penentuan nilai awal parameter relatif orientasi foto

Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
PENENTUAN NILAI AWAL PARAMETER RELATIF ORIENTASI
FOTO STEREO MENGGUNAKAN METODE
SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
Leo Pantimena
Dosen Program Studi Teknik Geodesi FTSP ITN Malang
ABSTRAKSI
Penentuan nilai posisi dan orientasi awal konfigurasi jaringan
pemotretan multi-foto konvergen memiliki peranan yang sangat vital
dalam proses pemberian nilai koordinat datum lokal tanpa secara
ekplisit mengukur koordinat titik-titik obyek yang bersangkutan. Tanpa
melalui proses ini, penghitungan koordinat titik-titik obyek yang dipotret
mustahil dilakukan. Mengingat betapa pentingnya proses ini, maka
tulisan kali ini akan mencoba untuk menguraikan teknik penghitungan
nilai awal orientasi kamera dari sembarang pasangan foto konvergen
didalam jaringan pemotretan, dengan menggunakan Matriks Esensial,
yang merupakan pengembangan dari metode klasik fotogrametri yang
telah dijabarkan oleh Stefanovic (1973). Dengan menggunakan kondisi
Koplanaritas dan Orthogonalitas, Matriks Esensial dapat dihitung
menggunakan teknik perataan kuadrat terkecil. Dengan demikian,
proses iterasi dapat dilakukan untuk mendapatkan Matriks Esensial
yang memiliki nilai residual yang terkecil. Matriks Esensial yang telah
dirata-ratakan akan diuraikan dalam komponen matrik Singular Value
Decomposition (SVD) untuk mendapatkan nilai posisi dan rotasi
kamera. Dikarenakan Matriks Esensial memiliki ambiguitas yang
disebabkan oleh skew-matriks, maka posisi yang dihasilkan memiliki
empat kemungkinan nilai orientasi awal. Dari keempat kemungkinan ini,
dipilih satu nilai yang paling representatif, yang diverifikasi melalui
proses intersection. Proses ini telah diimplementasikan dalam
perangkat lunak yang tengah dikembangkan untuk mengukur besaran
deformasi melalui pemotretan dengan kamera dijital.
Kata Kunci: Posisi dan Rotasi, Koplanaritas, SVD, Dependent
Relative Orientation.
PENDAHULUAN
Dalam fotogrametri terdapat salah satu teknik yang dapat digunakan
untuk menentukan nilai enam parameter eksterior orientasi menggunakan
foto stereo. Teknik ini secara umum sering disebut sebagai teknik relatif
orientasi. Pada dasarnya, teknik ini menggunakan persamaan kesegarisan
(collinearity equations) ataupun persamaan kesebidangan (coplanarity
54
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
equations). Akan tetapi, kedua persamaan ini tidak dapat digunakan secara
langsung karena membutuhkan nilai pendekatan awal enam parameter
eksterior orientasi untuk kedua pasang foto stereo. Selain itu, kedua
persamaan ini pun masih dalam bentuk non-linier, sehingga perlu proses
linierisasi terlebih dahulu untuk dapat digunakan secara optimal.
Dengan demikian, dalam tulisan kali ini akan coba dikupas sebuah
alternatif penentuan nilai awal parameter eksterior orientasi pada proses
relatif orientasi menggunakan persamaan kesebidangan. Kemudian solusi
ini akan diselesaikan secara keseluruhan dengan metode Singular Value
Decomposition (SVD).
DASAR TEORI
Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, persamaan dasar
yang akan digunakan ialah persamaan kesebidangan (coplanarity
equations). Dari persamaan ini akan dibangun sebuah matriks esensial,
dimana matriks ini merupakan matriks yang didapat dari proses perkalian
cross product antara dua buah parameter matriks rotasi dan skew matrix
vektor basis yang menghubungkan kedua foto stereo. Secara detail, proses
penentuan nilai parameter matriks essential hingga proses dekomposisinya
untuk mendapatkan nilai awal parameter eksterior orientasi akan dijelaskan
pada tiap sub-bab di bawah ini.
Matriks Esensial (Essential Matrix)
Matriks Esensial merupakan sebuah matriks yang didapatkan dari
proses
penyederhanaan
persamaan
kesebidangan.
Persamaan
kesebidangan ini ialah kondisi dimana dua buah stasiun pemotretan suatu
pasang foto stereo, titik obyek pada ruang, dan titik obyek pada foto terletak
pada satu bidang yang sama (Ghos, 2005; McGlone, 1989). Atau untuk
lebih jelasnya, kondisi kesebidangan dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
Gambar 1.
Kondisi Kesebidangan pada Foto Stereo
Sumber: Fraser (2006)
55
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
Dari kondisi kesebidangan tersebut dapat diturunkan sebuah
persamaan kesebidangan sebagai berikut (Fraser, 2006):
(xi1
y i1
 0

− c )R1  − B z
 B
 y
Bz
0
− Bx
− B y   xi 2 
  
B x  R2  y i 2  = 0
0   − c 
[1]
Dimana, BX , BY , BZ merupakan vektor basis antara kedua posisi
kamera, x, y koordinat dua-dimensi obyek pada sistem foto, c panjang
fokus kamera terkalibrasi, R ialah matriks rotasi dengan dimensi 3 x 3,
angka 1,2 mengindikasikan identitas foto, dan i merupakan notasi titik
obyek ke- i .
Dalam persamaan [1] dapat disederhanakan kembali dengan
mengalikan parameter R1 , skew matriks dari vector basis (B X , BY , B Z ) dan
R 2 ; sehingga didapat sebuah persamaan baru sebagai berikut:
(x i1
y i1
 xi 2 


− c )E  y i 2  = 0
−c


[2]
atau
x1 Ex 2 = 0
dimana
[3]
E
merupakan matriks esensial yang berhubungan dengan
parameter basis dan rotasi foto, x1 dan x 2 merupakan koordinat obyek pada
tiap foto.
Kesemua persamaan diatas dapat dituliskan dalam sebuah
persamaan linier homogenous dengan enam parameter yang tidak diketahui
sebagai berikut (Stevanofic, 1973):
Ae = 0
[4]
dimana A adalah matriks koefisien dan e merupakan matriks parameter
yang tidak diketahui, sehingga keduanya dapat direpresentasikan dalam
bentuk matriks sebagai berikut:
x1 x2
A=
56
y1 y 2
z1 x2
x1 y 2
y1 y 2
z1 y 2
x1 z 2
y1 z 2
z1 z 2









x1n x2 n y1n y 2 n z1n x2 n x1n y 2 n y1n y 2 n z1n y 2 n x1n z 2 n y1n z 2 n z1n z 2 n
[5]
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
u = e11
e21
e31
e12
e22
e32
e13
e23
e33
T
[6]
Selama sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan [4]
merupakan persamaan linier homogenous, maka solusi yang akan
dihasilkan tidak unik. Dengan demikian, persamaan tersebut tidak dapat
diselesaikan menggunakan sistem persamaan kuadrat terkecil biasa. Akan
tetapi, sistem persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode Singular Value Decomposition (SVD).
Proses penentuan matriks esensial menggunakan SVD, dibagi lagi
menjadi beberapa metode sesuai dengan jumlah titik konjugasi yang akan
digunakan untuk menghitung. Metode tersebut diantaranya ialah metode 8point, 7-point, 6-point. Dari ketiga metode tersebut, metode 6-point lah yang
akan digunakan untuk menghitung nilai parameter matriks essential. Metode
ini dipilih karena dapat digunakan dalam kondisi titik konjugasi ≥ 6 titik.
Metode 6-point merupakan sebuah metode yang digunakan untuk
mengestimasi nilai minimum-norm sub-ruang tiga-dimensi dari sembilandimensi pada seluruh 3× 3 matriks esensial pendekatan. Adapun nilai
matriks essential pendekatan menggunakan 6-point dapat ditentukan
dengan melakukan dekomposisi matriks koefesien A menggunakan metode
SVD. Proses dekomposisi matriks koefisien A (dimensi : m × n ) tersebut
akan menghasilkan tiga buah matriks baru diantaranya U berdimensi
m × m , S matriks diagonal berdimensi m × n yang berisikan nilai singular dari
proses dekomposisi dan V berdimensi n × n . Dengan demikian, setelah
proses dekomposisi terdapat tiga nilai parameter matriks essential
pendekatan sebagai berikut :
v17 v 47 v 77
[7]
E X = 2 × V (kolom ke − 7) = 2 × v 27 v 57 v87
v 37
v 67
v 97
v18
EY = 2 × V (kolom ke − 8) = 2 × v 28
v 38
v 48
v 58
v 68
v 78
v88
v 98
[8]
v19
E Z = 2 × V (kolom ke − 9) = 2 × v 29
v 39
v 49
v 59
v 69
v 79
v89
v 99
[9]
Untuk mendapatkan nilai matriks esensial sebenarnya, dapat
menggunakan sebuah persamaan sebagai berikut :
57
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
E = xE X + yEY + zE Z
[10]
Dimana, E X , EY , EZ merupakan matriks esensial pendekatan dan
x, y, z merupakan koefisien pengali yang didapat dari sebuah persamaan
konstrain sebagai berikut (Horn, 1990):
(
)
 EE T − trace EE T I 

E = 0


2


[11]
Dari persamaan konstraint diatas dapat ditulis dalam sebuah
persamaan liniear pangkat tiga sebagai berikut (Triggs, 2000):
x 3 + x 2 y + x 2 z + xy 2 + xyz + xz 2 + y 3 + y 2 z + yz 2 + z 3 = 0
[12]
Sehingga, koefisien pengali x, y, z dapat ditentukan dengan mencari nilai
akar dari persamaan [12].
Ekstraksi Projection Matrix Menggunakan SVD
Dengan mengasumsikan posisi dan rotasi dari kamera pertama
P1 = [I 0]
dimana I ialah matriks identitas. Dengan menggunakan matriks
essential E , maka posisi dan rotasi dari kamera kedua dapat ditentukan
dengan mengurai element E menggunakan perhitungan Singular Value
Decomposition (SVD) (Hartley et al, 2003; Horn, 1990; Sharagai et al, 2005;
Elias, 2009).
E = USV T
[13]
Parameter rotasi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan
di bawah ini:
R 21 = UWV T atau R 22 = UW T V T
[14]
Dengan,
0 −1 0
W=1 0 0
0 0 1
[15]
Parameter rotasi di atas mengindikasikan proses rotasi dari kamera
pertama ke kamera kedua pada proses relatif orientasi. Parameter posisi
kamera kedua (translasi) didapat sebagai berikut:
58
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
0 
T = V 0
1
[16]
Dikarenakan pada persamaan dasar kondisi kesebidangan terdapat
skew matrik, hal, menyebabkan terjadinya ambiguitas pada penentuan
posisi, sehingga penentuan posisi kamera kedua pada proses relatif
orientasi terdapat empat kemungkinan dengan 2 parameter rotasi dan dua
parameter dengan konfigurasi sebagai berikut:
P2 = [R 21 | T ] atau P2 = [R 22 | T ] atau
P2 = [R 21 | −T ] atau P2 = [R 22 | −T ]
[17]
Sebagai ilustrasi keempat posisi tersebut dapat dilihat pada gambar
dibawah ini (Hartley, 2003):
Gambar 2.
Ilustrasi Kemungkinan Posisi Kamera
Posisi pada gambar 2a merupakan konfigurasi aktual dari posisi dan
rotasi kamera untuk melakukan proses fotogrametri selanjutnya, karena
pada posisi tersebut posisi objek tepat berada di depan sistem sumbu
kamera.
Secara matematis, penentuan pasangan parameter posisi dan rotasi
kamera stereo yang benar dapat dilakukan. Adapun persamaan yang
digunakan ialah persamaan segitiga sebangun antara sistem koordinat di
foto dengan koordinat obyek dalam ruang tiga-dimensi. Hubungan ini dapat
dituliskan dalam sebuah persamaan matematika sebagai berikut (Wolf,
1993, Mikhail, 2001).
59
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
x' a
y' a
z' a
=
=
X A − X L Y A − YL Z A − Z L
[18]
Atau dapat dituliskan dalam sistem persamaan baru sebagai berikut :
XA − XL =
Y A − YL =
XA − XL
x' a
z'a
[19]
Y A − YL
y' a
z'a
ZA − ZL =
[20]
ZA − ZL
z'a
z'a
[21]
Dimana, X A , Y A , Z A merupakan koordinat obyek, X L , YL , Z L merupakan
x′ , y ′ , z ′
posisi kamera dan a a a merupakan koordinat foto yang telah terotasi
menggunakan persamaan sebagai berikut :
x' a = m11 x a + m 21 y a + m31 (− f )
y ' a = m12 x a + m 22 y a + m32 (− f )
[22]
z ' a = m13 x a + m 23 y a + m33 (− f )
λ
(Z
−Z
)
z′
A
L
a pada persamaan
Dengan melakukan subtitusi a bagi
di atas didapat sebuah persamaan untuk menentukan nilai koordinat titik A
bagi foto pertama sebagai berikut :
X A = λ a1 x' a1 + X L1
Y A = λ a1 y ' a1 +YL1
[23]
Z A = λ a1 z ' a1 + Z L1
Dengan jalan yang sama dapat ditulis persamaan untuk foto kedua sebagai
berikut :
X A = λ a 2 x' a 2 + X L 2
Y A = λ a 2 y ' a 2 +YL 2
[24]
Z A = λa2 z' a2 +Z L2
Susunan persamaan [23] sama dengan persamaan [24], yang
membedakannya adalah proses penentuan nilai parameter
λ a . Untuk nilai
λ a pada foto kesatu dan kedua secara berurutan dapat ditentukan dengan
cara sebagai berikut :
60
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
λ a1 =
y ' a1 ( X L 2 − X L1 ) − x' a1 (YL 2 − YL1 )
x' a1 y ' a 2 − x' a 2 y ' a1
[25]
λa 2 =
y ' a 2 ( X L 2 − X L1 ) − x' a 2 (YL 2 − YL1 )
x' a 2 y ' a1 − x' a1 y ' a 2
[26]
Apabila nilai parameter skala telah diketahui untuk tiap pasangan
parameter posisi dan rotasi, maka pasangan yang dianggap benar ialah
pasangan yang memenuhi kondisi (λ a1 > 0 atau λ a 2 > 0 ) untuk keseluruh
titik konjugasi yang ada.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Untuk menguji sejauh mana kebenaran teori yang digunakan, akan
dibuktikan dengan sebuah data simulasi foto stereo dengan obyek kubus.
Foto kubus tersebut diambil menggunakan kamera Nikon D60 dengan
panjang fokus 24.00 mm. Adapun data koordinat foto hasil ekstraksi tersebut
disajikan dalam bentuk tabel dibawah ini.
Tabel 2.
Data Koordinat Foto Stereo Kubus
ID
PHOTO KIRI
PHOTO KANAN
x
y
x
y
1
1.32896
2.07739
-9.04286
5.06588
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.42254
5.55408
7.36736
3.88850
2.29096
-0.42672
-3.04789
-4.43975
-7.40681
4.03391
4.78684
6.04934
6.79500
7.12231
7.68315
6.68494
6.15843
5.01379
-6.63261
-5.26960
-2.01876
1.67961
3.21933
5.69353
2.18275
0.77089
-1.54013
3.75031
3.04952
1.44362
3.29701
4.10976
5.42843
6.49852
6.92555
7.61858
Dengan menggunakan data diatas didapat nilai parameter matriks
essential sebagai berikut:
0.025934
E = - 0.634227
- 0.477124
- 0.645114
- 0.098186
0.751912
- 0.430620
- 0.729847
0.035582
61
Nomor 16 Volume VIII Juli 2010: 54-63
Spectra
Kemudian, matriks esensial tersebut dipecah menjadi parameter posisi dan
rotasi dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD)
seperti yang telah dijelaskan di atas. Terdapat empat kemungkinan
parameter rotasi dan posisi kamera yang didapat, dimana hal ini disebabkan
oleh adanya matriks skew pada elemen basis dalam persamaan
kesebidangan. Adapun empat kemungkinan posisi dan rotasi kamera kedua
untuk data simulasi di atas adalah sebagai berikut:
- 0.060241
Sol _ 1 = - 0.600337
0.797475
0.551791
0.645731
0.527786
0.994350
Sol _ 2 = 0.085447
- 0.062975
0.083824
- 0.996087
- 0.027995
- 0.060241
Sol _ 3 = - 0.600337
0.797475
0.551791
0.645731
0.527786
0.994350
Sol _ 4 = 0.085447
- 0.062975
0.083824
- 0.996087
- 0.027995
- 0.831804 0.64753
0.471834 0.44061
0.292361 - 0.62175
- 0.065121 0.64753
0.022558 0.44061
- 0.997622 - 0.62175
- 0.831804 - 0.64753
0.471834 - 0.44061
0.292361 0.62175
- 0.065121 - 0.64753
0.022558 - 0.44061
- 0.997622 0.62175
Dari keempat data parameter posisi dan rotasi diatas, yang
(λ
> 0 atau λ
> 0)
a1
a2
memenuhi syarat kondisi
adalah solusi ketiga,
dimana parameter skala bernilai positif yang menandakan nilai koordinat
obyek berada didepan sumbu kamera.
Tabel 3.
Data Parameter Skala Dan Koordinat Arah Z Titik Obyek
62
ID
λ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.008441
0.010574
0.012445
0.017226
0.029268
0.031320
0.034530
0.031092
0.029477
0.026581
Orientasi Foto Stereo dengan Metode Singular Value Decomposition Leo Pantimena
KESIMPULAN
Dari seluruh persamaan pada proses penentuan nilai awal parameter
relatif orientasi merupakan persamaan linier homogenous, sehingga
keseluruhan persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan
metode Singular Value Decoposition (SVD). Secara praktis, metode SVD
digunakan pada dua tahapan proses yaitu pada saat menentukan nilai
parameter matriks esensial dan proses penentuan nilai parameter posisi dan
rotasi kamera kedua.
Pada proses penentuan matriks esensial terdapat tiga solusi untuk
metode 6-point yang selanjutnya dilakukan proses konstrain untuk
mendapatkan nilai final dari matriks esensial; sedangkan untuk proses
penentuan nilai posisi dan rotasi kamera didapat empat buah solusi yang
selanjutnya dilakukan proses interseksi untuk menentukan nilai pasangan
posisi dan rotasi yang benar.
DAFTAR PUSTAKA
Elias, Rimon, 2009. Enhancing Accuracy of Camera Rotation Angles Detected by
Inaccurate Sensors and Expressing them in Different Sistems for Wide
Baseline Stereo. Computer Science and Engineering Department. Cairo,
Egypt.
Fraser, C. S, 2006. Network Orientation Models for Image-Based 3D Measurement.
International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial
Information Science.
Ghos, S. K, 2005. Fundamental of Computational Photogrammetry. Concept
Publishing Co. Page 110-117
Hartley, R.I & Zisserman, A, 2003. Multiple View Geometry in Computer Vision.
Cambridge Press.
Horn, B.K.P, 1990a. Recovering Baseline and Orientation from Essential Matrix.
Electrical Engineering and Computer Science. 10 pages.
Mcglone, J. C. 1989 Analytic Data-Reduction Schemes in Non-Topographic
Photogrammetry, Falls Church, Virginia. American Society for
Photogrammetry and Remote Sensing.
Mikhail, E. M., Bethel, J. S. & Mcglone, J. C. 2001. Introduction to Modern
Photogrammetry. John Wiley & Sons Inc. Brisbane.
Sharagai, Z et al, 2009. Automatic Image Sequence Registration Based On A Linear
Solution And Scale Invariant Keypoint Matching. International Archives of
Photogrammetry and Remote Sensing & Spasial Information Science.
Stevanofic, P, 1973. Relative Orientation – A New Approach. ITC Journal. 1973 – 3 :
417 – 448.
Triggs, B, 2000. http://www.inrialpes.fr/movi/people/Triggs. Access September 2010.
Wolf, P. R. 1993. Elemen Fotogrametri. Gajah Mada University Press. Yogyakarta
63