Modul 9 Model linier digunakan untuk

Modul 9
Model linier digunakan untuk menganalisa sistem
fisika. Analisa sistem linier dibagi menjadi 3 tahap :
1. Mengembangkan model matematis yang sesuai
dengan persoalan fisika
2. Memecahkan persamaan resultannya
3. Pemecahan model matematis ditafsirkan dalam
persoalan fisikanya
Kelinieran
• Jika u1 → y1 dan u2 → y 2 maka u1 + u2 → y1 + y 2
• Jika u → y maka αu → αy dimana α
adalah bilangan rasional
Notasi panah diganti fungsi u → y ≈ y = T (u )
Sistem akan linier jika T memenuhi
(
)
( )
( )
T α u1 + β u 2 = α T u1 + β T u 2
Contoh :
1. Sebuah sistem yang hubungan masukan dan
keluarannya dinyatakan dengan persamaan y =
au + b dengan a dan b adalah konstanta. Apakah
sistem linier ini ?
Y = au + b
T(u) = au + b
1
tinjau dua input u1 dan u2, maka
T(u1) = au1 + b……………………………………..(1)
T(u2) = au2 + b……………………………………..(2)
jika inputnya u1+ u2 maka
T(u1+ u2) = a(u1+ u2) + b………………………….(3)
dari persamaan (1) dan (2)
T(u1) + T(u2) = au1 + b + au2 + b
T(u1) + T(u2) = a (u1+ u2) + 2b……………………(4)
dari persamaan (3) dan (4) diketahui bahwa
T(u1+ u2) ≠ T(u1) + T(u2)
∴ Sistem tidak linier
R
2.
i(t)
e(t)
C
Jika muatan awal dikapasitor sama dengan nol,
apakah system ini linier ?
e (t
)
1
= Ri (t ) +
c
t
∫ i (t ) dt
'
'
0
2
ditinjau i1(t) dan i2(t), maka
e
e
1
2
(t )
1
= Ri 1 (t ) +
c
(t ) =
Ri
2
t
( ) dt
∫
i1 t
'
'
0
(t ) + 1
c
t
∫
( ) dt
i2 t
'
'
0
jika inputnya αi1 (t ) + β i 2 (t ) , maka
t
[ ( )
( )]
1
e (t ) = R [α i1 (t ) + β i 2 (t )] + ∫ α i1 t ' + β i 2 t ' dt '
c0
t
t




1
1
'
'
e (t ) = α Ri 1 (t ) + ∫ i1 t dt  + β Ri 2 (t ) + ∫ i 2 t ' dt ' 
c0
c0




e (t ) = α e 1 (t ) + β e 2 (t )
( )
( )
∴ Sistem linier
Latihan
y (k ) =
1
u (k ) + u (k − 1 )
2
Jawab :
tinjau untuk input u1 dan u2
y1(k) = ½ u1(k) +u1(k – 1)……………………………(1)
y2(k) = ½ u2(k) +u2(k – 1)……………………………(2)
1
2
input α u + β u akan menghasilkan output
3
y (k ) = 1
[α u (k ) + β u
2
1
2
(k )] + [α u 1 (k − 1) + β u 2 (k − 1)]
= 1 α u 1 (k ) + α u 1 (k − 1) + 1 β u 2 (k ) + β u 2 (k − 1)
2
2
y (k ) = α y 1 (k ) + β y 2 (k )
∴ Sistem linier
Linierisasi system yang tidak linier
System dengan input x(t) dan output y(t)
Hubungan antara y(t) dan x(t) dinyatakan dengan
y = f(x)…………………………………………………..(1)
jika normal kondisi operasi x , y maka persamaan (1)
dapat dikembangkan menggunakan deret Taylor
1 d2f
df
(x − x ) +
(x − x ).......... .......... .( 2 )
y = f (x ) +
2
2! dx
dx
df
d2f
dimana dx , dx 2 dievaluasi pada
x=x
karena (x − x ) kecil, maka (x − x ) lebih kecil lagi
sehingga dapat diabaikan, demikian pula pangkat
lebih tinggi, persamaan (2) menjadi
2
y = y + k (x − x ).......... .......... .......... .......... .......... .........( 3)
4
y = f (x )
dimana
k =
df
dx
x=x
persamaan (3) dapat ditulis
y − y = k (x − x )
model linier dari non linier sistem disekitar titik operasi
x = x dan y = y
Contoh :
Linierkan persamaan non linier z = xy dalam daerah
5 ≤ x ≤ 7 dan 10 ≤ y ≤ 12 . Hitung error yang terjadi
jika persamaan yang sudah linier digunakan untuk
menghitung nilai z untuk x = 5 dan y = 10.
Pilih x = 6 dan y = 11 (dalam daerah x dan y). Untuk
2 variabel, persamaan linier dinyatakan
z − z = k 1 (x − x
k1 =
∂ (xy
∂x
)
=
∂ (xy
∂x
)
k
2
)+
k
2
(y
− y
)
= y = y = 11
x = x ,y = y
= y = y = 6
x = x ,y = y
z = x y
5
sehingga
persamaan
linier
z − z = k 1 (x − x ) + k 2 (y − y )
z − 66 = 11 (x − 6 ) + 6 (y − 11 )
z = 11 x + 6 y − 66
jika x = 5 , y = 10 maka z = 11.5 + 6 . 10 - 66 = 49
nilai exact z = x y = 5.10 = 50
error = 50 - 49 = 1
1
x 100 % = 2 %
50
6