Kalkulus 1 - atinaahdika

Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Pendahuluan
Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat
tertentu.
1
Himpunan mahasiswa Statistika angkatan 2016
2
Himpunan mahasiswa asal Sumatra
Unsur-unsur dalam himpunan dinamakan anggota (elemen)
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan
kosong, dinotasikan dengan ∅ atau {}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∈ S dan
dibaca ”a elemen S”.
Jika a bukan merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan
a∈
/ S dan dibaca ”a bukan elemen S”.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara, yaitu
1
dengan mendaftar seluruh anggotanya,
contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
2
dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh
seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh
unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut,
contoh: A = {x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
1. Sifat 1: komutatif
(i) a + b = b + a
(ii) a · b = b · a
2. Sifat 2: asosiatif
(i) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
(ii) a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c
3. Sifat 3: distributif
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
4. Sifat 4
(i)
(ii)
(iii)
a
1
b =a· b
(a·d)+(b·c)
c
a
, b 6=
b + d =
b·d
ac
a·c
b d = b·d , b 6= 0, d 6= 0
0, d 6= 0
5. Sifat 5
(i) a · (−b) = (−a) · b = −(a · b)
(ii) (−a) · (−b) = a · b
(iii) −(−a) = a
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
6. Sifat 6
(i)
(ii)
(iii)
0
a
a
0
a
a
= 0, untuk setiap bilangan a 6= 0
tak terdefinisikan
= 1 untuk setiap bilangan a 6= 0
7. Sifat 7: hukum kanselasi
(i) Jika a · c = b · c dan c 6= 0 maka a = b
a
(ii) Jika b, c 6= 0 maka a·c
b·c = b
8. Sifat 8: sifat pembagi nol
Jika a · b = 0 maka a = 0 atau b = 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi himpunan
bagian tak kosong yang saling asing:
1
Himpunan semua bilangan real positif
2
Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota
3
Himpunan semua bilangan real negatif
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Untuk sebarang bilangan real a, b dan c:
1
Jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c untuk setiap bilangan real c.
2
Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c.
3
i. Jika a ≤ b dan c > 0 maka a · c ≤ b · c.
ii. Jika a ≤ b dan c < 0 maka a · c ≥ b · c.
4
i. Jika a > 0 maka a1 > 0.
ii. Jika 0 < a ≤ b maka 1b ≤ a1 .
5
6
Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:
a < b, a = 0, atau a > b
√
√
Jika a, b ≥ 0 maka: a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2 ⇔ a ≤ b.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Garis Bilangan
Setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus
dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu
bilangan real. Garis lurus tersebut adalah Garis Bilangan Real.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan (inequality): pernyataan matematis yang memuat
satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan
(<, >, ≤, ≥).
Peubah (variable): lambang (simbol) yang digunakan untuk
menyatakan sebarang anggota suatu himpunan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
1
2x − 7 ≤ x + 1
3
2x−1
x+3
x2 +
4
x2 − x − 12 < 0
2
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
>1
y2 ≤ 9
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x − 5 < 5x + 7.
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x2 − 5x + 6 > 0.
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x3 − 2x2 − x + 1 ≤ −1.
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
2x+8
x−2
Kalkulus 1
≤ x + 1.
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Selang Interval
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 1
Selesaikan pertidaksamaan 3x2 − x − 2 > 0.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 1
Selesaikan pertidaksamaan 3x2 − x − 2 > 0.
Solusi:
3x2 − x − 2 > 0
(3x + 2)(x − 1) > 0
Dalam bentuk selang:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 2
Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x − 1)2 (x − 3) ≤ 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 2
Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x − 1)2 (x − 3) ≤ 0
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Nilai Mutlak (Absolute Value)
Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan
tersebut dari bilangan 0.
Definisi
Nilai mutlak x ∈ R, ditulis dengan notasi |x|, didefinisikan sebagai:
|x| =
√
x2
Definisi di atas dapat juga dinyatakan sebagai:
(
x, x ≥ 0
|x| =
−x, x < 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
1. Sifat 1
Jika x, y ∈ R maka:
(i) |x| ≥ 0
|x| = 0 ⇔ x = 0
x
| = |x|
(ii) |x · y| = |x| · |y|
y
|y|
(iii) ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (Ketaksamaan segitiga)
||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|
2. Sifat 2
Jika a ≥ 0, maka |x| = a ⇔ x = a atau x = −a.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
3. Sifat 3
Jika a ≥ 0 maka:
(i) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
(ii) |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 3
Selesaikan pertidaksamaan |x − 4| < 2 dan tunjukkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 3
Selesaikan pertidaksamaan |x − 4| < 2 dan tunjukkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Solusi:
|x − 4| < 2 ⇔ −2 < x − 4 < 2 ⇔ 2 < x < 6
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 4
Selesaikan pertidaksamaan |3x − 5| ≥ 1 dan tunjukkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 4
Selesaikan pertidaksamaan |3x − 5| ≥ 1 dan tunjukkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Solusi:
3x − 5 ≤ −1 atau 3x − 5 ≥ 1
3x ≤ 4 atau
3x ≥ 6
4
x≤
atau
x≥2
3
Himpunan
penyelesaiannya adalah gabungan dari dua interval
−∞, 43 ∪ [2, ∞).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 5
Sebuah gelas kimia berukuran 21 liter (500 cm3 ) mempunyai
jari-jari dalam 4 cm. Seberapa akurat kita harus mengukur
ketinggian air h dalam gelas kimia untuk memastikan bahwa kita
mempunyai 21 liter air dengan kesalahan (error) kurang dari 1%,
yaitu kesalahannya kurang dari 5 cm3 .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Volume air V di dalam gelas diberikan oleh formula
V = πr2 h = 16πh. Kita ingin |V − 500| < 5, atau ekivalen
dengan |16πh − 500| < 5, maka
500
|16πh − 500| < 5 ⇔ 16π h −
|<5
16π
500
⇔
16π h −
|<5
16π
h − 500 | < 5
⇔
16π
16π
⇔
|h − 9.947| < 0.09947 ≈ 0.1
Jadi, kita harus mengukur keakuratan ketinggian air sampai
dengan kurang lebih 0.1 cm atau 1 mm.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 6
Selesaikan pertidaksamaan |3x + 1| < 2|x − 6|.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Pendahuluan
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Relasi Urutan
Garis Bilangan
Pertidaksamaan
Selang Interval
Nilai Mutlak
Contoh 6
Selesaikan pertidaksamaan |3x + 1| < 2|x − 6|.
Solusi:
|3x + 1| < 2|x − 6| ⇔
|3x + 1| < |2x − 12|
(3x + 1)2 < (2x − 12)2
⇔
9x2 + 6x + 1 < 4x2 − 48x + 144
⇔
⇔
5x2 + 54x − 143 < 0
⇔ (x + 13)(5x − 11) < 0
Himpunan penyelesaiannya
adalah 11
(−∞, −13), −13, 5 , dan 11
5 ,∞ .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Binomial Newton
Jika binomial (a + b) dengan a dan b variabel real yang tidak nol
dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akan diperoleh
bentuk (a + b)n yang dapat dijabarkan dengan rumus Binomial
Newton.
Binomial Newton
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
an−k bk
n n
n n−1 1
n n−2 2
n n
=
a +
a
b +
a
b + ... +
b
0
1
2
n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Contoh 7
1
2
Tentukan koefisien dari x3 y 2 pada (2x + y)5 .
3
Tentukan koefisien dari x−2 y pada x2 + 3y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Penyelesaian:
1
Koefisien dari x3 y 2 dari (2x + y)5 adalah
5!
5
(2x)3 y 2 =
8x3 y 2
2
2!3!
= 80x3 y 2
2
Koefisien dari x−2 y pada
2
x
+ 3y
3
adalah
3!
3
(2x−1 )2 (3y) =
4x−2 3y
1
1!2!
= 36x−2 y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu teknik pembuktian
matematika yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran
dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P (n) adalah pernyataan mengenai bilangan bulat
positif.
Kita akan membuktikan bahwa P (n) benar untuk semua n
bilangan bulat positif.
Langkah-langkah untuk membuktikan pernyataan tersebut
adalah dengan menunjukkan bahwa:
1
2
P (1) benar
Asumsikan bahwa P (n) benar untuk suatu bilangan asli n dan
tunjukkan bahwa P (n + 1) juga benar.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Contoh 8
Buktikan bahwa:
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
n(n + 1)(2n + 1)
6
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Penyelesaian:
P (1) = 12 =
1(1+1)(2·1+1)
6
benar
Asumsikan P (n) benar, akan ditunjukkan bahwa
P (n + 1) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
benar
6
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
P (n + 1) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
=
6
n(n + 1)(2n + 2) + 6(n + 1)2
=
6
(n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]
=
6
(n + 1)(2n2 + 7n + 6)
=
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
∴ P (n) benar untuk semua n bilangan bulat positif.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Sistem Bilangan Real
Binomial Newton
Induksi Matematika
Latihan
Latihan
1
2
3x−7
≤2
2x+1
2x+1 | ≤ 2
x−1
3
|x − 2| < x − 3
4
|x − 4| > x − 2
5
|2x + 1| ≤ 5 − |2x|
6
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif
pertama adalah n2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1