Model Elemen Hingga
Kondisi 1 artinya di fixed sedangkan kondisi 0 artinya di free . Sedangkan bagian
bawah tabung dijepit ( di fixed pada semua arah translasi dan rotasi).
Gambar 3.6 Pemberian kondisi batas pada tabung
3.5
Kondisi Kontak
Ada dua tipe kontak LS-Dyna yang dipergunakan dalam pemodelan ini yaitu
automatic node to surface dan automatic single surface. Jenis kontak automatic to
surface digunakan pada kontak antara penumbuk dengan tabung dan antara tabung
dengan penyangga. Berdasarkan keterangan LS-Dyna kontak tipe ini cocok untuk
kontak sisi element shell pada suatu permukaan atau kontak elemen beam pada suatu
permukaan. Kontak ini cocok digunakan pada kontak yang melibatkan benda rigid.
Jenis kontak automatic single surface digunakan pada dinding-dinding
tabung. Jenis kontak ini dapat mencegah penetrasi antar lipatan selama tabung
mengalami progressive buckling [18]. Berdasarkan keterangan LS-Dyna kontak tipe
ini cocok untuk aplikasi pada crashworthiness.
3.6
Time Step
Proses tumbukan yang terjadi akan menghasilkan stresswave. Parameter yang
berhubungan dengan stresswave ini adalah time step. Ukuran time step bergantung
kepada besarnya kecepatan perambatan gelombang.
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
33
Bab 3 Model Elemen Hingga
Untuk kasus satu dimensi:
c=
E
c=
E
ρ (1 − ν 2 )
ρ
(3-8)
Untuk kasus dua dimensi:
(3-9)
Untuk kasus tiga dimensi:
c=
E (1 − ν )
ρ (1 + ν )(1 − 2ν )
(3-10)
LS-Dyna menganalisis semua elemen ketika memperhitungkan time step ynag
dibutuhkan. Time step dapat dihitung secara kasar dengan rumus:
Δt = 0.9
l
(solid, shell, beam)
c
(3-11)
l adalah ukuran dimensi terkecil elemen.
LS-Dyna secara default memberikan TSSFAC (Faktor time step) sebesar 0.9, harga
ini bisa berubah-ubah dengan sendirinya, karena LS-Dyna akan menganalisis seluruh
elemen dengan materialnya masing-masing. Semakin kecil time increment maka
seharusnya proses analisis akan lebih baik, namun waktu running yang dibutuhkan
semakin lama.
3.7
Hourglass
Salah satu kekurangan dari metode one point integration adalah
diperlukannya kontrol terhadap modus energi nol, yang disebut dengan modus
hourglass [17] (gambar 3.7). Parameter hourglass digunakan untuk mencegah
timbulnya modus deformasi modus energi nol. Parameter ini berguna untuk
stabilisasi metode analisis. Harga koefisien Hourglass (QH) yang diambil adalah 0.1.
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
34
Bab 3 Model Elemen Hingga
Gambar 3.7 Mesh yang normal (kiri) dan Hourglasssing (kanan) [23]
3.8
Termination Time
Parameter termination time digunakan untuk menentukan waktu akhir
analisis. Harga parameter yang diisikan adalah ENDTIME, yang ditentukan
berdasarkan perkiraan lama waktu progressive buckling yang terjadi. Pada
pemodelan ini harga ENDTIME berkisar antara 20-30 ms.
3.9
Penentuan Prediksi Pm Numerik
Ls-Dyna memberikan output hasil analisis berupa data-data kecepatan,
percepatan, perpindahan, gaya reaksi, energi kinetik, stress, strain dan lain-lain.
Perlu dicatat bahwa gaya yang diperoleh disini adalah gaya untuk seperempat model,
jadi besar gayanya seperempat dari model penuhnya.
Untuk mendapatkan prediksi Pm digunakan output perpindahan dan gaya
reaksi. Berdasarkan output tersebut dibuat grafik gaya terhadap perpindahan
(instantaneous force/respon gaya spontan tabung) yang dapat dilihat pada gambar
4.1(a), dengan menggunakan perangkat lunak Ms-Excel. Untuk menentukan prediksi
Pm numerik terlebih dahulu dibuat grafik gaya rata-rata berdasarkan persamaan:
Pm =
(3-
1
P(δ ) dδ
δ∫
11)
Kemudian prediksi Pm secara numerik ditentukan berdasarkan ujung grafik gaya
rata-rata yang diperlihatkan grafik 4.1(b).
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
35
Bab 3 Model Elemen Hingga
12
Gaya (kN)
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Perpindahan (mm)
(a)
12
Gaya (kN)
10
Pm
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Perpindahan (mm)
(b)
Grafik 3.1 Grafik respon gaya spontan tabung (a) dan grafik mean cruhing force(Pm)
3.10
Uji Konvergensi
Uji konvergensi dilakukan untuk menentukan ukuran elemen optimal yang
dapat digunakan dalam pemodelan tabung. Optimal disini maksudnya adalah hasil
yang didapatkan akurat tanpa memberikan waktu komputasi yang lama karena
jumlah elemen terlalu banyak. Model yang digunakan adalah tabung bujursangkar
dengan panjang 200 mm, lebar 40 mm dan tebal 1.2 mm. Ukuran elemen yang
digunakan dalam uji konvergensi ini adalah 5x5 (mm), 4x4 (mm), 3x3 (mm), 2x2
(mm) dan 1x1 (mm). Semakin kecil ukuran elemen semakin lama waktu komputasi
yang dibutuhkan.
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
36
Bab 3 Model Elemen Hingga
Gaya (kN)
Respon gaya spontan tabung (Instantenous Force)
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 mm
2 mm
3 mm
4 mm
5 mm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140
Perpindahan (mm)
Respon gaya hancur rata-rata (Pm)
14
1 mm
12
2 mm
3 mm
Gaya (kN)
10
4 mm
8
5 mm
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140
Perpindahan (mm)
Grafik 3.2 Efek ukuran elemen pada respon gaya tabung
Tabel 3.7 Tabel uji konvergensi
Ukuran elemen
5 x 5 (mm)
4 x 4 (mm)
3 x 3 (mm)
2 x 2 (mm)
1 x 1 (mm)
Pm
4,673353162
4,353190518
4,182090138
3,975258409
3,904726036
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
37
Bab 3 Model Elemen Hingga
10
9
8
Pm (kN)
7
6
5
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
Ukuran elemen (mm)
Grafik 3.3 Kurva uji konvergensi
Dari uji konvergensi (tabel 3.7, grafik 3.2 dan grafik 3.3) tersebut didapatkan
bahwa Pm ukuran elemen 2x2 (mm) dan 1x1 (mm) tidak mempunyai perbedaan
yang signifikan (hanya 1,77 %) serta respon gaya reaksi yang tidak berbeda.
Sehingga ukuran elemen 2x2 (mm) dapat digunakan untuk mempercepat waktu
komputasi dengan hasil yang akurat.
KAJI PARAMETRIK
KASUS TUMBUKAN KECEPATAN RENDAH
PADA TABUNG BERPENAMPANG BUJURSANGKAR
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
38