BAB III SIFAT TRANSPOR QUANTUM DOT

24
BAB III
SIFAT TRANSPOR QUANTUM DOT
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai efek ukuran devais berskala nanometer
terhadap fenomena transpor elektron yang terjadi. Salah satu fenomena transpor
yang menarik untuk dikaji pada ukuran tersebut adalah efek Blokade Coulomb
yang menjadi basis kerja dari devais single electron transistor. Kemudian pada
bagian lain akan dibahas mengenai teori single charge tunneling yang menjadi
basis teori transpor elektron pada quantum dot.
3.1
Blokade Coulomb
Pada devais makroskopik (bulk material), secara umum, arus listrik total dan
karakteristik lainnya tidak bergantung pada korelasi antar elektron (electron
correlation). Korelasi antar elektron tersebut hanya berkontribusi pada fluktuasi
arus (current noise) semata. Namun, ketika ukuran devais diperkecil, mencapai
ukuran nanometer, korelasi antar elektron menjadi sangat mempengaruhi
karakteristik seperti arus total devais. Sehingga fenomena transport pada devais
berukuran nanometer sangat ditentukan oleh korelasi antar elektron atau dengan
kata lain transfer salah satu elektron bergantung pada transfer elektron lainnya.
Gambar 3.1: Sistem sederhana single electronics (metal-insulator-metal).
Untuk mempelajari fenomena transport tersebut, tinjau suatu sistem sederhana
single electronics dengan sambungan tunnel yang terisolasi antara dua elektroda
konduktif (gambar 3.1). Karakterisasi sambungan tersebut ditentukan oleh
konduktansi G dan kapasitansi C. Konduktansi dianggap cukup kecil sehingga
sistem dapat dikatakan sebagai sebuah kapasitor yang bocor (leaking capacitor).
Kapasitansi diasumsikan sebanding dengan penampang lintang sambungan S.
24
25
Energi elektrostatik E el kapasitor dengan muatan Q adalah E el = Q 2 2C . Jika
terdapat satu elektron keluar dari sambungan tersebut, maka terjadi perubahan
energi elektrostatik sambungan sebesar
ΔE el =
e(e − 2Q )
,
2C
(3.1)
Transfer single elektron tersebut menyebabkan terjadi fluktuasi tegangan
dipersambungan sebesar ΔΦ s = e C dan fluktuasi arus sebesar Δj = GΔΦ s . Jika
sambungan tersebut berupa sambungan makroskopik dengan S = (0.1 × 0.1) mm
transfer single elektron dapat diabaikan karena energi thermal masih jauh lebih
besar dibandingkan dengan ΔE el , KT >> ΔE el , meskipun diamati pada temperatur
rendah. Namun, jika ukuran devais diperkecil sampai berukuran nanometer
& , energi elektrostatik single elektron E = e 2 2C lebih
misalnya S = (200 × 200)A
s
besar dari 10 meV. Sehingga efek transfer single elektron menjadi sangat
berpengaruh pada temperatur rendah.
Prinsip ketidakpastian Heisenberg antara energi ΔE s dan waktu tunneling τ t
mengizinkan kita untuk memperkirakan batas ekstrem dari τ t , τ t > 2 π h ΔE s ,
dan arus listrik yang berkaitan dengan waktu tunneling single elektron
j s ≈ e τ t ≥ e 3 4 π h C . Jika arus j s melebihi fluktuasi arus karena perubahan
tegangan ΔΦ s yakni
j s ≥ Δj = GΔΦ s , maka transfer single elektron akan
mengontrol arus listrik pada sambungan.
Dari penjabaran di atas, dapat ditarik dua buah persyaratan agar efek korelasi
antar elektron dapat diamati dan menjadi sangat berpengaruh dalam menentukan
karakteristik seperti arus listrik pada devais yaitu:
e2
KT
,
e2
G <<
h
C <<
(3.2)
Dari persamaan (3.1) terlihat bahwa transfer elektron terlarang jika muatan
kapasitor − e C < Q < e C . Fenomena tersebut disebut dengan blokade Coulomb
25
26
(Coulomb blockade). Jika kondisi persamaan (3.2) tercapai, charging energy pada
sistem menjadi sangat berperan penting, dan pada temperatur rendah, tunneling
elektron tidak mungkin terjadi atau dengan kata lain terblok. Fenomena tersebut
teramati dengan jelas pada karakteristik arus-tegangan seperti terlihat pada
gambar 3.2. Tidak ada elektron tunneling pada daerah dengan tegangan bias
− e C < Φ < e C akibat blokade Coulomb.
Gambar 3.2: Karakteristik I-V yang dipengaruhi oleh blokade Coulomb.
3.2
Single Charge Tunneling
Untuk memudahkan analisa, marilah kita abaikan sejenak karakter energi
spektrum yang bersifat diskret dari dot dan kita asumsikan, pada kondisi netral,
keadaan-keadaannya sepenuhnya dikarakterisasikan oleh jumlah kelebihan
elektron n pada dot. Untuk menghitung energi sistem, kita tinjau sebuah sirkuit
sistem quantum dot yang terhubung dengan tiga buah terminal, yaitu source,
drain, dan gate seperti terlihat pada gambar 3.3. Tunnel junction pada source dan
drain yang terhubung dengan dot dimodelkan dengan resistor dan kapasitor
seperti terlihat pada gambar 3.4.
26
27
Gambar 3.3: Skematik quantum dot yang terhubung dengan tiga terminal source,
drain, dan gate.
Gambar 3.4: Ekivalen sirkuit quantum dot.
Muatan dalam sistem di atas haruslah kekal, sehingga
− ne = Qd + Q g + Qs
= C d (Vd − U ) + C g (V g − U ) + C s (Vs − U )
,
(3.3)
dengan U adalah potensial quantum dot. Muatan efektif quantum dot
Q = CU = ne +
∑C V
i =d , g ,s
i
i
,
(3.4)
Kelebihan muatan elektron dalam dot (excess electrons) dan muatan induksi dari
masing-masing elektroda berkontribusi pada muatan efektif quantum dot.
Sehingga energi elektrostatik dot menjadi
27
28
Q 2 (ne )
ne
1 ⎛
⎞
En =
=
+ ∑ C iVi +
⎜ ∑ C iVi ⎟ ,
C i
2C
2C
2C ⎝ i
⎠
2
2
(3.5)
Untuk kasus stasioner, arus melalui kedua sambungan bernilai sama. Pada kasus
non-stasioner, muatan listrik dapat terakumulasi pada dot yang menyebabkan arus
pada kedua persambungan memiliki nilai yang berbeda. Pada bagian ini kita akan
berkonsentrasi pada kasus stasioner.
Transpor elektron dari source menuju drain terjadi dengan pola berikut, pertama
elektron ditransfer dari source menuju dot kemudian dilanjutkan dengan transfer
elektron dari dot menuju drain. Energi yang diperlukan untuk transisi pertama
sebesar
E n +1 − E n
(
2n + 1)e 2
=
2C
+
e
∑ C i Vi ,
C i
(3.6)
Energi transisi pertama tersebut harus lebih kecil dari drop tegangan eVs .
Sehingga persyaratan berikut harus tercapai
E n +1 − E n + eVs ≥ 0 ,
(3.7)
Analog dengan transport elektron dari source menuju drain, transport elektron
dari drain menuju source memerlukan persyaratan berikut
E n +1 − E n − eVd ≥ 0 ,
(3.8)
Hubungan antara Vs , Vd , dan V g yang menyebabkan terjadi transpor elektron
pada sistem dapat diperoleh dari pertidaksamaan (3.7) dan (3.8). Jika diasumsikan
G s = Gd = G , C s = C d ≈ (C 2) (C g << C ) , Vs = −Vd = Vb 2
(3.9)
dengan Vb adalah tegangan bias. Sehingga diperoleh kriteria berikut
Vb ≥ (2n + 1) e C − 2C g V g C ,
(3.10)
Dari persamaan tersebut dapat diamati adanya tegangan ambang (threshold
voltage) yang penting dalam pengaturan transpor elektron pada quantum dot.
Tegangan ambang berbanding lurus dengan tegangan gate.
Arus transisi source-dot didefinisikan sebagai berikut
[
]
I = e∑ p n Γs → g − Γg →d ,
n
28
(3.11)
29
dengan p n adalah probabilitas stasioner untuk menemukan kelebihan elektron n
pada dot. p n dapat ditentukan dari persamaan kesetimbangan berikut
(
)
p n −1Γnn−1 + p n +1Γnn+1 − Γnn −1 + Γnn+1 p n = 0 ,
(3.12)
dengan
Γnn−1 = (n − 1)Γs → g + (n − 1)Γd → g
Γnn+1 = (n + 1)Γg → s + (n + 1)Γg →d
,
(3.13)
Tunneling rates dapat dihitung dari ekspresi golden rule dengan transmitansi
tunneling dianggap sebagai pertubrasi. Hamiltonian sistem dapat ditulis menjadi
H 0 = H s + H g + H dh + H bath ,
(3.14)
dengan
H s ,d = ∑ ε k c k+σ c kσ
kσ
H g = ∑ ε q c q+σ c qσ
,
qσ
(3.15)
H dh = (nˆ − Q0 ) 2C , nˆ = ∑ c q+σ c qσ − N +
qσ
H bath pada persamaan (3.14) menyatakan hamiltonian untuk thermal bath. Kita
asumsikan source dan drain dapat memiliki potensial kimia yang berbeda. N +
adalah jumlah ion positif pada dot. Untuk mendeskripsikan tunneling,
diperkenalkan Hamiltonian antara source dan dot
H s↔ g =
∑σT
+
kq kσ
c c qσ + h.c. ,
(3.16)
k ,q ,
Dengan menerapkan golden rule, diperoleh
Γs → g =
Gs
e2
∞
∞
−∞
−∞
[
]
∫ dε k ∫ dε q f s (ε k ) 1 − f g (ε q ) δ (E n+1 − En − eVs ) ,
(3.17)
Konduktansi tunneling persambungan source-dot
Gs =
4 π e2
g s (ε F )g g (ε F )ν sν g Tkq
h
2
,
(3.18)
Pada formulasi Landau, ν s, g adalah volume lead dan dot. Sehingga diperoleh
bentuk ekspresi berikut
29
30
2G s
F (Δ + , s )
e2
,
2Gd
Γg →c (n, Vc ) = Γc→ g (− n, − Vc ) = 2 F (Δ − ,d )
e
Γs → g (n, Vs ) = Γg → s (− n, − Vs ) =
(3.19)
dengan
F (ε ) =
ε
1 + exp(− ε KT )
→ ε Θ(ε ) pada T = 0 ,
(3.20)
dan
⎤
1 ⎡e2
Δ ± , μ (n ) = E n − E n ±1 ± eVμ = ⎢ m en m e∑ C iVi ⎥ ± eVμ ,
C⎣2
i
⎦
(3.21)
adalah energi yang diperlukan untuk transisi. Hasil perhitungan karakteristik
kurva arus-tegangan untuk struktur transistor (seperti struktur di atas yang telah
dibahas) yang simetri diperlihatkan pada gambar 3.6 berikut.
Gambar 3.5: Kurva karakteristik arus-tegangan sebuah transistor simetri sebagai
fungsi dari tegangan gate dan tegangan bias pada temperatur T = 0 [13].
Pada temperatur rendah dan pada tegangan bias yang rendah pula, VC e < 1 ,
hanya ada dua keadaan muatan yang berperan. Pada tegangan bias yang lebih
besar, lebih banyak lagi keadaan muatan yang berperan. Untuk memahami lebih
lanjut tentang fenomena/fakta tersebut, perhatikan gambar 3.6 yang memiliki plot
30
31
grafik yang sama dengan gambar 3.5 untuk kasus dengan Vs = V g = − V 2 untuk
nilai Q0 yang berbeda-beda.
Gambar 3.6: Coulomb staircase pada quantum dot [14].
Sementara itu, charge tunneling merubah energi elektrostatik dot secara diskret,
sedangkan tegangan gate Vg merubah energi elektrostatik dot secara kontinu.
Dengan kata lain, charge tunneling merubah muatan dalam dot dalam bilangan
bulat sementara tegangan gate merubah muatan dalam dot secara kontinu
q = C g V g . Kompetisi antara muatan induksi kontinu dan muatan diskret
melahirkan pola osilasi Coulomb seperti terlihat pada gambar 3.7.
Gambar 3.7: Osilasi Coulomb pada quantum dot [15].
31