BAB 7 SUBRING DAN IDEAL

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 7
SUBRING DAN IDEAL
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring
merupakan Sub Ring dan Ideal
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa, minimal
80% dapat :
a. Mengidentifikasi suatu Ring merupakan suatu Subring atau bukan
b. Mengidentifikasi suatu Subring merupakan suatu Ideal atau bukan
Deskripsi Singkat :
Dalam bab ini menitikberatkan penjelasan mengenai sifat-sifat Subring dan
pengertian dari Ideal dalam Ring yang merupakan suatu Subring yang khusus yaitu
suatu Subgrup Aditif yang tertutup terhadap perkalian unsur luar.
107
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
7.1. Subring
Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan mengenai struktur
bagian dari Ring yang disebut Subring (Gelanggang Bagian), adapun
definisinya adalah sebagai berikut :
Definisi 7.1 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S ≠ φ adalah merupakan himpunan
bagian dari R (S ⊆ R). Bila operasi yang sama dengan (S,+,.) membentuk
suatu Ring maka S disebut Subring dari R.
Untuk lebih jelasnya kita harus mengetahui syarat-syarat dari
Subring, yaitu sebagai berikut :
Definisi 7.2 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S
adalah himpunan bagian dari R
yang disebut Subring dari R, bila untuk setiap a,b ∈ S, berlaku :
1. S ≠ φ
2. a - b ∈ S
3. a . b ∈ S
Syarat (1) menyatakan bahwa himpunan bagian dari Ring tersebut
bukan himpunan kosong (φ), syarat (2) menyatakan bahwa (S,+) adalah
merupakan suatu Grup Komutatif. Syarat (3) menyatakan bahwa (S,.)
adalah merupakan suatu Semigrup. Sehingga dapat kita katakan bahwa
syarat-syarat
tersebut
telah
memenuhi
syarat
dari
suatu
Ring.
Dikarenakan S adalah himpunan bagian dari R, S ⊆ R, maka S dapat
dikatakan sebagai Subring dari R.
108
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 7.1 :
Misalkan Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukan bahwa
S = {0, 2} adalah Subring dari Z4.
Penyelesaian :
Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu
Ring.
1. S ≠ φ, syarat terpenuhi karena S = {0, 2}
2. a - b ∈ S
Misalkan 0, 2 ∈ S
2–0=2
2–2=0
0–2=2
Sehinigga 0, 2 ∈ S
3. a . b ∈ S
Misalkan 0, 2 ∈ S
2.0=0
2.2=0
0.2=0
Sehingga 0 ∈ S
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.
Kita juga bisa membuktikan S (dalam contoh 1) merupakan suatu
Subring dari Ring Z4, dengan menunjukan operasi yang sama pada Z4
terhadap penjumlahan dan perkalian. Sehingga S adalah merupakan Grup
Komutatif
terhadap
penjumlahan
(S,+)
dan
juga
merupakan
Semigrup/Monoid terhadap perkalian (S,.). Karena (S,+,.) mememenuhi
syarat-syarat dari suatu Ring, maka S = {0, 2} adalah Subring dari Ring
Z4 = {0, 1, 2, 3}.
109
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 7.2 :
Tunjukan bahwa Q( 3 ) = {a + b 3 | a, b ∈ Q} adalah merupakan Subring
dari R.
Penyelesaian :
Akan kita tunjukan bahwa Q( 3 ) = {a + b 3 | a, b ∈ Q} memenuhi syaratsyarat dari suatu Ring.
1. S ≠ φ, syarat terpenuhi karena Q( 3 ) = {a + b 3 | a, b ∈ Q}
2. a – b ∈ Q( 3 )
Misalkan a + b 3 , c + d 3 ∈ Q( 3 ) , maka :
a + b 3 - c + d 3 = (a - c) + ( b − d ) 3 ∈ Q( 3 )
3. a . b ∈ Q( 3 )
Misalkan a + b 3 , c + d 3 ∈ Q( 3 ) , maka :
( a + b 3 ) . ( c + d 3 ) = (ac + 3bd) + (ad + bc) 3 ∈ Q( 3 )
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka Q( 3 ) = {a + b 3 | a, b ∈ Q} adalah
Subring dari R.
Sama halnya seperti pada contoh 7.1, kita juga bisa membuktikan
Q( 3 ) (dalam contoh 7.2) merupakan suatu Subring dari R, dengan
menunjukan operasi yang sama pada R terhadap penjumlahan dan
perkalian.
Sehingga S adalah merupakan Grup Komutatif terhadap
penjumlahan ( Q( 3 ) ,+) dan juga merupakan Semigrup/Monoid terhadap
perkalian ( Q( 3 ) ,.). Karena ( Q( 3 ) ,+,.) mememenuhi syarat-syarat dari
suatu Ring, maka Q( 3 ) = {a + b 3 | a, b ∈ Q} adalah Subring dari R.
Dari contoh 7.1 dan contoh 7.2 bisa kita simpulkan bahwa bila R
adalah suatu Ring, S ⊆ R dan S ≠ φ, maka S merupakan suatu Subring bila
S memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.
110
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
7.2. Ideal
Pada materi Grup kita ketahui ada Subgrup Normal yang
merupakan Subgrup yang memiliki sifat khusus. Di dalam Ring juga ada
Subring khusus yang memiliki sifat-sifat istimewa yaitu tertutup terhadap
perkalian unsur di luar Subring. Subring semacam ini dinamakan suatu
Ideal.
Pada Ideal dikenal dengan Ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap
perkalian unsur di sebelah kiri dan Ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap
perkalian unsur di sebelah kanan. Untuk lebih jelasnya akan kita lihat
dalam definisi berikut :
Definisi 7.3 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan (S,+,.) adalah Subring dari R
disebut Ideal kiri jika untuk setiap a ∈S dan r ∈ R maka ra ∈S.
Definisi 7.4 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan (S,+,.) adalah Subring dari R
disebut Ideal kanan jika untuk setiap a ∈S dan r ∈ R maka ar ∈S.
Definisi 7.5 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan (S,+,.) adalah Subring dari R
disebut Ideal jika merupakan Ideal kiri dan Ideal kanan yaitu untuk setiap
a ∈S dan r ∈ R maka ra ∈S dan ar ∈S.
Untuk lebih mempermudah memahami suatu Ideal baik itu Ideal
kiri maupun Ideal kanan, dapat kita jabarkan secara rinci definisi-definisi
yang telah ada sebagai berikut :
111
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Definisi 7.6 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan bagian
dari R (S ⊆ R) disebut Ideal kiri, bila untuk setiap a,b ∈ S dan r ∈ R,
berlaku :
1. a - b ∈ S
2. a . b ∈ S
3. ra ∈ S
Definisi 7.7 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan bagian
dari R (S ⊆ R) disebut Ideal kanan, bila untuk setiap a,b ∈ S dan r ∈ R,
berlaku :
1. a - b ∈ S
2. a . b ∈ S
3. ar ∈ S
Definisi 7.8 :
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan bagian
dari R (S ⊆ R) disebut Ideal, bila untuk setiap a,b ∈ S dan r ∈ R, berlaku :
1. a - b ∈ S
2. a . b ∈ S
3. ra ∈ S dan ar ∈ S
Jadi suatu Subring dinamakan Ideal bila Subring tersebut tertutup
terhadap operasi perkalian unsur di sebelah kiri (Ideal kiri) dan Subring
tersebut juga tertutup terhadap operasi perkalian unsur di sebelah kanan
(Ideal kanan).
112
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 7.3 :
Dari contoh 7.1, Misalkan Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring,
tunjukan bahwa Subring S = {0, 2} adalah suatu Ideal.
Penyelesaian :
Pada contoh 7.1 telah kita tunjukan bahwa S = {0, 2} adalah Subring dari
Z4 = {0, 1, 2, 3}. Sekarang kita akan tunjukan bahwa S merupakan suatu
Ideal, dengan membuktikan bahwa S adalah Ideal kiri dan Ideal kanan.
Diketahui : 0, 1, 2, 3 ∈ Z4 dan 0, 2 ∈S
Ideal kiri
0.0=0
1.0=0
2.0=0
3.0=0
0.2=0
1.2=2
2.2=0
3.2=2
S merupakan Ideal kiri dari Z4
Ideal kanan 0 . 0 = 0
0.1=0
0.2=0
0.3=0
2.0=0
2.1=2
2.2=0
2.3=2
S merupakan Ideal kanan dari Z4
Jadi S merupakan Ideal kiri dan Ideal kanan dari Z4 sehingga S adalah
Ideal dari Z4.
113
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 7.4 :
Misalkan (Z,+,.) adalah suatu Ring maka himpunan bagian dari (Z,+,.)
yaitu (2Z,+,.), (3Z,+,.), (4Z,+,.) dan seterusnya merupakan suatu Ideal
dari (Z,+,.)
Contoh 7.5 :
Misalkan (Q,+,.) adalah suatu Ring maka himpunan bagian dari (Q,+,.)
yaitu (Z,+,.) merupakan bukan suatu Ideal dari (Q,+,.).
Dari contoh yang telah diberikan, bila kita telah mengetahui bahwa
S adalah suatu Subring dari R, kita cukup mencari nilai dari perkalian
unsurnya saja tidak perlu lagi dibuktikan bahwa S adalah suatu Subring.
Tetapi bila kita belum mengetahui bahwa S adalah suatu Subring atau
bukan, kita harus membuktikan S terlebih dahulu merupakan suatu
Subring, setelah itu kita baru mencari nilai dari perkalian unsurnya yang
tertutup terhadap Subring tersebut.
SUBRING
a∈S,r∈R
ra ∈ S
a∈S,r∈R
ar ∈ S
IDEAL
KIRI
IDEAL
KANAN
IDEAL
Gambar 7.1.
Bagan dari suatu Ideal
114
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
7.3. Rangkuman
1. Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S ≠ φ adalah merupakan himpunan
bagian dari R (S ⊆ R). Bila operasi yang sama dengan (S,+,.)
membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R.
2. Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S adalah himpunan bagian dari R
yang disebut Subring dari R, bila untuk setiap a,b ∈ S, berlaku :
•
S≠φ
•
a-b∈S
•
a.b∈S
3. Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan
bagian dari R (S ⊆ R) disebut Ideal kiri, bila untuk setiap a,b ∈ S dan
r ∈ R, berlaku :
•
a-b∈S
•
a.b∈S
•
ra ∈ S
4. Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan
bagian dari R (S ⊆ R) disebut Ideal kanan, bila untuk setiap a,b ∈ S
dan r ∈ R, berlaku :
•
a-b∈S
•
a.b∈S
•
ar ∈ S
115
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
5. Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan S ≠ φ merupakan himpunan
bagian dari R (S ⊆ R) disebut Ideal, bila untuk setiap a,b ∈ S dan
r
∈ R, berlaku :
•
a-b∈S
•
a.b∈S
•
ra ∈ S dan ar ∈ S
7.4. Soal-soal Latihan
1. Misalkan R adalah suatu Ring dan A dan B adalah Subring dari R.
Buktikan bahwa A ∩ B juga merupakan Subring dari R.
2. Misalkan Z5 adalah suatu Ring.
a. Tentukan subring-subring yang dibangun oleh unsur-unsur dari Z5.
b. Apakah subring-subring tersebut merupakan suatu Ideal.
3. Misalkan P adalah suatu Ring dan S dan T adalah Ideal dari R.
Buktikan bahwa S ∩ T juga merupakan Ideal dari R.
4. Misalkan unsur-unsur bilangan “genap” dan “ganjil” adalah membentuk
suatu Ring.
a. Tentukan subring-subring yang dibangun oleh unsur-unsur bilangan
“genap” dan “ganjil”.
b. Apakah subring-subring tersebut merupakan suatu Ideal.
5. Misalkan ( Q( 2 ) ,+,.) adalah Subring dari Q Tunjukan bahwa Q( 2 )
adalah suatu Ideal dari Q, didefinisikan Q( 2 ) = { a + b( 2 ) | a,b ∈ Q}.
116
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
6. Diketahui R adalah suatu Ring. K dan L adalah merupakan ideal kananideal kanan dari R. Buktikan :
a. K ∩ L merupakan Ideal kanan dari R
b. K + L merupakan Ideal kanan dari R, dengan:
K + L = {a + b | a ∈ K dan b ∈ L}
♠♣♥♣♠
117