Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
1
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan
– Definisi RHD
– Himpunan Ortonormal
– Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD :
bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least square dalam peminimuman
error dalam berbagai bidang rekayasa.
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
2
Definisi RHD
Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v  V
maka notasi < , > dinamakan
hasil kali dalam
jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1.  u , v    v , u 
(Simetris)
2.  u  v , w    u , w    v , w 
(Aditivitas)
3.
untuk suatu kR,  k u , v    u , k v   k  u , v 
(Sifat Homogenitas)
4.  u , u   0 , untuk setiap u
dan
 u, u   0 
(Sifat Positifitas)
06/05/2014 14:00
u 0
MA-1223 Aljabar Linear
3
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam,
maka norm (panjang) sebuah vektor u
dinyatakan oleh :
u
yang didefinisikan oleh :
u   u, u 
1
2
0
Contoh 1 :
Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )
Misalkan u , v  Rn maka  u , v  u1v1  u 2 v 2  ...  u n v n
u 
 u, u 
1
2
0
= (u12 + u22 + …..+un2)½
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
4
Contoh 2 :
Misalnya W  R3 yang dilengkapi dengan operasi
hasil kali dalam  u , v   2u1v1  u 2 v2  3u3v3 ,
dimana u , v  W
Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan u , v , w  W
 u , v   2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
(terbukti simetris)
  v, u 
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
5
(ii)  u  v , w   <(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
  u, w    v, w 
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR,
 k u , v   <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
 k  u, v    u, k v 
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
(bersifat homogenitas)
6
(iv)  u , u   2u1  u2  3u3
2
2
2
1
Jelas bahwa  u , u  2  0 untuk setiap u
dan  u , u   0 hanya jika u  0
Contoh 3 :
Periksa apakah  u , v   u1v1  2u2 v2  3u3v3
merupakan hasil kali dalam
Jawab :
Perhatikan
2
2
2
 u , u   2u1  u2  3u3
Pada saat 3u32 > u12 + 2u22
maka
 u, u   0
06/05/2014 14:00
Tidak memenuhi
Sifat positivitas
MA-1223 Aljabar Linear
7
Contoh 4 :
Diketahui
 u , v  ad  cf
dimana u  ( a , b, c )
dan v  ( d , e, f )
Apakah  u , v  merupakan hasil kali dalam?
Jawab :
Jelas bahwa
Misalkan
 u, u  = ( a2 + c2 )
0
u  (0, 2, 0) diperoleh  u , u  0
Padahal ada u  0
Aksioma terakhir tidak terpenuhi.
Jadi
 u , v   ad + cf
06/05/2014 14:00
bukan merupakan hasil kali dalam.
MA-1223 Aljabar Linear
8
Himpunan Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal
jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam
himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak
lurus).
Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang
setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
9
Secara Operasional
Misalkan, T  c1 , c 2 ,..., c n  pada suatuRHD
T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
 ci , c j   0
untuk setiap i ≠ j
Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
06/05/2014 14:00
ci  1
MA-1223 Aljabar Linear
10
Contoh 5 :
 1
1.
A    
  0 ,
 -1

 0

 

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
  1   0  
2. B     
 
  0  ,  - 1  
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.
3.

C  

1
2
1
2
   12 
  1 


  2 
Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
11
Misalkan
S  v1 , v 2 ,..., v n 
adalah basis ortonormal untuk RHD V
Jika u adalah sembarang vektor pada V,
maka
u  k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
 u , vi    k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n , vi 
 k1  v1, vi  k2  v2 , vi  ... ki  vi , vi  ... kn  vn , vi 
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
 vi , v j  0 untuk setiap i  j
06/05/2014 14:00
dan
 vi , vi   1 untuk setiap i
MA-1223 Aljabar Linear
12
Sehingga, untuk setiap i berlaku
 u , vi  k i
Kombinasi linear u  k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n
Ditulis menjadi
u  u , v1  v1   u , v 2  v 2  ...  u , v n  v n
Contoh 6 :
Tentukan kombinasi linear dari
1
a   
 2
pada RHD Euclides berupa bidang yang
dibangun

 1
 1 




2
2
v

u 
 1 
 dan
1




2
2


06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
13
Jawab :
a  k1u  k 2 v
a  a , u  u   a , v  v
1
a    
 2
a
06/05/2014 14:00
1
2
1 
 , 
 2 
u  
1
1
Perhatikan …..
u dan v mrp
Basis ortonormal
1
1




2 
2
 u   , 
 v

 1 
 2   2 
2
1
2
v
MA-1223 Aljabar Linear
14
Proses Gramm-Schmidt
S   c1 , c 2 ,  c n

B  w1 , w2 , ... , wn 
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
Langkah yang dilakukan
1. w1 
c1
c1
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
15
c2
2. Langkah kedua
w2
c2
q1
w2
w1
p1  proyw1 c2 
w2 
 c2 , w1  w1
w1
2
p1
q1  c 2  p1
 c2 , w1  w1
c 2   c 2 , w1  w1
c 2 ,  c 2 , w1  w 2
06/05/2014 14:00
Vektor satuan searah
MA-1223 Aljabar Linear
q1
16
3. Langkah ketiga
c3
w3
c3
q2
w3
W
p2
w1
w2
p 2  proyW c3  c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
w3 
c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
q 2  c3  p 2
Vektor satuan
Yang tegak lurus
Bidang W
17
Contoh 7 :
Diketahui :

 0 
 0
1
 
 
 

B  u1  1, u 2   1 , u 3   0 
 1 
1
1

 





B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.
Transformasikan basis tersebut menjadi basis
Ortonormal
Jawab :
Langkah 1.
u1

1, 1, 1
v1 

u1
3
06/05/2014 14:00









1 

3
1 

3
1 

3
MA-1223 Aljabar Linear
18
Langkah 2
v2 
u 2  proyv1 u 2
u 2  proyv1 u 2
Sementara itu,
u 2  proyv1 u2  u 2  u2 , v1 v1
 0, 1, 1 
 2 1
  , ,
 3 3
Karena itu,
u 2  proy v1 u 2 
sehingga :
06/05/2014 14:00




v2  




4
9
 19  19 
1 
1
2  1


,
,
3
3
3 3
1

3
6
3
2 

6
1 

6 
1 

6 
MA-1223 Aljabar Linear
19
Langkah 3
v3 
u3  proy W u3
u3  proy W u3
Sementara itu,
u3  proy W u3  u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2
1  1 1 1 
1  2 1 1 

 
 

 0, 0,1 
,
,
,
,
3 3 3 3
6
6 6 6
1 1

  0,  , 
2 2

sehingga :
06/05/2014 14:00
 0 


v3    12 
 1 
 2 
MA-1223 Aljabar Linear
20
Jadi,


v1, v2 , v3 = 




1
3
1
3
1
3
   2   0 
  6 

,  16 ,   12 
  1   1 
  6   2 
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
21
Contoh 8 :
 1   0 
   
Diketahui bidang yang dibangun oleh  0 ,  1 
 1   1 
   
merupakan subruang
dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
1
 
u  1
1
 
pada bidang tersebut.
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
22
Jawab :
Diketahui  1 
0
 
 
v1   0  , v 2   1 
1
1
 
 
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
Karena
v1 , v2 
Selain membangun subruang pada RHD
himpunan tsb juga saling bebas linear
(terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan).
Langkah awal :
Basis tersebut  basis ortonormal.
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
23
v
w1  1
v1
1 , 0 ,1
12  02  12
1 , 0 ,1


2
1 
 1
,0 ,
 

2
 2
Perhatikan bahwa : v2 , w1   0 ,1 ,1  1 , 0 , 1  
 2
00

06/05/2014 14:00
2
1
2
1
2
MA-1223 Aljabar Linear
24
Sehingga:
1 
1  1
v2 , w1 w1 


,0 ,
2
2 2
1
1
  ,0 , 
2
2
1
1
v2  v2 , w1 w1  0 ,1 ,1   , 0 , 
2
2
1
 1
   ,1 , 
2
 2
Akibatnya :

v2  v2 , w1 w1   

06/05/2014 14:00
2
1
1
2
  1   
2
2

1
1
1
4
4

6
4

1
6
2
2
MA-1223 Aljabar Linear
25
Akhirnya, diperoleh
v2  v2 , w1 w1
w2 
v2  v2 , w1 w1
1
 1
  ,1 , 
2
2

1
6
2
 1
2 1 
=
  
,
,
6
6
6

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb









06/05/2014 14:00







 1 

1  
 
6
2  2 
0 ,

1   6 
1 
2  

 6 









MA-1223 Aljabar Linear
26
Proyeksi Orthogonal Vektor
1
 
u  1
1
 
pada bidang tersebut adalah
Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2
Perhatikan bahwa :
1 
 1
,0 ,
 
u , w1   1 ,1 ,1 
2
 2
1
1

0 
2
2
2

2
 2
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
27
Sementara itu :
1   16 
 
 u , w2   1,  26 
1  1 
   6 


06/05/2014 14:00
1
2
1


6
6
6
2
6
MA-1223 Aljabar Linear
28
Dengan demikian,
Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2
 1 


1
 3
 
= 0   2 
 3 
1
 1 
 


 3 



 




06/05/2014 14:00
2
3
2
3
4
3








MA-1223 Aljabar Linear
29
Contoh 9 :
Diketahui bidang yang dibangun oleh
 1   0 
   
 0 , 1  
 1   1 
   
merupakan subruang dari RHD Euclides
 1
 
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor u   1 
 1
 
pada bidang tersebut.
Jawab
Jelas bahwa v1 , v 2 
merupakan basis bagi bidang tersebut, karena
v1 dan v 2 saling bebas linear
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
30
Basis tersebut akan ditransformasikan
menjadi basis ortonormal.
v
w1  1
v1
1 , 0 ,1
12  02  12
1 , 0 ,1


2
1 
 1
,0 ,
 

2
 2
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
31
Perhatikan bahwa :
1 
 1
,0 ,
 
v2 , w1   0 ,1 ,1 
2
 2
1
00
2
1

2
Sehingga:
1  1
1  1
1

   , 0 , 
,0 ,
v 2 , w1 w1 
2
2 2
2 2
akibatnya
1
1
v2  v2 , w1 w1  0 ,1 ,1   , 0 , 
2
2
1
 1
   ,1 , 
2
 2
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
32
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang W adalah:
u
Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2
=
 1 


3 
1

 
 2 
0  
3 
1
 1 
 


3


2
 
3
2
 
 3
4
 
3
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
33
v2  v2 , w1 w1
w2 
v2  v2 , w1 w1
1
 1
  ,1 , 
2
2

1
6
2
 1
2 1 

  
,
,
6
6
6

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :









 1 

1

 

 
6
2

  2 
 0 ,

 1   6 
 2  1 

 

 6 
06/05/2014 14:00









MA-1223 Aljabar Linear
34
Latihan Bab VI
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan
hasil kali dalam atau bukan
a.  u , v  = u12v1 + u2v22
di R2
b.  u , v  = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
c.  u , v  = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1)
dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal
dalam ruang Euclides !
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
35
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
1

1
0






 1
 
dan  0 
  1
 
  1
 
Tentukan proyeksi orthogonal vektor  1 
 2
pada W
 
06/05/2014 14:00
MA-1223 Aljabar Linear
36