MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Determinan Riri Irawati, M.Kom Kesamaan Matriks Pengertian Determinan Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3 Sifat-sifat Determinan Contoh & Latihan Materi Tujuan Secara Umum Mahasiswa memahami pengertian dari kesamaan matriks dan determinan matriks. Secara Khusus Mahasiswa dapat menyelesaikan perhitungan kesamaan matriks dan menghitung nilai determinan berordo 2x2 dan 3x3 serta mengetahui sifat-sifat determinan. Kesamaan Matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika memenuhi dua kriteria berikut ini. 1. Ordonya sama 2. Komponen/elemen yang letaknya sama. Permasalahan yang muncul dalam kesamaan dua matriks ini adalah menyelesaikan bentuk aljabar. Baik aljabar sederhana, sistem persamaan linier, persamaan kuadrat dan sebagainya. Yang harus kita lakukan untuk menyelesaikan soal kesamaan dua matriks adalah menyamakan komponen-komponen yang seletak dan “mengeluarkannya” dari matriks. Setelah itu diselesaikan dengan perhitungan aljabar. Kesamaan Matriks Kesamaan dua matriks nantinya akan berhubungan dengan operasi matriks, dimana matriks yang kiri setelah dioperasikan menjadi sama dengan matriks yang kanan. a b p q a p, b q, c r , d s c d r s Contoh 1 Contoh 2 2 Jika 1 1 x y 4 1 1 y Berapa x.y? Contoh 3 Sebuah matriks P berordo 2x2 memenuhi persamaan seperti dibawah ini, tentukanlah matriks P! 7 Jika 4 1 5 3P 3 8 10 9 Pengertian Determinan Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A|. Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar. Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar 2x2, 3x3, 4x4 dst. Determinan Matriks Untuk menghitung determinan matriks berordo 2x2, 3x3, 4x4...mxn dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Sarrus dan Teorema Laplace. Menghitung Determinan Matriks Berordo 2x2 Dengan cara Metode Sarrus atau Dengan Teorema Laplace det A a b c d ad bc Determinan Matriks Ordo 2x2 Contoh : 2 1 A 4 6 Ingat ! Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 12 – 4 = 8 det A a b c d ad bc Contoh Soal ordo 2x2 5 12 4 B A 4 3 2 Det (A) = ? 2 1 4 Det (B) = ? 12 C 9 1 3 1 3 Det (C) = ? Menghitung Determinan Matriks ordo 3x3 a11 a12 a13 a11 a12 A a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 - - - + + Langkah-langkah : (dengan menggunakan metode sarrus) • Salin elemen kolom 1 dan kolom 2 ke sebelah kanan tanda garis vertikal dari determinan ordo tiga. • Jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan elemen yang sejajar diagonal utama dan dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen diagonal samping dan elemen yang sejajar dengan diagonal samping. + Determinan Matriks Ordo 3x3 a11 a12 Jika A a21 a22 a31 a32 Maka det(A) : a11 a13 a23 a33 - a12 a13 a11 a12 A a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 - - + + + Contoh Soal 1 Diketahui : A 2 3 2 3 5 3 4 7 Tentukan determinan dari matriks A! Contoh soal ordo 3x3 1 2 3 B 4 1 3 1 3 2 Det (B) = ? 4 1 2 2 D 3 2 1 5 4 1 Det (D) = ? SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1 det(At) = det(A) Contoh : 5 A 4 2 3 det(A) = 7 5 A 2 t 4 3 det(At) = 7 Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil menukarkan dua baris sebarang, maka dari det(B) = - det(A) matriks A dengan CONTOH 1 Diberikan matriks A 2 3 2 Jika B 1 3 1 2 1 2 1 1 3 3 2 maka det(A) = 6. 3 , maka det(B) = -det(A) = -6. 3 2 SIFAT 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k.det(A) Contoh: Diberikan matriks Jika 1 B 4 1 2 2 1 3 6 0 1 A 2 1 2 1 1 3 3 0 dgn det(A) = 6 det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12 SIFAT 4 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh: Matriks SIFAT 5 1 A 0 1 1 2 1 1 maka determinannya = nol. 3 1 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol. a11 A 0 a31 a12 0 a32 a13 0 a21 a31 0 0 a22 a32 0 a23 a33 a33 0 SIFAT 6 Jika matriks A dan B dapat dikalikan, maka det(AB) = det(A).det(B) Contoh 0 1 P 2 6 1 3 Q 2 4 TUGAS LATIHAN Dibuku tugas : No. 25 No.27 No.28 No.33 No. 34 Latihan PR - 1 1. Tentukanlah nilai x dan z yang memenuhi persamaan matriks berikut ini : 1 4 6 6 2 2 2 x 2 3 3 2 3 3 4 0 z 1 2. Tentukan besar sudut a dan b. 3. Tentukan nilai a a 3ab 4 2 2 a 2 a 2 4 b 4 0 b 4 6 Latihan PR - 2 Diketahui matriks-matriks dibawah ini, tentukan determinan matriksmatriks tersebut dengan menggunakan Metode Sarrus ! 2 1. 7 5 3 10 2. 2 0 4. 2 1 6 2 5. 1 4 3 4 3 0 2 5 4 6 6 3. 8 2 3 0 6.3 2 1 5 6 4 1 2 2