Fungsi

Fungsi
Penerapan fungsi dalam bidang pertanian merupakan bagian
yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model
dalam matematika biasa disajikan dalam bentuk fungsi.
Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal antara dua
himpunan data. Jika himpunan data = variabel. Maka fungsi dapat dikatakan
sebagai hubungan antara dua variabel. Fungsi dapat berbentuk persamaan ( = )
juga dapat berbentuk pertidaksamaan (≤ atau ≥ ).
Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi
Fungsi adalah suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yang mana unsur pembentuk nya
terdiri dari : variabel, koefisien dan konstanta. Kehadiran unsur konstanta dari
suatu fungsi persamaan maupun pertidaksamaan tidak harus.
Pengertian Variabel, Koefisien dan konstanta
Variabel: Unsur pembentuk fungsi yang mewakili faktor tertentu. Dilambangkan
dengan huruf latin kecil. Dalam suatu fungsi ada dua variabel yaitu variabel bebas
dan variabel tidak bebas.
Koefisien: adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan
suatu variabel dalam sebuah fungsi.
Konstanta: adalah bilangan atau angka yang kadang-kadang turut membentuk
sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada
suatu variabel tertentu.
Notasi sebuah fungsi secara umum
Contoh konkret
Atau karena y = f(x) bisa pula
: y = f(x)
: y = 5 + 3,6 x
: f(x) = 5 + 3,6 x
Jenis-Jenis Fungsi
Fungsi
F. Aljabar
F. Irrasional
F. Non Aljabar
F. Rasional
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadratik
F. Bikuadrat
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbola
F. Pangkat
F. Polinomial: y = a0 + a1 x +a2x2 + … + anxn.
fungsi yang mengandung banyak suku(polinom) dalam variabel bebasnya.
F. Linear: y = a0 + a1 x dimana a1≠0
Fungsi polinomial khusus yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya pangkat satu
F. Kuadratik :y = a0 + a1 x + a2x2 dimana a2≠0
Fungsi polinomial khusus yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya pangkat dua
F. Pangkat : y =xn . Dimana n bilangan bulat dan n bukan nol
Fungsi yang variabel bebasnya sebuah bilangan nyata bukan nol
F. eksponensial: y = nx dimana n > 0
Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol
Fungsi
Umum
Linear
Kuadrat
Kubik
Bentuk
Eksplisit
y= f(x)
y = a0 + a1 x
y = a0 + a1 x + a 2 x2
y = a0 + a1 x + a 2 x2 + a3x3
implisit
f(x,y) = 0
a0 + a1 x – y = 0
a0 + a1 x + a 2 x2- y = 0
a0 + a1 x + a 2 x2 + a3x3-y = 0
Penggambaran Fungsi Linear
Suatu fungsi dalam penggambarannya lewat grafik dgn sumbu silang
(koordinat). Caranya memindahkan koordinat titik-titik yang memenuhi
persamaannya. Dimana variabel bebas pada sumbu horizontal (absis)
dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat) kemudian
menghubungkan titik-titik menggunakan garis.
Ringkasannya:
1. Tentukan persamaan fungsi
2. Tentukan nilai variabel x dan y
3. Buat sumbu silang untuk variabel x dan y
4. Sebarkan titik-titik koordinat ke sumbu silang
5. Hubungkan titik-titik koordinat
y = 8 – 2x
X
0
1
2
3
4
Y
8
6
4
2
0
Penggambaran Fungsi Non Linier
Pada dasarnya penggambaran fungsi non linier adalah sama dengan
penggambaran fungsi linier namun karena bentuk persamaannya berbeda
sehingga saat menghubungkan titik-titik koordinat maka garis yang
terbentuk menjadi non linier (fungsi kuadrat parabola, fungsi kuadrat
parabolik, fungsi kubik
Ringkasannya:
1. Tentukan persamaan fungsi
2. Tentukan nilai variabel x dan y
3. Buat sumbu silang untuk variabel x dan y
4. Sebarkan titik-titik koordinat ke sumbu silang
5. Hubungkan titik-titik koordinat
1. Fungsi Kuadrat Parabolik
y = 8 – 4x+ x2
X
0
1
2
3
4
y
2. Fungsi Kuadrat Parabolik
x = 8 – 2y- y2
X
y
3. Fungsi Kubik
y = -2 + 4x2 – x3
0
X
y
5
-1
8
0
9
1
8
2
5
3
0
4
PENGGAL
Penggal/intercept atau garis yang memotong garis koordinat .
Penggal sebuah kurva adalah titik titik potong kurva tersebut
pada sumbu-sumbu koordinat.
Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y =
0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x
dapat diketahui. Penggal pada sumbu y dapat ditentukan
dengan cara memisalkan x = 0 sehingga nilai y dapat
dihitung.
Sebagai contoh: y = 16 – 8x
Penggal pada sumbu x : y=0 maka x = 2
Penggal pada sumbu y; x=0 maka y = 16
SIMETRIS
Dua buat titik dikatakan simeteris terhadap sebuah garis jika garis
tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus
terhadap segmen garis yang menghubungkannya.
Dua buah titik dikatakan simeteris terhadap titik ketiga jika
titik ketiga terletak persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi.
Dapat disimpulkan:
1. Titik (x,y) simeteris terhadap titik :
(x,-y), sehubungan dengan sumbu x.
(-x,y), sehubungan dengan sumbu y
(-x,-y) sehubungan dengan titik pangkal
2. Sebuah kurva simetris terhadap: sumbu horizontal x, sumbu
vertikal y atau titik pangkal
Sebuah kurva akan simetris terhadap sumbu x jika setiap titik
(x,y) pada kurva itu dititik simetris (x,-y) jg terdapat kurva
tersebut, yakni jika penggantian y oleh –y dalam persamaannya
menghasilkan persamaan yang ekivalen.
Sebuah kurva akan simetris terhadap sumbu y jika setiap
titik (x,y) pada kurva itu titik simetris (-x,y) jg terdapat
pada kurva tersebut, yakni penggantian x oleh –x dalam
persamaannya menghasilkan persamaaan yang ekivalen.
Sebuah kurva akan simetris terhadap titik pangkal jika setiap
titik (x,y) pada kurva itu titik simetris (-x,-y) juga terdapat pada
kurva tersebut yakni jika penggantian x oleh –x dan y oleh –y
dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.
Secara Ringkas bahwa kurva dari suatu persamaan f(x,y) = 0
adalah simeteris terhadap::
1. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0
2. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0
3. Titik pangkal jika f(x,y)= f(-x,-y) = 0
Sebuah kurva yang simetris terhadap kedua sumbu x dan
sumbu y, dengan sendiri akan simetris pula terhadap titik
pangkal. Akan tetapi simetris terhadap titik pangkal tidak
berarti dengan sendirinya simetris terhadap salah satu,
apalagi kedua sumbu.
Contoh:
1. Kurva dari persamaan x2 + y2 - 5 = 0
Adalah simeteris terhadap sumbu x, sumbu y dan titik pangkal, coba selidiki
Simetris terhadap sumbu x adalah:
f(x,-y) = x2 + (-y)2 - 5 = 0 = x2 + y2 - 5, ternyata f(x,-y) = 0 ekivalen dengan
f(x,y) = 0 berarti f(x,y) = 0 simeteris terhadap sumbu x. caranya f(x,y) = f(x,-y)= 0
Simetris terhadap sumbu y adalah:
f(-x,y) =(- x)2 +y2 - 5 = 0 = x2 + y2 - 5, ternyata f(-x, y) = 0 ekivalen dengan
f(x,y) = 0 berarti f(x,y) = 0 simeteris terhadap sumbu y.
Simeteris terhadap titik pangkal adalah :
f(-x,-y) =(- x)2 + (-y)2 - 5 = 0 = x2 + y2 - 5, ternyata f(-x, y) = 0 ekivalen
dengan f(x,y) = 0 berarti f(x,y) = 0 simeteris terhadap titik pangkal .
2. Kurva dari persamaan x4 + x2y + 3 y - 7 = 0
Adalah simeteris hanya terhadap sumbu y tetapi tidak simeteris terhadap
sumbu x dan titik pangkal coba selidikilah ?
3. Selidikilah kesimterisan kurva yang dicerminkan oleh persamaan 3
x2+ 4 x - 5 y= 0 terhadap sumbu x, sumbu y dan titik pangkal.
PERPANJANGAN
Dalam menggambarkan kurva dari suatu persamaan f(x,y)
=0 pada umumnya kita membatasi diri hanya sampai nilainilai x dan y tertentu. Kita tidak tahu sampai seberapa jauh
ujung-ujung kurva tersebut dapat diperpanjang., apakah
sampai nilai–nilai x atau y tak terhingga (±) ataukah
terbatas hanya sampai nilai-nilai x atau y tertentu.
Konsep perpanjangan berperan menjelaskan suatu kurva itu
dapat diperpanjang terus-menerus atau tidak ataukah
hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau nilai y
tertentu.
Pada prinsipnya titik-titik(x,y) yang dapat dimanfaatkan dalam
sumbu silang adalah bilangan yang nyata bukan bilangan
khayalan.
Jika sebuah persamaan mengandung variabel
berpangkat genap maka penyelesaiannya untuk variabel
yang bersangkutan akan melibatkan akar berpangkat
genap konsekuensinya perpanjangannya menjadi
terbatas karena bilangan negatif akan menghasilkan
bilangan khayalan.sehingga tidap dapat dimasukkan
dan tidak dimanfaatkan.
Contoh
Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan x 2- y2-25 = 0
Penyelesaian untuk x: x = ±  25 + y2
Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga x akan selalu berupa bilangan
nyata. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y tidak terbatas.
Penyelesaian untuk y: y = ±  x2- 25
Jika x< 5 atau x > -5 (ringkasnya: x I < 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan y akan menjadi bil khayal
atau maya (tidak nyata) berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5.
Kesimpulan kasus di atas
Jadi, dalam kasus contoh 1 ini tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk variable x (searah sumbu y),
tetapi terdapat batas perpanjangan untuk variable y (searah sumbu x)
Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan x 2 + y2-25 = 0
Penyelesaian untuk x: x = ±  25 + y2
Jika y> 5 atau y < -5 (ringkasnya: y I > 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan x akan menjadi bil khayal
atau maya (tidak nyata) sehingga tidak dapat ditempatkan pada system koordinat. Berarti perpanjangan kurva
searah sumbu y terbatas hanya sampai y = ± 5, dengan perkataan lain perpanjangan tersebut terbatas hanya
untuk interval -5≤ y ≤ 5.
Penyelesaian untuk y: y = ±  25- x2
Jika x< 5 atau x > -5 (ringkasnya: x I > 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan y akan menjadi bil khayal
atau maya (tidak nyata) berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya untuk interval -5≤ x ≤ 5.
Kesimpulan Kasus ke dua
Perhatikan bahwa dalam kasus contoh 2, ini keterbatasan perpanjangan pada variable x membatasi pula
perpanjangan pada variable y.
Latihan Fungsi
Tentukan penggal –x dan penggal –y dari persamaan-persamaan:
a. 5 x -10y -20 = 0
b. X2 -6x + y + 2 = 0
c. X2 + y2 -8x -6y -11= 0
d.X3- 4x2-3x –y + 18 = 0
Selidiki kesimetrian kurva dari persamaan-persamaan berikut terhadap sumbu -x,
sumbu -y dan titik pangkal:
a. 6x2+5x –y = 0
b. X3+8x2y+ 3y = 0
c. X4 + 5 y2-3 = 0
d. X3 – y2 = 0
Untuk persamaan-persamaan di bawah ini, selidikilah apakah terdapat balas
perpanjangan bagi kurva-kurvanya:
a. X2 + y2 =100
b. 0,5 x2 – 0,5 y2 = 147,92
c. 2 x – 5 = y2
d. X2 +y4-6 = 0
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini benar atau
salah dan betulkan jika salah:
1. Persamaan x2y =9 tidak mempunyai penggal –x dan penggal -9
2. Kurva dari persamaan x3 - 4y = 0 simetris terhadap titik pangkal
dan perpanjangannya tak terbatas
3. Kurva x2 (x2 -1) –y = 0 simetris terhadap titik pangkal
4. Kurva x3-4y = 0 simetris terhadap sumbu -y