Penyelesaian Tugas II Analisis Struktur I

Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
Semester V 2008/2009
Penyelesaian Tugas II Analisis Struktur I: Metode Clapeyron
Batas Akhir Penyerahan: Senin, 20 Oktober 2008
Soal No. 1
Penyelesaian:
Dalam metode Clapeyron, besarnya sudut belahan αi sama dengan sudut elastis θi karena adanya
beban kerja. Momen-momen yang terjadi :
• pada tumpuan B dapat diketahui dengan menghitungnya akibat beban yang bekerja pada
kantilever AB, sedangkan momen pada tumpuan F adalah nol.
• Momen pada tumpuan C dan D dihitung dari keseimbangan antara sudut belahan dan sudut
elastika pada tumpuan tersebut.
Pada tumpuan B:
M B = 12 × 2 =24 kN.m
Pada tumpuan C:
θC ,ka =
1
1
51.2
QL3CD =
× 9.6 × 83 =
EI
24 EI
24 ( 4 EI )
θC ,ki + θC ,ka = α 2 + α 3
0+
51.2 ⎛ M C × 6 M B × 6 ⎞ ⎛ M C × 8 M D × 8 ⎞
=⎜
+
+
⎟+⎜
⎟
EI ⎜⎝ 3 ( 2 EI ) 6 ( 2 EI ) ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ( 4 EI ) 6 ( 4 EI ) ⎟⎠
51.2 M B 5M C M D
24 5M C M D
=
+
+
=
+
+
EI
2 EI 3EI 3EI 2 EI 3EI 3EI
5M C + M D = 117.6
(1)
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 1/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
Semester V 2008/2009
Pada tumpuan D:
θ D ,ki =
θ D ,ka
1
1
51.2
QL3CD =
× 9.6 × 83 =
EI
24 EI
24 ( 4 EI )
3 PL2
3 32 × 62 24
=
=
=
48 EI
48 ( 3EI ) EI
θ D ,ki + θ D ,ka = α 4 + α 5
51.2 24 ⎛ M D × 8 M C × 8 ⎞ ⎛ M D × 6 M F × 6 ⎞
+
=⎜
+
+
⎟+⎜
⎟
EI
EI ⎜⎝ 3 ( 4 EI ) 6 ( 4 EI ) ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ( 3EI ) 6 ( 3EI ) ⎟⎠
75.2 M C 4 M D
=
+
EI
3EI 3EI
M C + 4M D = 225.6
(2)
Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linear:
[A][X] = [Y] Î [X] = [A-1][Y]
⎡5 1 ⎤ ⎡ M C ⎤ ⎡117.6 ⎤
⎢1 4 ⎥ ⎢ M ⎥ = ⎢ 225.6 ⎥
⎣
⎦⎣ D⎦ ⎣
⎦
⎡ M C ⎤ ⎡ 0.2105 −0.0526 ⎤ ⎡117.6 ⎤ ⎡12.8842 ⎤
⎢ M ⎥ = ⎢ −0.0526 0.2632 ⎥ ⎢ 225.6 ⎥ = ⎢53.1789 ⎥
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣ D⎦ ⎣
Dengan demikian diperoleh :
MB = 24 kN.m,
MC = 12.884 kN.m,
MD = 53.179 kN.m, dan
MF = 0.
4. Diagram benda bebas (free body diagram)
4. Menghitung reaksi-reaksi pada perletakan
30 × 8 (158.18 − 163.64 )
+
= +119.318 kN
2
8
⎡ 30 × 8 ( −158.18 + 163.64 ) ⎤ ⎡100 × 4 163.64 ⎤
RB = ⎢
= +177.046 kN
+
+
⎥+⎢
8
10 ⎥⎦
⎣ 2
⎦ ⎣ 10
RA =
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 2/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
RC =
Semester V 2008/2009
100 × 4 163.64
−
= +43.636 kN
10
10
Cek:
∑ Fv = 0
RA + R B + RC = Q ⋅ L1 + P
119.318 + 117.046 + 43.636 = ( 30 × 8 ) + 100
340 = 340 → OK
5. Menghitung gaya lintang dan momen lentur
Perhatikan free-body diagram untuk memudahkan penghitungan.
Gaya Lintang :
SFA = RA = 119.318 kN
SFx = RA − Q ⋅ x
SFB ,kiri = 119.318 − 30 × 8 = -120.682 kN
SFB ,kanan = RB ,kanan = +56.364 kN
SFD ,kiri = SFB ,kanan = +56.364 kN
SFD ,kanan = 56.364 − 100 = -43.636 kN
SFC = RC = -43.636 kN
Jarak pada bentang AB yang menghasilkan gaya lintang SF = 0
R
119.318
SFx = RA − Q ⋅ x = 0 → x = A =
= 3.977 m dari perletakan A
Q
30
Momen Lentur
MA = -158.182 kN.m
⎛
3.977 2 ⎞
M x =3.977 m = (119.318 × 3.977 ) − ⎜ 30 ×
⎟ − 158.182 = +79.099 kN.m
2 ⎠
⎝
⎛
82 ⎞
M B = (119.318 × 8 ) − ⎜ 30 × ⎟ − 158.182 = -163.636 kN.m
2⎠
⎝
M D = ( 56.364 × 6 ) − 163.636 = +174.546 kN.m
MC = 0 Æ Sendi
6. Menggambar diagram gaya lintang (SFD) dan diagram momen lentur
(BMD)
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 3/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
Semester V 2008/2009
Soal No. 2
Penyelesaian:
1. Menghitung fixed-end moment (FEM)
M DE = −2 × 2 = -4.0 kN.m Î kantilever
MDC = - MDE = +4.0 kN.m
2 × 52
M AB = +
= +4.167 kN.m
12
MBA = - MAB = -4.167 kN.m
2 × 42
M BC = +
= +2.667 kN.m
12
MCB = - MBC = -2.667 kN.m
10 × 22 × 3 M DC
M CD = +
+
= +2.8 kN.m
52
2
2. Menghitung angka kekakuan (SF) dan angka distribusi (DF)
K BA : K BC : K CB : K CD =
4 ( EI ) 4 ( EI ) 4 ( EI ) 4 ( EI )
= 4:5:5:4
:
:
:
5
4
4
5
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 4/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
DFBA =
4
= 0.44
( 4 + 5)
DFBC =
5
= 0.56
( 4 + 5)
DFCB =
5
= 0.56
(5 + 4)
DFCD =
4
= 0.44
(5 + 4)
Semester V 2008/2009
3. Distribusi momen
Joint
Member
DF
FEM
Distributed
COF
Distributed
COF
Distributed
COF
Distributed
COF
Distributed
COF
Distributed
SM
A
AB
4.167
B
BA
0.44
-4.167
0.667
C
BC
0.56
2.667
0.833
0.333
0.068
-3.427
CD
0.44
2.800
0.417
-0.306
-0.244
0.042
-0.024
-0.019
0.003
-0.002
-2.535
-0.001
2.535
DC
1
-4.000
DE
4.000
-0.012
0.007
0.003
4.537
CB
0.56
-2.667
-0.153
0.085
0.034
0.005
D
3.427
-4.000
4.000
4. Diagram benda bebas (free body diagram)
4. Menghitung reaksi-reaksi pada perletakan
2 × 5 ( 4.54 − 3.43)
= +5.222 kN
+
2
5
⎡ 2 × 5 ( −5.82 + 3.43) ⎤ ⎡ 2 × 4 ( 3.43 − 2.54 ) ⎤
+
+
RB = ⎢
⎥+⎢
⎥ = +9.001 kN
8
4
⎣ 2
⎦ ⎣ 2
⎦
RA =
⎡ 2 × 4 ( −2.54 + 3.43) ⎤ ⎡10 × 2 ( 2.54 − 4 ) ⎤
+
+
RC = ⎢
⎥+⎢
⎥ = +7.484 kN
4
5
⎣ 2
⎦ ⎣ 5
⎦
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 5/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
Semester V 2008/2009
⎡10 × 3 ( −2.54 + 4 ) ⎤
+
RD = ⎢
⎥ + 2 = +6.293 kN
5
⎣ 5
⎦
Cek:
∑ Fv = 0
RA + R B + RC + RD = Q ⋅ ( L1 + L2 ) + P1 + P2
5.222 + 9.001 + 7.484 + 6.293 = ( 2 × 9 ) + 10 + 2
30 = 30 → OK
5. Menghitung gaya lintang dan momen lentur
Perhatikan free-body diagram untuk memudahkan penghitungan.
Gaya Lintang :
SFA = RA = +5.222 kN
SFx = RA − Q ⋅ x
SFB ,kiri = 5.222 − 2 × 5 = -4.778 kN
SFB ,kanan = SFB ,ki + RB = −4.778 + 9.001 = +4.223 kN
SFC ,kiri = SFB ,kanan − 2 × 4 = 4.223 − 8 = -3.777 kN
SFC ,kanan = SFC ,ka + RC = −3.777 + 7.484 = +3.707 kN
SFF = SFC ,kanan − 10 = +3.707 − 10 = -6.293 kN
SFD ,kiri = SFF = 0 kN
SFD ,kanan = SFD ,kiri + RD = −6.293 + 8.293 = +2 kN
SFE = SFD ,kanan − 2 = 0 kN
Jarak pada bentang AB yang menghasilkan gaya lintang SF = 0
R
5.222
SFx = RA − Q ⋅ x = 0 → x = A =
= 2.611 m dari perletakan A
Q
2
Jarak pada bentang BC yang menghasilkan gaya lintang SF = 0
R
4.778
SFx = RB ,kiri − Q ⋅ x = 0 → x = B ,kiri =
= 2.389 m dari perletakan B
2
Q
Momen Lentur
MA = -4.54 kN.m
⎛
2.6112 ⎞
M x1= 2.611 m = ( 5.222 × 2.611) − ⎜ 2 ×
⎟ − 4.54 = +3.156 kN.m
2 ⎠
⎝
⎛ 52 ⎞
M B = ( 5.992 × 5 ) − ⎜ 2 × ⎟ − 5.82 = -0.86 kN.m
2⎠
⎝
⎛
2.0042 ⎞
M x 2= 2.004 m = ( 3.759 × 2004 ) − ⎜ 2 ×
⎟ − 0.86 = +2.658 kN.m
2 ⎠
⎝
⎛
42 ⎞
M C = ( 3.759 × 4 ) − ⎜ 2 × ⎟ − 0.86 = -1.822 kN.m
2⎠
⎝
M F = ( 3.564 × 3) − 1.822 = +8.871 kN.m
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 6/7
Program Studi Teknik Sipil UMY: Analisis Struktur I
Semester V 2008/2009
M D = ( 3.564 × 5 ) − (10 × 2 ) − 1.822 = -4.00 kN.m
ME = 0 Î free
6. Menggambar diagram gaya lintang (SFD) dan diagram momen lentur
(BMD)
Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar --------------------------------------------------------------------------------------- 7/7