Sistem Persamaan Linier

BAB V
Sistem Persamaan Linier
FTI-UY
•
Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banyak masalah
matematika terapan adalah menyelesaikan suatu sistem persamaan linear .
•
Representasi Sistem Persamaan Linear
Sistem n persamaan linear dengan n variabel dapat dinyatakan sebagai
berikut:
• Dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j =
1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n
variabel.
i b l
FTI-UY
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian
l i sama (ekuivalen)
( k i l ) tetapi
t t i dalam
d l bentuk
b t k yang
lebih sederhana.
FTI-UY
•
Contoh :
Selesaikan SPL berikut
3x – 2y = 7
2x + y = 14
•
Penyelesaian permasalah di atas :
– Substitusi
– Eliminasi
– Grafik
– Determinan
FTI-UY
TIGA OPERASI STANDAR
PENYELESAIAN SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
sebarang
Menukar posisi dua baris
sebarang
sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.
Menambahkan kelipatan
suatu baris ke baris
lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana
sehingga
gg tercapai
p 1 elemen tak nol p
pada suatu baris
FTI-UY
CONTOH
DIKETAHUI
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)
kalikan pers (i)
dengan ((-2)
2), kemukemu
dian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i)
dengan
g (-2),
( ), lalu
tambahkan ke
baris (ii).
kalikan pers (i)
dengan (-3), kemudian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).
kalikan p
pers ((ii))
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
FTI-UY
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
kalikan pers (ii)
dengan
g (-3),
( ), lalu
tambahkan ke pers
(iii).
kalikan brs (ii)
dengan
g (-3),
( ),
lalu tambahkan
ke brs (iii).
kalikan pers (iii)
dengan (-2).
kalikan brs (iii)
dengan (-2).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan ((-1)
1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
FTI-UY
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan
b hk k
ke pers
(i).
kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
kalikan brs (ii)
dengan
g (-1),
( ), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke brs (ii)
Diperoleh
i
l h x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
d
kaitan
k i menarik
ik antara
bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini disebut
g METODA ELIMINASI GAUSS.
dengan
FTI-UY
Eliminasi gauss
g
Prosedur
P
d penyelesaian
l
i
d
darii metoda
d iinii
adalah mengurangi sistem persamaan ke
dalam bentuk segitiga
g g sedemikian sehingga
gg
salah satu dari persamaan-persamaan
tersebut hanya mengandung satu bilangan
tak diketahui,
diketahui dan setiap persamaan
berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan
bilangan tak diketahui baru
FTI-UY
Metode Gauss Jordan
• Metode Gauss jordan adalah
pengembangan dari eliminasi gauss
• Matriks di rubah menjadi segitiga bawah
dan atas (matriks identitas)
• Variabel
V i b l persamaan bi
bisa llangsung dib
dibaca
FTI-UY
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut ini:
3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.85
0.1 x + 7 y – 0.3 z = -19.3
03x–0
0.3
0.2
2 y + 10 z = 71.4
71 4
Dalam bentuk bentuk matriks :
0 1 - 0.2
0 2   x  7.85 
3 - 0.1
0.1 7 - 0.3   y  = − 19.3

  

0.3 - 0.2
10  z  71.4 
01
- 0.2
0 2   x  7.85
3 0.1

0 7.003 - 0.293  y  = − 19.562

  

0 - 2.19 10.02   z  70.615 
FTI-UY
3
0

0
1
0

0
1
0

 0
0.1
7 003
7.003
0
- 0.0333
1
0
0
1
0
  x  7.85

- 0.293
0 293  y  = − 19.562
10.012  z  70.084 
- 0.2
- 0.06667   x  2.61667 
- 0.4188
0 4188   y  = − 2.7932

1
  z  7
- 0,0668
- 0,4188
1
  x   2 ,5236
  y  =  − 2 , 7932
  
  z   7




FTI-UY
1 0
0 1

0 0
1
0

0
  x  3

- 0,4188
0 4188  y  = − 2,7932

1
  z  7
0
0
1
0
0   x  3 





0   y  = − 2,5
1  z  7 
FTI-UY
Metode Gauss Seidel
• Metode ini menerapkan terkaan-terkaan
terkaan terkaan awal
dan kemudian diiterasi untuk memperoleh
taksiran-taksiran yang diperhalus dari
penyelesaiannya
Contoh :
Selesaikan sistem p
persamaan berikut ini:
3 x - 0.1 y – 0.2 z = 7.85
0.1 x + 7 y - 0.3 z = -19.3
0.3 x – 0.2 y + 10 z = 71.4
FTI-UY
prosedur :
¾Nilai yang belum diketahui dianggap nol
¾Hasil dari perhitungan digunakan untuk perhitungan
selanjutnya.
selanjutnya
™Iterasii pertama
™It
t
¾Dengan menganggap bahwa y dan z adalah nol,
maka x dapat dihitung:
g
7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85
x=
=
= 2,61667
3
3
FTI-UY
Nilai y ini dengan anggapan nilai z adalah nol dan x
adalah hasil yang barus saja dididapat,
dididapat kemudian
disubtitusikan ke persamaan berikut :
− 19,3 − 0,1x + 0,3 z − 19,3 − 0,1( 2,61667 )
=
y=
= −2,7945
7
7
Nilai y dan nilai x , disubtitusikan untuk mencari nilai z
71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(2,61667) + 0,2(2,7945)
z=
=
10
10
z = 7,0056
FTI-UY
™Iterasi ke
ke--2
7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,7945) + 0,2(7,0056)
x=
=
3
3
= 2,99056
− 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(2,99056) + 0,3(7,0056)
=
7
7
= −2,49962
y=
71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(2,99056) + 0,2(−2,49962)
z=
=
10
10
z = 7,00029
FTI-UY
™Iterasi keke-3
7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,49963) + 0,2(7,0029)
x=
=
3
3
= 3,00032
− 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(3,00032) + 0,3(7,0029)
y=
=
7
7
= −2,49999
71,4 − 0,3 x + 0,2 y 71,4 − 0,3(3,00032) + 0,2(−2,49999)
=
10
10
z = 6,99999
z=
FTI-UY
™Iterasi keke-4
7,85 + 0,1 y + 0,2 z 7,85 + 0,1(−2,499999) + 0,2(6,99999)
x=
=
3
3
=3
− 19,3 − 0,1x + 0,3z − 19,3 − 0,1(3) + 0,3(6,99999)
y=
=
7
7
= −2,5
71,4 − 0,3x + 0,2 y 71,4 − 0,3(3) + 0,2(−2,5)
z=
=
10
10
z=7
FTI-UY
FTI-UY
Subtitusi Mundur dan Subtitusi Maju
Pandang SPL dengan matriks koefisisen berupa matriks segitiga atas berikut :
a11x1 + a12x2+ ...
a22x2+...
...
⋅
•
+ a1nxn =
+ a2nxn =
⋅
annxn =
bn
Algoritma Subtitusi Mundur
xn = bn / ann
Untuk k = n – 1, ... 1
bk −
xk =
b1
b2
n
∑a
j = k +1
kj
xj
a kk
FTI-UY
•
Jika kita menyelesaikannya secara maju, algoritma yang berhubungan disebut
subtitusi maju
SPL nya berbentuk
b1
a1nxn =
a2n-1
+ a2nxn =
b2
2n 1xn-1
n1
⋅
⋅
an1x1 + an2x2+ ... + annxn =
bn
•
Algoritma Subtitusi Maju
xn = b1 / a11
Untuk k = 2,
2 3,
3 ... n
k −1
xk =
bk − ∑ akj
j =1
xj
akk
FTI-UY