bab ii medan listrik di sekitar konduktor silinder

BAB II
MEDAN LISTRIK DI SEKITAR KONDUKTOR SILINDER
II. 1 Hukum Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736-1806), adalah orang yang pertama kali yang
melakukan percobaan tentang muatan listrik statis. Dari hasil percobaannya,
Coulomb menyatakan bahwa gaya F antara dua muatan Q1 dan Q2, berbanding lurus
dengan besar muatan, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak R antara dua
muatan tersebut. Secara matematis persamaannya dapat ditulis :
F k
Q1Q2
R2
(Newton)
(2.1)
Dimana k adalah suatu nilai konstanta. Dalam Sistem Internasional (SI), nilai
konstanta k diberikan oleh:
k
1
(2.2)
4
dimana ε merupakan permitivitas medium di sekitar muatan. Satuan SI untuk
permitivitas adalah Farad per meter (Fm-1). Permitivitas ruang hampa adalah:
 0  8.85  10 12 Fm 1  8.85 pFm 1

1
1
 10 9 Fm 1 
nFm 1
36
36
Permitivitas udara nilainya mendekati permitivitas ruang hampa.
Gaya merupakan besaran vektor, oleh sebab itu, gaya memiliki besar dan arah. Jika
Persamaan (2.1) ditulis sebagai persamaan vektor dengan mensubstitusikan nilai k,
maka diperoleh:
5
Universitas Sumatera Utara
F  rˆ.
Q1Q2
r 2 4
(2.3)
F = gaya (Newton)
Dimana :
= vektor satuan yang searah dengan garis yang menghubungkan
kedua muatan
Q1 = muatan 1 (Coulomb)
Q2 = muatan 2 (Coulomb)
ε = permitivitas medium di sekitar muatan (Fm-1)
r
= jarak di antara kedua muatan (m)
Rumus di atas merupakan rumus vektoris Hukum Coulomb secara lengkap
dalam satuan SI. Arah gaya yang timbul pada muatan listrik mengikuti arah garis
yang menghubungkan kedua muatan tersebut dan juga di tentukan oleh kedua jenis
muatan tersebut, seperti yang tergambar pada gambar 2.1. Pada gambar 2.1(a), gaya
mengarah ke luar (gaya tolak) jika kedua muatan sejenis, gambar 2.1(b), gaya
mengarah ke dalam (gaya tarik) jika kedua muatan berbeda jenis.
R
F12
+
Q2
+
Q1
F21
(a)
F12
+
Q1
F21
R
_
Q2
(b)
Gambar 2. 1 Arah gaya pada muatan listrik yang saling berdekatan
6
Universitas Sumatera Utara
II. 2 Intensitas Medan Listrik
Misalkan sebuah muatan positif titik Q1 ditempatkan pada pusat sebuah
sistem koordinat. Apabila sebuah muatan uji positif Q2 ditempatkan di daerah
muatan Q1, maka muatan Q2 ini akan mengalami gaya. Gaya ini akan semakin besar
ketika muatan Q2 bergerak mendekati muatan Q1. Dapat dikatakan bahwa Q1
memiliki medan disekelilingnya yang menimbulkan gaya bagi muatan lain. Jadi,
medan listrik adalah suatu daerah dimana masih dipengaruhi oleh gaya.
Medan listrik pada muatan titik diilustrasikan oleh gambar 2.2 di bawah ini:
E
F
+
Q1
Q2
+
Gambar 2. 2 Vektor medan gaya suatu muatan titik
Besarnya gaya yang dialami oleh muatan Q2 akibat Q1, diberikan oleh Persamaan
(2.3), yaitu:
F  rˆ.
Q1Q2
r 2 4
Dari persamaan di atas, diperoleh gaya per satuan muatan yang didefinisikan sebagai
intensitas medan listrik, yaitu:
E
Q
F
 rˆ 2 1
Q2
r 4
(2.4)
7
Universitas Sumatera Utara
Dimana Q2 merupakan muatan uji positif.
Satuan SI untuk intensitas medan listrik adalah Newton per Coulomb (NC-1).
Satuan lain yang sering digunakan untuk menyatakan intensitas medan listrik adalah
Volt per meter (Vm-1).
Berdasarkan Persamaan (2.4), muatan titik Q1 dikelilingi oleh suatu medan
listrik dengan intensitas sebesar E yang sebanding dengan besar Q1 dan berbanding
terbalik terhadap kuadrat jarak (r2). Intensitas medan listrik E merupakan sebuah
vektor yang memiliki arah yang sama dengan arah gaya F tetapi berbeda dimensi
dan besarnya (magnitude).
II. 3 Prinsip Superposisi Medan Listrik
Untuk mencari intensitas medan listrik E yang dihasilkan oleh sekumpulan
muatan titik: (a) Hitunglah En yang dihasilkan oleh setiap muatan pada titik yang
diberikan dengan menganggap seakan-akan tiap muatan tersebut adalah satu-satunya
muatan yang hadir. (b) Tambahkanlah secara vektor medan-medan yang dihitung
secara terpisah ini untuk mencari resultan medan E pada titik tersebut. Di dalam
bentuk persamaan:
E  E1  E2  E3  ...   En
(2.5)
Dimana n = 1, 2, 3, ...
Persamaan di atas merupakan rumusan aplikasi prinsip superposisi dalam
medan listrik yang dapat dinyatakan sebagai berikut: total atau resultan medan pada
suatu titik adalah penjumlahan vektoris dari tiap-tiap komponen medan pada titik
tersebut. Maka, berdasarkan Gambar 2. 3, intensitas medan listrik pada titik P akibat
muatan Q1 adalah E1 dan akibat muatan Q2 adalah E2. Total medan listrik pada titik
P akibat kedua muatan titik merupakan penjumlahan vektoris dari E1 dan E2, atau E.
8
Universitas Sumatera Utara
Q1
+
P
Q2
E1
E2
E
_
Gambar 2. 3 Prinsip superposisi pada medan listrik
Jika distribusi muatan tersebut adalah suatu distribusi yang kontinu, maka medan
yang ditimbulkannya pada titik P dapat dihitung dengan membagi muatan menjadi
elemen-elemen yang sangat kecil dq. Medan dE yang ditimbulkan oleh setiap
elemen pada titik di mana akan dicari kemudian dihitung, dengan memperlakukan
elemen-elemen sebagai muatan-muatan titik. Besarnya dE diberikan oleh:
dE 
dq
r 4
2
(2.6)
dimana r adalah jarak dari elemen muatan dq ke titik P. Resultan medan pada P
kemudian dicari dari prinsip-prinsip superposisi dengan menambahkan (yakni,
dengan mengintegralkan) kontribusi-kontribusi medan yang ditimbulkan oleh semua
elemen muatan, atau:
E  dE
(2.7)
Integrasi tersebut adalah sebuah operasi vektor.
9
Universitas Sumatera Utara
II. 4 Potensial Listrik
Apabila sebuah muatan uji Q di tempatkan pada suatu medan listrik E, maka
muatan uji tersebut akan mengalami gaya sebesar F. Jika muatan uji Q tersebut di
gerakkan melawan arah medan listrik E, maka diperlukan usaha W untuk
menggerakkannya.
∆x
Q
∆V
+x
E
Gambar 2. 4 Lintasan muatan Q sejajar terhadap medan listrik E yang uniform
Jika arah medan listrik E kearah +x dan uniform, dan muatan uji Q di gerakkan
sejauh ∆x melawan arah E, maka usaha per satuan muatan adalah :
W F .x

 E.x
Q
Q
(2.8)
Dimensinya adalah :
gaya  panjang
gaya
energi

 panjang 
mua tan
mua tan
mua tan
ML L ML2
 
T 2 Q T 2Q
Atau dalam satuan SI:
Newton
Joule
 meter 
Coulomb
Coulomb
Dimensi dari energi per satuan muatan sama dengan dimensi dari potensial listrik.
Jadi usaha per satuan muatan yang diperlukan untuk memindahkan muatan uji Q
sejauh ∆x disebut beda potensial listrik ∆V diantara dua titik sejauh ∆x. Satuan dari
10
Universitas Sumatera Utara
potensial listrik adalah volt (V) dan setara dengan 1 joule/coulomb. Jadi potensial
listrik V dapat dinyatakan dalam joule/coulomb atau dalam volt.
Newton
Joule
 meter 
 Volt
Coulomb
Coulomb
Jika persamaan di atas dibagi dengan satuan meter, diperoleh:
Newton
Volt

 Intensitas Medan Listrik
Coulomb meter
Jadi, intensitas medan listrik E dapat dinyatakan baik dalam satuan Newton per
Coulomb maupun Volt per meter.
Pada kasus diatas, lintasan muatan Q adalah sejajar dengan arah medan
listrik E. Apabila lintasan muatan Q berpotongan dengan arah medan listrik E dan
membentuk sudut sebesar θ (gambar 2.5), maka besar beda potensial antara dua titik
pada lintasan ∆x adalah sebesar V  x.E cos  .
E
∆x
θ
Gambar 2. 5 Lintasan muatan Q berpotongan dengan medan listrik E yang uniform
dan membentuk sudut θ
Jika muatan uji digerakkan tegak lurus terhadap arah medan (θ=900), tidak ada
energi yang diperlukan sehingga jalur perpindahan ini disebut garis ekipotensial.
Salah satu sifat penting dari medan adalah bahwa garis medan dan garis ekipotensial
saling tegak lurus.
Kasus berikutnya adalah jika lintasan perpindahan dari muatan uji Q
berbentuk kurva dan berada di medan listrik E yang uniform (gambar 2.6). Misalkan
11
Universitas Sumatera Utara
titik awal dan titik akhir kurva adalah a dan b, maka lintasan kurva tersebut dapat
dibagi menjadi elemen lintasan terkecil dL. Beda potensial antara kedua titik dengan
jarak dL adalah dV. Maka besar dV adalah :
dV   E cos  .dL
dV   E.dL
(2.9)
dimana θ merupakan sudut antara elemen jalur dengan medan. Kenaikan tegangan
(beda potensial dV bernilai positif) mengharuskan komponen perpindahan yang
paralel dengan E haruslah berlawanan arah dengan medan. Maka Persamaan (2. 9) di
atas memiliki tanda negatif.
a
E
dL
θ
b
Gambar 2. 6 Lintasan perpindahan berbentuk kurva dalam medan listrik yang uniform
Untuk mencari beda potensial pada lintasan kurva antara titik a dan b, maka
persamaan (2.9) diintegrasikan dengan batas integrasi titik a dan b, dan akan
diperoleh kenaikan tegangan Vab antara titik a dengan b.
a
b
b
b
a
a
Vab   dV  Vb  Va    E cos  .dL   E.dL
(2.10)
12
Universitas Sumatera Utara
Integral yang melibatkan unsur dl seperti pada Persamaan (2. 10) di atas disebut
integral garis. Maka, dapat disimpulkan bahwa kenaikan tegangan antara a dan b
sama dengan integral garis dari E sepanjang jalur melengkung dari a menuju b.
II. 5 Perhitungan Medan Listrik Di Sekitar Konduktor Silinder
Untuk menghitung besar kuat
medan listrik yang timbul di sekitar
konduktor, terlebih dahulu diperhitungkan kuat medan yang dihasilkan oleh suatu
muatan garis. Misalkan suatu muatan sebesar Q terdistribusi secara merata di garis
tipis sepanjang 2a dengan titik tengahnya berada di titik pusat, seperti tergambar
pada Gambar 2. 7.
sumbu z
+a
dz
l
θ
0
dEr
P
θ
sumbu r
r
dE
dEz
-a
muatan garis
Gambar 2. 7 Muatan garis sepanjang 2a
13
Universitas Sumatera Utara
Kerapatan muatan ρL (muatan per satuan panjang) dirumuskan dengan:
L 
Q
2a
(2.11)
dimana ρL dalam satuan Coulomb per meter ketika Q dalam Coulomb dan a dalam
meter.
Pada titik P di sumbu r, medan listrik dE akibat sebagian kecil dari muatan
garis dz dirumuskan dengan:
 .dz
dE  Iˆ 2 L
l 4
dimana
(2.12)
dan Î merupakan vektor satuan ke arah l.
Karena sumbu z pada Gambar 2. 7 merupakan sumbu simetri, medan hanya
memiliki komponen z dan r. Sehingga:
dE r  dE cos   dE
r
l
(2.13)
dE z  dE sin   dE
z
l
(2.14)
dan
Resultan atau total komponen Er pada sumbu r diperoleh dengan cara
mengintegrasikan Persamaan (2. 13) sepanjang keseluruhan garis. Yaitu:
 L r  a dz  L r  a
Er 

4 a l 3
4 a
dz
r
2
 z2

3
(2.15)
dan hasilnya adalah:
14
Universitas Sumatera Utara
Er 
La
(2.16)
2 .r r 2  a 2
Secara simetri, resultan dari komponen Ez pada suatu titik di sumbu r nilainya nol.
Maka, total medan E pada titik di sumbu r arahnya radial dan besarnya:
E  Er 
La
2 .r r 2  a 2
(2.17)
Persamaan ini menyatakan medan sebagai fungsi r pada suatu titik di sumbu r untuk
muatan garis sepanjang 2a dan kerapatan medan ρL yang uniform.
Kasus berikutnya adalah jika muatan garis pada Gambar 2. 7 diperpanjang
sampai tak terhingga ke arah positif dan negatif dari sumbu z. Jika pembilang dan
penyebut dibagi dengan a dan nilai tak berhingga disubstitusikan ke a, maka
diperoleh intensitas medan listrik akibat muatan garis yang panjangnya tak
berhingga, yaitu:
E  Er 
L
2 .r
(2.18)
Beda potensial V21 antara dua titik pada jarak r2 dan r1 dari muatan garis tak
berhingga ini merupakan energi yang diperlukan per satuan muatan untuk
memindahkan sebuah muatan uji dari r2 menuju r1. Misalkan r2 > r1, maka beda
potensial ini merupakan integral garis Er dari r2 menuju r1. Potensial di r1 akan lebih
tinggi daripada potensial di r2, jika muatan garisnya positif. Maka:
r1
V21    E r .dr 
r2
L
2
r2

r1
dr
r
Atau:
V21 
L
ln r rr   L ln r2
2
2 r1
2
1
(2.19)
15
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, jika muatan terdistribusi secara merata di sepanjang silinder
dengan radius r1 seperti terlihat pada Gambar 2. 8 (misalkan pada konduktor
silinder), maka medan listrik di luar silinder diberikan oleh Persamaan (2. 18) untuk
r2 > r1.
Gambar 2. 8 Medan listrik pada konduktor silinder
Beda potensial antara silinder dengan sebuah titik di luar silinder dapat dihitung
menggunakan Persamaan (2.19), dimana r2 > r1 dan ρL adalah muatan per satuan
panjang dari silinder. Di dalam silinder, potensialnya sama dengan potensial pada
permukaan (r = r1).
Untuk memperoleh persamaan yang menyatakan hubungan antara kuat
medan listrik dengan tegangan pada konduktor silinder, maka Persamaan (2.18) dan
(2.19) disubstitusikan. Persamaan (2.18) menyatakan bahwa:
Er 
L
r.2
16
Universitas Sumatera Utara
maka:
L
 E r .r
2
Misalkan titik uji berada pada jarak x dari pusat lingkaran, maka persamaan di atas
menjadi:
L
 E x .x
2
(2.20)
Persamaan (2.20) ini kemudian disubstitusikan ke Persamaan (2.19), sehingga
diperoleh:
V21  E x .x ln
Ex 
V21
r
x ln 2
r1
r2
r1
(2.21)
Persamaan (2.21) inilah yang akan digunakan untuk menghitung kuat medan listrik
di sekitar konduktor silinder.
17
Universitas Sumatera Utara