Vektor dan Operasinya Tujuan

F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
.d o
Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar.
2. Mahir menghitung perkalian titik, panjang vektor, sudut antara
dua vektor, vektor proyeksi.
Skalar: besaran saja
Vektor: besaran dan arah
Vektor secara geometri
B: Titik akhir
v = AB
A: Titik pangkal
Vektor pada sistem koordinat (aljabar)
v = (v1, v2 ) (di ruang dimensi dua),
v + w = (v1, v2 ) + ( w1 , w2 ) = (v1 w1 , v2 w2 )
w
v w
v
w v
v
v
w
w
k v = (kv1 , kv2 ) , k skalar
k
v
v
panjang vektor v : v
v12 v22
w v
v w
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius):
p = OP , q = OQ ,
PQ = (q1 p1 , q2 p2 )
P ( p1 , p2 )
Q ( q1 , q2 )
p
q
0
= (v1 , v2 , v3 ) (di ruang dimensi tiga)
Perkalian Titik
v dan w vektor,
v w
adalah sudut antara v dan w .
v w cos , jika v 0, w 0
0
v
w
, jika v 0, w 0
v w v1w1 v2 w2
cos
v w
v w
Vektor ortogonal: vektor-vektor yang tegak lurus, v w 0
.d o
m
o
.c
v
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
.d o
Sifat operasi perkalian titik
Jika u , v dan w adalah vektor (dimensi 2 atau 3), k adalah skalar
u v=v u
2. u ( v + w ) = u v + u w
3. k( u v )= (k u ) v = u (k v )
4. v v > 0 jika v 0, dan v v = 0 jika v
1.
=0
Proyeksi ortogonal u
Harus ada referensi suatu vektor lain, misal a .
Mengurai u menjadi 2 bagian: sejajar dengan suatu vektor a dan
tegak lurus terhadap vektor a .
w2
u
w1
a
Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2 , dimana w1 sejajar dengan
a dan w2 tegaklurus terhadap a .
Kita tulis:
w1 =p a u : proyeksi ortogonal u pada a , atau komponen vektor u
sepanjang a .
w2 = u - p a u : komponen vektor u tegaklurus terhadap a .
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
Teorema:
Jika u dan a adalah vektor-vektor dimensi 2 atau 3, dan u
maka
u a
pa u =
a
2
a
Dengan demikian:
u - pa u = u u a
|p a u |=
Dan
cos
u a
u a
2
a
a
u a
2
a
u a
a
2
u a
a
2
a
u a
a
a
, sudut antara u dan a
u cos
a
a,
.d o
m
o
.c
Dimana
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
.d o
Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti
geometris serta penggunaannya.
2. Mahir menghitung perkalian tripel skalar dan memahami arti
geometris serta penggunaannya.
Perkalian silang
Misal a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , perkalian silang antara a dan b
adalah vektor v a b sebagai berikut:
1. Jika salah satu atau keduanya merupakan vektor nol maka v
2. Jika a dan b sejajar dengan arah yang sama atau berlawanan
maka v 0 .
3. Jika adalah sudut antara a dan b maka v (v1 , v2 , v3 ) dimana
v1
a2b3 a3b2 , v2
a3b1 a1b3 , v3
a1b2 a2b1
dan |v| = a b sin .
v
Arti geometris v dan | v |:
v adalah vektor tegak lurus thd a
a b
b
dan b
| v | : luas jajaran genjang
a
?
Apakah a b
b a ???
0
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
Perkalian silang vektor basis standard: i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
i x i, j x j, k x k
i x j, j x k, k x i
j x i, k x j, i x j
Cara menghitung:
Ingat penulisan v (v1 , v2 , v3 ) v1iˆ v2 ˆj v3kˆ , perkalian silang secara
simbolik sama dengan mencari determinan orde 3.
a b
i
a1
j
a2
k
a3
b1
b2
b3
( 1)1 1
a2
a3
b2
b3
i ( 1)1
2
a1
a3
b1
b3
j ( 1)1
3
a1
a2
b1
b2
k
Sifat umum perkalian silang
Perkalian tripel skalar
Diketahui tiga vektor a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) dan c (c1 , c2 , c3 ) ,
perkalian tripel skalar, ditulis (a b c) , adalah
a (b c ) = a v = a1v1 a2 v2 a3v3 dimana v = (b c )
Cara menghitung:
a (b c )
a (b c ) =
a1 a2
b1 b2
a3
b3
c1
c3
c2
a1
b2
c2
b3
c3
a2
b1 b3
c1 c3
a3
b1 b2
c1 c2
a b c cos
Arti geometris: a (b c)
a (b c ) : volume dari parallepipedum dibentuk oleh vektor a , b
dan c .
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
Sifat perkalian tripel scalar:
k (a b c)
a (b c) (a b) c
( a b) c
c ( a b)
Untuk contoh penggunaannya, lihat buku Kreizig.
.d o
m
o
.c
(k a b c)
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c