statistika - Matdas Fisika

STATISTIKA
Dalam statistika, angka dikumpulkan dan diatur sedemikian rupa sehingga orang
dapat memahaminya, menarik kesimpulan, dan membuat perkiraan berdasarkan
angka–angka itu.
7.1 ISTILAH-ISTILAH DALAM STATISTIKA
A. Pengertian Statistika, Statistik, Populasi, dan Sampel
Agar suatu permasalahan dapat diuraikan, maka diperlukan keteranganketerangan penunjang yang terkait. Keterangan-keterangan tersebut dapat
berupa angka atau yang lainnya.
Keterangan-keterangan berupa angka disebut data kuantitatif, sedangkan
keterangan-keterangan bukan angka disebut data kualitatif. Data kuantitatif
itu sendiri dibedakan menjadi 2 macam yaitu, data diskrit dan data kontinu.
Data diskrit diperoleh dari hasil penghitungan, sedangkan data kontinu
diperoleh dari hasil pengukuran.
Permasalahan
Data
Data Kuantitatif
Data Diskrit
Data kualitatif
Data Kontinu
Statistika berkaitan dengan pengumpulan informasi/keterangan, penyajian
dalam bentuk daftar, diagram, atau grafik sehingga memudahkan untuk
dianalisa selanjutnya disimpulkan dan diambil kesimpulan.
Matematika Dasar
Page 65
Setiap informasi atau keterangan yang diperoleh disebut datum, dalam
bentuk jamak adalah data. Tahap statistika yang melukiskan dan menganalisa
kelompok data tanpa menarik kesimpulan disebut statistika deskriptif,
sedangkan tahap statistika yang berkaitan dengan kondisi suatu kesimpulan
diambil disebut statistika inferensi atau statistika induktif.
Definisi : Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang metode
pengumpulan, pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari
data penelitian.
Perhatikan kalimat – kalimat berikut ini :
a. Lima puluh juta pemirsa TV di Indonesia menyaksikan sinetron “Si
Doel Anak Sekolahan”.
b. Delapan dari sepuluh aktris menggunakan pasta gigi X.
c. Baterai XYZ tahan lebih lama.
Kalimat di atas menyangkut himpunan yang universal, yaitu semua
pemirsa TV di Indonesia, semua aktris, dan semua baterai. Dalam statistika,
himpunan universal (semesta) dengan karakteristik tertentu disebut populasi.
Pada praktiknya, pengamatan terhadap populasi tidak dapat dilakukan sebab
membutuhkan waktu yang lama, memerlukan biaya yang besar, ataupun
merusak populasi itu sendiri, misalnya mungkinkah kita menanyai semua
pemirsa TV di Indonesia ? Mungkinkah kita menanyai semua aktris tentang
merek pasta gigi yang mereka gunakan ? Bagaimanakah jika semua baterai
kita tes daya tahannya ?
Untuk keperluan itu, kita dapat menggunakan atau mengambil contoh
yang dipilih dari populasi, yang disebut sampel. Jadi, sampel adalah
himpunan bagian dari populasi. Metode statistika tentang cara mengambil
sampel yang tepat disebut teknik sampling. Nilai – nilai yang diperoleh dari
sampel disebut statistik. Statistik inilah yang digunakan untuk menduga
populasi. Nilai – nilai populasi disebut parameter.
Matematika Dasar
Page 66
B. Pengumpulan, Pembulatan, dan Pemeriksaan terhadap Data
Usaha untuk memperoleh informasi yang objektif merupakan langkah
yang penting dalam suatu penyelidikan (observasi). Hal ini berkaitan dengan
tujuan penyelidikan itu sendiri. Sesuai dengan tujuan penyelidikan, maka
pengumpulan data dapat dilakukan dengan metode :
1. Pengamatan (observasi), yaitu cara pengumpulan data dengan mengamati
secara langsung subjek yang diteliti.
2. Penelusuran literatur, yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan
sebagian atau seluruh data yang telah ada dari peneliti sebelumnya.
Penelusuran literatur disebut juga pengamatan tidak langsung.
3. Penggunaan kuesioner (angket), yaitu cara pengumpulan data dengan
menggunakan daftar pertanyaan (angket) atau daftar isian terhadap subjek
yang teliti.
4. Wawancara (interview), yaitu cara pengumpulan data dengan langsung
mengadakan Tanya jawab kepada subjek yang diteliti.
Data yang diperoleh disebut data mentah.
Berdasarkan banyaknya data yang diambil, cara pengumpulan data dibagi
atas dua cara, yaitu sebagai berikut:
1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data, di mana data diperoleh dari setiap
anggota populasi.
2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data, di mana hanya sebagian anggota
populasi (sampel) saja yang diteliti. Akan tetapi, dari sebagian anggota
populasi ini diharapkan dapat menggambarkan keadaan populasi yang
sebenarnya.
Selanjutnya, setelah data diperoleh, untuk mendapatkan gambaran tentang
apa yang diteliti, peneliti harus melakukan penganalisisan data.Untuk
pengamatan lebih lanjut, data dibedakan :
a. Data Kuantitatif, yaitu data berupa kumpulan angka, misalnya tinggi
siswa, banyaknya siswa yang tidak masuk hari ini di suatu sekolah.
Matematika Dasar
Page 67
Ditinjau dari cara memperolehnya, data kuantitatif dapat dibedakan
menjadi 2 macam, yaitu.
1. Data Cacahan
Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah,
membilang, atau menghitung banyak objek. Sebagai contoh adalah
data tentang banyak petak sawah untuk masing-masing desa di lima
desa.
2. Data Ukuran
Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur
besaran objek. Sebagai contoh data tentang luas petak sawah dan data
tentang berat padi gabah kering.
b. Data Kualitatif, yaitu data yang diamati berdasarkan atribut, misalnya
pendapat siswa terhadap pelajaran Matematika, seperti amat senangsenang-kurang senang-tidak senang.
Untuk keperluan perhitungan maupun analisis, sering dikehendaki data
kuantitatif dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan
bilangan-bilangan, diadakan aturan pembulatan sebagai berikut :
a. Aturan umum, yaitu jika kurang dari 0,5 dihilangkan dan jika sama atau
lebih dari 0,5 menjadi 1,
Misal
: 3,48 dibulatkan menjadi 3
2,5 dibulatkan menjadi 3
8,45678 dibulatkan menjadi 8,46 (sampai dua tempat
desimal).
b. Aturan genap terdekat, yaitu kurang dari 0,5 dihilangkan, lebih dari 0,5
menjadi 1, dan sama dengan 0,5 dihilangkan jika angka yang mendahului
genap atau menjadi 1 jika angka yang mendahului ganjil,
Misal
: 6,948 dibulatkan menjadi 6,9 (sampai satu tempat desimal)
17,52 dibulatkan menjadi 18,00
Matematika Dasar
Page 68
12,50 dibulatkan menjadi 12,00
13,50 dibulatkan menjadi 14,00
Sebelum data diolah lebih lanjut, perlu diadakan pemeriksaan data
kembali. Hal ini untuk menghindari kekeliruan dalam analisa maupun
kesimpulan yang diambil. Beberapa data yang dipandang meragukan
hendaknya diyakini kebenarannya. Kemungkinan kesalahan terjadi pada alat
ukur, kesalahan mengukur, kekeliruan mencatat, instruksi yang tidak jelas,
atau kecerobohan dalam mengumpilkan data. Semua kesalahan itu perlu
diperhatikan agar diperoleh data yang akurat.
7.2 PEYAJIAN DATA STASTITIKA
Data statistik dapat disajikan dalam beberapa bentuk, sesuai dengan jenis
data. Data statistik dapat berupa daftar bilangan yang mempunyai satuan yang
sama atau disebut data tunggal. Data dapat dinyatakan dalam bentuk daftar
bilangan.
A. Daftar Bilangan
Data tunggal dapat dituliskan sebagai daftar bilangan sebagaimana contoh
berikut. Data nilai matematika 10 anak kelas 2 SD adalah : 60, 75, 65, 80, 95,
74, 88, 87, 76 dan 90.
B. Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi 2, yaitu tabel
distribusi frekuensi data tunggal dan tabel distribusi frekuensi data
berkelompok.
a) Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal
Penyajian data tunggal frekuensi dilakukan dengan membuat tabel
yang terdiri atas frekuensi dilakukan dengan membuat tabel yang terdiri
atas kolom, yaitu kolom nilai (x), kolom turus dan kolom frekuensi (f)
Matematika Dasar
Page 69
Contoh 7.1
Skor tes matematika dari 50 siswa di suatu kelas adalah
29
23
27
25
23
25
25
27
25
27
28
26
24
27
25
22
21
26
24
24
24
23
25
23
26
25
26
25
27
25
28
27
24
25
24
26
23
21
26
22
26
28
25
23
24
24
30
22
26
26
Sajikan data di atas dalam daftar distribusi frekuensi tunggal !
Jawab:
Skor
21
22
23
24
25
26
37
28
29
30
Turus
II
III
IIII
IIII
IIII
IIII
IIII
III
I
I
I
III
IIII I
IIII
I
b) Tabel DistribusiFrekuensi Data Berkelompok
Banyak Siswa
(Frekuensi)
2
3
6
8
11
9
6
3
1
1
n = ∑ f = 50
Jika sekumpulan data memiliki jumlah dan variasi data yang cukup
banyak, maka data tersebut dapat disederhanakan dengan cara
mengelompokkannya dalam kelas – kelas. Dengan demikian diperoleh
tabel distribusi frekuensi data berkelompok.
Beberapa istilah yang penting dalam membuat tabel distribusi
frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut :
1) Kelas Interval
Kelas interval adalah kelas – kelas yang memuat beberapa data
tertentu.
Matematika Dasar
Page 70
=
I = interval Kelas
R = jangkauan (data tertinggidata terendah
K = banyak kelas
2) Batas Kelas
Batas kelas adalah nilai – nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas
interval.
3) Tepi kelas
Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua
kelas interval yang berurutan.
Tepi atas kelas (ta) adalah batas kelas ditambah setengah. Sedangkan
tepi bawah kelas (tb) adalah batas kelas dikurang setengah.
4) Panjang Kelas
Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas, yaitu selisih
antara tepi atas dan tepi bawah dari tiap kelas dalam kelas interval
yang sama
5) Titik Tengah Kelas
Nilai titik tengah kelas adalah setengah dari jumlah tepi bawah kelas
dan tepi atas kelas.
c) Cara Menyusun Tabel Distribusi Kelompok
Beberapa langkah yang perlu diperhatiakn dalam menyusun tabel
distribusi frekuensi berkelompok adalah sebagai berikut.
Menentukan nilai data terbesar (xmaks) dan nilai data terkecil (xmin)
kemudian ditentukan jangkauannya (J) dengan rumus :
J = xmaks – xmin
Menentukan banyaknya kelas interval (k) dari n buah data adalah
berdasarkan aturan Sturgess, yaitu :
Matematika Dasar
Page 71
k = 1 + 3,3 log n
Menentukan panjang kelas (c) dengan rumus :
=
Menentukan daftar distribusi frekuensi dengan menetapkan kelas –
kelas sehingga nilai statistik minimum termuat dalam kelas interval
terendah, tetapi tidak harus sebagai batas bawah kelas. Selanjutnya,
menetapkan frekuensi tiap kelas yang dapat dilakukan dengan
menggunakan turus atau bisa saja langsung dituliskan .
Contoh 7.2
Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat),
diperoleh data sebagai berikut.
54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 58
58 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 60
70 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 64
57 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59
Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut !
Jawab:
Data pengukuran tersebut terdiri dari 48 data, sehingga n = 48
Nilai statistik minimum , xmin = 45 , dan nilai statistik maksimum,
xmaks=74
Jangkauan = − = 74 − 45 = 29
Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1 +3,3 log 48 = 6,548…, dibulatkan
ke atas menjadi k=7
Panjang Kelas p = ' =
&
dalam kelas interval.
Matematika Dasar
()
*
=4,14,…, dibulatkan ke atas menjadi tercakup
Page 72
Tabel distribusi frekuensi :
Hasil Pengukuran
(dalam cm)
43 – 47
48 – 52
53 – 62
58 – 62
63 – 67
68 – 72
73 – 77
Titik Tengah (xi)
Frekuensi (f)
45
50
55
60
65
70
75
1
6
13
16
6
4
2
+ f = 48
d) Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif dan Frekuensi Relatif
Tabel distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari tabel distribusi
frekuensi berkelompok. Terdapat dua jenis frekuensi kumulatif, yaitu
frekuensi kumulatif kurang dari tepi atas f' ≤ t / dan frekuensi
kumulatif lebih dari tapi bawah f' ≥ t 1 Setiap frekuensi (fi) dalam tabel distribusi frekuensi yang dinyatakan
dalam persentase disebut frekuensi relatif. Frekuensi relatif (fr) dapat
ditentukan dengan rumus :
23 =
24
× 677%
Selanjutnya, daftar distribusi frekuensi kumulatif relatif dapat disusun
dari daftar distribusi frekuensi kumulatif.
Contoh 7.3
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif relative berdasarkan tabel
Contoh 1.2
Jawab:
Berdasarkan tabel pada contoh 1.2 perhatikan perhitungan – perhitungan
berikut.
Dengan cara perhitungan yang sama, akan kita dapatkan tabel distribusi
frekuensi kumulatif relatif berikut.
Matematika Dasar
Page 73
Hasil
Pengukuran
(dalam cm)
43 – 47
48 – 52
53 – 57
58 – 62
63 – 67
68 – 72
73 – 77
Frekuensi
(f)
Frekuensi
Relatif (fr)
1
6
13
16
6
4
2
0,021
0,125
0,271
0,333
0,125
0,083
0,042
Frekuensi
Kumulatif
f' ≤ t / f' ≥ t 1
1
48
7
47
20
41
36
28
42
12
46
6
48
2
Frekuensi
Kumulatif Relatif
f'9 ≤ t / f'9 ≥ t 1
0,021
1
0,146
0,979
0,417
0,854
0,750
0,583
0,875
0,250
0,958
0,125
1
0,042
7.3 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
A. Diagram Batang
Dalam penyajian dengan diagram batang, data disajikan dalam bentuk
batang persegi panjang yang di gambarkan vertical atau horizontal dengan
lebar sama. Disamping diagram batang tunggal, dikenal dua diagram batang
yang lain, yaitu:
1. Diagram batang majemuk
2. Diagram batang bertingkat
Contoh 7.4
Sekelompok siswa mengadakan penelitian tentang tayangan swasta. Mereka
menanyakan, manakah yang lebih digemari tayangan ABTV atau CDTV
kepada teman – temannya di sekolah. Daftar di bawah ini menunjukkan hasil
penelitian tersebut :
Yang
Menggemari
AATV
BBTV
Matematika Dasar
Kelas
A
30
15
Kelas
B
26
18
Kelas
C
26
20
Kelas
D
23
23
Kelas
E
17
18
Kelas
F
11
20
Page 74
Diagram batang informasi di atas dapat di gambarkan sebagai berikut :
35
30
25
20
Column1
15
AATV2
10
BBTV2
5
0
A
B
C
D
E
F
B. Diagram Garis
Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan
perkembangan suatu data dari waktu ke waktu. Selain dibaca dan ditafsirkan ,
diagram garis juga dipakai untuk memperkirakan suatu nilai yang belum
diketahui. Dalam memperkirakan nilai yang belum
belu diketahui ini ada dua
macam pendekatan, yaitu pendekatan interpolasi linear dan pendekatan
ekstrapolasi linear.
Diagram garis digambar pada bidang Cartecius. Sumbu X ditempati oleh
waktu pengamatan sedangkan sumbu Y ditempati oleh nilai data yang
diamati.
a. Interpolasi Linear
Pendekatan interpolasi linear adalah menafsirkan atau memperkirakan
suatu nilai data yang berada di antara dua titik yang berdekatan.
b. Ekstrapolasi Linear
Pendekatan ekstrapolasi linear adalah menaksir atau memperkirakan
suatu nilai data
ata yang terletak sesudah titik data terakhir yang diketahui.
Ekstrapolasi semacam ini dapat dilakukan dengan cara memperpanjang
Matematika Dasar
Page 75
garis dalam arah ke kanan atas atau ke kanan bawah tergantung pada
kecenderungan nilai – nilai data sebelumnya.
Contoh 7.5
Data jumlah siswa yang lulus ke Perguruan Tinggi Negeri sepuluh tahun
terakhir tahun di Kabupaten Semarang
Tahun
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Jumlah siswa yang lulus
150
170
180
165
145
176
190
178
200
210
Berikut diagram garis dari data di atas :
200
150
100
Jumlah Siswa
50
0
2003 2004 2005 2006 2007 2008
C. Diagram Lingkaran
Diagram
lingkaran
digunakan
untuk
menunjukkan
perbandingan
antaritem data dengan cara membagi lingkaran dalam juring – juring
lingkaran yang sudut pusatnya sesuai dengan perbandingan tersebut.
Contoh 7.6
Daftar jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler
e
menari di setiap kelas
VII SMP N 7 Semarang
Buatlah diagram lingkaran
karan yang sesuai dengan data di atas
Matematika Dasar
Page 76
Ekstrakurukuler menari
VII A
VII B
VII C
VII D
VII E
Banyaknya siswa
10
4
6
8
12
Jawab :
Jumlah seluruh
uh siswa= 10 + 4 + 6 + 8 + 12 =40.
=4 Perbandingan dan persentase
untuk masing-masing
masing kelas adalah :
VII A =
:;
<;
= 25 % , VII B=
20% , VII E=
:(
<;
= 30 %
<
<;
= 10 % , VII C= yang
= 15
ikut% , VII D=
Presentase
Siswa
C
<;
Ekatrakurikuler
Menari
D
<;
=
ah dalam ukuran derajat, maka diperoleh sudut pusat sebagai berikut.
Jika diubah
VII A :
VII B :
)
<;
A
<;
× 360? = 81?
VII E
30%
× 360B = 45B
VII C : <; × 360? = 54?
VII D :
VII E :
C
D
<;
:(
<;
VII D
20%
× 360? = 72?
VII A
25%
VII C
15%
VII B
10%
× 360B = 108B
D. Histogram
Data ukuran (data kontinu) yang telah disusun dalam daftar distribusi
frekuensi
dapat
disajikan
dalam
bentuk
diagram
yang
disebut
histogram.Gambar
.Gambar histogram berbentukdiagram batang di mana antara dua
batang yang berdampingan saling berimpit. Langkah – langkah untuk
membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai berikut :
Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk
frekuensi)
Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi panjang
menunjukkan panjang kelas (p), yaitu dari tepi bawah kelas sampai tepi
atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang menunjukkan frekunsinya.
Matematika Dasar
Page 77
Di atas tiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing – masing agar
histogram mudah dibaca.
Contoh 7.7
Gambarlah histogram dari data yang disajikan di bawah ini seperti contoh 1.2
54
58
70
57
50
65
73
49
53
56
45
48
54
58
60
56
60
52
56
58
56
70
54
58
62
74
52
60
54
62
53
64
58
52
67
63
65
62
54
68
71
58
59
57
58
60
64
59
Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah
histogramnya
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
Hasil Pengukuran Titik Tengah
(dalam cm)
45
43 – 47
50
48 – 52
55
53 – 62
60
58 – 62
65
63 – 67
70
68 – 72
75
73 – 77
Frekuensi (f)
1
6
13
16
6
4
2
+ f = 48
Jawab :
Dengan mengikuti langkah – langkah membuat histogram suatu data
berkelompok, histogram dari data tersebut diperlihatkan pada gambar di
bawah ini:
Matematika Dasar
Page 78
16
14
12
10
8
6
4
2
Nilai
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
E. Poligon
Jika titik – titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang berdekatan
pada histogram dihubungkan, maka akan diperoleh grafik garis yang disebut
polyangon distribusi frekuensi.
Selain dengan cara tersebut, polyangon distribusi frekuensi dapat dibuat
dengan langkah – langkah sebagai berikut :
Menambahkan satu kelas interval sebelum kelas pertama dan satu kelas
interval sesudah kelas terakhir.
Menentukan titik tengah setiap kelas
Menggambar sumbu horizontal dan sumbu vertical
Menggambar titik – titik dengan titik tengah kelas interval sebagai absis
dan frekuensi kelas interval sebagai ordinat
Menghubungkan titik – titik yang berdekatan dengan suatu aris lurus
Contoh 7.8
Gambar polyangon distribusi frekuensi dari data pada contoh 1.2
Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat),
diperoleh data sebagai berikut.
54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 58
Matematika Dasar
Page 79
58 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 60
70 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 64
57 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59
Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah
poligonnya !
Hasil Pengukuran
(dalam cm)
43 – 47
48 – 52
53 – 62
58 – 62
63 – 67
68 – 72
73 – 77
Titik Tengah
Frekuensi (f)
45
50
55
60
65
70
75
1
6
13
16
6
4
2
+ f = 48
Jawab :
Poligon distribusi dari data tersebut diperlihatkan oleh gambar di bawah
16
14
12
10
8
2
40
45
50
55
60
65
70
75
80
F. Ogive
Tabel distribusi frekuensi kumulatif yang disajikan dalam bentuk kurva,
disebut polyangon distribusi frekuensi kumulatif atau ogive. Ogive terdiri dari
2 macam yaitu ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive
lebih dari). Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik – titik ,
Matematika Dasar
Page 80
dengan tepi atas sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai ordinat.
Sementara itu, ogive negatif dapat dibentuk dengan cara menghubungkan
titik –titik, dengan tepi bawah sebagai absis dan frekuensi kumulatif sebagai
ordinat.
Contoh 7.9
Gambarlah ogive dari data yang terdapat pada contoh 1.2
Dari 48 kali pengukuran lembaran kain (ketelitian sampai cm terdekat),
diperoleh data sebagai berikut.
54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 58
58 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 60
70 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 64
57 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59
Buatlah daftar distribusi frekuensi berkelompok dari data tersebut dan buatlah
ogive nya!
Jawab :
Perhatikan kembali tabel distribusi kumulatif yang terdapat pada Contoh 1.3
Hasil
Pengukuran
(dalam cm)
43 – 47
48 – 52
53 – 57
58 – 62
63 – 67
68 – 72
73 – 77
Frekuensi
(f)
Frekuensi
Relatif (fr)
1
6
13
16
6
4
2
0,021
0,125
0,271
0,333
0,125
0,083
0,042
Matematika Dasar
Frekuensi
Kumulatif
f' ≤ t / f' ≥ t 1
1
48
7
47
20
41
36
28
42
12
46
6
48
2
Frekuensi
Kumulatif Relatif
f'9 ≤ t / f'9 ≥ t 1
0,021
1
0,146
0,979
0,417
0,854
0,750
0,583
0,875
0,250
0,958
0,125
1
0,042
Page 81
Ogive
60
50
40
30
20
10
0
ogive positif
ogive negatif
0
20
40
60
80
100
7.4 UKURAN STATISTIK DATA
A. Ukuran Pemusatan Data
a. Mean (Rataan Hitung)
Mean (rataan hitung) didefinisikan sebagai jumlah data kuantitatif
dibagi banyaknya data. Atau dapat dinyatakan sebagai jumlah seluruh
data dibagi banyaknya data. Notasi atau lambing / symbol untuk sampel
dan populasi dibedakan :
Sampel
X
n
xH
Data
Banyaknya data
Rataan
Mean xH, dari data x: , x( , xK , … , xM dirumuskan :
xH =
x: + x( + xK + ⋯ + xM
n
:
̅ =
Data Kelompok :
̅ =
data tunggal
Matematika Dasar
Populasi
X
N
μ
∑
Q
∑ F ∑ F
Page 82
Dengan : xi = titik tengah kelas interval
fi = frekuensi dari xi
k = banyaknya kelas interval
Selain menggunkan rumus dan cara di atas, kita dapat menentukan
rataan dari sekumpulan data dengan terlebih dahulu menentukan rataan
sementaranya. Rataan sementara biasanya diambil dari nilai tengah yang
mempunyai frekuensi terbesar.
Untuk menghitung rata – rata bisa menggunakan rata – rata sementara.
Kesulitan dalam menghitung rata – rata adalah apabila dijumpai bilangan
besar atau tidak bulat.Untuk mengatasi hal ini, kita menyederhanakan
data, yaitu dengan cara memperkirakan nilai rata rata yang disebut rata –
rata sementara. Caranya adalah sebagai berikut:
a) Tetapkan rata – rata sementara HHHHHH
x; , dipilih pada kelas yang
mempunyai frekuensi tertinggi dan letaknya di tengah.
b) Tentukan simpangan (deviasi) terhadap rata – rata sementara, dengan
rumus:
R = − HHH
;
c) Tentukan rata – rata sesungguhnya, dengan rumus:
̅ = HHH
; +
∑ F R
∑ F
d) Atau jika dengan memfaktorkan interval kelasnya maka rumusnya
menjadi:
Matematika Dasar
∑ F R
̅ = HHH
; + S
TU
∑ F
Page 83
Contoh 7.10
Dua belas orang mengikuti pertandingan menembak pada jarak tertentu,
setiap peserta menembak 10 kali. Hasil tembakan yang mengenai sasaran dari
tiap – tiap peserta adalah 4, 8, 5, 8, 6, 4, 7, 7, 2, 3, 5, 7. Tentukan rataan
tembakan yang menenai sasaran!
Jawab :
Data Tunggal
Data di atas dipandang sebagai sampel, maka :
+ x = 4 + 8 + 5 + 8 + 6 + 4 + 7 + 7 + 2 + 3 + 5 + 7 = 66 dan n
= 12
xH =
∑ x 66
=
= 5,5
n
12
Data Kelompok
Tentukan Rata – rata dari data berikut :
Nilai
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
Frekuensi (fi)
4
6
10
4
4
2
+ 24 = X7
xH =
Titik Tengah (xi)
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
∑ f] x]
1975
=
= 65,83
f]
30
(fixi)
178
327
645
298
338
189
+ 24 Y 4 = 6Z[\
Jadi, rata – ratanya adalah 65,83
b. Modus (Nilai terbanyak)
Modus adalah nilai yang paling banyak muncul. Untuk data tunggal,
modus sangat mudah ditentukan, yaitu data yang yang mempunyai
frekuensi terbanyak. Modus mempunyai kelemahan, yaitu apabila
kelompok data yang dimaksud memiliki dua nilai modus (bimodal) atau
Matematika Dasar
Page 84
lebih, atau tidak memiliki modus, misal : Data 5, 7, 8, 10, 10,12,12
memiliki dua modus yaitu 10 dan 12.
Untuk data distribusi frekuensi dalam bentuk kelas – kelas interval,
nilai modus tidak dapat ditentukan dengan tepat tetapi dengan
pendekatan. Ada yang berpendapat nilai modus sama dengan nilai tengah
kelas yang mempunyai frekuensi terbanyak. Cara lain yang dianggap
lebih tepat, yaitu dengan memperhatikan frekuensi kelas sebelum dan
sesudah kelas modus.
Rumus Modus :
Dengan
:
^_ = ` + a `:
`: + `(
b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi
terbanyak
p = panjanng kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan
tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal
b 2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan
tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal.
Contoh 7.11
Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahan.
Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti, dicatat berat kaleng roti, disajikan
pada daftar di bawah ini:
Berat Kaleng (gram)
281 – 283
284 – 286
287 – 289
290 – 292
293 – 295
296 – 298
Matematika Dasar
Frekuensi (f)
4
18
36
82
50
10
Frekuensi Kumulatif (fk)
4
22
58
140
190
200
Page 85
Langkah – langkah mengerjakan modus :
a) Kelas modal = kelas keempat
b) b = 289,5
c) b1 = 82 – 36 = 46
d) b2 = 82 – 50 = 32
e) p = 284 – 281 = 3
b:
k
Mo = b + p j
b: + b(
Mo = 289,5 + 3 l
Mo = 291,26
<C
n
<CmK(
c. Median
Median adalah nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang
sama banyaknya setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang
terbesar.
Untuk mendapatkan nilai median dari daftar distribusi frekuensi dapat
digunakan
rumus
median,
selain
itu
didapatkan
nilai
median
menggunakan histogram, yang berarti median membagi histogram
menjadi dua bagian yang sama luasnya.
Rumus Median :
1d Q − e
^b = ` + a c 2
f
F
Dengan :
b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel atau banayak data
F = jumlah semua fekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda
kelas median
f = frekuensi kelas median
Matematika Dasar
Page 86
Contoh 7.12
Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn.
Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan
pada daftar di bawah ini:
Berat Kaleng (gram)
281 – 283
284 – 286
287 – 289
290 – 292
293 – 295
296 – 298
Frekuensi (f)
4
18
36
82
50
10
Frekuensi Kumulatif (fk)
4
22
58
140
190
200
Langkah – langkah untuk mengerjakan median :
i.
:
(
n=
ii. p = 3
:
(
× 200 = 100
iii. b = 289,5
iv. f = 82
v. F = 58
Me = b + p j
:d Mop
(
k
q
Me = 289,5 + 3l
= 291,03
n
:;;oAD
D(
B. Ukuran Letak Data
a. Kuartil (Qi)
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama
banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Terdapat 3 buah kuartil , yaitu kuartil bawah atau kuartil pertama
dilambangkan Q1, kuartil tengah atau kuartil kedua atau median
dilambangkan q2, dan kuartil atas atau kuartil ketiga dilambangkan Q3.
Sama halnya dengan median, maka nilai kuartil dapat dihitung dengan
cara :
Matematika Dasar
Page 87
1. Menentukan kelas dimana kuatrtil itu terletak yaitu n + 1,
:
<
2. Gunakan atruran :
]M
Q] = b + p s <
− tk
f
Dengan :
n
= jumlah data dan i =1,2,3…
b
= batas bawah kelas Q, ialah kelas
interval di mana Qi akan terletak
p
= panjang kelas Qi
F = fk = Jumlah frekuensi dengan tanda
kelas lebih kecil dari tanda kelas Qi
f
= frekuensi
v
Contoh 7.13
• Data Tunggal
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 untuk data berikut!
1. 6, 8, 4, 2, 4, 7, 5, 4
2. 3, 5, 1, 5, 4, 7, 8, 4, 2
Jawab:
1. Banyak data, n = 8
Data yang telah diurutkan :
2,
4,
4,
4,
Q1
5,
6,
Q2
7,
8
Q3
1
1
1
Q: = 4 + 4 = 4 ; Q( = 4 + 5 = 4,5 ; QK = 6 + 7 = 6,5
2
2
2
Jadi, Q1 = 4 ; Q2 = 4,5 ; Q3 = 6,5.
2. Banyak data, n = 9
Data yang telah diurutkan :
1,
2,
3,
Q1
Matematika Dasar
4,
4,
Q2
5,
5,
7,
8
Q3
Page 88
Q1 = 2 + 3 = 2,5 ; QK = 4 ; QK = 5 + 7 = 6
:
:
(
Jadi, Q1 = 2,5 ; Q2 = 4 ; Q3 = 6
(
• Data Berkelompok
Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn.
Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan
pada daftar di bawah ini:
Berat Kaleng (gram)
281 – 283
284 – 286
287 – 289
290 – 292
293 – 295
296 – 298
Frekuensi (f)
4
18
36
82
50
10
Frekuensi Kumulatif (fk)
4
22
58
140
190
200
Carilah nilai Q3 nya !
Jawab:
a) Dengan i = 3 dan n = 200
b) p = 3
c)
K
<
× 200 = 150
z = ` + a s <
− e
F
K×(;;
zK = 292,5 + 3 s
d) b = 292,5
zK = 292,65
e) f = 190
f) F = 140
v
<
− 140
190
v
b. Desil (Di)
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama
banyak , setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Untuk menentukan desil degunakan rumus sebagai berikut.
- Data Tunggal
x =
Matematika Dasar
yQ + 1
10
Page 89
- Data Berkelompok
x = ` + a s:;
−e
F
v
Dengan :
n = jumlah data dan i =1,2,3…
b = batas
bawah kelas Di, ialah kelas
interval di mana Di akan terletak
p = panjang kelas Di
F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas
lebih kecil dari tanda kelas Di (frekensi
kumulatif)
f = frekuensi pada kelas Di
Contoh 7.14
• Data Tunggal
Tentukan nilai desil ke-3 dari data berikut!
7 5 8 7 9 6 6 6 8 5 9 8 6 7 9
Jawab:
Data yang telah diurutkan : 5 5 6 6 6 6 7 7 7
Bnayak data, n = 15.
Letak Desil ke-3 diurutkan data ke-3 adalah:
D3 terletak pada urutan ke-4,8. Sehingga:
K:Am:
:;
8 8 8 9 9
9
= 4,8
D3 = x4 + 0,8( x5 – x4 ) = 6 + 0,8 (6 - 6) = 6
Jadi, nilai D3 adalah 6
• Data Kelompok
Ambil data dari contoh 7.12
Matematika Dasar
Page 90
Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn.
Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan
pada daftar di bawah ini:
Berat Kaleng (gram)
281 – 283
284 – 286
287 – 289
290 – 292
293 – 295
296 – 298
Frekuensi (f)
4
18
36
82
50
10
Frekuensi Kumulatif (fk)
4
22
58
140
190
200
Carilah nilai D2 dari data disamping !
Jawab:
Dengan i = 2 dan n = 200
2
× 200 = 40
10
x = ` + a s:;
−e
F
(×(;;
p=3
x( = 286,5 + 3 s
f = 50
= 287,58
b = 286,5
v
:;
− 22
50
v
F = 22
c. Persentil (Pi)
Dalam hal ini kita juga dapat membagi sekelompok data menjadi seratus
bagian yang sama banyak, sehingga terdapat 99 nilai pembagi yang
disebut persentil. Untuk menghitung nilai persentil digunakan rumus :
P] = b + p s
]M
:;;
Dengan :
−F
f
v
n = jumlah data dan i =1,2,3…
b = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi terletak
p = panjang kelas Pi
F = jumlah frekunsi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi
Matematika Dasar
Page 91
f = frekuensi Pi
Contoh 7.15
• Data Berkelompok
Gunakan data dari Contoh 7.12
Suatu mesin yang memproduksi kaleng roti diperkirakan terdapat kesalahn.
Dari penelitian terhadap 200 kaleng roti , dicatat berat kaleng roti, disajikan
pada daftar di bawah ini:
Berat Kaleng (gram)
281 – 283
284 – 286
287 – 289
290 – 292
293 – 295
296 – 298
Frekuensi (f)
4
18
36
82
50
10
Frekuensi Kumulatif (fk)
4
22
58
140
190
200
Carilah nilai P3 dari data diatas!
Jawab:
3
× 200 = 6
100
b =283,5
p=3
f = 18
} = ` + a s
−e
:;;
F
}K = 283,5 + 3 s
= 283,83
v
K×(;;
−4
:;;
18
v
F=4
C. Ukuran Peyebaran Data
Ukuran penyebaran data yang biasa digunakan untuk data tunggal antara
lain rentang, hamparan simpangan kuartil, simpangan rata – arta, ragam dan
simpangan baku.
a. Rentang atau jangkauan (J)
Definisi :
Jangkauan data atau rentang data adalah selisih antara data terbeasar
(xmaks) dengan data terkecil (xmin).
Matematika Dasar
Page 92
J = X€/' − X€]M
b. Hamparan (H)
Definisi :
Jangkauan antarkuartil atau hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga
dengan kuartil pertama
c. Simpangan Kuartil (Qd)
H = Q K − Q:
Definisi:
Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah kali
panjang hamparan.
1
Qƒ = QK − Q: 2
Contoh 7.16
Data Tunggal
Diketahui data: 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10. Tentukan jangkauan, jangkauan
antarkuartil, dan simpangan kuartil dari data tersebut
Jawab;
Data:
3,
4,
4,
Q1
Q: =
5
7,
8,
9,
Q2
9,
10
Q3
1
1
4 + 4 = 4 ; Q( = 7 ; QK = 9 + 9 = 9
2
2
Jangkauan : xmaks – xmin = 10 – 3 = 7
Hamparan: zK − z: = 9 − 4 = 5
Simpangan Kuartil: ( zK − z: = ( 9 − 4 = 2,5
:
Matematika Dasar
:
Page 93
Data Berkelompok
Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik.
Upah (Rupiah)
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99
80,00 – 89,99
90,00 – 99,99
100,00 – 109,99
110,00 – 119,99
JUMLAH
f
8
10
16
14
10
5
2
65
Tentukanlah hamparan dan simpangan kuartil dari data di atas!
Jawab:
Q1= Rp 68,25 dan Q3 = Rp 90,75
Maka Hamparan(jangkauan atar Kuartil) Q3 – Q1 = 90,75 – 68,25 = Rp 22,50
Simpangan Kuartil: Qƒ = ( QK − Q: :
Qƒ = 90,75 − 68,25 = Rp 11,25
(
:
d. Simpangan Rata – rata
Simpanagan rata – rata atau deviasi rata – rata merupakan rata – rata jarak
suatu data terhadap rataan hitungannya. Nilai simpangan rata – rata (SR)
untuk data tunggal dapat ditentukan dengan rumus:
1
… = + | − ̅ |
Q
‡:
Dengan :
n = banyaknya data
xi = nilai data ke-i
xH = rataan hitung
Contoh 7.17
Tentukan simpangan rata – rata dari data:1, 3, 5, 8, 10, 12, 13.
Matematika Dasar
Page 94
Jawab:
• Data Tunggal
n =8
xH =
:mKm<mAmDm!m:(m:K
A
=
AC
D
=7
SR = |1 − 7| + |3 − 7| + |4 − 7| + |5 − 7| + |8 − 7| + |10 − 7| + |12 − 7| + |13 − 7|
:
D
= 6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 5 + 6 = 30 = 3,75
:
:
D
D
Jadi, simpangan rata = ratanya adalah 3,75
• Data Kelompok
Nilai
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
Frekuensi (fi)
4
6
10
4
4
2
SR =
∑ qŒ |Œ oH|
∑ qŒ
=
KK:,*;
K;
Titik Tengah (xi)
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
|Y Š − YH|
21,17
11,17
1,17
8,83
18,83
28,83
‹
2|Y 4 − Y|
84,68
67,02
11,70
35,.32
75,32
57,66
= 11,06
Jadi, simpangan rata – ratanya adalah 11,06
e. Ragam dan Simpangan Baku
Misalnya data x1 , x2 , x3 ,… xn mempunyai rataan, maka ragam atau
varians (S2) dapat ditentukan dengan rumus:
∑Y 4 − YH
−6
Sementara itu, simpangan baku atau deviasi baku (S) dapat ditentukan
Ž =
dengan rumus:
∑Y 4 − YH
Ž = Ž  = ‘
−6
Matematika Dasar
Dengan:
n = banyaknya data
xi = nilai data ke-i
̅ = rataan hitung
Page 95
Contoh 7.18
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13
Jawab:
• Data Tunggal
Data: 1, 3, 4, 8, 10, 12, 13
n = 8 dan xH=7, maka:
∑D]‡:x] − xH( = 1 − 7( + 3 − 7( + 4 − 7( + 5 − 7( + 8 − 7( +
10 − 7( + 12 − 7( + 13 − 7(
= 36 + 16 + 9 + 4 + 1 + 9 + 25 + 36 = 136
S ( = ∑D]‡:x] − xH( = 136 = 17
:
:
D
D
S = √S ( = √17 = 4,12 (teliti hingga 2 tempat desimal).
Jadi, data tersebut mempunyai ragam , S2 = 17 dan simpangan baku , S= 4,12
• Data Kelompok
35 – 39
40 – 44
Frekuensi
(fi)
1
5
Titik
Tengah (xi)
37
42
37
210
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
4
7
19
14
47
52
57
62
188
364
1083
868
Berat
+ fi =50
fixi
∑ fi x i
∑ fi
=
xi -xH2
fi xi -xH2
-8
-3
2
7
64
9
4
49
256
63
76
686
-18
-13
+ fi xi =2750
xH=
xi -xH
2750
50
=55
324
169
324
845
+ fi xi -xH2 =2250
Karena banyaknya data, n = 50 maka dikatakan sampel berukuran besar (n>30)
sehingga
S2 =
∑ fi (xi -xH )2 2250
=
=45
n
50
S=√45=6,71
Jadi, data tersebut mempunyai ragam (S2) = 45 dan simpangan baku (S) =
6,71
Matematika Dasar
Page 96