Matematika Ekonomi - Telkom University

Telkom University
Ekstremum relatif dan absolut
Titik kritis
Uji turunan pertama
Uji turunan kedua
RELATIF
ABSOLUT
Jk suatu fungsi y=f(x)
didefinisikan pd interval (b,c) yg
memuat x=x0,
a. Fungsi f(x) dikatakan
mempunyai maksimum
relatif (lokal) pd x=x0 jk
f(x0)≥f(x) utk semua x dlm
interval (b,c)
b. Fungsi f(x) dikatakan
mempunyai minimum relatif
(lokal) pd x=x0 jk f(x0)≤f(x)
utk semua x dlm interval
(b,c)
Jk suatu fungsi y=f(x)
didefinisikan pd interval [b,c] yg
memuat x=x0,
a. Fungsi f(x) dikatakan
mempunyai maksimum
absolut (global) pd x=x0 jk
f(x0)>f(x) utk semua x dlm
interval [b,c]
b. Fungsi f(x) dikatakan
mempunyai minimum
absolut (global) pd x=x0 jk
f(x0)<f(x) utk semua x dlm
interval [b,c]
Jenis titik kritis
1.
Titik ujung selang tertutup
2.
Titik stasioner  f ’(x)=0
3.
Titik singular  f ’(x) tidak terdefinisi
Tentukan titik kritis dari
1. f(x)=2x2–4x+5 dimana 2≤x ≤8
2. f(x)=ln x
Langkah-langkah pengujian:
1. Cari nilai x=x0 yang memenuhi f ’(x)=0
2. Selidiki perubahan nilai di sekitar x0
a. Jk f ’(x) berubah dari positif (sebelah kanan x0)
menjadi negatif (sebelah kiri x0) mk x0 titik
maksimum relatif
b. Jk f ’(x) berubah dari negatif (sebelah kanan x0)
menjadi positif (sebelah kiri x0) mk x0 titik minimum
relatif
c. Jk f ’(x) mempunyai tanda yg sama (sebelah kanan
dan sebelah kiri x0) mk x0 bukan titik
maksimum/maksimum relatif
Tentukan nilai ekstrim relatif dari
f(x)=x3–12x2+36x+8
Langkah-langkah pengujian:
1. Cari nilai x=x0 yang memenuhi f ’(x)=0
2. Substitusikan nilai x0 ke dalam turunan
kedua:
a. Jk f ’’(x)<0 mk x0 titik maksimum relatif
b. Jk f ’’(x)>0 mk x0 titik minimum relatif
c. Jk f ’’(x)=0 mk tidak dapat disimpulkan apa-apa
Tentukan nilai ekstrim relatif dari
f(x)=-x2+12x+2
1.
Tentukan titik kritis dan nilai
maksimum/minimum absolut dari
a. f(x)=-x2+8x–100
b.
c.
d.
e.
dmn -2≤x ≤4
f(x)=x3+10
dmn 1≤x ≤5
f(x)=-4x2+6x
dmn 0≤x ≤10
f(x)=-2x3–15x2+10 dmn -6≤x ≤2
f(x)=x3/3–x2/2–6x dmn 0≤x ≤5
2.
Gunakanlah Uji Turunan Kedua utk
menyelidiki apakah fungsi berikut
mempunyai maksimum/minimum relatif
a. f(x)=x2–4x+3
b. f(x)=x3–6x2+9x+5
c. f(x)=x4–2x2 +6
d. f(x)=3x2–6x+10
e. f(x)=x4–4x3+4x2
Elastisitas permintaan dan penawaran
Analisis keuntungan maksimum
Pendekatan marjinal
Definisi: koefisien yg menjelaskan besarnya
perubahan jml brg yg diminta akibat adanya
perubahan harga
 Misalkan fungsi permintaan Qd=f(P) maka elastisitas
permintaannya:


ηd = Q’d.P/Qd
Jenis elastisitas permintaan:





|ηd|>1
|ηd|=1
|ηd|<1
|ηd|=∞
|ηd|=0
harga
permintaan di titik itu elastis thd harga
permintaan di titik itu uniter thd harga
permintaan di titik itu tdk elastis thd harga
permintaan di titik itu elastis sempurna thd harga
permintaan di titik itu tdk elastis sempurna thd
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=253P2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P=5!
Jawab
ηd = Q’d.P/Qd
= (-6P).P/(25-3P2)
= -6P2/(25-3P2)
Pada P=5 maka
ηd
= -6(5)2/(25-3(5)2)
=3
Karena |ηd|=3>1, maka permintaan pd P=5 elastik (jk harga naik/turun
sebesar 1% mk jml brg yg diminta akan berkurang/bertambah sebanyak 3%)
Definisi: koefisien yg menjelaskan besarnya
perubahan jml brg yg ditawarkan akibat adanya
perubahan harga
 Misalkan fungsi permintaan Qs=f(P) maka elastisitas
permintaannya:


ηs = Q’s.P/Qs
Jenis elastisitas permintaan:





|ηs|>1
|ηs|=1
|ηs|<1
|ηs|=∞
|ηs|=0
harga
penawaran di titik itu elastis thd harga
penawaran di titik itu uniter thd harga
penawaran di titik itu tdk elastis thd harga
penawaran di titik itu elastis sempurna thd harga
penawaran di titik itu tdk elastis sempurna thd
Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh
persamaan Qs=-200+7P2. Tentukan elastisitas
penawarannya pada tingkat harga P=10 dan P=15!
Jawab
ηs = Q’s.P/Qs
= (14P).P/(-200+7P2)
= 14P2/(-200+7P2)
Pada P=10 maka
Pada P=15 maka
ηs = 14(10)2/(-200+7(10)2) = 2,8
ηs = 14(15)2/(-200+7(15)2) = 2,3



Definisi: biaya tambahan yg dikeluarkan utk
menghasilkan satu unit tambahan produk
Fungsi biaya marjinal merupakan turunan
pertama dari fungsi biaya total
MC=TC’
Keterangan:
 MC
biaya marjinal
 TC
biaya total
Jk suatu perusahaan manufaktur ingin menghasilkan
suatu produk, dimana fungsi biaya totalnya
TC=0.1Q3–18Q2+1700Q+34000
a. Tentukan fungsi biaya marjinal!
b. Berapakah jml produk yg dihasilkan agar biaya
marjinal minimum?
c. Berapakah nilai biaya marjinal minimum tsb?



Definisi: penerimaan tambahan yg
dikeluarkan utk satu unit tambahan produk
yg terjual
Fungsi penerimaan marjinal merupakan
turunan pertama dari fungsi penerimaan total
MR=R’
Keterangan:
 MR
penerimaan marjinal
R
penerimaan total
Analisis keuntungan: π = R – C
π optimum jk
π’
(R – C)’
R’ – C’
MR – MC
=0
=0
=0
=0
Jk π’’<0 mk π maksimum (keuntungan maksimum)
Jk π’’>0 mk π minimum (kerugian maksimum)
Jk diketahui fungsi permintaan dr suatu perusahaan
P=557–0.2Q dan TC=0.05Q3–0.2Q2+17Q+7000, maka
a. Berapakah jml output yg hrs dijual spy produsen
memperoleh laba yg maksimum?
b. Berapakah laba maksimum tersebut?
c. Berapakah harga jual per unit?
d. Berapakah biaya total yg dikeluarkan oleh
perusahaan?
e. Berapakah penerimaan total yg diperoleh dr
perusahaan?