KONSEP DASAR RING BERNORMA SKRIPSI Untuk memenuhi

KONSEP DASAR RING BERNORMA
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna
memperoleh derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
Diajukan oleh
Burhanudin Arif Nurnugroho
NIM. 05610001
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2009
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta
alam atas limpahan rahmat serta hidayah-Nya. Atas ridho-Nya sehingga tulisan ini
dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi Akhir
zaman, nabi Muhamad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang
terang.
Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi
dari skripsi ini membahas tentang konsep dasar ring bernorma.
Atas terselesaikanya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan dan
bimbingan dari berbagai pihak. Maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih setinggi-tinginya kepada:
1. Ibu Dra. Maizer Said Nahdi, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta .
2. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas Sains
dan Teknologi, sekaligus Ketua Prodi Matematika, Pembimbing
akademik, serta pembimbing pertama, atas bimbingan, arahan, motivasi
dan ilmu yang diberikan.
3. Bapak Muhamad Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing kedua, atas
arahan, bimbingan dan ilmu yang diberikan kepada peneliti.
4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi
atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan.
v
5.
Bapak, Ibu , kakaku, keponakanku (Riza) yang peneliti sayangi atas
motivasi serta bantuan baik material maupun moral sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika maupun pendidikan matematika
angkatan 2004 sampai 2008. terutama buat teman-teman angkatan 2005
dan 2006 baik murni maupun pendidikan, terima kasih atas ide/buah
pikiran saat penulis mengajak diskusi.
Semoga, segala bantuan dan motivasi yang penulis tarima dapat
bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Dan semoga budi baik
dari semua pihak yang diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang
setimpal dari Allah SWT. Amin.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari
sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapakan kritik serta saran dari para
pembaca demi sempurnanya skripsi ini.
Walaupun masih banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini
dapat memberikan manfaat kepada para pembaca terutama teman-teman di
bidang matematika.
Yogyakarta, 30 Maret 2009
Penulis
Burhanudin Arif Nurnugroho
vi
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persebahkan kepada:
™ Bapak dan Ibuku yang telah mendidik, membesarkan serta slalu
mendo’akanku
™ Kakaku serta keponakanku(Riza)
™ Teman-teman matematika UIN Sunan Klijaga angkatan 2005
vii
MOTTO
”Allah Meninggikan Orang-orang yang beriman dan orang-orang yang diberi ilmu
pengetahuan beberapa derajat” (Al-Mujaadalah:11)
“Syukuri dan hargailah setiap apa yang kamu miliki saat ini, karma kamu akan
sangat kehilangan ketika ia tak bersamau lagi”
“kenalilah Allah saat kita senang, maka Allah akan menyayangi kita saat kita
susah”
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………
i
SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ……………………………………...
ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………….
iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ……………………………...
iv
KATA PENGANTAR …………………………………………………….
v
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………..
vii
HALAMAN MOTTO ……………………………………………………..
viii
DAFTAR ISI ………………………………………………………………
ix
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN ....................................................
xi
ABSTRAKSI ………………………………………………………………
xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ……………………………………………...
1
1.2
Batasan Masalah ……………………………………………
3
1.3
Rumusan Masalah…………………………………………..
4
1.4
Tujuan Penelitian …………………………………………...
4
1.5
Manfaat Penelitian ………………………………………….
4
1.6
Tinjauan Pustaka …………………………………………...
5
BAB II DASAR TEORI
2.1.
Himpunan ……………………………………………………
6
2.2
Fungsi ………………………………………………………...
14
2.3
Ring …………………………………………………………..
21
2.4
Ruang Vektor/Ruang Linear ………………………………....
29
BAB III METODE PENELITIAN ..……………………………………...
38
BAB IV RUANG TOPOLOGI
1.1.
Himpunan Konveks …………………………………………
41
4.2.
Ruang Topologi ………………………………………………
43
ix
4.3.
Ruang Linear Topologi ……………………………………… 53
4.4.
Ruang Metrik ………………………………………………..
59
4.5.
Ruang Bernorma …………………………………………...
72
Bab V RING BERNORMA
5.1
Ring pada ruang linear ……………………………………..... 97
5.2.
Ring Topologi ………………………………………………..
5.3:
Ring Bernorma……………………………………………….. 110
5. 4.
Penjumlahan dari identitas ....................................................... 122
5. 5
Ring Banach dengan identitas .................................................
5.6
Homomorfisma kontinu dalam ring bernorma ........................ 126
5.7
Representasi regular dari ring bernorma ................................
107
124
129
Bab VI PENUTUP
6.1
Kesimpulan …………………………………………………
135
6.2
Saran-saran …………………………………………………
136
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………..
137
x
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN
φ
: Himpunan kosong
\
: Himpunan Bilangan Real
⊂
: Himpunan bagian (subset)
⊃
: Superset
∩
: Irisan
∪
: Gabungan
: Nilai mutlak
P(X)
: Keluarga himpunan dari himpunan X
τ
: Topologi
(X, τ)
: Ruang Topologi
U(x)
: Persekitaran dari titik x
d(x,y)
: Jarak/metrik titik x dengan titik y
(X,d)
: Ruang metrik
: Norm (norma)
(X,
)
: Ruang bernorma
i
A
: Himpunan dari semua barisan fundamental di A
B ( x, ε )
: Bola terbuka (open ball) dengan pusat x dan berjari-jari ε
C[a, b]
: Koleksi semua fungsi kontinu dari [a, b] ke \
Sup
: Suprimun
Maks
: Maksimal
xi
KONSEP DASAR RING BERNORMA
Oleh : Burhanudin Arif Nurnugroho (05610001)
ABSTRAKSI
Ring merupakan salah satu konsep dasar dalam ranah aljabar abstrak. Ring
terbangun oleh sebuah himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner
dan memenuhi aksioma ring.
Berdasar konsep tersebut, dalam skripsi ini penulis mencoba meneliti
pengkhususan dari konsep ring. Pengkhususan ini terletak pada ruang lingkup
ring yang akan dibahas. Jika biasanya sebuah ring hanya terbangun dalam suatu
himpunan, maka dalam penelitian ini akan dikhususkan pada konsep ring dalam
ruang lingkup ruang bernorma.
Lebih lanjut, akan dteliti juga bahwa sebuah ring bernorma merupakan
sebuah ring topologi. Oleh karenanya dalam skripsi ini sebelum masuk pada
pembahasan inti, disinggung terlebih dahulu tentang ruang topologi, ruang
metrik, ruang bernorma, konsep topologi pada ruang bernorma dan lain
sebagainya.
Dilihat dari sifat kelengkapanya sebuah ruang bernorma dapat menjadi
ruang Banach. Jika sifat kelengkapan ini berlaku pada ruang bernorma yang
membangun ring bernorma maka ring ini menjadi ring Banach.
Keywords : ring, ruang bernorma, ruang Banach, representasi , ring bernorma
xii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika menurut pandangan seorang filosof dan matematikawan
August Comte bukanlah ilmu. Matematika adalah suatu alat berfikir logik,
sehingga matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena.
Walaupun demikian dalam praktik, fenomena memang lebih kompleks
(Noeng Muhajir, 2001:70).
Tak jauh beda dengan sains, matematika dapat dibagi dalam berbagai
rumpun, misalnya rumpun aljabar, analisis, terapan, komputer dan statistik.
Lebih lanjut, rumpun aljabar terbagi lagi dalam berbagai bidang antara lain
aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar geometri dan lain sebagainya. Demikian
juga rumpun analisis masih terbagi dalam berbagai bidang misal analisis real,
analisis kompleks dan analisis fungsional. Analisis merupakan salah satu
cabang matematika yang terus menerus mengalami perkembangan yaitu dari
analisis klasik dan berkembang menjadi analisis modern. Analisis klasik
berbicara tentang sistem bilangan, kekonvergenan suatu barisan maupun deret,
kekontinuan, pendiferensialan serta pengintegralan. Sedangkan analisis
modern berbicara tentang konsep yang besifat abstrak, yang bekerja pada
konsep ruang. Salah satu yang dibahas dalam analisis modern adalah analisis
fungsional yaitu merupakan suatu studi tentang struktur aljabar- topologi (Fitri
Hidayati, 2002:1).
2
Namun apakah tiap-tiap rumpun matematika berdiri sendiri? Ternyata
tidak. Misal saat membahas bidang analisis real tentu akan dimulai dengan
konsep bahwa sistem bilangan real adalah sebuah lapangan (field). Padahal
diketahui bahwa field dibahas dalam aljabar abstrak. Salah satu cabang
matematika yang menggabungkan dua konsep dalam matematika adalah
analisis fungsional. Sebagaimana sudah dijelaskan di atas bahwa salah satu
yang dipelajari dalam analisis fungsional adalah mempelajari struktur aljabartopologi. Demikian halnya dengan konsep ring yang dipelajari dalam aljabar
abstrak, serta konsep ruang bernorma dalam aljabar linear. Jika kedua konsep
ini digabung maka akan mempelajari konsep-konsep analisis fungsional.
Penggabungan konsep ring dan ruang bernorma akan menjadi konsep
ring bernorma. Teori ring bernorma merupakan pengembangan dari analisis
fungsional. Walaupun merupakan sesuatu yang baru tetapi teori ring bernorma
mempunyai aplikasi numeris di berbagai cabang matematika, misalkan
applikasi teori ring bernorma komutatif pada teori grup komutaif bikompak
lokal ( locally bicompact commutative groups).
Ring dalam pemahaman dasar adalah suatu himpunan tak kosong yang
dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma.
Operasi biner yang dimaksud dalam ring ini adalah operasi penjumlahan dan
operasi pergandaan. Ruang lingkup dari ring di sini masih berkutat pada suatu
himpunan.
Namun teori ring bernorma, seperti telah dijelaskan di atas merupakan
suatu penggabungan dari konsep dasar ring dengan konsep ruang bernorma.
3
Hal ini mengakibatkan pembahasan ring bernorma tidak hanya akan berkutat
pada ruang lingkup himpunan namun dikhususkan dalam ruang vektor, di
mana ruang vektor dalam pembahasan skripsi ini akan dikhususkan lagi pada
ruang bernorma.
Berdasarkan uraian di atas, penulis akan melakukan studi literatur
mengenai konsep dasar ring bernorma. Diharapakan dari penelitian ini, dapat
memberikan gambaran tentang konsep ring bernorma.
.
1.2 Batasan Masalah
Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat penting, untuk
menghindari kesimpang-siuran terhadap objek dari suatu penelitian.
Permasalahan yang terdapat dalam penelitian ini adalah bagaimanakah konsep
ring bernorma itu.
Konsep dari teori ring bernorma masih mencakup ruang lingkup yang
sangat luas. Karena bahasan dalam teori ring bernorma dapat meliputi ring
simetris, ring bernorma yang komutatif, representasi ring simetris dan lain
sebagainya, dimana setiap bahasan tersebut masih memiliki berbagai
subbahasan yang sangat menarik untuk dikaji, namun dalam penelitian ring
bernorma ini hanya akan difokuskan pada konsep dasar tentang ring bernorma
serta sifat-sifatnya. Serta dibahas pula bahwa ring bernorma juga merupakan
ring topologi.
4
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraiakan
diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut:
1. Konsep-konsep apakah yang membangun ring bernorma?
2. Bagaimanakah konsep dari ring bernorma?
3. Bagimanakah konsep homomorfisma kontinu dari ring bernorma?
4. Bagaimanakah konsep representasi reguler dari ring bernorma?
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengkaji tentang konsep-konsep yang membangun ring bernorma.
2. Mengkaji tentang konsep ring bernorma.
3. Mengkaji tentang konsep homomorfisma kontinu ring bernorma.
4. Mengkaji representasi reguler dari ring bernorma.
Secara umum tujuan penulis ingin mengkaji tentang konsep ring
bernorma serta mengetahui dan memahami mengenai teorema-teorema, sifatsifat yang berkaitan dengan ring bernorma.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain
sebagai berikut:
1. Memberikan pengetahuan serta gambaran tentang ring bernorma.
5
2. Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep
aljabar abstrak khususnya tentang ring masih sangat luas.
3. Memberi
motivasi
kepada
para
peneliti
untuk
lebih
banyak
mengembangkan konsep konsep teori ring bernorma.
1.6 Tinjauan Pustaka
Tinjauan pustaka dalam penulisan tugas akhir ini adalah sebuah skripsi
tentang ” Ruang Vektor Topologi” oleh Fitri Hidayani mahasiswa UGM yang
membahas tentang konsep-konsep yang ada pada ruang vektor topologi.
Pembahasan skripsi tersebut memberi gambaran tentang konsep ruang vektor
topologi.
Tinjauan pustaka yang kedua adalah skripsi tentang “Grup Topologi”
oleh Ratna Widi Utami yang juga merupakan mahasiswa UGM. Skripsi ini
membahas tentang konsep-konsep dari grup topologi. Telah diketahui bahwa
ring adalah suatu pengembangan dari konsep grup. Tinjauan pustaka ini lebih
bersifat memberi motivasi penulis untuk melakukan studi literatur ke tingkat
selanjutnya yaitu ring bernorma yang juga merupakan suatu ring topologi.
Tinjauan pustaka yang pertama, seperti yang telah dijelaskan
membahas tentang konsep-konsep ruang vektor topologi. Sementara dalam
skripsi ini konsep ruang vektor topologi digunakan sebagai dasar untuk
mengkaji konsep dari ring topologi. Konsep ini kemudian akan digunakan
sebagai dasar mempelajari bahwa ring bernorma juga merupakan ring
topologi, dimana konsep ini belum dibahas dalam tinjauan pustaka tersebut.
Bab VI
PENUTUP
1.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian serta studi literatur yang dilakukan peneliti
tentang konsep-konsep dasar ring
bernorma, dapat ditarik beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1.
Ring bernorma dibangun oleh sebuah ruang bernorma yang dilengkapi
dengan operasi pergandaan dan memenuhi beberapa aksioma ring
bernorma.
2.
Sebuah ruang bernorma juga merupakan sebuah ruang metriks.
Akibatnya seluruh sifat dalam ruang metriks berlaku dalam ruang
bernorma. Lebih lanjut, karena ruang metriks merupakan ruang topologi
maka ruang bernormapun juga merupakan ruang topologi. Berdasar hal
ini dapat dikembangkan bahwa sebuah ring bernorma juga merupakan
ring topologi.
3.
Berdasar sifat kelengkapan pada ruang bernorma, sebuah ring bernorma
dapat dikembangkan menjadi sebuah ring baru dengan nama ring
Banach. Yaitu jika dalam sebuah ring bernorma, ruang bernorma yang
membangun adalah ruang bernorma yang lengkap (ruang Banach) maka
ring tersebut dinamakan ring Banach.
4.
Suatu pemetaan/operator yang mengawankan suatu ring bernorma R
menuju suatu ring yang elemen-elemennya adalah operator-operaor
136
linear dari R ke R disebut sebuah representasi reguler dari R.
Representasi reguler dapat dibedakan menjadi dua yaitu kanan dan kiri
1.2 Saran-saran
Penelitian ini, diharapkan menjadi sebuah langkah awal dalam
mengkaji konsep-konsep lanjut dari ring bernorma. Berdasar pada proses
penelitian ini, saran-saran yang dapat disampaikan peneliti adalah:
1. Penelitian ini hanya membahas tentang konsep-konsep dasar saja yang
harus ada pada sebuah ring
bernorma. Pembahasan ring dapat
dikembangkan lagi misalnya pembahasan tentang ring bernorma simertri
serta sifat-sifatnya.
2. Selain itu, dapat dikembangkan pula tentang konsep dari spectra dalam
ring Banach.
Demikian saran-saran yang dapat disamapaikan oleh peneliti. Semoga
dapat menjadi inspirasi bagi para pembaca untuk mengembangkan konsepkonsep lanjutan dari ring bernorma pada khususnya, serta konsep-konsep
aljabar pada umumnya.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Bandung: Erlangga.
Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000.Introduction to Real Analysis. New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Darawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Yogyakarta: Jurusan
Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada.
Darawijaya, Soeparna.2007.Pengantar Analisis Abstrak. Yogyakarta : Jurusan
Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada.
Debnath, L dan Mikusineksi, P. 1990. Introduction to Hilbert Space With
Applications.Academic Press.
Fitri Hidayani .2002. Ruang Vektor Topologis. Skripsi. Yogyakarta :Jurusan
Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada.
Gupta S.L.,Nisha Rani. 1988.Fundamental Real Analysis. New Dehli: vikas
Publishing House PVT LTD.
Herstein, I. N. 1996. Abstract Algebra. 3rd ed.New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Hutahaean, E.1994. Fungsi Riil. Bandung: Penerbit ITB.
Kartono dan F.W. Nurwiyati.1995. Pengantar Topologi. Yogyakarta: Andi Offet.
Lipschutz, Seymour. 1981.Schaum’s Outline of Theory and Problems of general
Topology.Singapore: Kin Keong printing Co.Pte. Ltd.
Muhajir, Noeng. 2001.Filsaft Ilmu Positivisme,PostPositivisme dan PostModernisme.
edisi II.Yogyakarta:Rakesaeasin.
Mungkers, James R. 1975.Topology A Fist Course. Englewood, New Jersey:
Prentice-Hall.Inc.
Naimark, M.A. 1964. Normed Ring. Netherlands: P. Noordhoff Ltd.
Ratna Widi Utami. 2007. Grup Topologi. Skripsi, Yogyakarta : Jurusan Matematika
Fakultas MIPA UGM.
138
Rudin, Walter.1991. Functional Analysis second edition. Singapore: McGraw-Hill,
Inc.
Sukirman. 2006.Aljabar Abstrak Lanjut Teori Gelanggang. Yogyakarta: Hanggar
Kreator.
Sukirman.2003.Pengantar Aljabar Abstrak (Penganatar Teori Grup). Yogyakarta:
Jurusan matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta.
Sukirman.2006. Logika dan Himpunan. Yogyakarta: Hanggar Kreator.
Wahyudin.1987.Dasar-Dasar Topologi. Bandung: Transisto.
Zeidler, Eberhard. 1995.Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical
Physics. New York: Springer, Verlag New York Inc.