Jurnal Keilmuan dan Aplikasi Teknik Industri

IS S N 1411-24XS
( ^
t e
k
n
ik
in
J
d
u
u
r
n
a
s
t r
l
i
Jurnal Keilmuan dan Aplikasi Teknik Industri
l u n i 2006
Volume 8, N o m o r 1
P e m o d e la n B-Spline d a n M ars p a d a N ila i U jian M a su k T e r h a d a p
M a h a sisw a J u ru s a n D is a in K o m u n ik a si V isu al U K . P e tra S u rab ay a
IPK
I \yoman Budiantara, Vredi Sunadi, Bambang li' idjanarko Otok, Sitryo Guntno
P em odelan P em rogram an Linier d en g an Koefisien F un g si O bjektif B erbentuk
B ilangan K abur Segitiga d an K endala K abur B eserta U sulan Solusinya
S ani S usanto, Dedy Suryadi, l \an Idianto, dan YMKArilonang
P erancangan T a ta L etak Fleksibel d en g an T eori G raph
A gits Ristono
P erancangan Penilaian Kinerja Karyawan B e rd a sa rk a n
d e n g a n M e to d e A n a lytica l H ierarchy Process
K o m p e te n si Spencer
Eko ~Numrianto, Nurhadi Sisimnto, Sanusi Sapuwan
P en g g u n aan Bootstrap D a ta D ep en d en u n tu k M e m b a n g u n Selang K epercayaan
p ad a P aram eter M odel P eram alan u n tu k D ata Stationer
S tana I \alim, Herman Ma/lian
H A RD : Subject-Based Search Engine M en g g u n ak an
Coefficien
TF-IDF d a n Jaccard’s
Roliy Intan, A n d re w Defeng
F ungsi-fungsi Kernel p a d a M etode Regresi N o n p aram etrik d a n A plikasinya p ad a
Priest R iver Experimental Forest's D ata
Siana Halim, Indriati Bisono
K arakteristik E rgonom is R ancang B angun Wheelbarrow
Rik/i sbfipuh H adiguna, MiaMonasan
T erak red itasi: SK D irjen D ikti N o . 4 5 /D IK T I/K e p ./2 0 0 6
Lurtuil
i c k m k Ind ustri
Vol. 8
Ko. 1
H i m . 1-96
Surabaya
|u n i 2006
ISSN
1411 f 485
ISSN 1411-2485
Jurnal Keilmuan d an A plikasi T e k n ik In d u stri
Volume 8, Nomor 1
P en an ggu n g Jawab
Juni 2006
T anti O ctavia, ST., M .E ng.
(K etu a Ju ru sa n T eknik In d u stri - U niversitas K riste n l’ctra)
P em im p in U m u m
Ir. R esm ana Lim , M .E n g.
(K epala P u sa t P enelitian - U niversitas K riste n Petra)
P em im p in R edaksi
Dr. Siana H alim
(Statistical Modeling, Industrial Mathematics)
A n ggota R edaksi
I G ede A gus W idyadana, S . T ., M .E n g.
(,Simulation, Scheduling, Production Planning and Control,
Ergonomics, Production System)
Operational Research,
Iw an H alim Sahputra, ST., M .Sc.
(Produck, Design <& Development, Information System, Modeling)
D rs. Jani Rahardjo, M BÂ .tech.
(Decision Science, Statistics, Design Experiment)
Dra. Indriati B ison o, M .Sc.
(Experiment Design, Quality Management, Quality Engineering)
P en yuntin g Ahli
A dm i Syarif, D .E n g .
(Supply Chain Management,
Operations Research, Network Design, Combinatorial
Optimisation) Guest Researcher of Waseda University, Jepang.
D arson o T jokroam idjojo, P h.D .
(Operations Research, Supply Chain Management). Assistant professor of North Dakota State
University, USA.
P elaksana T ek n is
A lam at Sekretariat/
Redaksi
Sumarno
P usat P en elitian - U niversitas Kristen Petra
Jl. S iw alankerto 121-131, S urabaya, 60236
T elp. 031-8439040, 8494830, psw . 3139, 3147, l ;ax. 031-8436418
e-m ail : p u slit@ p eter.p etra.ac.id
h ttp ://p u s lit.p e tra .a c .id
D iterbitkan
Jurusan T ek n ik Industri, Fakultas T e k n o lo g i Industri
U niversitas Kristen Petra
H arga berlangganan
R p 50.000,- p e r ta h u n (dalam Jaw a), Rp. 60.000,- p e r ta h u n (luar Jaw a). Biaya b e r ­
langganan dikirim m elalui p o s w esel ke alam at S ek retariat atau d itra n sfe r p a d a B ank
N iaga cab an g UK. P etra S urabaya a.n. R E S M A N A L IM (P u sat P enelitian) N o .
034-01-54451-12-1. B ukti p em b ay aran d an fo rm b erlan g g an an m o h o n dikirim ke
alam at sekretariat
Jurnal T ek n ik Industri d iterb itk an 2 (dua) kali setah u n p a d a b u lan Juni dan D esem b er. R edaksi m en erim a
k aran g an ilm iah te n ta n g hasil penelitian, survei, d an telaah p u sta k a yang e rat h u b u n g a n n y a d en g an bid an g
T ek n ik Ind u stri.
ISSN 1411-2485
ju
r
n
a
l
in d u stri
Jurnal Keilmuan dan Aplikasi Teknik Industri
Volume 8, Nomor 1
Juni 2006
1. P e m o d e la n B-Spline d a n M ars p a d a N ila i U jia n M a s u k T e rh a d a p
IP K M a h a s is w a J u r u s a n D is a in K o m u n ik a s i V isu a l U K . P e tra
S u rab ay a
I Nyoman Budiantara, Fredi Suryadi, Bambang Widjanarko Otok, Suryo Guritno
1-13
2. P em o d elan P em ro g ram an L inear d e n g a n K oefisien F u n g si O bjektif
B erbentuk B ilangan K abur Segitiga d a n K endala K abur B eserta U sulan
Solusinya
S ani Susanto, Dedy Suryadi, HariAdianto, dan YMKAritonang
14-27
3. P e ran c a n g a n T a ta L etak Fleksibel d e n g a n T eo ri G raph
Agus Ristono
28-39
4. P e ran c a n g a n P enilaian Kinerja K aryaw an B e rd a s a rk a n K o m p e te n s i
S p e n c e r d e n g a n M etode A n a lytica l H ierarchy Process
Eko Nurmianto, NurhadiSiswanto, Sanusi Sapuwan
40-53
5. P e n g g u n a a n Bootstrap D a ta D e p e n d e n u n tu k M e m b a n g u n Selang
K epercayaan p a d a P aram eter M odel P eram alan u n tu k T)ataStationer
Siana Halim, Herman Mallian
54-60
6. H A R D : Subject-Based Search Engine M e n g g u n ak a n TF-IDF dan
Jaccard’s Coefficien
Rolly Intan, Andrew Defeng
61-72
7. Fungsi-fungsi K ernel p a d a M etode R egresi N o n p a ra m e trik d an
A plikasinya p a d a Priest R iver Experimental Forest’s D a ta
Siana Halim, Indriati Bisono
73-81
8. K arakteristik E rg o n o m is R an can g B an g u n W heelbarrow
Rika Ampuh Hadiguna, Mia Monasari
82-96
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN
FUNGSI OBJEKTIF BERBENTUK BILANGAN KABUR
SEGITIGA DAN KENDALA KABUR BESERTA USULAN
SOLUSINYA
Sani Susanto'*, Dedy Suryadi2), Hari Adianto3), dan YMK Aritonang4)
U4))Kelompok Bidang Umu Management Science, Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi
Industri,Universitas Katolik Parahyangan
Jl. Ciumbuleuit 94, Bandung-40141, Up/Fax: (022)232700
E-mail:1ssusanto Who ine.unpar.ac.id. 2)[email protected], 4)[email protected]
3)Jurusan Teknik Industri, Institut Teknologi Nasional
Jl. Penghulu H. HasanMustofa 23, Bandung - 40192
Tlp/Fax: (022) 7272215 Fax: (022)7202892
E-mail: 3)[email protected]
ABSTRAK
Model Pemrograman Linear (MPL) memiliki sebuah fungsi objektif dan satu atau lebih kendala Pada
fungsi objektif terdapat parameter yang disebut koefisien fungsi objektif (objective function coefficients).
Koefisien fungsi objektif menggambarkan kontribusi satu satuan variabel keputusan terhadap nilai fungsi
objektif. Koefisien fungsi objektif yang selama ini dikenal dalam pembahasan MPL bersifat tegas (crisp).,
demikian pula dengan kendala Tulisan ini membahas suatu pendekatan terhadap perumusan dan
penyelesaian MPL dalam hal koefisien fungsi objektifnya berbentuk bilangan kabur segitiga (triangularfuzzy
number) dan kendalanyapun bersifat kabur.
Kata kunci: model pemrograman linear, parameter pemrograman linear, bilangan kabur, koefisien fungsi
objektif, bilangan kabur segitiga, kendala kabur.
A B STR A C T
Linear Programming Model consists o f one objective function and at least one constraint. The
parameters in the objectivefunction are called objective function coefficients. Objectivefunction coefficients
represent the contribution o f one unit o f its corresponding decision variable to the objective function value.
The exist objective function as well as its constraints in the linear programming model are characterized as
crisp. Such assumptions are often considered as unrealistic. This research models and solves the Linear
Programming Model in the case where objective function coefficients are in the form o f triangular fuzzy
number and the constraints arefuzzy as well.
Keywords', linear programming model, linear programming parameter, fuzzy number, objective function
coefficient, fuzzy triangular number, fuzzy constraint.
1. PENDAHULUAN
Sejak dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun 1947, Model Pemrograman Linear
(MPL) telah digunakan dalam pemecahan masalah optimasi di pelbagai sektor industri dan jasa.
Bahkan survey kepada perusahaan-perusahaan yang pernah dilakukan oleh Fortune 500
menunjukkan 85% dari respondennya menggunakan MPL (Winston, 2003).
14
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac.id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
MPL tersusun atas dua komponen utama yaitu fungsi objektif dan kendala. Fungsi objektif
berkaitan dengan tujuan yang hendak dicapai. Fungsi ini akan dimaksimumkan misalnya bila
menyatakan keuntungan, atau diminimumkan bila berkaitan dengan ongkos produksi yang harus
dikeluarkan. Fungsi objektif adalah fimgsi dari beberapa variabel yang disebut variabel
keputusan. Pada realitanya keseluruhan variabel keputusan ini harus memenuhi satu set
pertidaksamaan yang disebut kendala.
Setiap MPL memiliki 3 buah parameter, yaitu koefisien fungsi objektif {objective fonction
coefficient atau KFO) yang terdapat pada fimgsi objektif, serta koefisien teknologi (technological
coefficient) dan koefisien ruas kanan (right-hand side coefficient) yang keduanya terdapat pada
kendala. KFO yang selama ini dikenal dalam pembahasan MPL bersifat tegas (crisp), demikian
pula halnya dengan kendala. MPL dengan kendala kabur (fuzzy) telah dikembangkan Wang
(1997) dan Susanto (1999). Sedangkan MPL dengan KFO kabur telah dikembangkan Wang
(1997) dan Susanto dan Adianto (2005). Tulisan ini akan membahas pengembangan MPL untuk
kasus KFO kabur dan kendala kabur.
2. LANDASAN TEORI
Pemodelan Pemrograman Linear dengan KFO kabur dan kendala kabur memerlukan
beberapa konsep sebagai landasan teorinya. Konsep yang dimaksud meliputi bentuk umum MPL,
asumsi pada MPL, bilangan kabur serta kendala kabur. Berikut ini adalah pembahasannya.
2.1 Bentuk Umum MPL dan Asumsinya
Secara ringkas MPL beserta kedua komponen utama (fimgsi objektif dan kendala) dan ketiga
parameternya (KFO, koefisien teknologi serta ruas kanan) dapat dimodelkan sebagai berikut:
n
maksimasi cx = 2 > jXj
w
j=i
terhadap kendala Ax < b
(2)
x > 0
(3)
(Catatan: “maksimasi” dapat diubah jadi “minimasi”, dan “ < ” pada (2) dapat diubah menjadi
“ > ” atau“=”)
Pada model (l)-(3) di atas:
-
vektor x = (Xj •••
Xj
•••
x n) T disebut vektor keputusan, sedangkan Xj
disebut
-
variabel keputusan ke-j,
vektor baris c = (c j••• Cj
•••
c n) disebut vektor koefisienfungsi objektif, sedangkan
c j adalah koefisien fungsi objektif (KFO) dari variabel keputusan ke-j
-
A = | a M]mxn adalah matriks koefisien teknologi, sedangkan a tJ adalah koefisien teknologi dari
variabel keputusan ke-j pada kendala ke-i,
-
vektor b = (bj •••
b
•••
b m) Tdisebut vektor ruas kanan, sedangkan b
adalah
koefisien ruas kanan pada kendala ke-i
- j = l,2,...,n (n = jumlah kendala), dan i =1,2,..,,m (m = jumlah variabel keputusan)
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
15
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
Salah satu asumsi yang harus dipenuhi oleh suatu MPL adalah Asumsi Ketertentuan
(Certainty Assumption). (Winston, 2004). Asumsi ini menuntut tertentunya nilai semua parameter
pada MPL. Tulisan ini ditujukan bagi perumusan MPL dalam hal;
- asumsi ketertentuan tidak dipenuhi, lebih spesifik lagi, dalam hal parameter KFO tidak
memenuhi Asumsi Ketertentuan, serta
- kendala bersifat kabur
Untuk itu, terlebih dahulu dibahas konsep bilangan kabur serta konsep kendala kabur.
2.2 Bilangan Kabur dan Pemrograman Linear dengan Koefisien Fungsi Objektif Kabur
Ketika kita berbicara tentang jumlah roda pada jumlah jendela pada suatu mobil sedan, kita
dihadapkan pada jumlah yang sudah tertentu, yaitu tepat 4 (empat) buah. Sangat berbeda halnya
ketika kita berbicara tentang:
- jam kedatangan koran langganan, mungkin kita akan berkata sekitar pukul 5.30
- volume air kemasan dalam botol, mungkin kita akan berkata kira-kira 500 mililiter.
Banyak hal dalam dunia nyata yang tidak memungkinkan kita untuk menggunakan frase
tepat sekian, melainkan harus puas dengan menggunakan frase yang menggambarkan
ketidaktepatan, seperti: sekitar sekian, kira-kira sekian, hampir sekian, kurang lebih sekian
dan sejenisnya. Dalam hal konsep bilangan kabur atau fuzzy number dapat mengkomodasinya.
Himpunan bilangan yang nilainya sekitar 3, atau kira-kira 3, atau hampir 3, atau kurang
lebih 3 adalah contoh himpunan kabur, yang sering pula disebut bilangan kabur 3. Terdapat dua
jenis bilangan kabur yang sering dipakai dalam praktek, yaitu bilangan kabur segitiga
(triangular fiizzy number) dan bilangan kabur trapesium (trapezoidal fiizzy number) (Wang,
1997). Sesuai judul tulisan ini, hanya bilangan kabur segitiga yang akan dibahas.
Bilangan kabur segitiga c, dilambangkan dengan c , adalah himpunan kabur dengan batas
bawah a dan batas atas d serta fungsi keanggotaan segitiga, yang didefinisikan sebagai:
(x - a ) / ( b - a) J i k a a < x < c
[ih (x ;a ,c , d) = < (d - x ) / ( d - c), j i k a c < x < d
0,
Bilangan
kabur
segitiga
c
pada
(4)
jik a x > d atau x < a
(4)
seringkali
pula
dilambangkan
dengan
c = ( c " , c ° , c +)atau c = (a, c, d) dalam hal ini c" = a, c° = c dan c + = d .
Secara umum, Pemrograman Linear dengan KFO berupa bilangan kabur berbentuk:
n
maksimasi (minimasi) cx = ^
j
CjX j terhadap kendala (2)-(3), dalam hal ini bilangan kabur
=i
dicirikan oleh fungsi keanggotaan (4) yang menggambarkan derajat keanggotaan suatu bilangan
terhadap himpunan bilangan yang nilainya ’’sekitar Cj ” atau ”kurang lebih Cj ”, atau ungkapan
kabur lainnya.
Berikut ini adalah langkah-langkah pembentukan MPLKFOK untuk kasus dengan fungsi
objektif (2.6) berbentuk maksimasi:
Langkah-1: Tentukan MPL yang akan diubah kedalam MPLKFOK (yaitu, masalah (l)-(3))
Langkah-2: Tentukan jenis bilangan kabur bagi setiap KFO (yaitu, bilangan kabur segitiga (4))
16
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac .id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
Langkah-3: Tentukan:
a) c = c = (c,
•• • Cj
• • • c n ) , yaitu vektor koefisien fungsi objektif yang
komponen ke-j-nya adalah koefisien fungsi objektif variabel x ■
b) c
= (c, •••
c J•••
c n) , yaitu vektor yang komponen ke-j-nya adalah
batas bawah dari bilangan kabur Cj,
c) c + = ( c 1h •••
Cj ••
c n). yaitu vektor yang komponen ke-j -nya adalah
batas atas dari bilangan kabur Cj,
Langkah-4: Rumuskan pemrograman linear bertujuan majemuk berfungsi objektif memak­
simumkan nilai bilangan kabur segitiga, sebagai berikut:
maxc x
m axc*x
m a x c +x dengan kendala (2)-(3).
2.3 Kendala Kabur dan Pemrograman Linear dengan Kendala Kabur
Secara umum, Pemrograman Linear dengan Kendala yang Kabur (MPLKK) berbentuk:
max (min) cx
terhadap kendala Ax < b ,x > 0
(5)
dalam hal ini < dicirikan oleh fungsi keanggotaan yang menggambarkan ‘derajat toleransi’
seperti di atas. Berikut ini adalah pembentukan fungsi keanggotaan yang merupakan potonganpotongan garis yang kontinu bagian demi bagian.
Misalkan dalam bentuk yang tegas kendala ke-i berbentuk (Ax) < b , . maka bentuk
kaburnya adalah (a x)
Misalkan pula t adalah toleransi dari kendala ke-i, maka kendala
kabur ini dapat dicirikan denganfungsi keanggotaan sebagai berikut:
1,
M ' ! { ( A x ) j }
=
n
( A i ) .<b. { ( A x ) j }
=
- ~ _ {(Ax)1 - ( b , +ti )} ,
(A x)1 < bj
bt <(Ax)I < b t + t ;
(6)
i
0,
lainnya
Berikut ini adalah langkah-langkah perumusan dan penyelesaian MPLKK untuk kasus MPL
dengan fungsi objektif (5) berbentuk maksimasi:
Langkahi: Tentukan batas toleransi bagi pelanggaran kendala ke-i dari, misalkan sebesar
11
> 0 . jadi sekalipun untuk kendala ini sebenarnya ditetapkan (Ax), < b ,, namun
masih diberi toleransi hingga (Ax), < (b,+t,). dengan derajat toleransi akan
didefinisikan pada Langkah-4
Langkah 2 : Selesaikan pemrograman linear berikut:
maksimasi cx terhadap kendala (Ax), < b, (i= 1,2,...,m)
dan misalkan x° adalah solusinya, serta definisikan z° = cx°
Langkah 3 : Selesaikan pemrograman linear berikut:
maksimasi cx terhadap kendala (Ax), < (b, + 1,) (i= 1,2,...,m)
misalkan x1 adalah solusinya, definisikan z1= cx1. (Catatan: jelaslah z1> z°!)
Langkah 4: Berdasaikan nilai z° dan z1yang diperoleh pada Langkah-2 dan 3, definisikanfungsi
keanggotaan berikut yang menggambarkan derajat optimalitas dari setiap nilai
fungsi objektif cx:
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
17
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
1,
cx> z'
CX-Z0
o
Ho(x) = —------z < c x < z
z - z
0,
cx<z°
,
^
(7)
Definisikan pula fungsi keanggotaan berikut yang menggambarkan derajat
toleransi bagi pelanggaran kendala ke-i:
'
1,
(b1+ t 1) - ( A x ) i ^
(Ax)i < b I
^
^ ^
+1 }
(8)
^ ( x) =
0,‘
( A x ) I > ( b I + t I)
Langkah 5: Definisikan masalah PL berikut ini:
m ax ju0 (x) m ax ¡ix(x) m ax n 2 ( x ) ... m ax ¡um (x) terhadap kendala: x > 0
3.
PERUMUSAN MODEL PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KFO KABUR DAN
KENDALA KABUR DAN LANGKAH-LANGKAH PENCARIAN SOLUSINYA
MPL dengan fungsi objektif (1) dan kendala (2)-(3) akan menjadi MPLKFOK3 bila nilainilai parameter KFO merupakan bilangan kabur dan kendalanyapun merupakan kendala kabur.
Secara umum, PL dengan KFO kabur dan kendala kabur berbentuk:
n
maksimasi (maksimasi) cx = Z
cjx j
<9)
J=1
terhadap kendala Ax < b
(10)
x > 0
(11)
Perumusan MPLKFOK3 lebih lanjut beserta penyelesaiannya dibahas pada Bab 3.1 dan 3.2
berikut ini.
3.1 Perumusan Model Pemrograman Linear dengan KFO Kabur dan Kendala Kabur
MPLKFOK3 adalah gabungan dari MPLKFOK dan MPLKK yang, berturut-turut, telah
dibahas pada Bab 2.2 dan Bab 2.3. Akibatnya perumusan model MPLKFOK3 pada hakekatnya
adalah juga gabungan dari perumusan model MPLKFOK dan MPLKK. Oleh karenanya, masalah
MPLKFOK3 pada (9)-(l 1) menjadi berbentuk masalah optimasi bertujuan majemuk berikut ini:
m axcx
m axc*x
m a x c +x
m a x /w0(x)
max/z^x)
m a x /w2(x)... m a x /wm(x)
(12)
dengan kendala: x > 0
3.2 Langkah-langkah Pencarian Solusi Pemrograman Linear dengan KFO Kabur dan
Kendala Kabur
Fungsi-fungsi objektif pada (12) ekivalen dengan fungsi objektif berikut:
m i n z j = ( c * - c " )x m a x z 2 = c*x m a x z 3 = ( c + - c*) x
sehingga bentuk-bentuk (12) dan (12a) dapat saling menggantikan satu sama lain.
18
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac .id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
(12a)
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
Usulan langkah-langkah pencarian solusi selengkapnya bagi MPLKFOK3 (12) adalah
sebagai berikut:
Langkah-1: Menyatakan MPLKFOK (yang bersifat multiobjektif) kedalam bentuk masalah
optimasi dengan satu fungsi objektif saja, melalui langkah-langkah:
Misalkan X = {x |Ax < b, x >0}
Langkah 1.1 Tentukan nilai-nilai berikut ini:
o
z“ n =m in(c*-c)x
(13)
o
z “ ax = max(c* -c")x
(14)
xeX
o
(15)
z “ n = minc*x
xg X
°
(16)
z i1“ = maxc*x
xg X
o
(17)
z “ ax = m a x ( c + -c*)x
xg X
o
(18)
z “ n = m i n ( c + -c*)x
xg X
Langkahl.2 Definisikan ketigafungsi keanggotaan berikut:
1
, jik a (c* - c )x<z™
(C
Hz, ( x ) =
° ) X J i k a z “ n < ( c * - c - ) x < Zlm
_ m ax
_ mm
Zi
(19)
Z,
0
, jik a (c - c
m ax
)x> z 1
, jik a c*x > z “ ax
cx-z.
(20)
, jika z “ n < c * x < z ” ax
(x) =
0 , jik a c*x< z “ n
1
/
(x) = 1
+
, jik a (c+ - c * ) x > z ™ x
*\
m ax
Z,
m in
mm
, jik a z™n < ( c + - c * ) x < z “ax
(21)
—Z,
0
, jik a (c+ —c ) x < z
mm
3
Langkahl.3 Definisikan fungsi:
^ =
(X)’
(X)’ ^ (X)i
yang ekivalen dengan ketiga relasi berikut:
(22)
HZi( x ) > a
atau ( c * - C- ) x + a ( z ” ax - z ” m) < z ” ax
(22a)
HZ2( x ) > a
atau c x - c c ( z ™ x - z™n)> z “ n
(22b)
HZ3( x ) > a
atau (c + - c * ) x - a ( z ™ x - z “ n) > z ” ”
(22c)
Langkahl.4 Definisikan masalah optimasi:
max a
dengan kendala (22a),(22b), (22c) dan x > 0
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
(23)
19
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
Langkah-2: Menyatakan MPLKK (yang bersifat multiobjektif) kedalam bentuk masalah
optimasi dengan satu fungsi objektif saja, melalui langkah-langkah:
Langkah 2.1 Pecahkan masalah Pemrograman Linear berikut::
maksimasi cx terhadap kendala (Ax), < b, (i = 1,2,... ,m)
sebutlah nilai optimal dari fungsi objektifnya adalah z°
Langkah 2.2 Pecahkan masalah Pemrograman Linear berikut:
maksimasi cx terhadap kendala (Ax), < b,+t, (i = 1.2.....m)
sebutlah nilai optimal dari fungsi objektifnya adalah z1
Langkah 2.3 Definisikan fungsi: ju0(x) seperti pada (7), dan u: (x) seperti pada (8)
Langkah 2.4 Definisikan fungsi:
d = min[|in(x), |i, (x), | i 2(x),,,,,|im(x)]
(24)
x>0
yang ekivalen dengan relasi berikut:
(J,0(x) > 9 atau c x - 9(z' - z ° ) > z °
(x) > 9 atau ( A x ) t + 0 t £ < ( b t + 1;)
(i= l,2,...,m)
Langkah 2.5 Definisikan masalah optimasi:
max 6 dengan kendala: x > 0
(24a)
(24b)
(24c)
Langkah-3: Menggabungkan MPLKFOK dan MPLKK, yang masing-masing memiliki sebuah
fungsi objektif, kedalam bentuk masalah optimasi dengan satu fungsi objektif saja,
hal ini ditempuh melalui langkah-langkah:
Langkah 3.1 Definisikan fungsi:
y
=
min
{a , 0}
(25)
k e n d a la (2 2 a )-(2 2 c ),(2 4 a )-(2 4 c )
Langkah 3.2 Definisikan dan pecahkan masalah optimasi:
max y
(26)
dengan kendala: ^
(x ) > a
atau ( c * - c )x + a ( z ” ax - z “ n ) < z ” “
(27)
HZ2( x ) > a
a t a u ' c*x - a ( z “ ax - z™n )> z™n
(28)
HZ3( x ) > a
atau (c + - c * ) x - a ( z ” ax - z “ n) > z ” m
(29)
(J,0(x) > 9 atau c x - 9(z' - z ° ) > z °
(30)
(J,j(x) > 9 atau ( A x ) t + 0 t £ < ( b t + t ;)
9 g [0,1]; a g [0,1] ; a > y ; 9 > y ; x > 0
(i= l,2,...,m)
(31)
4. ILUSTRASI NUMERIK DAN INTERPRETASINYA
Sebagai ilustrasi numerik bagi MPLKFOK3, diambil kasus berikut (Winston, 2003): PT
Dakota Fumiture memproduksi 3 (tiga) macam produk, yaitu bangku, meja, dan kursi. Pembuatan
ketiga jenis produk tersebut membutuhkan bahan dasar berupa kayu, jam keija untuk proses
finishing serta jam keija untuk proses carpentry. Kebutuhan ketiga jenis sumber daya per unit
produk disajikan pada tabel berikut:
20
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac .id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
Tabel 1. Kebutuhan Sumber Daya untuk kasus PT Dakota Furniture
Sumber Daya
Kayu
Jam Finishing
Jam Carpentry
Bangku
8 lembar
4jam
2jam
Meja
6 lembar
2jam
1.5 jam
Kursi
1 lembar
1.5 jam
0.5 jam
Saat ini PT Dakota Furniture memiliki persediaan kayu 48 lembar kayu, 20 jam keija
finishing, dan 8 jam keija carpentry. Bangku, meja dan kursi berturut-turut dapat dijual seharga
$60, $30, dan $20. PT Dakota Furniture memperoleh informasi bahwa semua bangku dan kursi
yang diproduksi pasti teijual, sementara paling banyak hanya akan teijual 5 buah meja. PT Dakota
Furniture bermaksud memaksimasi pendapatannya.
Masalah PT Dakota Furniture dapat dimodelkan sebagai berikut:
- definisikan variabel-variabel keputusan berikut:
xi = banyaknya bangku yang diproduksi
x2 = banyaknya meja yang diproduksi
x3 = banyaknya kursi yang diproduksi
- merumuskan fungsi tujuan sebagai berikut:
max z = 60xi + 30x2 + 20x3
- merumuskan kendala-kendala sebagai berikut:
ketersediaan kayu
: 8xi + 6x2 + x3 < 48
k e te r s e d i a a n finishing
: 4xj + 2x2+1.5x3<20
ketersediaan jam carpentry : 2xi + 1.5x2 + 0.5x3 < 8
penjualan meja
: x2 <
5
\i. x2, x3 > 0 (kendala non-negativitas variabel)
Misalkan selanjutnya didapat informasi tambahan dari PT Dakota Furniture bahwa sebenarnya:
-
haiga jual bangku tidaklah tepat sebesar cx = $ 60, melainkan berada pada rentang antarac[ =
$ 55 sebagai batas bawahnya, dan c] = $ 62 sebagai batas atasnya,
-
haiga jual meja tidaklah tepat sebesar c*2 = $ 30, melainkan berada pada rentang antara c2= $
28 sebagai batas bawahnya, dan c2 = $ 35 sebagai batas atasnya,
-
haiga jual meja tidaklah tepat sebesar c*3 = $ 20, melainkan berada pada rentang antara c\ = $
17 sebagai batas bawahnya, dan c\ = $ 22 sebagai batas atasnya,
-
bila perlu jumlah kayu dapat diupayakan tambahannya hingga ti= 10 unit,
bila perlu jumlah jam finishing dapat diupayakan tambahannya hingga t2= 5 unit,
bila perlu jumlah jam carpentry dapat diupayakan tambahannya hingga t3 = 3,
Informasi tambahan ini, bila ingin diakomodasi, menuntut perumusan model yang baru, yaitu
MPLKFOK3, dengan catatan bahwa dalam kasus PT Dakota Furniture hanya kendala
ketersediaan kayu yang akan diubah menjadi kendala kabur.
Berikut ini adalah penerapan Langkah 1-3 dari bagi perumusan MPLKFOK3 yang dibahas
pada Bab-3 sebagai berikut:
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
21
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
Langkah-1:
Langkah 1.1: menentukan nilai-nilai berikut ini:
-
z,max = m a x ( c * - c " ) x =
xeX
mm
z,
•
m ax
5x, + 2 x 7 + 3 x , = 40
ke n d a la i 31 a )-(3 l d )
*
=minc x =
min
60x,+30x7 +20x, = 0
k e n d a la ( 3 \a ) - ( 3 \d )
m ax
z9
■
=maxc x =
m ax
60x, + 3 0 x 7 + 2 0 x 3 = 2 8 0
k e n d a la ( 3 \a ) - ( 3 \d )
xeX
z “ n = m i n ( c + - c*)x =
min
2xj + 5 x 2 + 2 x 3 = 0
kendala{ 3 1a ) -(3 1d )
-
z™x = m a x ( c + - c ) x =
xeX
m ax
2x, + 5 x 7 + 2 x 3 = 3 0 . 4
ken d a la i 3 la)-< 31 d )
Langkah 1.2 Definisikan ketigafungsi keanggotaan berikut:
40Rz, (x) =
1
, jika 5Xj + 2x2 + 3x3 <0
( 5 x , + 2 x 9 + 3 x ,)
- ^ - j i k a 0<5Xj + 2 x2 + 3 x3<40
40-0
0
, jika 5Xj + 2 x2 + 3 x3 < 40
1
, jika 60xj +30 x2 +20 x3 >280
(60xj +30 x2 +20 x3) -0 ..
,jika 0 <60xj +30 x2 + 20x3 <280
(x) =
280-0
0
jika 60xj +30 x2 + 20x3< 0
1
, jika 2Xj + 5x2 + 2x3 <30.4
(2Xj + 5x2 + 2x3) -0 ..
jika 0 <2Xj + 5 x2 + 2x3 >30.4
Rz, (x) =
30. 4- 0
0
, jika 2Xj + 5 x2 + 2 x3 >0
(32)
(33)
(34)
Langkah 1.3 Definisikan fungsi:
a = minj^i (x),[i (x),[i (x )}
xgX
1
2
3
yang ekivalen dengan ketiga relasi berikut:
(35)
-
jUZi( x) >cc atau 5 X j + 2 x 2 + 3 x 3 +40or < 40
(36)
-
(j,z (x)>Qr atau 60Xj + 3 0 x 2 + 2 0 x 3 - 2 8 0 a > 0
(37)
-
jUZi( x ) a
(38)
atau 2Xj + 5 x 2 + 2 0 x 3 - 3 0 . 4 a > 0
Langkah 1.4 Definisikan masalah optimasi:
max a
dengankendala(36)-(38)danx1, x 2, x 3 > 0
(39)
Langkah-2: Menyatakan MPLKK (yang bersifat multiobjektif) kedalam bentuk masalah
optimasi dengan satu fungsi objektif saja, melalui langkah-langkah:
Langkah 2.1 Pecahkan masalah Pemrograman Linear berikut:
max z = 60xi + 30x2 + 20x3
terhadap kendala (31a)-(31d), ternyata didapatkan nilai optimal dari fungsi
objektifnya adalah z°= 280
22
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac .id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
Langkah 2.2 Pecahkan masalah Pemrograman Linear berikut:
max z = 60x, + 30x2 + 20x3
terhadap kendala (31a)-(31d), ternyata didapat nilai optimal dari fungsi objektifnya
adalah z°= 280
Langkah 2.3 Pecahkan masalah Pemrograman Linear berikut:
max z = 60xi + 30x2 + 20x3
terhadap kendala
8xj + 6 x 2 +
x3<48+10 = 58
4xi + 2x2 + 1,5x3 < 20 +5 = 25
2xi + 1.5x2 + 0.5x3< 8+3 =11
x2 < 5
x j , x 2, x 3 > 0
ternyata didapat nilai optimal dari fungsi objektifnya adalah z'=360
Langkah 2.4 Definisikan fungsi:
r
1,
60x! + 30x 2 + 20x3> 360
60x! + 3 0 x 2 + 2 0 x 3 -28 0
Ho(x) =
0,
m ( x)=
8xj + 6 x 2 + x 3i < 48
58-(8 xj + 6 x 2 + x 3)
48 < 8xj + 6 x 2 + x 3 < 58
10
0,
n 3(x)=
(42)
2xj + 1.5x 2 + 0.5x3 < 8
11- (2xj + 1.5x 2 + 0.5x3)
0,
(41)
8xj + 6 x 2 + x 3 > 58
1,
4xj + 2 x 2 +1.5 x 3 < 20
2 5 -( 4 x j + 2 x 2 + 1 .5 x 3)
20 < 4xj + 2 x 2 + 1.5x 3 < 25
M x) =
5
4xj + 2 x 2 + 1 ,5 x3 > 2 5
0,
1,
(40)
6 0 x t + 30x 2 + 2 0 x 3< 280
1,
-
280 < 60x! + 30 x 2 + 20 x 3 < 3 6 0
360-280
8 < 2xj + 1.5x 2 + 0.5x3 <11
(43)
2xj + 1.5x 2 + 0.5x3 >11
Langkah 2.5 Definisikan fungsi:
0
= min[n0 (x),
(x), [ i2 (x), [ i3 (x)]
(44)
x>0
yang ekivalen dengan relasi berikut:
- (J.0(x ) ^ 6 atau 60xj + 3 0 x 2 + 2 0 x 3 - 8 0 9 > 280
(45)
-
(46)
> 9 atau 8 x j + 6 x 2 + x 3 + 1 0 9 < 5 8
-
[j,2(x) > 9 atau 4 x j + 2 x 2 + 1 . 5 x 3 + 5 9 <25
(47)
-
[j,3(x) > 9 atau 2 x j + 1 . 5 x 2 + 0 . 5 x 3 + 3 9 < 11
(48)
Langkah 2.6 Definisikan masalah optimasi:
max 6
dengan kendala (45)-(48), (3 Id) dan x l5x 2, x 3 > 0
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
(49)
23
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
Langkah-3: Menggabungkan MPLKFOK dan MPLKK. yang masing-masing memiliki sebuah
fungsi objektif, kedalam bentuk masalah optimasi dengan satu fungsi objektif saja,
hal ini ditempuh melalui langkah-langkah:
Langkah 3.1 Definisikan fungsi:
v m in
{a , 6}
£ew£fo/a(36)-(38),(45)-(48),(31d)
(50)
Langkah 3.2 Definisikan dan pecahkan masalah optimasi:
m ax y
(51)
d e n g a n kendala: 5 Xl + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 0 a < 4 0
(52)
60xj + 3 0
(53)
x
2 + 2 0
2xj + 5x 2 + 2
x
x
3 -2 8 0 a > 0
(54)
3 -3 0 .4 a> 0
60xj + 3 0 x 2 + 2 0
x
(55)
3 -809 > 280
8xj + 6 x 2 + x 3 + 1 0 9 < 5 8
(56)
4xj + 2
(57)
x
2 + 1 .5
x
2xj + 1 .5 x 2 + 0 .5
3 + 5 9 < 2 5
x
(58)
3 + 3 9 < 11
(59)
X2 - 5
ar - ^ > 0 , 9 - y > 0 , 9 e [0,1], a
g
[0,1], x l3x 2, x 3 > 0
Penyelesaian pemrograman linear ini menghasilkan solusi berikut: xi = 4.7391, x2 =
0, x3 = 1.0870, a = 0.3261,0 = 0.3261, y = 0.3261.
Jadi keputusan terbaik bagi PT Dakota Fumiture adalah membuat sebanyak Xj =4.7391
unit bangku, x 2 = 0 unit meja, dan x 3 = 1.0870 unit kursi. Bila keputusan terbaik ini diambil
maka:
a. dari (32) didapatkan nilai/i (4.7391,0,1.0870)= 0.3261, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan terhadap nilai yang dicapai oleh fungsi / = (c* - c )x = 5x + 2x2 + 3x3 = 26.9565,
yang menggambarkan perbedaan nilai antara fungsi objektif semula (c x ) dengan fungsi
objektif berkoefisien batas bawah bilangan kabur (c"x). Nilai tertinggi dari fi adalah 1 (satu)
yang tercapai ketika nilai z x bernilai 0 atau kurang, dan nilai terendahnya adalah 0 (nol) yang
tercapai ketika nilai z x sekurang-kurangnya 40.
b. dari (33) didapatkan nilai/i (4.7391,0,1.0870)= 1.0000, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan terhadap nilai yang dicapai oleh fungsi z 2 =c*x = 60xj + 30x2 + 20x3 = 306.086,
yaitu fungsi objektif semula. Nilai tertinggi dari u_ adalah 1 (satu) yang tercapai ketika nilai
z 2 bernilai sekurang-kurangnya 280, dan nilai terendahnya adalah 0 (nol) yang tercapai ketika
nilai z 2 adalah 0 atau kurang.
c. dari (34) didapatkan n ila i- (4.7391,0,1.0870)= 0.3833, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan terhadap nilai yang dicapai oleh fungsi / , = (c -c")x = 2x, + 5 \ 2 + 2x, =
11.6522, yang menggambarkan perbedaan nilai antara fungsi objektif berkoefisien batas atas
24
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac .id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
bilangan kabur (c+x ) dengan fungsi objektif semula (c* x ). Nilai tertinggi dari u_ adalah 1
(satu) yang tercapai ketika nilai z 3 sekurang-kurangnya 30.4, dan nilai terendahnya adalah 0
(nol) yang tercapai ketika nilai z 3 adalah 0 atau kurang.
d. dari (35) didapatkan nilai a = min{0.3261,1.000,0.3833}= 0.3261.
e. dari (40) didapatkan nilaijx0(4.7391,0,1.0870)= 0.3261, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan
terhadap nilai yang dicapai oleh fungsi objektif semula, yaitu
z =c*x = 60xj + 3 0 x 2 + 2 0 x 3 = 306.086. Nilai tertinggi dari - a d a la h l(satu) yang
tercapai ketika nilai z sekurang-kurangnya 360, dan nilai terendahnya adalah 0 (nol) yang
tercapai ketika nilai z adalah 280 atau kurang.
f. dari (41) didapatkan nilai ^(4.7391,0,1.0870) = 1.000, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan
terhadap
pemenuhan
kendala
8x + 6 x 2 +x , < 48.
Karena
nilai
8 x j + 6 x 2 + x 3 = 38.9998 <48, hal ini berarti bahwa kendala tersebut benar-benar
terpenuhi, sehingga tingkat kepuasan (j,j bernilai 1. Nilai tertinggi dari (j,j adalah l(satu) yang
tercapai ketika nilai 8Xj + 6 x 2 + x 3 setinggi-tingginya 49, dan nilai terendahnya adalah 0
(nol) yang tercapai ketika nilai 8Xj + 6 x 2 + x 3 sekurang-kurangnya 48. Dengan demikian
jelaslah mengapa (4.7391,0,1.0870) = 1.000.
g. dari (42) didapatkan nilaifx2(4.7391,0,1.0870)= 0.8826, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan terhadap pemenuhan kendala
4x, + 2 x ; + 1.5\ , < 20. Karena nilai
4xj + 2 x 2 +1.5x3 = 20.5869>20, hal ini berarti bahwa kendala tersebut telah terlanggar,
sehingga nilai tingkat kepuasan \i2 menjadi di bawah 1. Nilai tertinggi dari \i2 adalah l(satu)
yang tercapai ketika nilai 4xj + 2 x 2 +1.5x3 setinggi-tingginya 20, dan nilai terendahnya
adalah 0 (nol) yang tercapai ketika nilai 4xj + 2 x 2 +1.5x3 sekurang-kurangnya 25.
h. dari (43) didapatkan nilaijx3(4.7391,0,1.0870)= 1.000, nilai ini mencerminkan tingkat
kepuasan
terhadap
pemenuhan
kendala
2x, + 1.5x2 +0.5x , < 8.
Karena
nilai
2xj +1.5x2 +0.5 x 3 = 10.217>8, hal ini berarti bahwa kendala tersebut telah terlanggar,
sehingga nilai tingkat kepuasan |j,3 menjadi di bawah 1. Nilai tertinggi dari |j,3 adalah l(satu)
yang tercapai ketika nilai 2 x , +1.5x2 +0 .5x 3 setinggi-tingginya 8, dan nilai terendahnya
adalah 0 (nol) yang tercapai ketika nilai 2Xj + 1 . 5 x 2 + 0 . 5 x 3 sekurang-kurangnya 11.
i. dari definisi (44) didapatkan 0 = min{0.3261,1.000,0.8826,1.000}= 0.3261
5. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari pembahasan sebelumnya dapat diberikan beberapa kesimpulan dan saran sebagai berikut.
Kesimpulan
Masalah Pemrograman Linear dengan Koefisien Fungsi Objektif Kabur (MPLKFOK)
(seperti bentuk (9)-(l 1)) dapat didekati menjadi Masalah Pemrograman Linear (MPL) biasa yang
dengan fungsi objektif tunggal (seperti bentuk (25)-(30b)).
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
25
JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO. 1, JUNI 2006: 14-27
Solusi MPLKFOK memberikan:
- ukuran tingkat kepuasan (level ofsatisfaction) terhadap solusi, seperti ditunjukkan oleh besaran
a , serta
- ukuran tingkat pemenuhan {level o f fiilfillment) kendala, seperti ditunjukkan oleh besaran 9 .
Dari interpretasi hasil yang diulas pada butir-b pada Bab-4 didapatkan bahwa keuntungan
optimal yang akan diperoleh PT Dakota Fumiture, bila digunakan model MPLKFOK3 (51)-(59),
adalah sebesar 306.086. Sedangkan keuntungan optimal bila masalahnya dimodelkan sebagai
MPL hanya 280 (dicapai untuk \ = 2,x2 = 0,x3 = 8). Namun sebenarnya fenomena ini tak
dapat diclaim sebagai keunggulan MPLKFOK3 atas MPL biasa. Hasil ini adalah wajar,
sehubungan dengan toleransi yang diberikan bagi ketersediaan sumber daya kayu, jam keija
finisihing dan jam keija cctrpentryi, disamping toleransi dalam bentuk interval yang diberikan pada
koefisien keuntungan dari per unit bangku, meja dan kursi. Letak keunggulan dari MPLKFOK3
atas MPL adalah pada:
- kemampuannya menggambarkan situasi nyata bahwa keuntungan suatu produk tidaklah selalu
dapat dinyatakan dalam bentuk sebuah bilangan saja, melainkan seringkah memerlukan
pernyataan bahwa keuntungan suatu produk berada pada suatu selang (interval),
- kemampuannya menggambarkan situasi bahwa dalam realitanya tidak semua kendala-kendala
itu deterministik (pasti harus dipenuhi), melainkan bersifat deterministik, artinya terdapat
probabilitas bagi kemungkinan pemenuhannya.
Saran
Solusi MPLKFOK pada penelitian ini berupa bilangan riil, untuk pengembangan selanjutnya
dapat diarahkan pada pencarian solusi MPLKFOK bilangan bulat. Pembahasan MPLKFOK dapat
dilanjutkan dengan analisis sensitivitas terhadap solusi yang dihasilkannya. Pada pendekatan
MPLKFOK menjadi MPL biasa dengan fungsi objektif tunggal digunakan kriteria pesimis, yaitu
kriteria maximin (lihat (22)-(23), (24)-(24c) dan (25)-(26)). Untuk penelitian selanjutnya dapat
dicoba penggunaan kriteria pengambilan keputusan yang lain, misalnya kriteria Hurwicz, kriteria
Laplace dan lain-lain.
6. DAFTAR SINGKATAN:
KFO
MPL
MPLKFOK
MPLKK
MPLKFOK3
PL
26
:
:
:
:
:
Koefisien Fungsi Objektif
Model Pemrograman Linier
Model Pemrograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Kabur
Model Pemrograman Linier dengan Kendala Kabur
Model Pemrograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Kabur dan
Kendala Kabur
: Pemrograman Linier
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http: //www.petra.ac.id/~puslit/jounials/dir.php?DepartmentID=IND
PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF... (Sam Susanto, et al.)
DAFTAR PUSTAKA
Susanto, S., 1999. Masalah Pemrograman Linear dengan Ruas Kanan Kabur. Proceeding
Seminar Nasional, BKSTI, SurabayaSusanto, S, dan Adianto, H., 2005. “Pemodelan dan Penyelesaian Pemrograman Linear dengan
Koefisien Fungsi Objektif Berbentuk Bilangan Kabur Segitiga“. Jurnal Ekonomi dan
Komputer (terakreditasi DIKTI), Universitas Gunadarma
Wang, L.-X., 1997. A Course in Fuzzy Systems and Control, Prentice-Hall Int., London.
Winston, W.L., 2003. Operations Research: Applications and Algorithms, edisi-4, International
Thomson Publishing, Belmont, California.
Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra
http://www.petra.ac. id/~puslit/joumals/dir.php?DepartmentID=IND
27
INFORMATION FOR CONTRIBUTORS
Guidelines F o r A uthors
Manuscripts to be considered for publication must be original. Paper accepted,
published, or submitted for publication elsewhere will not be accepted by Jurnal Teknik
Industri. If a paper contains material reproduced from other source, the necessary written
permission from the author(s) and publisher must accompany the manuscript.
Selection of the papers for publication is made by the editor-in-chief, who relies
primarily on the recommendation of reviewers. Paper appropriate for consideration
receive three or more independent blind reviews by member of the editorial board or by
the advisory board if necessary. Reviewers assess manuscript on their relevance to the
practical application research effort, logic, analytic quality and flow.
M anuscript
Authors should send their papers in diskette form together with 2 printed copies, use
letter quality printers rather than dot matrix, and print or type double spaced on one side
only of bond paper. The diskette should be in the form of a 31/2 inch (or 5 lA inch) in
Microsoft Word programme format. The title page should include the title of the
manuscript, the name(s), and their affiliation(s) and the abstract. The abstract should not
exceed 150 words.
Tables And Figures
All table and figures should be numbered serially, using Arabic numeral but each
category being numbered separately. Headings of tables and figures which should concise
and self sufficiently clear, must be in caps, bold-face, centered and placed at the top of the
table or figure. All table, figures, drawings and half-tone illustrations (pictures) should, as
far as possible, appear in appropriate place within the body of the text, and must be in a
form suitable for printing. A reference to each table or figure must appear in the text.
C itations and Refferences
Do not use footnotes. For literature citations in text, supply author surname and date of
publication, enter accordingly to an alphabetical list of reference, cited at the end of the
paper such as:
Chang, M.K., 1991. “A Comparative Study of the Industrialization Experiences of The
ASEAN Countries in E.Chen et al.” (ed). Industrial and Trade D evelopm ent on
Hong Kong, 223-254. Center of Asian Studies, Hong Kong.