TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN
KALKULUS
FEH1B3
S1 Teknik Telekomunikasi - Fakultas Teknik Elektro
Outline
•
•
•
•
Integral Parsial
Integral Fungsi Trigonometri
Substitusi Trigonometri
Integral Fungsi Rasional
MA1114 KALKULUS I
2
9.1 Integral Parsial
Formula Integral Parsial :
 u dv  uv   v du
Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana
Contoh : Hitung
x
x
e
 dx
misal u = x, maka du=dx
dv  e x dx  v   e x dx  e x
sehingga
x
x
x
x
x
x
e
dx

x
e

e
dx

x
e

e
C


MA1114 KALKULUS I
3
Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh Hitung
Jawab
2
2
x
sin
x
dx


x
cos x  2 x cos xdx

u  x2
(i) Misal
dv = sinxdx
(ii) Misal u = x
dv = cosx dx
MA1114 KALKULUS I

du = 2xdx
V=-cosx
du = dx
v = sinx
4
Integral parsial
  x 2 cos x  2( x sin x   sin x dx)
  x 2 cos x  2 x sin x  2cos x  C
Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan
Contoh Hitung
Integral parsial

x
x
x
e
cos
xdx

e
sin
x

e
sin xdx

Jawab :
(i) Misal
x
e
 cos xdx
u  ex
dv=cosxdx
du  e x dx
 e x sin x  (e x cos x   e x cos xdx)  C
 e x sin x  e x cos x   e x cos xdx)  C
v=sinx
du  e dx
(ii) Misal u  e
v=-cosx
dv = sinxdx
x
x
Integral yang dicari
,bawa keruas kiri
2  e x cos xdx  e x sin x  e x cos x  C
x
x
x
1
e
cos
xdx

(
e
sin
x

e
cos x)  C
2

MA1114 KALKULUS I
5
MA1114 KALKULUS I
6
Soal latihan
Hitung
e
1.
 ln x dx
1
2.
3.
4.
5.
6.
 x ln xdx
 ln(1  x )dx
2
1
sin
xdx

1
tan
xdx

1
x
tan
xdx

MA1114 KALKULUS I
7
9.2 Integral Fungsi Trigonometri
Bentuk :  cosn x dx &  sinn x dx
* Untuk n ganjil, Tuliskan :
n
n 1
sin n x  sin x sin n 1 x dan cos x  cos x cos x
2
2
dan gunakan identitas sin x  cos x  1
* Untuk n genap, Tuliskan :
sin n x  sin 2 x sin n  2 x dan cosn x  cos2 x cosn  2 x
2
2
dan gunakan identitas cos 2 x  2 cos x  1  1  2 sin x
MA1114 KALKULUS I
8
Contoh Hitung
3
sin
x dx
1. 
2.
4
sin
 x dx
Jawab
1.
2.
2
3
3
2
1





1

cos
x
d
cos
x

cos
x

cos
xC
sin
x
dx

sin
x
sin
x
dx
3



1  cos 2 x 1  cos 2 x
4
2
2
sin
x
dx

sin
x
sin
x
dx

(


 2 ) ( 2 ) dx
1
  (1  2 cos 2 x  cos2 2 x)dx  1 ( dx 2 cos 2 x dx  1  cos 4 x dx)

 2
4
4 

MA1114 KALKULUS I
3
1
1
1
1
1
1
x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x  sin 4 x  C
8
4
32
4
4
8
32
9
•
Bentuk
m
n
sin
x
cos
x dx

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan
gunakan identitas sin2 x  cos2 x  1
m
n
b). Untuk m dan n genap, tuliskan sin x dan cos x
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
identitas cos 2 x  2 cos2 x  1  1  2 sin 2 x
Contoh :


2
2
3
2
2
2


1

cos
x
cos
x d cos x 
sin
x
cos
x
dx

sin
x
cos
x
sin
x
dx





   cos2 x  cos4 x d cosx 
1
1
5
 cos x  cos3 x  C
5
3
MA1114 KALKULUS I
10
1  cos 2x 1  cos 2x
dx
 sin x cos x dx  
2
2
2
2

1
2
(1

cos
2 x)dx

4

1
1
dx

cos 4 x dx
8
8
1
1  cos 4 x
 (1 
dx)
4
2
1
1
 x  sin 4 x  C
8
32
MA1114 KALKULUS I
11
m
n
m
n
tan
x
sec
x
dx
dan
cot
x
csc
xdx


Bentuk
Gunakan identitas
tan 2 x  sec2 x  1 , cot2 x  csc2 x  1
serta turunan tangen dan kotangen
d (tan x)  sec 2 xd , d (cot x)   csc2 x dx
.
Contoh
a.
4
2
2
2
2
tan
xdx

tan
x
(sec
 1)dx
  tan x tan x dx 

  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx
  tan 2 xd (tan x)   (sec 2 x  1)dx
 13 tan 3 x  tan x  x  C
MA1114 KALKULUS I
12
b.
2
4
2
2
2
tan
x
sec
x
dx

tan
x
sec
x
sec
xdx


  tan 2 x(1  tan 2 x)d (tan x)
  tan 2 x  tan 4 x d (tan x)
1
1
5
 tan x  tan 3 x  C
5
3
MA1114 KALKULUS I
13
Soal Latihan
Hitung
1.
4
5
sin
x
cos
x dx

 /4
2.
4
2
tan
t
sec
t dt

0
4
sec
x dx
3. 
2
4
cot
w
csc
w dw
4. 
5.
3
csc
 x dx
MA1114 KALKULUS I
14
9.3 Substitusi Trigonometri
a. Integran memuat bentuk a  x
2
Contoh Hitung
25  x
dx
2
x
2

Misal
x  5 sin t
dx = 5 cost dt
5
x
t

,misal
x  a sin t
25  x 2
dx
2
x


25  25 sin 2 t 5 cost dt
25 sin 2 t
25(1  sin 2 t )
5 sin 2 t
cos2 t
2
dt

cot
t dt
cos tdt  
2

sin t
  (csc2 t  1)dt   cot t  t  c
25  x 2
1 x

 sin ( )  C
x
5
25  x 2
MA1114 KALKULUS I
2
15
b. Integran memuat bentuk
Contoh Hitung
x
Misal
25  x 2
1
2
25  x
2
x
dx
x  5 tan t
dx  5 sec 2 t dt
x
tan t 
5
a2  x2
1
2
25  x

2
x  a tan t
dx
5 sec2 t dt
25 tan 2 t 25  25 tan 2 t
1
sec2 t dt
1 cost
1 d (sin( t ))


dt  
25  tan 2 t sec t 25  sin 2 t
25 sin 2 t
1
25  x 2

C  
C
25 x
25 sin t
x
t
5
MA1114 KALKULUS I
,misal
16
c. Integran memuat bentuk
Contoh Hitung
x
Misal
1
2
x  25
2
x
1
2
dx
x  5 sec t
dx  5 sec t tan t dt
x
sec t 
5
x
x  25
2

x2  a2
5 sec t tan t dt
25 sec2 t 25 sec2 t  25
1 sec t tan t dt
1 sec t
1

  2 dt   cost dt
25  sec2 t tan t
25 sec t
25
1

sin t  C
25
5
MA1114 KALKULUS I
x  a sec t
dx
x 2  25
t
,misal
17

x 2  25
C
25 x
Soal Latihan
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.





MA1114 KALKULUS I
x2
9 x
2
2x  3
4  x2
dx
dx
6.

7.

8.

dx
x2 4  x2
dx
x x2  9
dx
9.

dx

x2  9
3/ 2
3x dx
x 2  2x  5
5  4 x  x 2 dx
2x  1
 x2  2x  2 dx
x 2 x 2  16
18
Substitusi Bentuk Akar
Integran memuat n ax  b
Contoh Hitung
Jawab :
Misal

dx
22 x
u2  x
Dengan turunan implisit
2u
du
1
dx
MA1114 KALKULUS I
u
n
ax  b
dx
22 x

u x
,misal
dx=2udu
2udu
u


du
2  2u
u 1
1
u 11

(
1

)du

du

u 1
u 1
 u  ln( u  1)  C

19

x  ln 1 

x C
Soal Latihan
Hitung
1.
x 3x4
dx
x 2  2x
dx
2. 
x 1
t
3.  t  1 dt
4.
5.
6.
MA1114 KALKULUS I
 x x  1 dx
t
 3t  4 dt
2/3
x
(
1

x
)
dx

20
9.4 Integral Fungsi Rasional
P x
f  x  , der (P)< der(Q)
Q x
•
Integran berbentuk fungsi rasional :
•
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang.
4. Faktor kuadratik berulang.
•
Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal Q x  a1 x  b1 a2 x  b2 ... an x  bn

maka,
dengan
MA1114 KALKULUS I

 
P  x
A1
A2
An


 ... 
Q  x a1 x  b1
a2 x  b2
an x  bn
A1, A2 , ... ,konstanta
An
yang dicari.
21

Contoh Hitung
Jawab

x 1
dx
2
x 9
Faktorkan penyebut :
x 2  9  ( x  3)( x  3)
x 1
A
B
A( x  3)  B( x  3)



x 2 9  x3  x3
( x  3)( x  3)
 x  1 A x3 B x3   A Bx   3A3B
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1
-3A+3B=1
x3
x1
3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4
Sehingga

MA1114 KALKULUS I
B=2/3 ,A=1/3
1
2
x 1
3 dx
3 dx  1 ln | x  3 |  2 ln | x  3 | C
dx

  x3   x3
x 2 9
3
3
22
Kasus 2 Linear berulang
Misal Q x  
Maka
 ai x  bi  p
Ap 1
Ap
Px 
A1
A2


...

2
p 1
Qx  ai xbi  ai xbi 
ai xbi  ai xbi p
dengan konstanta
Contoh Hitung

A1 , A2 ,..., Ap 1 , Ap akan dicari
1
 x  2   x  1
2
dx
Jawab
1
 x22  x1

A
B
C


x2 x 22  x1
MA1114 KALKULUS I
23
A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2

2
 x2  x1
x 22  x1
1
Penyebut ruas kiri =
penyebut ruas kanan
1 A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2
1 ( A  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  (4C  2 A  B)
A+C=0
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1
1
  x2  x1
2
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1 +
-A+8C=1
dx
A+C=0
-A+8C=1
9C=1
+
B=-1/3
A=-1/9
C=1/9
1
1
1
1
1
1
dx

dx

dx
2



9 x2
3 x 2
9  x1
1
1
1
  ln | x  2 | 
 ln | x  1 | C
9
3( x  2) 9
MA1114 KALKULUS I
24
Kasus 3 Kuadratik tak berulang
Misal

Q x   a1 x 2  b1 x  c1
  a2 x2  b2 x  c2  ... an x2  bn x  cn 
Maka
P  x
A1 x  B1
A2 x  B2
An x  Bn



...

Q  x  a1 x 2  b1 x  c1
a2 x 2  b2 x  c2
an x 2  bn x  cn
Dengan
MA1114 KALKULUS I
A1 , A2 ,..., An , dan B1 ,B2 ,...,Bn konstanta yang akan dicari
25
Contoh Hitung
dx
xx 2  1

Jawab

1
A B xC

 2
2
x x 1 x
x 1







A x 2  1  ( Bx  c) x

x x2 1

1  A x 2  1  ( Bx  c) x
A+B=0
C=0
A=1

1  ( A  B) x 2  cx  A
x
x d ( x 2  1)
dx   2
2
x 1
x  1 2x
B=-1

1
x
1
dx

dx

 x x 2  1  x  x 2  1 dx





1 d ( x 2  1)
  2
2
x 1
1
 ln | x |  ln( x 2  1)  C
2
MA1114 KALKULUS I
26
Kasus 4 Kuadratik berulang

Misal Q x   ai x 2  bi x  ci

p
Maka
Ap 1 xB p 1
Ap x  B p
P x 
A1 xB1
A2 xB2


...

2
p 1
2
2
2
Qx  ai x bi xci ai x bi xci
ai x bi xci
ai x 2 bi xci




Dimana A1 , A2 ,..., Ap1 , Ap danB1 ,B2 ,...,Bp1,Bp
MA1114 KALKULUS I
27



konstanta yang akan dicari
p
Contoh Hitung 
Jawab :
6 x 2  15x  22
 x  3  x2  2
6x 2 15 x 22
 x3x 2 22



2
dx
A
B xC DxE
 2

 x3 x 2 x 2 2 2







A x 2 2  ( BxC ) x 2 2  x3  ( DxE )( x  3)
2

 x3x 2 22


6 x  15 x  22  A x 2  ( BxC ) x 2 2  x3  ( DxE )( x  3)
2
2
2
6 x 2  15 x  22  ( A  B) x 4  (3B  C ) x 3  (4 A  2 B  3C  D) x 2 
(6B  2C  3D  E ) x  (4 A  6C  3E )
MA1114 KALKULUS I
28
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=6
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0
Sehingga
6x 2 15 x22
1
x3
x
 x3 x 2 2 2 dx   x3 dx x 2 2 dx 5 x 2 2 2 dx
dx
1 2x
dx
5
2x

  2
dx  3 2
  2
dx
2
x3 2 x 2
x  2 2 ( x  2)






1
3
5
 x 
 ln | x  3 |  ln( x 2  2) 
tan 1 

 C.

2
2
2
 2  2( x  2)
MA1114 KALKULUS I
29
Catatan jika der ( P( x))  der (Q( x)) , bagi terlebih
dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga
P( x)
S ( x) , der( S ( x))  der(Q( x))
 H ( x) 
Q( x )
Q( x )
Contoh Hitung
x 3  2x 2  x  4
 x 2  4 dx
Der(P(x))=3>der(Q(x))=2
Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)
x +2
x2  4
x3  2 x 2  x  4
x3  4 x
x 3  2x 2  x  4
5x  4

x

2

x2  4
x2  4
2 x 2  5x  4
2x 2  8
5x+4
MA1114 KALKULUS I
30
5x  4
5x  4
A
B



x 2  4 ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  2)

A( x  2)  B( x  2)
( x  2)( x  2)
5 x  4  A( x  2)  B( x  2) ………………………..(*)
Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk
Untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2
5.2+4=A(2+2)
5.(-2)+4=B(-2-2)
Untuk x = -2
Dengan menggunakan hasil diatas :
A=7/2
B=3/2
x3  2 x 2  x  4
7
1
3
1
dx

(
x

2
)
dx

dx

dx
 x2  4



2 x2
2 x2
1 2
7
3
 x  2 x  ln | x  2 |  ln | x  2 | C
2
2
2
MA1114 KALKULUS I
31
Soal Latihan
Hitung
1.
2x  1
 x2  6x  18 dx
1
2.  ( x  5) 2 ( x  1) dx
6.

7.
x3  x2
 x 2  5x  6 dx

5 x 2  3x  2
dx
3. 
3
2
x  2x
dx
4.
 x(x
2
 1) 2
x 2  2x
dx
5.  x 3  3x 2  4
2
5
MA1114 KALKULUS I
2 x 2  3 x  36
32

2 x  1 x2  9

dx