Probabilitas - Jurusan TIP – UB

Probabilitas
Oleh Azimmatul Ihwah
Teori Probabilitas
• Life is full of uncertainty
• Dimana terkadang kita tidak tahu apa yang
akan terjadi semenit kemudian.
• Namun suatu kejadian dapat diperkirakan
lebih sering terjadi daripada kejadian yang
lain. Contohnya hujan akan lebih sering turun
di daerah Bogor dibandingkan dengan
Samarinda.
Teori Probabilitas
• Munculnya teori probabilitas berawal dari tempat
judi.
• Banyak para penjudi dahulu kala bertanya
bagaimana caranya memenangkan perjudian
pada para matematikawan.
• Tetapi pada masa sekarang ilmu probabilitas
banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang,
contohnya peramalan curah hujan, penentuan
harga saham
Eksperimen, Ruang Sampel dan Kejadian
• Eksperimen merupakan setiap proses yang
menghasilkan data mentah (raw data).
• Ruang sampel adalah himpunan semua peristiwa
yang terjadi dalam eksperimen.
• Kejadian adalah jika dalam suatu eksperimen kita
tertarik pada satu ‘kejadian’ saja.
• Contoh eksperimen pengambilan bola dalam
kotak dimana kesepuluh bola yang ada diberi
nomor 1-10. Ruang sampel disimbolkan dengan S
= {1,2,3,…,10}. Jika A merupakan himpunan bola
bernomor prima, maka A = {2,3,5,7} yg
merupakan subset dari S dan A merupakan
kejadian dalam ruang sampel S.
• Banyaknya anggota dalam ruang sampel
disimbolkan dengan n(S)
• Banyak anggota dalam kejadian A disimbolkan
dengan n(A)
Ruang Sampel Diskrit dan Ruang
Sampel Kontinu
• Ruang sampel kontinu bila anggotanya berada
dalam interval. Contoh S = {x|10<x<11}, S =
{x|x>0}
• Ruang sampel diskrit bila anggotanya
terhitung. Contoh S = {rendah,tinggi,sedang},
S = {2,4,6,8,10}
Diagram Pohon (Tree Diagrams)
• KASUS: suatu pesan penting akan dikirimkan
kepada pimpinan dengan cara berantai. Orang
pertama akan mengirimkan ke orang kedua,
orang kedua mengirim pesan ke orang ketiga
dan
orang
ketiga
akan
langsung
menyampaikan pesan ke pimpinan. Jika sifat
pengiriman pesan dari orang 1 ke orang
berikutnya adalah terlambat atau on time,
untuk memudahkan pendataan ruang sampel
dapat terlebih dahulu membuat diagram
pohon
Diagram pohon
• Jadi S =
{(o,o,o),(o,o,l),(o,l,o),(o,l,l),(l,o,o),(l,o,l),(l,l,o),(l,l,l)}
Diskusikan
• Sebuah perusahaan automobile menyediakan
mobil dengan perlengkapan yang dapat
dipilih. Setiap mobil yang ditawarkan
1. Dengan atau tanpa automatic tranmission
2. Dengan atau tanpa AC
3. Dengan satu dari tiga pilihan sistem stereo
4. Dengan satu dari 4 pilihan warna eksterior
Buat diagram pohon tipe-tipe kendaraan yang
mungkin berdasarkan perlengkapan yang
ditawarkan!berapa n(S)?
Union (gabungan), Intersection (Irisan)
dan Complement (Komplemen)
• Union dari dua kejadian A dan kejadian B
merupakan kejadian yang anggotanya merupakan
anggota kejadian A atau anggota kejadian B.
Disimbolkan 𝐴 ∪ 𝐵.
• Irisan dari dua kejadian A dan B merupakan
kejadian yang anggotanya harus merupakan
anggota dua kejadian tersebut. Disimbolkan
𝐴 ∩ 𝐵.
• Komplemen dari suatu kejadian A adalah
himpunan peristiwa dalam ruang sampel yang
bukan merupakan anggota dari suatu kejadian
tersebut. Disimbolkan 𝐴′ .
Diskusikan
Ruang sampel
. Jika
𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 , 𝐸4 , 𝐸5 adalah kejadian-kejadian dalam
ruang sampel S, dan
,
, tentukan
a.
b.
c. 𝐸2 ∪ 𝐸5 d. 𝐸2 ∩ 𝐸5
e. 𝐸3 ∩ 𝐸5 f. 𝐸4 ∪ 𝐸5 g. 𝐸1 ′ h. 𝐸5 ′
Kejadian Saling Asing (mutually exclusive)
• Dua kejadian A dan B dinamakan dua kejadian
saling asing jika 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
• Contoh dalam pengambilan bola bernomor 1-10,
jika kejadian A adalah kejadian terambil bola
bernomor genap dan B adalah kejadian terambil
bola bernomor ganjil, maka kejadian A dan B
saling asing. Jika digambarkan dalam diagram
Diskusikan
• 50 sampel plastik karbonat dianalisis mengenai
scratch dan shock resistansinya dengan hasil
sebagai berikut :
Jika A adalah kejadian bahwa sampel mempunyai
shock resistansi yang tinggi dan B adalah kejadian
bahwa sampel mempunyai scratch resistansi yang
tinggi, maka tentukan n(𝐴 ∩ 𝐵), n(𝐴′ ), n(𝐴 ∪
𝐵), n(𝐵′ )!apakah A dan B saling asing?
Probabilitas
• Konsep probabilitas yang akan dibahas pada
bab ini adalah probabilitas pada ruang sampel
diskrit.
• Definisi
Suatu kejadian A yang merupakan subset ruang
sampel S, maka probabilitas terjadinya kejadian
A dihitung dengan
𝑛 𝐴
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝑆
Aksioma Probabilitas
• Bila S adalah ruang sampel dan A adalah sebarang
kejadian dalam eksperimen, maka
1. P(S) = 1
2. 0≤ P(E) ≤ 1
3. Jika dua kejadian A dan B saling asing dengan
𝐴∩𝐵 =∅
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵
Lebih umum jika terdapat kejadian berhingga ataupun tak
hingga 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … yang saling asing, maka
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ ⋯ = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 + ⋯
Following Results
• Jika kejadian A merupakan himpunan kosong
maka
𝑃 ∅ =0
• Jika A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel
S maka
𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃 𝐴
• Untuk setiap kejadian A dan B dalam ruang
sampel S berlaku
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
• Jika A dan B kejadian dalam ruang sampel S
dengan 𝐴 ⫃ 𝐵 maka 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵
KASUS
• Dalam proses manufaktur, 10% hasil produksi
mengandung surface flaws, dan 25% dari hasil
yang mengandung surface flaws bersifat defektif,
sedangkan hasil produksi yang tidak mengandung
surface flaws hanya 5% yang bersifat defektif.
Misalkan D merupakan kejadian hasil produksi
bersifat defektif dan F merupakan kejadian hasil
produksi mengandung surface flaws, jika ditanyakan
probabilitas kejadian D dengan lebih dulu diketahui
bahwa hasil produksi mengandung surface flaws
maka disimbolkan dengan 𝑃 𝐷|𝐹
Jawab Kasus
• Jika digambarkan
• Dapat ditentukan bahwa 𝑃 𝐷|𝐹 = 0.25 dan
𝑃 𝐷 𝐹 ′ = 0.05
Diskusikan
• Kasus serupa contoh, dengan data sebagai
berikut:
• Tentukan : 𝑃 𝐷|𝐹 , 𝑃 𝐷|𝐹′ , 𝑃 𝐹|𝐷 , 𝑃 𝐹|𝐷′
Probabilitas Kondisional
• Notasi 𝑃 𝐵|𝐴
disebut probabilitas
kondisional dari kejadian 𝐵 jika diberikan
kejadian 𝐴, yaitu
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐴
Probabilitas kondisional hasil produksi bersifat
defektif dengan terlebih dahulu diketahui bahwa
yang terambil mengandung surface flaws adalah
Diskusikan
Sebuah perusahaan AC melakukan kontrol produksi
dengan menganalisis AC keluarannya, diperoleh
data sebagai berikut :
Hitung probabilitas
a. Tidak terjadinya gas leaks
b. Terjadi electrical failure jika diketahui telah
terjadi gas leaks
c. Terjadi gas leaks jika diketahui telah terjadi
electrical failure
Teorema Perkalian Probabilitas
• Definisi probabilitas kondisional dapat
disajikan ulang dalam bentuk yang lebih
umum untuk probabilitas irisan dua kejadian A
dan B, yaitu
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵
Teorema Probabilitas Total
• A dan A’ merupakan kejadian yang saling
asing, jika terdapat kejadian B yang
merupakan gabungan kejadian B di dalam A
dengan kejadian B di dalam A’, yaitu
𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴′ . Jika digambarkan
Teorema Probabilitas Total
• Probabilitas total dari dua kejadian A dan B
adalah
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴′
= 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵|𝐴′ 𝑃 𝐴′
Teorema Probabilitas Total dari
k Kejadian
• Jika 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling
asing dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, maka
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸2 + ⋯ + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸𝑘
= 𝑃 𝐵|𝐸1 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐵|𝐸2 𝑃 𝐸2 + ⋯
+ 𝑃 𝐵|𝐸𝑘 𝑃 𝐸𝑘
Misal gambar untuk 4 kejadian
Diskusikan
• Dalam suatu perusahaan manufaktur semi
konduktor, probabilitas terkontaminasi dibagi
dalam 3 level:tinggi, sedang dan rendah
dengan probabilitas masing-masing 0,2; 0,3
dan 0,5. Selanjutnya probabilitas kegagalan
produk tiap level disajikan sebagai berikut
• Jika F merupakan kejadian terjadinya
kegagalan produk, maka tentukan 𝑃 𝐹 !
Kejadian Saling Bebas
• Biasa disebut pula dengan kejadian saling
independen.
• Dimana pada kasus tertentu, muncul atau
tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi
muncul atau tidaknya kejadian B, begitu pula
sebaliknya.
• Jadi, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
𝑃 𝐵∩𝐴
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴
• Sehingga 𝑃 𝐵|𝐴 =
=
=
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
Atau 𝑃 𝐴|𝐵 =
=
=𝑃 𝐴
𝑃 𝐵
𝑃 𝐵
𝑃 𝐵
Contoh
• Dalam suatu sirkuit, terdapat aliran dari a ke b, dimana
terdapat dua jalur yaitu atas dan bawah dari a menuju
ke b. Digambarkan sebagai berikut:
Jika T merupakan kejadian melalui jalur atas dan B
merupakan kejadian melalui jalur bawah maka Tentukan
𝑃 𝑇 ∪ 𝐵 dengan asumsi T dan B independen
Teorema Bayes
• Dari probabilitas kondisional
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴
• Maka
𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐵
• Untuk 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling asing
dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, dimana B adalah sebarang
kejadian, dengan menggunakan Teorema Probabilitas
total maka diperoleh Teorema Bayes :
Diskusikan
Karena prosedur tindakan medis yang baru
menghendaki keefektifan pengobatan awal suatu
penyakit, maka diadakan suatu pengetesan.
Probabilitas hasil tes pasien bersifat positif jika
diketahui pasien dengan penyakit adalah 0,99 dan
probabilitas hasil tes bersifat negatif jika diketahui
pasien tanpa penyakit adalah 0,95. Diketahui pada
populasi umum probabilitas seseorang terkena
penyakit sebesar 0,0001.
Diskusikan
• Jika seseorang melakukan tes medis dan
diketahui bahwa hasilnya positif, berapa
probabilitas dia terkena penyakit?
Misal D merupakan kejadian seseorang terkena
penyakit, dan S adalah kejadian hasil tes bersifat
positif. Jadi yang harus menghitung :
𝑃 𝑆|𝐷 𝑃 𝐷
𝑃 𝐷|𝑆 =
𝑃 𝑆|𝐷 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝑆|𝐷′ 𝑃 𝐷′
Petunjuk : dari soal diketahui bahwa 𝑃 𝑆|𝐷 =
0,99 dan 𝑃 𝑆′|𝐷′ = 0,95
Frekuensi Harapan
Definisi :
• Jika suatu eksperimen dilakukan n kali,
probabilitas kejadian A adalah 𝑃 𝐴 , maka
frekuensi harapan kejadian A, dinotasikan 𝑓ℎ 𝐴 ,
adalah
𝑓ℎ 𝐴 = 𝑛 𝑥 𝑃 𝐴
Misal eksperimen pelambungan dua dadu dilempar
bersama sebanyak 300 kali. Jika A adalah kejadian
munculnya mata dadu berjumlah 6, yaitu A =
5
{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},maka 𝑃 𝐴 = , jadi
𝑓ℎ 𝐴 = 300 x
5
36
=
125
3
36