Diagonalisasi Matriks Persegi

Diagonalisasi Matriks Persegi
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
November 2015
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
1 / 46
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1, 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
5
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
2 / 46
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
3 / 46
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
4 / 46
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
Pangkat Sebuah Matriks Persegi
Salah satu dari penerapan diagonalisasi matriks adalah untuk menghitung pangkat
(yang cukup besar) dari sebuah matriks dan menentukan solusi dari permasalahan
logaritma matriks.
Permasalahan
Jika
2
tentukan A13 .
0
A=4 1
1
0
2
0
3
2
1 5,
3
Permasalahan
Jika
2
1
4 0
0
2
3
1 0 0
B = 4 0 1 1 5, carilah bilangan bulat n sehingga
0 1 1
3n 2
3
0 0
1
0
0
1 1 5 = 4 0 1024 1024 5.
1 1
0 1024 1024
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
5 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
6 / 46
Masalah Diagonalisasi
Masalah Diagonalisasi
Ingat kembali bahwa suatu matriks D dikatakan sebagai matriks diagonal apabila
D berbentuk
2
3
d11
O
6
7
d22
6
7
D=6
7.
.
..
4
5
O
dnn
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n, apakah terdapat matriks P
yang invertibel dan memenuhi sifat
P
1
AP = D
dengan D adalah sebuah matriks diagonal.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
7 / 46
Masalah Diagonalisasi
Permasalahan
Apakah terdapat matriks invertibel P sedemikian hingga P
1
1
suatu matriks diagonal D apabila A =
.
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
1
AP = D untuk
November 2015
8 / 46
Masalah Diagonalisasi
Permasalahan
Apakah terdapat matriks invertibel P sedemikian hingga P
1
1
suatu matriks diagonal D apabila A =
.
0
1
1
2
Pilih P =
1
P
1
1
0
AP =
MZI (FIF Tel-U)
1
, sehingga P
0
1
1
1
2
1
0
0
1
=
1
1
Diagonalisasi Matriks
1
1
AP = D untuk
, tinjau bahwa
1
2
1
2
1
1
0
=
November 2015
8 / 46
Masalah Diagonalisasi
Permasalahan
Apakah terdapat matriks invertibel P sedemikian hingga P
1
1
suatu matriks diagonal D apabila A =
.
0
1
1
2
Pilih P =
1
P
1
1
0
AP =
MZI (FIF Tel-U)
1
, sehingga P
0
1
1
1
2
1
0
0
1
=
1
1
Diagonalisasi Matriks
1
1
AP = D untuk
, tinjau bahwa
1
2
1
2
1
1
0
=
1
0
0
1
November 2015
8 / 46
Masalah Diagonalisasi
Permasalahan
Apakah terdapat matriks invertibel P sedemikian hingga P
1
1
suatu matriks diagonal D apabila A =
.
0
1
1
2
Pilih P =
1
P
1 0
0 1
1
1
0
AP =
1
, sehingga P
0
1
1
1
2
1
0
0
1
=
1
1
1
1
AP = D untuk
, tinjau bahwa
1
2
1
2
1
1
0
=
1
0
0
1
adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah nilai
eigen dari A (yaitu
MZI (FIF Tel-U)
1 dan 1).
Diagonalisasi Matriks
November 2015
8 / 46
Masalah Diagonalisasi
Permasalahan
Apakah terdapat matriks invertibel P sedemikian hingga P
1
1
suatu matriks diagonal D apabila A =
.
0
1
1
2
Pilih P =
1
P
1 0
0 1
1
1
0
AP =
1
, sehingga P
0
1
1
1
0
1
2
0
1
=
1
AP = D untuk
, tinjau bahwa
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
=
1
0
0
1
adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah nilai
eigen dari A (yaitu
1 dan 1). Anda juga bisa memeriksa bahwa
salah satu vektor basis bagi E
1
dan
1
0
1
2
1
adalah
adalah salah satu vektor basis bagi
E1 .
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
8 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa penempatan dari P maupun P
posisi dari P dan P 1 ditukar diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
1
berpengaruh, karena bila
November 2015
9 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa penempatan dari P maupun P
posisi dari P dan P 1 ditukar diperoleh
1
2
1
MZI (FIF Tel-U)
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
2
Diagonalisasi Matriks
1
berpengaruh, karena bila
=
November 2015
9 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa penempatan dari P maupun P
posisi dari P dan P 1 ditukar diperoleh
1
2
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
2
1
=
berpengaruh, karena bila
3
2
1
5
4
3
2
,
yang bukan matriks diagonal.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
9 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Terdiagonalkan
De…nisi
Sebuah matriks persegi A berorde n disebut terdiagonalkan (dapat didiagonalkan,
diagonalizable) apabila terdapat matriks invertibel P dan matriks diagonal D
sedemikian hingga
P 1 AP = D.
(1)
Ketika kondisi (1) terpenuhi, maka P dikatakan mendiagonalkan A (Inggris: P
diagonalize A).
Permasalahan
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
10 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Terdiagonalkan
De…nisi
Sebuah matriks persegi A berorde n disebut terdiagonalkan (dapat didiagonalkan,
diagonalizable) apabila terdapat matriks invertibel P dan matriks diagonal D
sedemikian hingga
P 1 AP = D.
(1)
Ketika kondisi (1) terpenuhi, maka P dikatakan mendiagonalkan A (Inggris: P
diagonalize A).
Permasalahan
Syarat apa yang diperlukan agar sebuah matriks persegi A terdiagonalkan?
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
10 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Terdiagonalkan
De…nisi
Sebuah matriks persegi A berorde n disebut terdiagonalkan (dapat didiagonalkan,
diagonalizable) apabila terdapat matriks invertibel P dan matriks diagonal D
sedemikian hingga
P 1 AP = D.
(1)
Ketika kondisi (1) terpenuhi, maka P dikatakan mendiagonalkan A (Inggris: P
diagonalize A).
Permasalahan
Syarat apa yang diperlukan agar sebuah matriks persegi A terdiagonalkan?
Teorema
Jika A adalah sembarang matriks persegi berorde n, maka kedua pernyataan
berikut ekivalen
1
A terdiagonalkan.
2
A memiliki himpunan n vektor eigen yang bebas linier.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
10 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D. Misalkan entri-entri
diagonal dari D adalah d1 ; d2 : : : ; dn . Ekspresi (2) juga dapat ditulis sebagai
AP = PD.
Misalkan P =
MZI (FIF Tel-U)
p1
p2
pn .
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D. Misalkan entri-entri
diagonal dari D adalah d1 ; d2 : : : ; dn . Ekspresi (2) juga dapat ditulis sebagai
AP = PD.
Misalkan P =
rank (P) =
MZI (FIF Tel-U)
p1
p2
pn . Mengingat P invertibel, maka
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D. Misalkan entri-entri
diagonal dari D adalah d1 ; d2 : : : ; dn . Ekspresi (2) juga dapat ditulis sebagai
AP = PD.
pn . Mengingat P invertibel, maka
Misalkan P = p1 p2
rank (P) = n. Ini artinya himpunan vektor-vektor kolom fp1 ; pn : : : ; pn g bebas
linier. Dari sifat perkalian matriks, kita memiliki
AP = A
MZI (FIF Tel-U)
p1
p2
pn
=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D. Misalkan entri-entri
diagonal dari D adalah d1 ; d2 : : : ; dn . Ekspresi (2) juga dapat ditulis sebagai
AP = PD.
pn . Mengingat P invertibel, maka
Misalkan P = p1 p2
rank (P) = n. Ini artinya himpunan vektor-vektor kolom fp1 ; pn : : : ; pn g bebas
linier. Dari sifat perkalian matriks, kita memiliki
AP = A
p1
p2
pn
=
Ap1
Ap2
Apn
.
Kemudian karena D adalah matriks diagonal kita memiliki
PD =
MZI (FIF Tel-U)
p1
p2
pn
D=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (1 ) 2)
Asumsikan A terdiagonalkan. Akan ditunjukkan bahwa A memiliki n vektor eigen
yang bebas linier. Dari asumsi A terdiagonalkan, kita dapat menulis
P
1
(2)
AP = D,
untuk suatu matriks invertibel P dan matriks diagonal D. Misalkan entri-entri
diagonal dari D adalah d1 ; d2 : : : ; dn . Ekspresi (2) juga dapat ditulis sebagai
AP = PD.
pn . Mengingat P invertibel, maka
Misalkan P = p1 p2
rank (P) = n. Ini artinya himpunan vektor-vektor kolom fp1 ; pn : : : ; pn g bebas
linier. Dari sifat perkalian matriks, kita memiliki
AP = A
p1
p2
pn
=
Ap1
Ap2
Apn
.
dn pn
.
Kemudian karena D adalah matriks diagonal kita memiliki
PD =
MZI (FIF Tel-U)
p1
p2
pn
D=
d1 p1
Diagonalisasi Matriks
d2 p2
November 2015
11 / 46
Masalah Diagonalisasi
Karena AP = PD kita memperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
12 / 46
Masalah Diagonalisasi
Karena AP = PD kita memperoleh
Ap1
Ap2
MZI (FIF Tel-U)
Apn
=
d1 p1
Diagonalisasi Matriks
d2 p2
dn pn
atau
November 2015
12 / 46
Masalah Diagonalisasi
Karena AP = PD kita memperoleh
Ap1
Ap2
Apn
Api
MZI (FIF Tel-U)
=
d1 p1
d2 p2
= di pi untuk setiap 1
Diagonalisasi Matriks
dn pn
i
atau
n:
November 2015
12 / 46
Masalah Diagonalisasi
Karena AP = PD kita memperoleh
Ap1
Ap2
Apn
Api
=
d1 p1
d2 p2
= di pi untuk setiap 1
dn pn
i
atau
n:
Ini berarti pi (vektor kolom dari matriks P) adalah vektor eigen dari A, dan
entri-entri diagonal utama dari D adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan
vektor-vektor eigen untuk setiap vektor pi dengan 1 i n.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
12 / 46
Masalah Diagonalisasi
Karena AP = PD kita memperoleh
Ap1
Ap2
Apn
Api
=
d1 p1
d2 p2
= di pi untuk setiap 1
dn pn
i
atau
n:
Ini berarti pi (vektor kolom dari matriks P) adalah vektor eigen dari A, dan
entri-entri diagonal utama dari D adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan
vektor-vektor eigen untuk setiap vektor pi dengan 1 i n. Kemudian karena
fp1 ; pn : : : ; pn g bebas linier, maka A memiliki himpunan n vektor eigen yang
bebas linier.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
12 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (2 ) 1)
Asumsikan A memiliki himpunan n vektor eigen yang bebas linier.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
13 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (2 ) 1)
Asumsikan A memiliki himpunan n vektor eigen yang bebas linier. Akan
dibuktikan bahwa A terdiagonalkan. Dari asumsi A memiliki himpunan n vektor
eigen yang bebas linier, misalkan himpunan n vektor eigen yang bebas linier itu
adalah fv1 ; v2 ; : : : ; vn g. Masing-masing vi bersesuaian dengan nilai eigen i
untuk 1 i n. Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
13 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (2 ) 1)
Asumsikan A memiliki himpunan n vektor eigen yang bebas linier. Akan
dibuktikan bahwa A terdiagonalkan. Dari asumsi A memiliki himpunan n vektor
eigen yang bebas linier, misalkan himpunan n vektor eigen yang bebas linier itu
adalah fv1 ; v2 ; : : : ; vn g. Masing-masing vi bersesuaian dengan nilai eigen i
untuk 1 i n. Kita memiliki
Avi = vi untuk setiap 1
i
n.
Selanjutnya konstruksi matriks P yang vektor-vektor kolomnya adalah
v1 ; v2 ; : : : ; vn , yaitu
P=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
13 / 46
Masalah Diagonalisasi
Bukti (2 ) 1)
Asumsikan A memiliki himpunan n vektor eigen yang bebas linier. Akan
dibuktikan bahwa A terdiagonalkan. Dari asumsi A memiliki himpunan n vektor
eigen yang bebas linier, misalkan himpunan n vektor eigen yang bebas linier itu
adalah fv1 ; v2 ; : : : ; vn g. Masing-masing vi bersesuaian dengan nilai eigen i
untuk 1 i n. Kita memiliki
Avi = vi untuk setiap 1
i
n.
Selanjutnya konstruksi matriks P yang vektor-vektor kolomnya adalah
v1 ; v2 ; : : : ; vn , yaitu
vn .
P = v1 v2
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
13 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
v2
vn
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
=
v1
Av1
v2
Av2
vn
Avn
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v2
Av2
2 v2
vn
Avn
n vn
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
=
Av1
=
1 v1
=
=
MZI (FIF Tel-U)
v1
v1
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
Diagonalisasi Matriks
n vn
vn
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v1
=
= P
MZI (FIF Tel-U)
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
Diagonalisasi Matriks
n vn
vn
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v1
=
= P
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
n vn
vn
dengan adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah
1; 2; : : : ; n.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v1
=
= P
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
n vn
vn
dengan adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah
1 ; 2 ; : : : ; n . Jadi kita memperoleh AP = P . Karena fv1 ; v2 ; : : : vn g bebas
linier maka dim (col (P)) = rank (P) = n.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v1
=
= P
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
n vn
vn
dengan adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah
1 ; 2 ; : : : ; n . Jadi kita memperoleh AP = P . Karena fv1 ; v2 ; : : : vn g bebas
linier maka dim (col (P)) = rank (P) = n. Akibatnya P invertibel. Jadi kita
memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Perhatikan bahwa
AP
= A
v1
=
Av1
=
1 v1
v1
=
= P
v2
vn
Av2
Avn
2 v2
v2
n vn
vn
dengan adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya adalah
1 ; 2 ; : : : ; n . Jadi kita memperoleh AP = P . Karena fv1 ; v2 ; : : : vn g bebas
linier maka dim (col (P)) = rank (P) = n. Akibatnya P invertibel. Jadi kita
memiliki
P 1 AP = .
Dengan demikian A dapat didiagonalkan.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
14 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
2
3
1
1
1
1
1 5 tidak terdiagonalkan. Persamaan
Ada, matriks A = 4 0
0
0
1
3
karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) = 0. Sehingga diperoleh nilai eigen
1 dengan ma (1) = 3. Untuk mencari vektor-vektor eigen dari A akan ditinjau
E1 = ker (I A).
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
2
3
1
1
1
1
1 5 tidak terdiagonalkan. Persamaan
Ada, matriks A = 4 0
0
0
1
3
karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) = 0. Sehingga diperoleh nilai eigen
1 dengan ma (1) = 3. Untuk mencari vektor-vektor eigen dari A akan ditinjau
E1 = ker (I A). Tinjau bahwa
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5 ,
0 0 0
x3
0
sehingga diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
2
3
1
1
1
1
1 5 tidak terdiagonalkan. Persamaan
Ada, matriks A = 4 0
0
0
1
3
karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) = 0. Sehingga diperoleh nilai eigen
1 dengan ma (1) = 3. Untuk mencari vektor-vektor eigen dari A akan ditinjau
E1 = ker (I A). Tinjau bahwa
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5 ,
0 0 0
x3
0
sehingga diperoleh x2 = x3 = 0, x1 = t 2 R. Jadi jika
E1 = ker (I A) = span
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
2
3
1
1
1
1
1 5 tidak terdiagonalkan. Persamaan
Ada, matriks A = 4 0
0
0
1
3
karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) = 0. Sehingga diperoleh nilai eigen
1 dengan ma (1) = 3. Untuk mencari vektor-vektor eigen dari A akan ditinjau
E1 = ker (I A). Tinjau bahwa
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5 ,
0 0 0
x3
0
sehingga diperoleh x2 = x3 = 0, x1 = t 2 R. Jadi jika
E1 = ker (I A) = span f(1; 0; 0)g.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Matriks yang Tak Terdiagonalkan
Permasalahan
Apakah ada matriks yang tak terdiagonalkan?
2
3
1
1
1
1
1 5 tidak terdiagonalkan. Persamaan
Ada, matriks A = 4 0
0
0
1
3
karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) = 0. Sehingga diperoleh nilai eigen
1 dengan ma (1) = 3. Untuk mencari vektor-vektor eigen dari A akan ditinjau
E1 = ker (I A). Tinjau bahwa
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5 ,
0 0 0
x3
0
sehingga diperoleh x2 = x3 = 0, x1 = t 2 R. Jadi jika
E1 = ker (I A) = span f(1; 0; 0)g. Akibatnya semua vektor eigen dari A pasti
berbentuk (t; 0; 0) dengan t 6= 0, t 2 R. Jadi tidak mungkin A memiliki
himpunan 3 vektor yang bebas linier. Berdasarkan teorema sebelumnya, A tidak
terdiagonalkan.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
15 / 46
Masalah Diagonalisasi
Diagonalisasi – Multiplisitas Aljabar dan Geometri Nilai
Eigen
Pada ilustrasi sebelumnya kita melihat bahwa A tak terdiagonalkan dan memiliki
nilai eigen 1 dengan ma (1) = 3 dan mg (1) = 1. Secara umum, kita memiliki
teorema berikut.
Teorema
Matriks persegi A terdiagonalkan jika dan hanya jika mg ( ) = ma ( ) untuk
setiap nilai eigen dari matriks A.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
16 / 46
Masalah Diagonalisasi
Himpunan Vektor Eigen dari Nilai Eigen Berbeda
Teorema
Jika v1 ; v2 ; : : : ; vn adalah n vektor eigen yang masing-masing bersesuaian dengan
nilai eigen 1 ; 2 ; : : : ; n yang berbeda, maka fv1 ; v2 ; : : : ; vn g bebas linier.
Akibat
Jika A adalah matriks n
didiagonalkan.
n dengan n nilai eigen berbeda, maka A dapat
Bukti
Karena A adalah matriks n n dengan n nilai eigen berbeda, maka A memiliki
himpunan n vektor eigen yang bersifat bebas linier. Akibatnya A dapat
didiagonalkan.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
17 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
18 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Dari teorema yang telah dijelaskan kita dapat mengkonstruksi prosedur
diagonalisasi matriks sebagai berikut.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
19 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Dari teorema yang telah dijelaskan kita dapat mengkonstruksi prosedur
diagonalisasi matriks sebagai berikut.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n.
Langkah 1: Tentukan nilai eigen dari A. Selanjutnya carilah (jika ada) n
vektor eigen dari A yang bebas linier dan bersesuaian dengan suatu nilai
eigen tertentu. Vektor-vektor eigen tersebut dapat diperoleh dari basis-basis
bagi ruang eigen untuk A. Jika tidak ada n vektor dari A yang bebas linier,
maka A tidak dapat didiagonalkan.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
19 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Dari teorema yang telah dijelaskan kita dapat mengkonstruksi prosedur
diagonalisasi matriks sebagai berikut.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n.
Langkah 1: Tentukan nilai eigen dari A. Selanjutnya carilah (jika ada) n
vektor eigen dari A yang bebas linier dan bersesuaian dengan suatu nilai
eigen tertentu. Vektor-vektor eigen tersebut dapat diperoleh dari basis-basis
bagi ruang eigen untuk A. Jika tidak ada n vektor dari A yang bebas linier,
maka A tidak dapat didiagonalkan.
Langkah 2: Misalkan n vektor eigen yang diperoleh dari langkah 1 adalah
pn . Karena
p1 ; p2 ; : : : ; pn . Konstruksi matriks P = p1 p2
fp1 ; p2 ; : : : ; pn g bebas linier, maka P invertibel.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
19 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Dari teorema yang telah dijelaskan kita dapat mengkonstruksi prosedur
diagonalisasi matriks sebagai berikut.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n.
Langkah 1: Tentukan nilai eigen dari A. Selanjutnya carilah (jika ada) n
vektor eigen dari A yang bebas linier dan bersesuaian dengan suatu nilai
eigen tertentu. Vektor-vektor eigen tersebut dapat diperoleh dari basis-basis
bagi ruang eigen untuk A. Jika tidak ada n vektor dari A yang bebas linier,
maka A tidak dapat didiagonalkan.
Langkah 2: Misalkan n vektor eigen yang diperoleh dari langkah 1 adalah
pn . Karena
p1 ; p2 ; : : : ; pn . Konstruksi matriks P = p1 p2
fp1 ; p2 ; : : : ; pn g bebas linier, maka P invertibel.
Langkah 3: Tentukan matriks P 1 . Selanjutnya matriks P 1 AP adalah
matriks diagonal yang entri-entri diagonal utamanya adalah nilai-nilai eigen
1 ; 2 ; : : : ; n . Setiap vektor eigen pi bersesuaian dengan nilai eigen i
untuk setiap 1 i n. Biasanya matriks diagonal P 1 AP ditulis dengan
= diag ( 1 ; 2 ; : : : ; n ).
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
19 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
0
1
1
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
0
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
0
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0. Jadi diperoleh nilai eigen 1 = 1 dan 2 = 1.
Pertama kita akan menentukan basis bagi E 1 = ker ( I A). Tinjau SPL
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
0
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0. Jadi diperoleh nilai eigen 1 = 1 dan 2 = 1.
Pertama kita akan menentukan basis bagi E 1 = ker ( I A). Tinjau SPL
2
0
1
0
x1
x2
=
diperoleh 2x1 + x2 = 0, jadi jika x2 = s maka x1 =
E 1 = span
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
0
0
,
1
2 s.
Akibatnya
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
0
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0. Jadi diperoleh nilai eigen 1 = 1 dan 2 = 1.
Pertama kita akan menentukan basis bagi E 1 = ker ( I A). Tinjau SPL
2
0
1
0
x1
x2
=
0
0
,
diperoleh 2x1 + x2 = 0, jadi jika x2 = s maka x1 = 12 s. Akibatnya
1
E 1 = span
2 ; 1 . Selanjutnya kita akan menentukan basis bagi
E1 = ker (I A). Tinjau SPL
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
1
0
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0. Jadi diperoleh nilai eigen 1 = 1 dan 2 = 1.
Pertama kita akan menentukan basis bagi E 1 = ker ( I A). Tinjau SPL
2
0
1
0
x1
x2
0
0
=
,
diperoleh 2x1 + x2 = 0, jadi jika x2 = s maka x1 = 12 s. Akibatnya
1
E 1 = span
2 ; 1 . Selanjutnya kita akan menentukan basis bagi
E1 = ker (I A). Tinjau SPL
0
0
1
2
x1
x2
=
0
0
,
diperoleh x2 = 0 dan x1 = t 2 R. Akibatnya E1 = span
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Latihan
Latihan
1
0
Lakukan diagonalisasi pada matriks A =
1
1
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakteristik
pA ( ) = (
1) ( + 1) = 0. Jadi diperoleh nilai eigen 1 = 1 dan 2 = 1.
Pertama kita akan menentukan basis bagi E 1 = ker ( I A). Tinjau SPL
2
0
1
0
x1
x2
0
0
=
,
diperoleh 2x1 + x2 = 0, jadi jika x2 = s maka x1 = 12 s. Akibatnya
1
E 1 = span
2 ; 1 . Selanjutnya kita akan menentukan basis bagi
E1 = ker (I A). Tinjau SPL
0
0
1
2
x1
x2
=
0
0
,
diperoleh x2 = 0 dan x1 = t 2 R. Akibatnya E1 = span f(1; 0)g.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
20 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
1
Perhatikan bahwa
2 ; 1 dan (1; 0) adalah dua vektor eigen dari A yang bebas
linier. Jadi kita dapat memilih
P=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
21 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
1
Perhatikan bahwa
2 ; 1 dan (1; 0) adalah dua vektor eigen dari A yang bebas
linier. Jadi kita dapat memilih
P=
Akibatnya P
1
1
2
1
1
0
.
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
21 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
1
Perhatikan bahwa
2 ; 1 dan (1; 0) adalah dua vektor eigen dari A yang bebas
linier. Jadi kita dapat memilih
1
2
P=
Akibatnya P
1
0
1
=
sebagai berikut
= P
1
1
2
1
1
1
0
.
. Oleh karena itu diperoleh matriks diagonal
AP =
0
1
1
1
2
1
0
1
1
1
2
1
1
0
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
21 / 46
Prosedur Diagonalisasi Matriks
1
Perhatikan bahwa
2 ; 1 dan (1; 0) adalah dua vektor eigen dari A yang bebas
linier. Jadi kita dapat memilih
1
2
P=
Akibatnya P
1
0
1
=
1
= P
eigen
1 dan
1
0
MZI (FIF Tel-U)
AP =
1
0
=
Perhatikan bahwa
1
1
2
1
1
0
.
. Oleh karena itu diperoleh matriks diagonal
1
2
sebagai berikut
1
0
1
1
1
2
1
0
1
1
1
2
1
1
0
0
1
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 1.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
21 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
22 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n yang terdiagonalkan.
Bagaimana cara yang e…sien untuk menghitung Ak , k 2 N?
Misalkan A adalah matriks n n yang terdiagonalkan, maka kita memiliki matris
invertibel P dan matriks diagonal yang memenuhi
P
MZI (FIF Tel-U)
1
AP =
=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
23 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n yang terdiagonalkan.
Bagaimana cara yang e…sien untuk menghitung Ak , k 2 N?
Misalkan A adalah matriks n n yang terdiagonalkan, maka kita memiliki matris
invertibel P dan matriks diagonal yang memenuhi
2
3
O
1
6
7
2
6
7
(3)
P 1 AP = = 6
7,
..
4
5
.
O
n
dengan 1 ; 2 ; : : : ; n adalah nilai-nilia eigen dari A. Karena
diagonal, maka kita memiliki
k
MZI (FIF Tel-U)
adalah matriks
=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
23 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n yang terdiagonalkan.
Bagaimana cara yang e…sien untuk menghitung Ak , k 2 N?
Misalkan A adalah matriks n n yang terdiagonalkan, maka kita memiliki matris
invertibel P dan matriks diagonal yang memenuhi
2
3
O
1
6
7
2
6
7
(3)
P 1 AP = = 6
7,
..
4
5
.
O
n
dengan 1 ; 2 ; : : : ; n adalah nilai-nilia eigen dari A. Karena adalah matriks
diagonal, maka kita memiliki
2 k
3
O
1
k
6
7
2
6
7
k
= 6
7 , untuk setiap k 2 N.
.
..
4
5
k
O
n
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
23 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
P
MZI (FIF Tel-U)
1
AP
2
Diagonalisasi Matriks
=
2
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
P
P
MZI (FIF Tel-U)
1
AP
P
1
AP
1
2
AP
Diagonalisasi Matriks
=
2
=
2
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
P
P
P
MZI (FIF Tel-U)
1
2
=
2
AP
=
2
A P
=
2
AP
P
1
APP
1
AP
1
1
Diagonalisasi Matriks
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
P
P
P
1
2
=
2
AP
=
2
A P
=
2
=
2
AP
P
1
APP
1
P
1
AP
1
1
A2 P
Secara umum melalui induksi matematika, kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
P
P
P
1
2
=
2
AP
=
2
A P
=
2
=
2
AP
P
1
APP
1
P
1
AP
1
1
A2 P
Secara umum melalui induksi matematika, kita memiliki
P
1
Ak P
=
k
=
A
MZI (FIF Tel-U)
k
untuk setiap k 2 N, jadi
Diagonalisasi Matriks
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada (3) diperoleh
1
P
P
P
1
1
2
AP
=
2
A P
=
2
=
2
P
1
APP
1
P
1
AP
2
=
AP
A2 P
Secara umum melalui induksi matematika, kita memiliki
P
1
Ak P
k
A
MZI (FIF Tel-U)
k
=
= P
untuk setiap k 2 N, jadi
k
P
1
untuk setiap k 2 N.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
24 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Latihan: Menentukan Pangkat dari Matriks
Latihan
Dengan metode diagonalisasi matriks, tentukan A13
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
2
0 0
apabila A = 4 1 2
1 0
November 2015
3
2
1 5.
3
25 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Latihan: Menentukan Pangkat dari Matriks
Latihan
Dengan metode diagonalisasi matriks, tentukan A13
2
0 0
apabila A = 4 1 2
1 0
Solusi: A memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
1
1
dengan ekspansi baris pertama
0 = pA ( ) = j I
Aj =
0
2
0
3
2
1 5.
3
2
1
3
0 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
25 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Latihan: Menentukan Pangkat dari Matriks
Latihan
2
3
2
1 5.
3
0 0
apabila A = 4 1 2
1 0
Dengan metode diagonalisasi matriks, tentukan A13
Solusi: A memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
1
1
dengan ekspansi baris pertama
2
1
1
+2
0 =
0
3
1
0 = pA ( ) = j I
=
(
2) (
=
(
2) ( (
=
(
2)
MZI (FIF Tel-U)
2
Aj =
3) + 2 (
0
2
0
2
1
3
2
0
2)
3) + 2)
3 +2 =(
2) (
Diagonalisasi Matriks
2) (
1) = (
2
2) (
1) .
November 2015
25 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Latihan: Menentukan Pangkat dari Matriks
Latihan
2
3
2
1 5.
3
0 0
apabila A = 4 1 2
1 0
Dengan metode diagonalisasi matriks, tentukan A13
Solusi: A memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
1
1
dengan ekspansi baris pertama
2
1
1
+2
0 =
0
3
1
0 = pA ( ) = j I
=
(
2) (
=
(
2) ( (
=
(
2)
2
Jadi diperoleh nilai eigen
MZI (FIF Tel-U)
Aj =
3) + 2 (
0
2
0
2
1
3
2
0
2)
3) + 2)
3 +2 =(
1
= 1 dan
2) (
2
=
3
2) (
1) = (
2
2) (
1) .
= 2.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
25 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Pertama akan ditentukan E1 = ker (I A).
2
32
3 2 3
1
0
2
x1
0
4 1
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
0
2
x3
0
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
26 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Pertama akan ditentukan E1 = ker (I A).
2
32
3 2 3
1
0
2
x1
0
4 1
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
0
2
x3
0
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
, akibatnya jika x3 = s maka x1 =
x1 + x2 + x3 = 0
x2 = s dengan s 2 R. Jadi E1 = span
Diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
2s dan
November 2015
26 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Pertama akan ditentukan E1 = ker (I A).
2
32
3 2 3
1
0
2
x1
0
4 1
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
0
2
x3
0
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
, akibatnya jika x3 = s maka x1 = 2s dan
x1 + x2 + x3 = 0
x2 = s dengan s 2 R. Jadi E1 = span f( 2; 1; 1)g. Selanjutnya akan ditentukan
E2 = ker (2I A).
2
32
3 2
3
2 0
2
x1
0
4 1 0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1 0
1
x3
0
Diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
26 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Pertama akan ditentukan E1 = ker (I A).
2
32
3 2 3
1
0
2
x1
0
4 1
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
0
2
x3
0
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
, akibatnya jika x3 = s maka x1 = 2s dan
x1 + x2 + x3 = 0
x2 = s dengan s 2 R. Jadi E1 = span f( 2; 1; 1)g. Selanjutnya akan ditentukan
E2 = ker (2I A).
2
32
3 2
3
2 0
2
x1
0
4 1 0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1 0
1
x3
0
Diperoleh
Diperoleh x1 + x3 = 0, akibatnya jika x3 = t maka x1 = t. Kemudian
x2 = u 2 R. Jadi jika ~x 2 ker (2I A), maka
~x = ( t; u; t) = t ( 1; 0; 1) + u (0; 1; 0) dengan t; u 2 R. Oleh karenanya
E2 = span
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
26 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Pertama akan ditentukan E1 = ker (I A).
2
32
3 2 3
1
0
2
x1
0
4 1
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
0
2
x3
0
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
, akibatnya jika x3 = s maka x1 = 2s dan
x1 + x2 + x3 = 0
x2 = s dengan s 2 R. Jadi E1 = span f( 2; 1; 1)g. Selanjutnya akan ditentukan
E2 = ker (2I A).
2
32
3 2
3
2 0
2
x1
0
4 1 0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1 0
1
x3
0
Diperoleh
Diperoleh x1 + x3 = 0, akibatnya jika x3 = t maka x1 = t. Kemudian
x2 = u 2 R. Jadi jika ~x 2 ker (2I A), maka
~x = ( t; u; t) = t ( 1; 0; 1) + u (0; 1; 0) dengan t; u 2 R. Oleh karenanya
E2 = span f( 1; 0; 1) ; (0; 1; 0)g.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
26 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas linier, dengan p1 = ( 2; 1; 1),
p2 = ( 1; 0; 1), dan p3 = (0; 1; 0). Sehingga
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
27 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas linier, dengan p1 = ( 2; 1; 1),
p2 = ( 1; 0; 1), dan p3 = (0; 1; 0). Sehingga
2
3
2
3
2
1 0
1 0
1
0 1 5 dan P 1 = 4 1 0
2 5 (tunjukkan!)
P=4 1
1
1 0
1 1
1
2
1
Tinjau bahwa P 1 AP = 4 0
0
MZI (FIF Tel-U)
0
2
0
3
0
0 5=
2
.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
27 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas linier, dengan p1 = ( 2; 1; 1),
p2 = ( 1; 0; 1), dan p3 = (0; 1; 0). Sehingga
2
3
2
3
2
1 0
1 0
1
0 1 5 dan P 1 = 4 1 0
2 5 (tunjukkan!)
P=4 1
1
1 0
1 1
1
2
1
Tinjau bahwa P 1 AP = 4 0
0
A13 = P 13 P 1
A13
0
2
0
3
0
0 5=
2
. Akibatnya P
1
A13 P =
13
, jadi
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
27 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas linier, dengan p1 = ( 2; 1; 1),
p2 = ( 1; 0; 1), dan p3 = (0; 1; 0). Sehingga
2
3
2
3
2
1 0
1 0
1
0 1 5 dan P 1 = 4 1 0
2 5 (tunjukkan!)
P=4 1
1
1 0
1 1
1
2
3
1 0 0
Tinjau bahwa P 1 AP = 4 0 2 0 5 = . Akibatnya P 1 A13 P = 13 , jadi
0 0 2
A13 = P 13 P 1
2
32
32
3
2
1 0
1
0
0
1 0
1
0 1 5 4 0 213
0 54 1 0
2 5
A13 = 4 1
1
1 0
0
0 213
1 1
1
2
3
8190
0
16 382
8191 5 .
= 4 8191 8192
8191
0
16 383
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
27 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
28 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Masalah Logaritma Matriks
Permasalahan
2
3
1 0 0
Jika B = 4 0 1 1 5, carilah bilangan bulat n sehingga
0 1 1
2
3n 2
3
1 0 0
1
0
0
4 0 1 1 5 = 4 0 1024 1024 5. (Petunjuk: cari terlebih dulu matriks
0 1 1
0 1024 1024
yang mendiagonalkan B).
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
29 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
30 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Solusi: B memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
0
=
0
=
MZI (FIF Tel-U)
1
0
0
dengan ekspansi baris pertama
pB ( ) = j I
Bj =
Diagonalisasi Matriks
0
1
1
0
1
1
November 2015
30 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Solusi: B memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
0
=
0
=
=
(
1) (
=
(
1)
=
MZI (FIF Tel-U)
1
0
0
dengan ekspansi baris pertama
1
1
(
1)
1
1
pB ( ) = j I
(
Bj =
2
1)
2
1) (
2
0
1
1
0
1
1
1
=(
1) ( ) (
2)
2) .
Diagonalisasi Matriks
November 2015
30 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Solusi: B memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut
0
=
0
=
1
0
0
dengan ekspansi baris pertama
1
1
(
1)
1
1
pB ( ) = j I
=
(
1) (
=
(
1)
=
(
Jadi diperoleh nilai eigen
MZI (FIF Tel-U)
Bj =
2
1)
2
2
= 0,
0
1
1
1
=(
1) ( ) (
2)
2) .
1) (
1
0
1
1
2
= 1, dan
Diagonalisasi Matriks
3
= 2.
November 2015
30 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Pertama akan ditentukan E0 = ker (0I B) = ker ( B).
2
32
3 2 3
1
0
0
x1
0
4 0
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
0
1
1
x3
0
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
31 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Pertama akan ditentukan E0 = ker (0I B) = ker ( B).
2
32
3 2 3
1
0
0
x1
0
4 0
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
0
1
1
x3
0
2
3
1 0 0 0
Dengan OBE diperoleh matriks diperbesar dalam bentuk EB: 4 0 1 1 0 5,
0 0 0 0
x1 = 0
akibatnya diperoleh SPL
. Akibatnya x1 = 0 dan bila x3 = r 2 R,
x2 + x3 = 0
maka x2 = r. Jadi E0 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
31 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Pertama akan ditentukan E0 = ker (0I B) = ker ( B).
2
32
3 2 3
1
0
0
x1
0
4 0
1
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
0
1
1
x3
0
2
3
1 0 0 0
Dengan OBE diperoleh matriks diperbesar dalam bentuk EB: 4 0 1 1 0 5,
0 0 0 0
x1 = 0
akibatnya diperoleh SPL
. Akibatnya x1 = 0 dan bila x3 = r 2 R,
x2 + x3 = 0
maka x2 = r. Jadi E0 = ker (0I B) = span f(0; 1; 1)g = span f(0; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
31 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Selanjutnya akan ditentukan E1 = ker (I
2
32
0
0
0
4 0
0
1 54
0
1
0
MZI (FIF Tel-U)
B).
3 2
3
x1
0
x2 5 = 4 0 5 .
x3
0
Diagonalisasi Matriks
November 2015
32 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Selanjutnya akan ditentukan E1 = ker (I
2
32
0
0
0
4 0
0
1 54
0
1
0
B).
3 2
3
x1
0
x2 5 = 4 0 5 .
x3
0
Diperoleh x2 = x3 = 0 dan x1 = s 2 R karena nilai x1 tidak terkait x2 dan x3 .
Oleh karenanya E1 = span
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
32 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Selanjutnya akan ditentukan E1 = ker (I
2
32
0
0
0
4 0
0
1 54
0
1
0
B).
3 2
3
x1
0
x2 5 = 4 0 5 .
x3
0
Diperoleh x2 = x3 = 0 dan x1 = s 2 R karena nilai x1 tidak terkait x2 dan x3 .
Oleh karenanya E1 = span f(1; 0; 0)g.
Terakhir akan ditentukan E2
2
1
4 0
0
MZI (FIF Tel-U)
= ker (2I
0
1
1
B).
32
3 2
3
0
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
x3
0
Diagonalisasi Matriks
November 2015
32 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Selanjutnya akan ditentukan E1 = ker (I
2
32
0
0
0
4 0
0
1 54
0
1
0
B).
3 2
3
x1
0
x2 5 = 4 0 5 .
x3
0
Diperoleh x2 = x3 = 0 dan x1 = s 2 R karena nilai x1 tidak terkait x2 dan x3 .
Oleh karenanya E1 = span f(1; 0; 0)g.
Terakhir akan ditentukan E2
2
1
4 0
0
= ker (2I
0
1
1
B).
32
3 2
3
0
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
x3
0
Dengan
OBE diperoleh
2
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
1 0
0 0
x1 = 0
4 0 1
1 0 5, akibatnya diperoleh SPL
. Akibatnya
x2 x3 = 0
0 0
0 0
x1 = 0 dan bila x3 = t 2 R, maka x2 = t. Jadi
E2 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
32 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Selanjutnya akan ditentukan E1 = ker (I
2
32
0
0
0
4 0
0
1 54
0
1
0
B).
3 2
3
x1
0
x2 5 = 4 0 5 .
x3
0
Diperoleh x2 = x3 = 0 dan x1 = s 2 R karena nilai x1 tidak terkait x2 dan x3 .
Oleh karenanya E1 = span f(1; 0; 0)g.
Terakhir akan ditentukan E2
2
1
4 0
0
= ker (2I
0
1
1
B).
32
3 2
3
0
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5 .
1
x3
0
Dengan
OBE diperoleh
2
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
1 0
0 0
x1 = 0
4 0 1
1 0 5, akibatnya diperoleh SPL
. Akibatnya
x2 x3 = 0
0 0
0 0
x1 = 0 dan bila x3 = t 2 R, maka x2 = t. Jadi
E2 = ker (2I B) = span f(0; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
32 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas linier, dengan p1 = (0; 1; 1),
p2 = (1; 0; 0), dan p3 = (0; 1; 1). Sehingga
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
33 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas
p2 = (1; 0; 0), dan p3 = (0; 1; 1). Sehingga
2
2
3
0 1 0
P = 4 1 0 1 5 dan P 1 = 4
1 0 1
linier, dengan p1 = (0; 1; 1),
0
1
0
Tinjau bahwa
P
1
1
2
0
1
2
1
2
3
0 5 (tunjukkan!)
1
2
BP =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
33 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas
p2 = (1; 0; 0), dan p3 = (0; 1; 1). Sehingga
2
2
3
0 1 0
P = 4 1 0 1 5 dan P 1 = 4
1 0 1
Tinjau bahwa
2
0
P 1 BP = 4 1
0
Kita memiliki P
memiliki
Bn
MZI (FIF Tel-U)
1
2
0
1
2
1
1
2
32
1 0
0 54 0 1
1
0 1
2
BP =
linier, dengan p1 = (0; 1; 1),
0
1
0
32
0
1 54
1
,B=P P
1
1
2
0
1
2
0 1
1 0
1 0
1
2
3
0 5 (tunjukkan!)
1
2
3 2
0
0
1 5=4 0
1
0
, sehingga Bn = P
n
3
0
0 5=
2
0
1
0
P
1
.
. Kita
=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
33 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
Kita dapat memiliki fp1 ; p2 ; p3 g yang bebas
p2 = (1; 0; 0), dan p3 = (0; 1; 1). Sehingga
2
2
3
0 1 0
P = 4 1 0 1 5 dan P 1 = 4
1 0 1
Tinjau bahwa
2
0
P 1 BP = 4 1
0
Kita memiliki P
memiliki
Bn
1
2
1
32
1 0
0 54 0 1
1
0 1
2
0
BP =
=
=
MZI (FIF Tel-U)
1
2
1
2
2
4
2
1
4 0
0
0
1
0
32
0
1 54
1
,B=P P
0
1
1
linier, dengan p1 = (0; 1; 1),
1
1
2
0
1
2
0 1
1 0
1 0
1
2
3
0 5 (tunjukkan!)
1
2
3 2
0
0
1 5=4 0
1
0
, sehingga Bn = P
32
1 0
0 0
0 1 54 0 1
0 1
0 0
3
0
0
1 n
1 n 5
2
2
22
1 n
1 n
2
2
22
Diagonalisasi Matriks
32
0
0
0 54 1
2n
0
1
2
0
1
2
3
0
0 5=
2
0
1
0
n
P
1
2
1
.
. Kita
3
0 5
1
2
November 2015
33 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
2
1
Karena Bn = 4 0
0
0
1024
1024
2
1
4 0
0
3
0
1024 5, maka
1024
0
1 n
22
1 n
22
3 2
0
1
1 n 5
4 0
2
=
2
1 n
0
22
0
1024
1024
3
0
1024 5
1024
Akibatnya
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
34 / 46
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
2
1
Karena Bn = 4 0
0
0
1024
1024
2
1
4 0
0
3
0
1024 5, maka
1024
0
1 n
22
1 n
22
3 2
0
1
1 n 5
4 0
2
=
2
1 n
0
22
0
1024
1024
3
0
1024 5
1024
Akibatnya 12 2n = 1024, jadi 2n = 2048 sehingga n = 11.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
34 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Bahasan
1
Motivasi: Menghitung Pangkat Sebuah Matriks
2
Masalah Diagonalisasi
3
Prosedur Diagonalisasi Matriks
4
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Menghitung Pangkat Matriks
5
Aplikasi Diagonalisasi Matriks: Masalah Logaritma Matriks
6
Diagonalisasi Ortogonal
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
35 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
De…nisi Matriks Ortogonal
De…nisi
Sebuah matriks persegi Q disebut matriks ortogonal apabila Q invertibel dan
inversnya sama dengan transposnya, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
36 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
De…nisi Matriks Ortogonal
De…nisi
Sebuah matriks persegi Q disebut matriks ortogonal apabila Q invertibel dan
inversnya sama dengan transposnya, yaitu
Q
1
= QT .
Akibat
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
36 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
De…nisi Matriks Ortogonal
De…nisi
Sebuah matriks persegi Q disebut matriks ortogonal apabila Q invertibel dan
inversnya sama dengan transposnya, yaitu
Q
1
= QT .
Akibat
Q adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika QQT = QT Q = I.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
36 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Latihan
Periksa apakah matriks-matriks
2
2
3
0
0 0 1
6 0
A = 4 1 0 0 5, B = 6
4 1
0 1 0
0
2 1
3
1
1
1
6
D=6
4
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
berikut adalah
matriks ortogonal.
3
1 0 0
#
"
p1
p1
0 1 0 7
2
2
7, C =
,
p1
p1
0 0 0 5
2
2
0 0 1
7
7, E =
5
cos
sin
Diagonalisasi Matriks
sin
cos
.
November 2015
37 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Latihan
Periksa apakah matriks-matriks
2
2
3
0
0 0 1
6 0
A = 4 1 0 0 5, B = 6
4 1
0 1 0
0
2 1
3
1
1
1
6
D=6
4
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
berikut adalah
matriks ortogonal.
3
1 0 0
#
"
p1
p1
0 1 0 7
2
2
7, C =
,
p1
p1
0 0 0 5
2
2
0 0 1
7
7, E =
5
cos
sin
sin
cos
.
Solusi: A; B; C; D; E semuanya adalah matriks ortogonal (tunjukkan!).
Perhatikan bahwa baris-baris matriks A maupun B diperoleh dari permutasi baris
matriks identitas. Matriks seperti ini dikatakan sebagai matriks permutasi.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
37 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Beberapa Sifat Matriks Ortogonal
Teorema
Misalkan Q adalah sebuah matriks persegi berorde n, maka
pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.
1
Q matriks ortogonal.
2
Jika R = fr1 ; r2 ; : : : ; rn g adalah himpunan vektor-vektor baris dari Q, maka
R adalah himpunan ortonormal.
3
Jika C = fc1 ; c2 ; : : : ; cn g adalah himpunan vektor-vektor kolom dari Q,
maka C adalah himpunan ortonormal.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
38 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q
MZI (FIF Tel-U)
1
=
Diagonalisasi Matriks
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q
T
Q 1 Q 1=
MZI (FIF Tel-U)
1
= QT . Tinjau bahwa
Diagonalisasi Matriks
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q
T
T
Q 1 Q 1 = QT Q 1 =
MZI (FIF Tel-U)
1
= QT . Tinjau bahwa
Diagonalisasi Matriks
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q 1 = QT . Tinjau bahwa
T
T
Q 1 Q 1 = QT Q 1 = QQ 1 = I. Jadi Q 1 juga matriks
ortogonal.
Teorema
Jika P dan Q adalah matriks ortogonal, maka PQ juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena P dan Q adalah matriks ortogonal, maka P
Tinjau bahwa
1
(PQ) =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
1
= PT dan Q
1
= QT .
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q 1 = QT . Tinjau bahwa
T
T
Q 1 Q 1 = QT Q 1 = QQ 1 = I. Jadi Q 1 juga matriks
ortogonal.
Teorema
Jika P dan Q adalah matriks ortogonal, maka PQ juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena P dan Q adalah matriks ortogonal, maka P
Tinjau bahwa
1
(PQ) = Q 1 P 1 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
1
= PT dan Q
1
= QT .
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q 1 = QT . Tinjau bahwa
T
T
Q 1 Q 1 = QT Q 1 = QQ 1 = I. Jadi Q 1 juga matriks
ortogonal.
Teorema
Jika P dan Q adalah matriks ortogonal, maka PQ juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena P dan Q adalah matriks ortogonal, maka P 1 = PT dan Q
Tinjau bahwa
1
(PQ) = Q 1 P 1 = QT PT =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
1
= QT .
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Invers dan Hasil Kali Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka Q
1
juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka Q 1 = QT . Tinjau bahwa
T
T
Q 1 Q 1 = QT Q 1 = QQ 1 = I. Jadi Q 1 juga matriks
ortogonal.
Teorema
Jika P dan Q adalah matriks ortogonal, maka PQ juga matriks ortogonal.
Bukti
Karena P dan Q adalah matriks ortogonal, maka P 1 = PT dan Q
Tinjau bahwa
1
T
(PQ) = Q 1 P 1 = QT PT = (PQ) ,
1
= QT .
jadi PQ juga matriks ortogonal.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
39 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Determinan Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka det (Q) =
1.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka QT Q = I, akibatnya
1
MZI (FIF Tel-U)
=
det QT Q =
Diagonalisasi Matriks
November 2015
40 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Determinan Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka det (Q) =
1.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka QT Q = I, akibatnya
1
=
det QT Q = det QT det (Q)
=
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
40 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Determinan Matriks Ortogonal
Teorema
Jika Q adalah matriks ortogonal, maka det (Q) =
1.
Bukti
Karena Q matriks ortogonal, maka QT Q = I, akibatnya
1
Jadi det (Q) =
MZI (FIF Tel-U)
=
det QT Q = det QT det (Q)
=
det (Q) det (Q)
=
(det (Q))
2
1.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
40 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Matriks Ortogonal dan Hasil Kali Titik
Permasalahan
Misalkan Q adalah sebuah matriks ortogonal berukuran n n dan x; y 2 Rn .
Apa kaitan antara Qx Qy dan x y? Apa kaitan antara kQxk dan kxk?
Teorema
Jika Q adalah sebuah matriks berukuran n
pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.
1
Q ortogonal
2
kQxk = kxk
3
n dan x; y 2 Rn , maka
Qx Qy = x y
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
41 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Diagonalisasi Ortogonal
De…nisi
Suatu matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika
terdapat matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A. Dengan perkataan lain
terdapat matriks ortogonal P dengan sifat
P
1
AP = D, dengan D matriks diagonal.
Akibat
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
42 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Diagonalisasi Ortogonal
De…nisi
Suatu matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika
terdapat matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A. Dengan perkataan lain
terdapat matriks ortogonal P dengan sifat
P
1
AP = D, dengan D matriks diagonal.
Akibat
Jika A dapat didiagonalkan secara ortogonal, maka terdapat matriks ortogonal P
sehingga
PT AP = D, dengan D matriks diagonal.
Bukti
Karena P matriks ortogonal, maka P
1
PT AP = P
MZI (FIF Tel-U)
= PT , akibatnya
1
AP = D.
Diagonalisasi Matriks
November 2015
42 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Syarat Diagonalisasi Ortogonal
Teorema
Suatu matriks persegi A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika
A matriks simetris.
Perhatikan bahwa jika A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara
ortogonal, maka terdapat matriks diagonal D sehingga
A = PT DP, sehingga
AT
=
PT DP
T
= PT DT P = PT DP (karena DT = D)
= A.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
43 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Prosedur Diagonalisasi Secara Ortogonal
Prosedur pendiagonalan matriks simetris secara ortogoal hampir sama dengan
prosedur pendiagonalan matriks seperti biasa. Misalkan A adalah matriks simetris
berukuran n n yang akan didiagonalkan secara ortogonal, maka prosedur yang
dapat dilakukan adalah:
1
Tentukan nilai eigen dari A, kemudian buat matriks
adalah nilai-nilai eigen dari A
2
Tentukan basis tiap ruang eigen, misalkan diperoleh himpunan n vektor eigen
fp1 ; p2 ; : : : ; pn g yang bebas linier.
3
4
5
yang diagonalnya
Ubah himpunan fp1 ; p2 ; : : : ; pn g menjadi himpunan ortonormal
fq1 ; q2 ; : : : ; qn g. Hal ini dapat dilakukan dengan prosedur Gram-Schmidt.
Bentuk matriks P yang vektor-vektor kolomnya adalah q1 ; q2 ; : : : ; qn , yaitu
qn .
P = q1 q2
Matris P dan A akan memenuhi PT AP = D =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
.
November 2015
44 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 = span f(0; 1; 1)g
E1 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 = span f(0; 1; 1)g
E1 = span f(1; 0; 0)g
E2 =
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 = span f(0; 1; 1)g
E1 = span f(1; 0; 0)g
E2 = span f(0; 1; 1)g
Kita memiliki himpunan 3 vektor yang bebas linier, yaitu
f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g. Untuk memperoleh himpunan ortonormal dari
himpunan ini, kita dapat melakukan prosedur Gram-Schmidt.
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 = span f(0; 1; 1)g
E1 = span f(1; 0; 0)g
E2 = span f(0; 1; 1)g
Kita memiliki himpunan 3 vektor yang bebas linier, yaitu
f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g. Untuk memperoleh himpunan ortonormal dari
himpunan ini, kita dapat melakukan prosedur Gram-Schmidt. Namun karena
f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g adalah himpunan ortogonal, maka himpunan
ortonormal dari himpunan ini dapat diperoleh dengan cara membagi setiap vektor
dengan norm-nya masing-masing, sehingga diperoleh himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
Contoh Diagonalisasi Secara Ortogonal
Latihan
2
1
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A = 4 0
0
0
1
1
3
0
1 5 secara ortogonal.
1
Solusi: dari latihan pada masalah logaritma matriks, kita mengetahui bahwa nilai
eigen dari A adalah 1 = 0, 2 = 1, dan 3 = 2 dan ruang-ruang eigennya adalah
E0 = span f(0; 1; 1)g
E1 = span f(1; 0; 0)g
E2 = span f(0; 1; 1)g
Kita memiliki himpunan 3 vektor yang bebas linier, yaitu
f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g. Untuk memperoleh himpunan ortonormal dari
himpunan ini, kita dapat melakukan prosedur Gram-Schmidt. Namun karena
f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g adalah himpunan ortogonal, maka himpunan
ortonormal dari himpunan ini dapat diperoleh dengan cara membagi setiap vektor
dengan norm-nya masing-masing, sehingga diperoleh himpunan
1
0; p ;
2
MZI (FIF Tel-U)
1
p
2
1
1
; (1; 0; 0) ; 0; p ; p
2
2
Diagonalisasi Matriks
.
November 2015
45 / 46
Diagonalisasi Ortogonal
2
Akibatnya diperoleh matriks P = 4
0
p1
2
p1
2
1
0
0
0
p1
2
p1
2
3
5. Matriks P adalah matriks
ortogonal karena PPT = PT P = I. Kemudian matriks P juga mendiagonalkan
A karena
2
3
0 0 0
PT AP = D = = 4 0 1 0 5 .
0 0 2
MZI (FIF Tel-U)
Diagonalisasi Matriks
November 2015
46 / 46