Sesi 12.indd

X
FISIKA
GETARAN HARMONIS
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan sebagai berikut.
1.
Memahami konsep getaran harmonis sederhana pada bandul dan pegas beserta
besaran-besarannya.
2.
Memahami persamaan-persamaan pada getaran harmonis sederhana beserta konsep
energinya.
A. Getaran Harmonis Sederhana
Getaran harmonis sederhana (GHS) merupakan gerakan bolak-balik melalui titik
kesetimbangan dengan amplitudo (simpangan maksimum) dan frekuensi yang tetap.
Getaran harmonis sederhana bersifat periodik. Artinya, setiap gerakan yang terjadi akan
berulang secara teratur dalam selang waktu yang sama. Contoh kasus getaran harmonis
sederhana adalah gerak pada bandul sederhana dan pegas. Syarat-syarat suatu benda
dikatakan melakukan getaran harmonis sederhana adalah sebagai berikut.
1.
Gerakannya bolak-balik
2.
Berlangsung secara periodik
3.
Adanya titik kesetimbangan
4.
Gaya atau percepatan yang bekerja pada benda sebanding dengan besar posisi/
simpangan benda
5.
Arah gaya atau percepatan yang bekerja pada benda selalu menuju titik kesetimbangan
Kela
s
K-13
B. Periode dan Frekuensi
Periode T merupakan waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali getaran,
sedangkan frekuensi f merupakan banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda per
sekon. Secara matematis, periode dan frekuensi dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
t
n
n
f=
t
T=
f=
1
T
T = periode getaran (s);
f = frekuensi getaran (Hz);
n = banyaknya getaran; dan
t = lamanya bergetar (s).
Contoh Soal 1
Sebuah benda bergetar sebanyak 20 kali selama 4 sekon. Tentukanlah periode dan
frekuensi getaran tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
n=20
t = 4 s
Ditanya: T =…?
f = …?
Dijawab:
Periode dan frekuensi getaran dapat ditentukan dengan rumus berikut.
t
4 1
=
= = 0,2 s
n 20 5
n 20
f= =
= 5Hz
4
t
T=
Jadi, periode dan frekuensi getaran tersebut berturut-turut 0,2 s dan 5 Hz.
C. Sistem Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung
tali ringan (massanya diabaikan) dengan panjang L. Jika beban ditarik ke satu sisi dan
dilepaskan, maka beban akan berayun melalui titik kesetimbangan menuju sisi yang lain.
2
Perhatikan gambar berikut.
L
θ
y
mg cos θ
mg sin θ
mg
Ketika beban berayun, akan selalu ada gaya yang arahnya menuju titik kesetimbangan.
Gaya inilah yang dinamakan dengan gaya pemulih F. Secara matematis, gaya pemulih
pada bandul dapat dituliskan sebagai berikut.
y
F = –mg sin θ, dengan sin θ =
L
Keterangan:
y
F = −mg  
L
F = gaya pemulih (N);
m = massa beban (kg);
g = percepatan gravitasi (m/s2);
y = simpangan tali (m); dan
L = panjang tali (m).
Pada hakikatnya, getaran harmonis sederhana merupakan proyeksi dari gerak
melingkar beraturan (GMB) pada salah satu sumbu utamanya. Oleh karena itu, periode
T dan frekuensi f dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya
sentripetal pada GMB.
FPemulih = Fsentripetal
y
−mg   = −mω 2 y
L
2
y
−mg   = −m ( 2π f ) y
L
y
g   = 4π 2 f 2 y
L
3
Keterangan:
1
f=
2π
g
L
f = frekuensi (Hz);
g= percepatan gravitasi (m/s2); dan
L = panjang tali (m).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T = 2π
L
g
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa periode dan frekuensi bandul tidak
bergantung pada massa dan simpangan bandul, namun hanya bergantung pada panjang
tali dan percepatan gravitasi setempat.
D. Sistem Pegas
Pegas merupakan salah satu bahan elastis yang memiliki nilai tetapan gaya k. Jika beban
pada pegas ditarik, maka beban akan bergerak naik turun melalui titik kesetimbangan.
x
Besar gaya pemulih pada pegas sebanding dengan jarak benda ke titik setimbang,
sehingga persamaan gaya pemulih dirumuskan sebagai berikut.
F = –kx
Sama halnya seperti bandul, periode T dan frekuensi f pada pegas dapat dihitung
dengan menyamakan gaya pemulih dengan gaya sentripetal pada GMB
4
FPemulih = Fsentripetal
−k . x = −m.ω 2 x
−k = −m. ( 2π f )
1
f=
2π
2
k
m
Keterangan:
f = frekuensi (Hz);
k = tetapan gaya pegas (N/m); dan
m= massa beban (kg).
Oleh karena frekuensi merupakan kebalikan dari periode, maka diperoleh:
T = 2π
m
k
Contoh Soal 2
Sebuah balok bermassa 0,25 kg digantung pada sebuah pegas dengan nilai tetapan 250
N/m. Tentukan frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut. (π = 10 )
Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,25 kg
k = 250 N/m
Ditanya: f = …?
Dijawab:
Frekuensi pada pegas dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
f=
1
2π
k
1 250
=
m 2π 0,25
1
=
1000
2π
1
=
×10 10
2π
1
=
×10π
2π
= 5 Hz
Jadi, frekuensi getaran pada sistem pegas tersebut adalah 5 Hz.
5
Contoh Soal 3
Perhatikan gambar berikut!
(A)
(B)
M
M
Jika kelima pegas tersebut adalah identik (tetapan gaya pegas k), maka tentukanlah rasio
periode antara susunan gambar (A) dan (B).
Pembahasan:
Diketahui:
massa benda = M
tetapan gaya pegas = identik = k
Ditanya: TA : TB = …?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan tetapan gaya total pada rangkaian pegas.
Pada gambar (A), pegas disusun secara seri sehingga besar tetapan gaya totalnya adalah
sebagai berikut.
1
1 1
= +
k A k1 k2
1 1 1
= +
kA k k
kA =
k
2
Pada gambar (B), pegas disusun secara seri dan paralel sehingga besar tetapan gaya
totalnya adalah sebagai berikut.
Paralel:
kB1 = k1 + k2 = k + k = 2k
6
Seri:
1
1
1
=
+
kB2 kB1 k3
1
1 1
=
+
kB2 2k k
kB2 =
2k
3
Dengan demikian, diperoleh:
TA
=
TB
2π
M
kA
k
= B2 =
kA
M
2π
kB 2
2k
3 = 4= 2
k
3
3
2
Jadi, rasio periode antara susunan gambar (A) dan (B) adalah 2 :
3.
E. Persamaan Getaran Harmonis
1. Persamaan Simpangan
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel
yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Secara umum, persamaan
simpangan gerak harmonis sederhana untuk benda yang menempuh sudut θ dengan
sudut fase awalnya θ0 rad adalah sebagai berikut.
y = A sin (θ + θ0)
Jika sudut fase awal θ0 = 0, maka:
y = A sin (ωt)
2π
= 2πf, maka:
Oleh karena ω =
T
y = A sin (2πft )
2π
y = A sin (
t)
T
Keterangan:
y
= simpangan getaran (m);
ω
= kecepatan sudut (rad/s);
T
= periode (s);
f
= frekuensi (Hz);
7
A
= amplitudo = simpangan maksimum (m);
t
= waktu tempuh (s);
θ0
= sudut fase awal.
Contoh Soal 4
Sebuah benda melakukan gerak harmonis dengan amplitudo A dan periode T. Jika benda
1
telah bergerak selama T, maka simpangan benda tersebut adalah ....
8
Pembahasan:
Diketahui:
1
t=
8
Ditanya: y = …?
Dijawab:
Simpangan benda dapat ditentukan dengan rumus berikut.
2π
t)
y
= A sin (
T
1 

T

= A sin  2π . 8 
T 




o
= A sin 45
1
2A
=
2
1
2A.
Jadi, simpangan benda tersebut adalah
2
2. Persamaan Kecepatan
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan
pertama persamaan simpangan. Perhatikan penjabaran berikut.
v=
dy d( A sin ωt )
=
= A ω cos ωt
dt
dt
atau
8
v = ω A2 − y 2 =
k 2 2
(A − y )
m
Adapun untuk kecepatan maksimumnya adalah:
vm = Aω
Keterangan:
y
= simpangan (m);
ω
= kecepatan sudut (rad/s);
v
= kecepatan getaran (m/s);
f
= frekuensi (Hz);
A
= amplitudo = simpangan maksimum (m);
t
= waktu tempuh (s);
k
= tetapan gaya pegas (N/m); dan
m = massa beban (kg).
Contoh Soal 5
Sebuah benda bergetar harmonis dengan amplitudo A. Tentukanlah simpangan benda
saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya.
Pembahasan:
Diketahui:
Amplitudo = A
1
v = vm
2
Ditanya: y = …?
Dijawab:
Saat kecepatannya sama dengan setengah kecepatan maksimumnya, maka:
v = A ω cos ωt
1
v = vvmm = A ω cos ωt
2
1
v = vAmω = A ω cos ωt
2
1
cos ωvt = v m
2
ωt = arc.cos ½ = 60o
9
Masukkan nilai ωt ke persamaan umum simpangan getaran sehingga diperoleh:
y
= A . sin (ωt)
= A . sin 60o
1
3A
2
Jadi, simpangan benda saat kecepatan benda setengah kecepatan maksimum adalah
1
3A.
2
=
3. Persamaan Percepatan
Percepatan benda yang bergerak harmonis sederhana dapat diperoleh dari turunan
pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan. Perhatikan
penjabaran berikut.
a=
dv d 2 y d 2 ( A sinωt )
=
=
= − Aω 2 sinωt
dt dt 2
dt 2
Oleh karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y =
A), maka percepatan maksimumnya adalah sebagai berikut.
am = -Aω2
Keterangan:
y
= simpangan (m);
ω
= kecepatan sudut (rad/s);
v
= kecepatan getaran (m/s);
f
= frekuensi (Hz);
A
= amplitudo = simpangan maksimum (m);
t
= waktu tempuh (s); dan
a
= percepatan getaran (m/s2)
4. Persamaan Energi Getaran Harmonis Sederhana
a. Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis sederhana
karena kecepatannya. Secara matematis, energi kinetik dirumuskan sebagai berikut.
10
1
EK = m. v 2
2
1
= m( Aω cos ωt )2
2
1
= kA2 cos2 ωt
2
b. Energi Potensial
Energi potensial adalah energi yang dimiliki benda yang bergerak harmonis sederhana
karena simpangannya. Secara matematis, energi potensial dirumuskan sebagai berikut.
1
E P = ky 2
2
1
= k ( A sinωt )2
2
1
= kA2 sin2 ωt
2
c. Energi Mekanik
Energi mekanik adalah jumlahenergi kinetik dan energi potensial. Energi mekanik suatu
benda yang bergerak harmonik sederhana tidak bergantung waktu dan tempat karena
nilainya selalu tetap. Secara matematis, energi mekanik dirumuskan sebagai berikut.
EM = Ek + Ep
1 2 2
1 2 2
v m cos ωvt +
= kA
v m sin ωt
v = kA
2
2
1 2
vm
v = kA
2
Keterangan:
k = tetapan gaya pegas (N/m);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
EM = energi mekanik (J);
Ek = energi kinetik (J);
Ep = energi potensial (J);
A = amplitudo = simpangan maksimum (m); dan
t = waktu tempuh (s).
11
Contoh Soal 6
Sebuah benda bermassa 0,4 kg bergerak harmonis dengan amplitudo 6 cm dan frekuensi
50 Hz. Besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah .... (anggap π² = 10)
Pembahasan:
Diketahui:
m = 0,4 kg
A = 6 cm = 6 × 10–2 m
f = 50 Hz
y = 2 cm
π² =10
Ditanya: EM =…?
Dijawab:
Energi mekanik benda yang bergerak harmonis dapat ditentukan sebagai berikut.
1 2
EM v = vkA
m
2
1
v = v. mm ω2 A2
2
1
v = v. mm. 4 π² f² A²
2
1
v = v. m0,4 . 4 . (10) (50)² (6 × 10–2)²
2
= 72 joule
Jadi, besarnya energi mekanik saat simpangannya 2 cm adalah 72 joule.
Contoh Soal 7
Sebuah benda melakukan getaran harmonis sederhana. Pada saat nilai energi kinetiknya
sama dengan nilai energi potensialnya, maka besarnya simpangan benda saat itu adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
EK = EP
Ditanya: y = ... ?
12
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
EM = EK + EP
EM = 2 EP
1 2
1 2
v = kA
vm =
v 2.
= k.y
vm
2
2
1
vm
yv2== A²
2
A
y= ±
2
1
=± A 2
2
1
Jadi, besarnya simpangan benda saat itu adalah y = ± A 2 .
2
Contoh Soal 8
Benda bermassa 10 gram digetarkan menurut persamaan simpangan y = 5 sin (100t)
dengan y dalam cm dan t dalam sekon. Energi total benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
m =10 g = 10–2 kg
y = 5 sin (100t) → A = 5 cm = 5 × 10–2 m
ω = 100 rad/s
Ditanya: EM =…?
Dijawab:
Berdasarkan rumus energi mekanik, diperoleh:
1
vm
EMv = kA²
2
1
v = .m.
v m ω² A²
2
1
v = v×m10–2 × (100)2 (5 × 10–2)²
2
= 0,125 joule
Jadi, energi total benda tersebut adalah 0,125 joule.
13
d. Hubungan Energi Kinetik dengan Simpangan dan Kecepatan
Super "Solusi Quipper"
Hubungan energi kinetik dengan simpangan dan kecepatan dapat ditentukan dengan
rumus SUPER berikut ini.
1
EK = k ( A2 − y 2 )
2
Keterangan:
Ek
= tan2 θ
EP
EP = energi potensial (J);
v = Aω
EK
EM
EK = energi kinetik (J);
EM = energi mekanik (J);
ω = kecepatan sudut (rad/s);
v = kecepatan linear getaran (m/s);
y = simpangan (m);
E
y=A P
EM
k = tetapan gaya pegas (N/m);
A = amplitudo (m); dan
θ = sudut fase.
Contoh Soal 9
Benda bermassa 3 kg digantung pada seutas tali yang panjangnya 2 meter. Benda bergetar
4
selaras dengan amplitudo 50 cm dan frekuensi 20 Hz. Pada saat simpangan bandul
5
amplitudonya, berapakah perbandingan energi kinetik dan energi potensialnya?
Pembahasan:
Diketahui:
m = 3 kg
L = 2 meter
A = 50 cm = 0,5 m
f = 20 Hz
y =
4
A
5
Ditanya:
Ek
=…?
EP
Dijawab:
Mula-mula, tentukan sudut fasenya.
14
y = A sin θ
4
A = A sin θ
5
4
sin θ =
5
4
θ = arc sin = 53o
5
Selanjutnya, gunakan cara SUPER untuk menentukan perbandingannya.
Super "Solusi Quipper"
2
Ek
 4  16
= tan2 θ = tan2 53o =   =
EP
9
3
Jadi, perbandingan energi kinetik dan energi potensialnya adalah 16 : 9.
15