3 Persamaan Gelombang Schrodinger

Darpublic
www.darpublic.com
Persamaan Gelombang Schrödinger
Sudaryatno Sudirham
Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi
elektron yang diskrit dalam atom, mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang,
yang kemudian dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Daniel D. Pollock membahas hal ini
agak mendalam dalam bukunya, namun ada satu langkah yang dihilangkan dalam
mengintroduksi operator momentum maupun energi. Di sini kita akan mencoba
menelusurinya dalam pembahasan yang agak terurai namun tetap sederhana.
Fungsi Hamilton
Jika gelombang dapat mewakili elektron maka energi gelombang dan energi partikel
elektron yang diwakilinya haruslah sama. Sebagai partikel, satu elektron mempunyai energi
total yang terdiri dari energi potensial dan energi kinetik. Seperti kita ketahui, energi
potensial merupakan fungsi posisi x (dengan referensi koordinat tertentu) dan kita sebut
Ep(x), sedangkan energi kinetik adalah Ek = ½mv2 dengan m adalah massa elektron dan v
adalah kecepatannya. Energi total elektron sebagai partikel menjadi E = Ep + Ek
E=
mv 2
+ E p ( x)
2
E=
atau
p2
+ E p ( x)
2m
(1)
di mana p = mv adalah momentum elektron.
Suatu fungsi yang menyatakan energi total suatu partikel dapat didefinisikan, dengan
momentum p dan pososi x sebagai peubah. Fungsi tersebut adalah
H ( p, x) =
p2
+ E p ( x) ≡ E
2m
(2)
H(p,x) adalah sebuah fungsi yang disebut fungsi Hamilton (dari William Rowan Hamilton
1805 – 1865; matematikawan Irlandia), dengan p dan x adalah peubah-peubah bebas.
Turunan parsial fungsi ini terhadap p dan x masing-masing adalah
∂H ( p, x) p
=
∂p
m
dan
∂H ( p, x) dE p ( x)
=
∂x
dx
(3)
Peubah dalam fungsi Hamilton, yaitu p dan x, menyatakan momentum dan posisi
dalam relasi fisika¸ maka kita peroleh
∂H ( p, x) p
dx
= = ve =
∂p
m
dt
−
dan
∂E p ( x)
∂H ( p, x)
dv dp
=−
= F ( x) = m
=
∂x
∂x
dt dt
(4.a)
(4.b)
Jadi turunan H(p,x) terhadap p memberikan turunan x terhadap t dan turunan H(p,x)
terhadap x memberikan turunan p terhadap t; dan kita pahami bahwa p di sini adalah
momentum, suatu besaran fisis dan bukan lagi sebuah peubah-bebas dalam fungsi
Hamilton.
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
1/12
Darpublic
www.darpublic.com
Dalam relasi fisika, dx / dt = v adalah kecepatan, dan dp / dt = F adalah gaya. Dengan
demikian maka fungsi Hamilton, yang menetapkan hubungan antara peubah-peubah bebas
p dan x untuk memperoleh E, dapat kita gunakan untuk menggantikan hubungan-hubungan
fisik mengenai momentum, kecepatan, dan gaya yang biasa kita nyatakan sebagai p = mv ;
v=
dx p
= ;
dt m
F =m
d 2x
=m
2
dt
dv dp
=
dt dt
Fungsi Hamilton dalam Mekanika Kuantum
Dalam mekanika kuantum, elektron dinyatakan sebagai gelombang. Jika fungsi
Hamilton dapat diterapkan untuk elektron sebagai partikel, maka ia harus dapat diterapkan
pula untuk elektron sebagai gelombang. Hal ini akan kita lihat sebagai berikut.
• Peubah p pada fungsi Hamilton, harus diganti dengan operator momentum agar jika
dioperasikan terhadap suatu fungsi gelombang dapat menyatakan momentum
elektron yang tidak lagi dipandang sebagai partikel melainkan sebagai gelombang.
• E pada fungsi Hamilton, harus diganti dengan operator energi yang jika beroperasi
pada fungsi gelombang dari elektron akan memberikan energi elektron.
• Peubah x yang akan menentukan posisi elektron sebagai partikel, akan terkait
dengan posisi elektron sebagai gelombang sehingga peubah ini tidak berubah pada
fungsi gelombang dari elektron. Dalam kaitan ini perlu kita ingat bahwa jika elektron
kita pandang sebagai partikel maka momentum dan posisi mempunyai nilai-nilai
yang akurat. Jika elektron kita pandang sebagai gelombang, maka kita dibatasi oleh
prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Operator Momentum dan Operator Energi. Kita akan mencoba menelusuri operatoroperator yang diperlukan tersebut di atas dengan memperhatikan bentuk fungsi gelombang
komposit yang mewakili elektron, yaitu (lihat pembahasan tentang elektron sebagai
gelombang)

u=


∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x)
n
n
0
0

n
Jika fungsi ini kita turunkan terhadap t kita peroleh
∂u 
=
∂t 



∑ j∆ωn e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x) + ∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  jω0 A0 e j (ω t −k x)
n
n
0
0

n
n

n
0
0

n
yang dapat disederhanakan menjadi
 ∆ω
∂u
= jω 0  n
∂t
 ω 0

∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x)
n
n
n
0
0
(5.a)

Dalam selang sempit ∆k maka ω n / ω 0 ≈ 1 ; dan jika ruas kiri dan kanan (5.a) dikalikan
dengan h dan mengingat bahwa energi E = hω maka kita akan memperoleh
h
∂
u = j (hω 0 )u = jEu atau
∂t
− jh
∂
u = Eu
∂t
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
(5.b)
2/12
Darpublic
www.darpublic.com
E adalah energi total elektron. Akan tetapi jika kita melihat (5.b) sebagai suatu persamaan
matematik maka kita dapat mengatakan bahwa E merupakan sebuah operator yang
beroperasi pada fungsi gelombang u dan
E ≡ − jh
∂
∂t
(5.c)
Apabila u kita turunkan terhadap x.
∂u 
=
∂x 



∑ (− j∆k n )e j[(∆ω )t −(∆k ) x]  A0 e j (ω t −k x ) + ∑ e j[(∆ω )t −( ∆k ) x] (− jk 0 ) A0 e j (ω t −k x )
n
n
0
n

n
k
= − jk 0  n
 k 0
0

n
0
0

n

∑ e j[(∆ω )t −(∆k ) x ]  A0 e j (ω t −k x)
n
n
0
0

n
Untuk k n / k 0 ≈ 1 , dan jika ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan h akan kita peroleh
h
∂
u = − j (hk 0 )u = − jpu atau
∂x
jh
∂
u = pu
∂x
(5.d)
Seperti halnya untuk E pada (5.b), p pada (5.d) kita pandang sebagai operator
p ≡ jh
∂
∂x
(5.e)
Dengan demikian kita mendapatkan operator untuk E pada (5.c) dan p pada (5.e).
Jika fungsi gelombang kita sebut Ψ dan mengoperasikan H(p,x) pada fungsi gelombang
ini, maka
H ( p, x)Ψ = EΨ atau
 p2

+ E p ( x )  Ψ = EΨ ;

 2 m

Dengan memasukkan operator p akan kita peroleh
 1 

∂ 
∂ 
 2m  − jh ∂x  − jh ∂x  + E p ( x)  Ψ = EΨ atau





−
h2 ∂ 2Ψ
+ E p ( x ) Ψ = EΨ
2m ∂x 2
(6)
Inilah persamaan Schrödinger untuk satu dimensi.
Untuk tiga dimensi, persamaan Schrödinger itu akan menjadi
−
h2 2
∇ Ψ + E p ( x, y, z )Ψ = EΨ
2m
(7)
Persamaan Schrödinger Bebas-Waktu
Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi
potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan bukan merupakan fungsi waktu.
Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan
tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika
faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu akan menyederhanakan
persoalan. Kita tinjau kasus satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
3/12
Darpublic
www.darpublic.com
Ψ ( x, t ) = ψ ( x) T (t ) . Jika persamaan gelombang ini kita masukkan ke persamaan (6) dan
kedua ruas kita bagi dengan ψ( x)T (t ) kita memperoleh
−
h 2 1 ∂ 2 ψ ( x)
1 ∂T (t )
+ E p ( x ) = − jh
2
2m ψ( x) ∂x
T (t ) ∂t
(8)
Ruas kiri dari (8) merupakan fungsi x saja sedangkan ruas kanan merupakan fungsi t
saja. Karena kedua ruas merupakan fungsi dengan peubah yang berbeda maka kedua ruas
harus sama dengan suatu nilai konstan khusus, yang biasa disebut eigenvalue.
Kita lihat lebih dahulu ruas kanan, yang akan memberikan persamaan Schrödinger satu
dimensi yang tergantung waktu:
− jh
1 ∂ T (t )
= a = konstan
T (t ) ∂t
(8.a)
Mengingat bentuk gelombang yang mewakili elektron adalah (5)
u = S ( x, t ) A0 e j ( ω0t − k 0 x ) = S ( x, t ) A0 e jω0t e − jk 0 x
sedangkan S ( x, t ) adalah
S ( x, t ) =
∑ e j (∆ω )t e − j (∆k ) x
n
n
n
maka kita dapat mengambil bentuk T(t) sebagai T (t ) = B(t )e jωt untuk kita masukkan ke (8.a),
dan kita akan memperoleh
a = − jh
= − jh
1
B (t )e jωt
∂B (t )e jωt
∂t
jωB (t )e jωt
B ( t ) e j ωt
(8.b)
= hω = E
Jadi konstanta a pada (8.a) adalah energi total elektron, E. Jika hal ini benar, maka ruas kiri
(8) juga harus sama dengan E, sehingga dapat kita tuliskan sebagai
−
h 2 1 ∂ 2 ψ ( x)
+ E p ( x) = E
2m ψ( x) ∂x 2
(
atau
)
h 2 ∂ 2 ψ( x)
+ E − E p ( x) ψ( x) = 0
2m ∂x 2
(9)
Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu.
Untuk tiga dimensi persamaan (9) menjadi
(
)
h2 2
∇ Ψ + E − E p ( x, y , z ) Ψ = 0
2m
(3.9.a)
Perlu kita sadari bahwa adanya persamaan Schrödinger bebas-waktu bukanlah berarti
bahwa elektron atau partikel yang ingin kita pelajari dengan mengaplikasikan persamaan ini
adalah partikel yang bebas-waktu. Partikel tersebut memiliki kecepatan gerak, dan
kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi. Oleh karena itu dalam memberi arti
pada penurunan matematis dari persamaan Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal
tertentu kita perlu mempertimbangkan faktor waktu, sesuai dengan logika.
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
4/12
Darpublic
www.darpublic.com
Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (9) atau (9.a) fungsi gelombang yang
dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, Ψ(x). Dari bentuk
gelombang komposit untuk elektron (5)
u = S ( x, t ) A0 e j ( ω0t − k 0 x ) dengan S ( x, t ) =
∑ e j (∆ω )t e − j (∆k ) x
n
n
n
kita dapat mengambil bentuk Ψ(x) sebagai Ψ ( x) = A( x)e − jkx , dengan A(x) adalah selubung
paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.
Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan
adalah gelombang sebagai representasi elektron sebagi partikel. Mencari solusi persamaan
Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk
melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan
energi E dengan besaran-besaran gelombang (k, ω, f, λ) adalah
p = hk = h
2π h
=
λ λ
E = hω = hf
Fungsi Gelombang
Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan Ψ adalah fungsi
gelombang, dengan pengertian bahwa
Ψ * Ψ dx dy dz
(10)
adalah probabilitas keberadaan elektron dalam volume dx dy dz di sekitar titik (x, y, z); Ψ *
adalah konjugat dari Ψ . Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron
melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita
juga tidak dapat mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi
waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian
Heisenberg.
Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang
Ψ ( x) =
2 sin( x∆k/2)
sin( x∆k/2)
A0 e − jkx dan Ψ * ( x) =
∆kA0 e + jkx
x
( x∆k/2)
 sin( x∆k / 2) 
Ψ * Ψ = A02 

x


maka
2
(11)
Apa yang berada dalam tanda kurung pada (11) adalah selubung paket gelombang yang
merupakan fungsi x sedangkan A0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang
itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron.
Persyaratan Fungsi Gelombang
Fungsi gelombang Ψ (x ) hasil solusi persamaan Schrödinger harus memenuhi
beberapa persyaratan agar ia mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai
berikut.
• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi
gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi
∞
∫−∞Ψ
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
*
Ψdx = 1 .
5/12
Darpublic
•
•
•
•
www.darpublic.com
Fungsi gelombang Ψ (x ) , harus kontinyu sebab jika tidak-kontinyu hal itu dapat
ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima.
Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, dΨ / dx , juga harus kontinyu. Kita telah
melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum
elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai
persayaratan kekontinyuan momentum.
Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak, akan berarti
ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.
Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semua posisi sebab kemungkinan
keberadaan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.
Aplikasi Persamaan Schrödinger - Tinjauan Satu Dimensi
Elektron Berada Dalam Sumur Potensial yang Dalam. Pembahasan masalah ini
dilakukan oleh Daniel D. Pollock dalam buku jilid pertamanya. Di sini kita akan mencoba
memahaminya melalui pendekatan yang lebih sederhana.
Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial sedangkan
daerah sekitarnya mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa elektron, selama ia
berada dalam sumur potensial, merupakan elektron-bebas. Kita katakan bahwa elektron
terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju
∞, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Gb.2. menggambarkan keadaan ini
secara dua dimensi. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V = ∞,
sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V = 0. Kita katakan bahwa lebar sumur
potensial ini adalah L.
I
II
III
Ep=∞
ψ1
Ep=0
ψ2
Ep=∞
ψ3
0
x
L
Gb.3.2. Elektron dalam sumur potensial (daerah II).
Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan
keberadaan elektron bisa dianggap nol, ψ 1 ( x) = 0 dan ψ 3 ( x ) = 0 . Persamaan Schrödinger
untuk daerah II adalah, di mana V(x) = 0, menjadi
h 2 ∂ 2ψ ( x )
+ Eψ( x) = 0
2m ∂x 2
(12)
Solusi persamaan Schrödinger satu dimensi ini bisa kita duga berbentuk ψ ( x) = Be sx . Jika kita
masukkan solusi dugaan ini ke (12) akan kita dapatkan
h2 2
s + E = 0 yang memberikan dua
2m
nilai s :
s=±j
2mE
h
2
= ± j α , dengan α =
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
2mE
h2
6/12
Darpublic
www.darpublic.com
Hal ini berarti bahwa ada dua solusi; jumlah kedua solusi juga merupakan solusi.
lain adalah bilangan gelombang, k, dengan nilai
k= α=
2mE
α tidak
(13)
h2
sehingga jumlah dua solusi dapat kita tuliskan sebagai
ψ 2 ( x ) = B1e − jk 2 x + B 2 e jk 2 x
(14)
Persyaratan kekontinyuan di x = 0 mengharuskan
ψ 2 (0) = B1 + B 2 = ψ 1 (0) = 0 → B1 = − B 2
dan persyaratan kekontinyuan di L mengharuskan
ψ 2 ( L ) = B1e − jk 2 L + B 2 e jk 2 L = ψ 3 (0) = 0 , sehingga
(
)
 − e − jk2 L + e jk2 L 

ψ 2 ( L) = B2 − e − jk2 L + e jk2 L = 2 jB2 


(15)
2
j


= 2 jB2 sin(k 2 L) = 0
nπ
(dengan n bilangan bulat), sehingga
Persamaan (15) mengharuskan k 2 L = nπ atau k 2 =
L
fungsi gelombang di daerah II menjadi
 − e − jk 2 x + e jk 2 x
ψ 2 ( x ) = 2 jB 2 

2j


 = 2 jB 2 sin nπ x

L

(16)
Probabilitas keberadaan elektron di daerah II ini adalah sebanding dengan
ψ *2 ( x)ψ 2 ( x) = 4 B22 sin 2
nπ
nπ
x = K sin 2
L
L
(17)
Untuk n = 1, fungsi ini bernilai nol di x = 0 dan x = L , dan maksimum di x = L/ 2 . Untuk n = 2,
nilai nol terjadi di x = 0, L/2, dan L. Untuk n = 3, nilai nol terjadi di x = 0, L/3, 2L/3, dan L; dan
seterusnya, seperti terlihat pada Gb.3. Selain di x = 0, jumlah titik simpul gelombang, yaitu
titik di mana fungsinya bernilai nol, sama dengan nilai n.
4
ψ*ψ
ψ*ψ
ψ
00
0
a). n =1
4
ψ
3
00
L
b). n =2
ψ *ψ
ψ
3
00
L
c). n =3
3
Gb.3.3. Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial.
Karena di daerah II V = 0, maka k 2 = 2mE / h 2 atau E = h 2 k 22 / 2m . Dengan
memasukkan nilai k2 kita peroleh energi elektron:
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
7/12
Darpublic
www.darpublic.com
E=
n2π2h 2
2mL2
=
h 2  nπ 
 
2m  L 
2
(18)
Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang diskrit, yang
ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus
dialami oleh ψ2, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di
batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama
dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Tingkat energi untuk n = 1 kita
sebut tingkat energi yang pertama; tingkat energi yang kedua pada n = 2; tingkat energi
yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya. Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya,
dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul
gelombang.
Dengan demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui
pemecahan persamaan Schödinger. Hal ini berbeda dari pendekatan Bohr yang harus
membuat postulat mengenai momentum sudut yang harus diskrit agar kuantisasi energi
terjadi.
Persamaan (18) memperlihatkan bahwa selisih energi antara satu tingkat dengan
tingkat berikutnya, misalnya antara n = 1 dan n = 2, berbanding terbalik dengan kwadrat
lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energi tersebut, artinya
tingkat-tingkat energi semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya, selisih
energi untuk n=2 dan n=1 adalah E 2 − E 1 = 3 h 2 / 8 m dan jika L sepuluh kali lebih lebar maka
selisih ini menjadi E 2 − E1 = 0,03 h 2 / 8 m . (lihat Gb.4). Jadi makin besar L maka perbedaan nilai
tingkat-tingkat energi akan semakin kecil dan untuk L yang lebar maka tingkat-tingkat energi
tersebut akan akan sangat rapat sehingga mendekati kontinyu.
n=3
V
n=2
n=1
0
L
0
L′
Gb.4. Pengaruh lebar sumur pada tingkat energi.
Elektron Di Dalam Sumur Potensial Dangkal. Kita tidak akan membahas hal ini secara
rinci akan tetapi dengan pengertian yang kita peroleh pada pembahasan mengenai elektron
yang bertemu dengan dinding potensial kita akan mengerti kondisi berikut ini. Jika V tidak
tinggi akan tetapi tetap masih V > E maka fungsi gelombang di luar sumur berupa fungsi
eksponensial yang menurun menuju nol. Hal ini diperlihatkan pada Gb.5.
Di x = 0 dan x = L amplitudo gelombang tidak lagi nol dan demikian juga probabilitas
keberadaan elektronnya. Selain itu penurunan amplitudo akan makin lambat jika sumur
potensial makin dangkal. Hal ini berarti bahwa makin dangkal sumur potensial makin besar
kemungkinan kita menemukan elektron di luar sumur, seperti diperlihatkan secara berturutturut oleh Gb.5.a, b, dan c.
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
8/12
Darpublic
www.darpublic.com
V
ψ*ψ
ψ*ψ
ψ*ψ
E
E
E
0
0
L
0
L
a)
L
c)
b)
Gb.5. Pengaruh kedalaman sumur pada probabilitas keberadaan elektron.
Dinding Potensial Tipis Antara Dua Sumur Potensial. Situasi yang menarik adalah jika
sumur potensial mempunyai dinding yang tidak terlalu tebal, misalnya a. Dengan perkataan
lain sumur potensial ini berdekatan dengan sumur lain dan di antara keduanya terdapat
dinding potensial yang tipis. Situasi seperti ini diperlihatkan oleh Gb.3.6. Di luar dinding,
probabilitas keberadaan elektron tidak nol. Dalam kasus ini kita masih memiliki probabilitas
menemukan elektron di sumur lain tersebut walaupun energinya lebih rendah dari dinding
potensial. Gejala ini disebut penembusan elektron pada dinding potensial (electron
tunneling).
a
ψ*ψ
0
L
Gb.6. Sumur potensial berdinding tipis.
Elektron Dalam Sumur Potensial Tiga Dimensi
Kita akan melihat keadaan yang agak mendekati kenyataan, yaitu elektron yang
terjebak dalam sumur potensial tiga dimensi. Sumur ini dibatasi oleh dinding potensial di
arah sumbu x, y, z, dan akan lebih tepat jika kita sebut kotak potensial, seperti terlihat pada
Gb.7. Elektron terjebak di dalam kotak potensial ini dan kita mengambil nilai V = 0 di dalam
kotak dan V = ∞ di luar kotak.
z
Lz
y
Lx
Ly
x
Gb.7. Sumur tiga dimensi.
Karena V = 0, persamaan Schrödinger tiga dimensi yang bebas-waktu di dalam kotak
menjadi
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
9/12
Darpublic
www.darpublic.com
h 2  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 
+
+
+ Eψ = 0
2m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
(19)
dengan ψ adalah fungsi dari x, y, dan z. Kita akan melihat fungsi ini dalam bentuk peubah
terpisah ψ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) . Hal ini tidak selalu dapat terjadi, akan tetapi kita
mengambil langkah ini agar persamaan yang tidak mudah dipecahkan ini menjadi agak
sederhana. Jika turunan kedua fungsi ini kita masukkan ke (26) kemudian kedua ruas dibagi
dengan ψ ( x, y, z ) , dan dikalikan dengan 2m / h 2 maka akan kita peroleh
1 ∂ 2 X ( x)
1 ∂ 2Y ( y)
1 ∂ 2 Z ( z)
2m
E
+
+
=−
X ( x) ∂x 2
Y ( y ) ∂y 2
Z ( z ) ∂z 2
h2
(20)
Setiap suku di ruas kiri hanya merupakan fungsi dari satu peubah dan berbeda satu
sama lain; jumlah ketiganya sama dengan suatu nilai konstan. Hal ini hanya akan terjadi jika
masing-masing suku juga sama dengan suatu nilai konstan. Jadi
1 ∂ 2 X ( x)
2m
1 ∂ 2 Z ( z)
2m
1 ∂ 2Y ( y)
2m
;
;
=
−
E
= − 2 Ez
=
−
E
x
y
2
2
2
2
X ( x) ∂x 2
Z
(
z
)
Y
(
y
)
h
∂z
h
∂y
h
(21)
dengan Ex, Ey, dan Ez adalah nilai-nilai konstan dan E = E x + E y + E z . Salah satu persamaan
dari (21) dapat kita tuliskan sebagai
∂ 2 X ( x)
∂x
2
+
2m
h2
E x X ( x) = 0
(22)
Persamaan ini adalah persamaan diferensial linier homogen orde kedua yang telah pernah
kita temui pada waktu kita membahas elektron yang terjebak dalam sumur potensial satu
dimensi. Dengan cara pemecahan yang serupa, kita dapatkan
Ex =
n x2 h 2
8mL2x
;
Ey =
n 2y h 2
8mL2y
Ez =
;
n z2 h 2
(23)
8mL2z
dengan nx, ny, dan nz adalah bilangan-bilangan bulat.
Energi total elektron adalah
2
n 2y
n2 
h 2  n x
E = Ex + E y + Ez =
+
+ z 
8m  L x L y L z 


(24)
Persamaan (24) menunjukkan bahwa energi elektron ditentukan oleh tiga macam bilangan
bulat yang kita sebut bilangan kuantum, yaitu n x , n y , n z .
Bentuk fungsi gelombang dalam kotak potensial adalah
ψ = K sin
n y πy
n x πx
n πz
sin
sin z
Lx
Ly
Lz
(25)
Jika kotak potensial berbentuk kubus, L x = L y = L z = L , maka
E = Ex + Ey + Ez =
h2
2
8mL
(n
2
x
+ n 2y + n z2
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
)
( 3.26)
10/12
Darpublic
www.darpublic.com
Pada persamaan (26) terlihat bahwa makin kecil ukuran kotak potensial, makin jauh jarak
antara satu tingkat energi dengan tingkat energi berikutnya. Tetapi pada kotak potensial
yang besar, tingkat-tingkat energi yang berurutan menjadi sangat berdekatan sehingga
mereka dapat dianggap membentuk spektrum tingkat energi yang kontinyu. (lihat Gb.8.).
12E1
11E1
dE
9E1
6E1
3E1
E1
Kotak Potensial kecil
Kotak Potensial besar
Gb.3.8. Tingkat-tingkat energi elektron dalam kotak potensial.
Degenerasi
Persamaan (23) menunjukkan bahwa energi tergantung dari (n x2 + n 2y + n z2 ) . Hal ini berarti
bahwa semua status yang ditentukan oleh semua nilai nx, ny, dan nz yang memberikan
jumlah nilai yang sama akan memberikan nilai energi yang sama pula. Akan tetapi setiap
perubahan nilai nx, ny, dan nz akan memberikan fungsi gelombang yang berbeda. Jadi satu
tingkat energi mungkin berkaitan dengan beberapa macam fungsi gelombang. Jika hal ini
terjadi kita katakan bahwa terjadi degenerasi. Orde degenerasi suatu tingkat energi
ditentukan oleh berapa banyak fungsi gelombang yang berbeda untuk tingkat energi
tersebut. Contoh untuk enam tingkat energi dari kotak potensial kubus diberikan pada
Tabel-1.
Tabel-1. Tingkat Energi dan Degenerasi Dalam Kotak Potensial Kubus. [3].
E1 = h 2 / 8mL2
Energi
Kombinasi nx, ny, dan nz
Degenerasi
3 E1
(1,1,1)
1
6 E1
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
3
9 E1
(2,2,1) (2,1,2) (1,2,2)
3
11 E1
(3,1,1) (1,3,1) (1,1,3)
3
12 E1
(2,2,2)
1
14 E1
(1,2,3) (3,2,1) (2,3,1) (1,3,2) (2,1,3) (3,1,2)
6
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
11/12
Darpublic
www.darpublic.com
Beberapa Konstanta Fisika
Kecepatan rambat cahaya
Bilangan Avogadro
Konstanta gas
Konstanta Planck
Konstanta Boltzmann
Permeabilitas
Permitivitas
Muatan elektron
Massa elektron diam
Magneton Bohr
c
N0
R
h
kB
µ0
ε0
e
m0
µB
3,00 × 10 meter / detik
23
6,02 × 10 molekul / mole
o
8,32 joule / (mole)( K)
−34
6,63 × 10 joule-detik
o
1,38 × 10−23 joule / K
−6
1,26 × 10 henry / meter
8,85 × 10−12 farad / meter
1,60 × 10−19 coulomb
9,11 × 10−31 kg
2
9,29 × 10−24 amp-m
8
Pustaka
(berurut sesuai pemakaian)
1.
Zbigniew D Jastrzebski, “The Nature And Properties Of Engineering
Materials”, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-63693-2, 1987.
2.
Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume I,
CRC Press, ISBN 0-8493-6200-6, 1982
3.
William G. Moffatt, George W. Pearsall, John Wulf, “The Structure and
Properties of Materials”, Vol. I Structure, John Wiley & Sons, ISBN 0 471
06385, 1979.
4.
Marcelo Alonso, Edward J. Finn, “Fundamental University Physics”,
Addison-Wesley, 1972.
5.
Robert M. Rose, Lawrence A. Shepard, John Wulf, “The Structure and
Properties of Materials”, Vol. IV Electronic Properties, John Wiley & Sons,
ISBN 0 471 06388 6, 1979.
6.
Sudaryatno Sudirham, P. Gomes de Lima, B. Despax, C. Mayoux, “Partial
Synthesis of a Discharge-Effects On a Polymer Characterized By Thermal
Stimulated Current” makalah, Conf. on Gas Disharge, Oxford, 1985.
7.
Sudaryatno Sudirham, “Réponse Electrique d’un Polyimide Soumis à une
Décharge Luminescente dans l’Argon”, Desertasi, UNPT, 1985.
8.
Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Bab-1 dan Lampiran-II,
Penerbit ITB 2002, ISBN 979-9299-54-3.
9.
W. Tillar Shugg, “Handbook of Electrical and Electronic Insulating
Materials”, IEEE Press, 1995, ISBN 0-7803-1030-6.
10. Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume
III, CRC Press, ISBN 0-8493-6200-2, 1982.
11. Jere H. Brophy, Robert M. Rose, John Wulf, The Structure and Properties of
Materials, Vol. II Thermodynamic of Structure, John Wiley & Sons, ISBN 0
471 06386 X, 1979.
12. L. Solymar, D. Walsh, “Lectures on the Electrical Properties of Materials”,
Oxford Scie. Publication, ISBN 0-19-856192-X, 1988.
13. Daniel D Pollock, “Physical Properties of Materials for Engineers”, Volume
II, CRC Press, ISBN 0-8493-6200-4, 1982.
14. G. Bourne, C. Boussel, J.J. Moine, “Chimie Organique”, Cedic/ Ferdinand
Nathan, 1983.
15. Fred W. Billmeyer, Jr, “Textbook of Polymer Science”, John Wiley & Son,
1984.
Sudaryatno Sudirham, “Persamaan Gelombang Schrödinger”
12/12