Pertemuan 25-26 BILANGAN KOMPLEKS

Pertemuan 25-26
BILANGAN KOMPLEKS
1. Bilangan kompleks
Bilangan yang terjadi dari bilangan
real dan bilangan imaginer.
a) Bilangan imaginer
-1 = i
i =
2
( -1) = -1
2
i 3 = i 2 . i = (-1). i = - i
( )
i =i
4
i
100
2 2
=i
100
= (-1)2 = 1
( )
.i = i
2 50
. i = (-1)50 . i = 1. i = i
- 5 = -1 . 5 = i 5
- 9 = - 1 . 9 = 3i
b) Bilangan kompleks
Z=x+yi
dimana : x dan y = bagian real
i
= imaginer
Z = x – y i disebut sekawan
Z = -x – yi disebut berlawanan
c) Operasi Hitung Bil. Kompleks
a. Operasi Penjumlaha n
(5 + 3i) + (2 - 7i) = 7 - 4i
b. Operasi
Penguranga n
(5 + 3i) - (2 - 7i) = 5 + 3i - 2 + 7i
= 3 + 10i
c. Operasi
Perkalian
(5 + 3i)(2 - 7i) = 10 - 35i + 6i - 21i
= 10 - 29i - 21(-1)
= 10 + 21 - 29i
= 31 - 29i
2
d)
Operasi
Pembagian
5 + 3i 2 + 7i
5 + 3i
.
=
2-7
2 - 7i 2 + 7i
=
(5 + 3i)(2 + 7i)
(2 - 7i)(2 + 7i)
10 + 35i + 6i + 21 i 2
=
( 2 ) 2 - (7i) 2
=
10 + 41i + 21(-1)
4 - 49 i 2
=
10 - 21 + 41i
4 - 49(-1)
=
= -
- 11 + 41i
53
11
41
+
i
53
53
Sifat sifat operasi aljabar
bilangan kompleks
1. z 1 + z 2 = z 2 + z 1
2. z 1 . z 2 = z 2 . z 1
3. z1 + (z 2 + z 3 ) = (z1 + z 2 ) + z 3
4. z1 (z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3
5. z 1 - z 2 = z 1 + ( − z 1 )
6. z + z = 2 Re (z)
7. z . z = x 2 + y 2
8.
Im(
z) =
z - z
2i
, dimana z = x + y i
9. z 1 + z
2
= z1 +z
10. z 1 . z
2
= z1 . z
11. 

z
z
1
2



12. z 2 - z 1
13 z1 + z 2
=
z
z
2
2
1
2
→ jarak z 1 ke z 2
≤ | z1 | + | z 2 |
Z = x + yi (bentuk caertesius)
Bentuk polar bilangan kompleks
Z = r (cos θ + i sin θ)
Dimana : r = x 2 + y 2
tg θ =
y
x
→ θ = arc tg
y
x
Jika :
z 1 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )dan z 2 = r2 (cos θ 2 +i sin θ 2 )
Maka
z 1 z 2 = r1 r2 [cos(θ 1 + θ 2 )+ i sin (θ 1 + θ 2 )]
Dan
z1
r
= 1 [cos( θ 1 - θ 2 ) + i sin (θ 1 - θ 2 )]
z2
r2
BILANGAN KOMPLEKS DALAM
BENTUK EKSPONENSIAL
Z = r . e iθ
dimana
e iθ = cos θ + i sin θ
(Rumus Euler)
Sehingga :
Z 1 Z 2 = r1 r 2 e i( θ 1 + θ 2 )
dan
r1
Z1
=
. e i( θ 1 - θ 2 )
Z2
r2
Teorema De Moivre
(cos θ +i sin θ ) n = cos n θ + cos n θ + i sin n θ
AKAR AKAR BILANGAN
KOMPLEKS
Z n = r(cos θ + i sin θ )
Z k = [r (cos θ + i sin θ )]
1
n
1
n
Z k = r [cos (θ + k . 2π )+ i sin (θ +k . 2π )]
Zk =
n
 θ + 2 k π 
r  cos 
 + i sin
n

 
untuk k = 0,1,2,..., n - 1
θ + 2 k π

n

1
n


